2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 24 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)案 理

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專題24數(shù)學(xué)思想方法

函數(shù)與方程思想在高考中也是必考內(nèi)容，特別是在函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等處都可

能考到，幾乎大多數(shù)年份高考中大題都會涉及到.因此認(rèn)真體會函數(shù)與方程思想是成功高考

的關(guān)鍵.

在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)知識的方方面面上，把圖象作為工具、載

體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡捷、靈活特點的多是填空小

題。

因為對數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括能力的考

查，是對學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是新課標(biāo)高考明確的一個命題方向。

分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點和熱點，也是高考的考點，

高考中經(jīng)常會有一道解答題，解題思路直接依賴于分類討論.

預(yù)測以后的高考，將會一如既往地考查分類討論思想，特別在解答題中（尤其導(dǎo)數(shù)與函

數(shù)），將有一道進(jìn)行分類、求解的把關(guān)題，選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論求

解題.

化歸與轉(zhuǎn)化的思想在高考中必然考到，主要可能出現(xiàn)在立體幾何的大題中，將空間立體

幾何的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,解析幾何大題中求范圍問題的題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域范圍問

題等，總之將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題是高考中解決問題的重要思想方法.

■點知識梳理

一、函數(shù)與方程思想

一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：

單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等.在解題中，善于挖掘題目的隱含

條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵，它廣泛地應(yīng)用于方程、

不等式、數(shù)列等問題.

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1.方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的

其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，使

問題得到解決.

2.方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān)：方程f(x)=O的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸

的交點的橫坐標(biāo)；函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)—y=0,通過方程進(jìn)行研究，方程

f(x)=a有解,當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.

可用函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問題.

1.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：

(1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取

值范圍等問題；

(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的

有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.

2.方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面：

(1)解方程或解不等式；

(2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、

區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應(yīng)用；

(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等；

(4)構(gòu)造方程或不等式求解問題.

二、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分

為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為

目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性

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來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線

的幾何性質(zhì).。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：

數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：

(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；

(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；

(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；

(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；

(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；

(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；

(7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；

(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.

常見適用數(shù)形結(jié)合的兩個著力點是：

以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借

助于解析幾何方法.

以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運算結(jié)果與幾何定理的

結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題

時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速

度.具體操作時，應(yīng)注意以下幾點：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象

法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要

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把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后

作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解.這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時，

能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和

諧復(fù)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問

題得到簡捷解決。

1.數(shù)形結(jié)合的途徑

（1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解

借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的

相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考察的）；值得強調(diào)的是，形題數(shù)

解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運用的技巧（這是因為三角公式的使用，可以大大

縮短代數(shù)推理）

實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的

對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，

如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

如等式（X-2）2+8-1）2=4。

常見方法有：

①解析法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系），引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為

坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系。

②三角法：將幾何問題與三角形溝通，運用三角代數(shù)知識獲得探求結(jié)合的途徑。

③向量法：將幾何圖形向量化，運用向量運算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等

問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、

夾角、距離等問題變得有章可循。

（2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解

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許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化.例如，將

a>0與距離互化，將4與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2-2l<3INC0S^^=6。喊'=120°)與

余弦定理溝通，將a》b》c>0且b+c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對

(或復(fù)數(shù))和點溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等.

這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形(平面的或立體的)。另外，函數(shù)

的圖象也是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助

于相伴而充分地發(fā)揮作用。

常見的轉(zhuǎn)換途徑為：

①方程或不等式問題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個圖象的交點位置關(guān)系的問題,并借助函數(shù)的圖象

和性質(zhì)解決相關(guān)的問題。

②利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模荏的性質(zhì)來尋求代數(shù)式性質(zhì)。

(3)構(gòu)造幾何模型。通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將/

與正方形的面積互化，將與體積互化，將與勾股定理溝通等等。

(4)利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系，重要的公式(如兩點間的距離

_______________d_I?兩+坳o+C|

-小+(必-為吊，點到直線的距離JN+爐,直線的斜率，直線的截

距)、定義等來尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。

2.數(shù)形結(jié)合的原則

(1)等價性原則

在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有

時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺

顯的說明，但它同時也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。

(2)雙向性原則

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在數(shù)形結(jié)合時，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成,

僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析（或僅對幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的。

例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，

若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化。

（3）簡單性原則

就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解

題過程，則取決于那種方法更為簡單.而不是去刻意追求一種流性的模式一一代數(shù)問題運用

幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。

三、分類討論的思想

分類討論思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解（或分割）成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基

礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略.對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于是增

加的一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題（或綜合性問題）分解為小問題（或基礎(chǔ)性問

題），優(yōu)化解題思路，降低問題難度.

1.由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)

函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.

2.由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給

出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等.

3.由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對

數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同時乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角

函數(shù)的定義域等.

4.由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所

在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等.

5.由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，

由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方

法.

6.由實際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)

問題時常用.

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四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

1、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法

解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等

思維過程，選擇運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說，是

自己較熟悉的問題)，通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之

為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.

2、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法應(yīng)用的主要方向

化歸與轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個數(shù)學(xué)問題

的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實現(xiàn)的.從這個意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向己

知轉(zhuǎn)化的過程.化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步

轉(zhuǎn)化的過程.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知

識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)

化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等,

都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).

3、等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化之分.等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有

等價性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ?/p>

結(jié)論進(jìn)行必要的驗證.

高頻考點突破

考點一、運用函數(shù)與方程思想解決字母(或式子)的求值或取值范圍問題

—x+6,xW2,

例1.若函數(shù)F(x)=3+logax,x>2,—x+6,xW2,,3+logax,x>2(a>0,且aWl)

的值域是［4,+8),則實數(shù)乃的取值范圍是.

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02

解析由題意f(x)的圖象如右圖，則

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a>l,

3+loga224,,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(a>L,3+loga224,

???1VW2.

答案(b2]

【變式探究】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)(相切)，

已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()

?y(千米)

—法匕/g乂千米)

.......

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1?

Ay=2,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,2x—

\*hps21\o(\s\up9(12

2,\*hps21\o(\s\up9(1,2x—x

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1.

By=2,EQ\*JcO\*/zFont:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(1,2x+

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(19

2,EQ\*JcO\*z，F(xiàn)ont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,2x—3x

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1?

C.y=4,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,4x—x

s21\o(\s\up9(1

Dy=4,s21\o(\s\up9(1,4x+

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(10

2,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，/\*hps21\o(\s\up9(1,2x—2x

【解析】由題目圖象可知：該三次函數(shù)過原點,故可設(shè)該三次出數(shù)為y=f(x)=ax^bx-+cx,則y'=f(x)

r_i

F=-1,a-2,

=3ax-+2bx+c,由題意得：f(2)=0,f(2)=3,即Sa+4b+2c=0,解得＜h=_l所以、=白

U-￡

U2a+4b+c=3,-

Lc=-1,

一-x.故選A.

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考點二、運用函數(shù)與方程思想解決方程問題

例2設(shè)函數(shù)f{x}=

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3x—1,x<l,

2x,,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3x—1,x<l,,2x,x，l,

則滿足〃“4)=29的乃取值范圍是()

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2

A.,1,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(2,,1B.[0,

1]

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2

C.,+8,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(2,,+°°

D.[1,+°°)

解析當(dāng)a=2時，,3=<2)=2：=4>1,.也項=2%，.?.a=2滿足題意，書滁A,B選項；當(dāng)片爭寸,

女尸.砥尸3x,1=1,加助=2婀，二戶髓足題意，排除D選項，故答案為C.

答案C

【規(guī)律方法】

研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復(fù)雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是

分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟

悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決.

【變式探究】已知函數(shù)f(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2—Ixl,xW2,

(x—2)2,x>2,,EQ\*jcO\*〃Mnt:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2—|x|,xW2,,(x—2)2,x>2,

函數(shù)g(x)=6—F(2—x),其中若函數(shù)y=F(x)—g(x)恰有4個零點，則6的取值范

圍是()

EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(7

A.,+°0,EQ\*jcO\*zzFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(7,,+°°B.

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

4,EQ\*JcO\*〃巨ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7,4

\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

C.4,\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(7,4D.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

,2,EQ\*jcO\*zzFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(7,,2

解析記力(x)=—F(2—x)在同一坐標(biāo)系中作出F(x)與力(x)的圖象如圖，直線Afty=x

-4,當(dāng)直線/〃48且與F(x)的圖象相切時，由

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y=x+b'，

y=(x—2)2,,EQ\*jcO\*^Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(y=x+b,,,y=(x—2)2,

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EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(9

解得=—4,EQ\*JcO\*z，F(xiàn)ont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(9,4,—

EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(9

4,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(9,4—(—4)

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

4,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(7,4,

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

所以曲線力(x)向上平移4,EQ\*JcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(7,4個

單位后，所得圖象與Hx)的圖象有四個公共點，平移2個單位后，兩圖象有無數(shù)個公共點，

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(7

因此，當(dāng)4,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(7,4VZ?V2時，/'(x)與g(x)

的圖象有四個不同的交點，即y=『(x)—g(x)恰有4個零點.選D.

答案D

考點三、運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題

例3.已知函數(shù)f(x)=

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x3,xWa,

x2,x>a,,EQ\*jcO\*〃戶ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x3,xWa,,x2,x>a,

若存在實數(shù)6,使函數(shù)g(x)=F(x)—6有兩個零點，則a的取值范圍是.

解析若OWaWl時，函數(shù)f(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x3(xWa),

x2(x>a),EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x3(xWa),,x2(x>a)

在R上遞增，若或aVO時，

由圖象知尸6存在。使之有兩個零點，故a《(一8,0)U(1,+oo).

答案(一8,0)U(1,+8)

【規(guī)律方法】

(1)在解決值的大小比較問題時，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決

是一種重要思想方法.

(2)在解決不等式恒成立問題時，一種重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)

的圖象和性質(zhì)解決問題.同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量

和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求

范圍的量為參數(shù).

(3)在解決不等式證明問題時，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)方法解題是近幾年各省市高

考的一個熱點.用導(dǎo)數(shù)來解決不等式問題時，一般都要先根據(jù)欲證的不等式構(gòu)造函數(shù)，然后

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借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性情況，再結(jié)合在一些特殊點處的函數(shù)值得到欲證的不等式.

【變式探究】設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3ax2+3bx+8c在x=l及x=2時取到極值.

⑴求a,b的值；

(2)若對于任意的xG［O,3］都有f(xh于成立,求c的取值范圍；

(3)若方程f(x)=不有三個根，求c的取值范圍.

【解析】(l)f(x)=6x:+6ax+3b=3(2x:4-2ax+b).

因為函數(shù)f(x)=2x'+3加+3bx+8c在x=l及x=2時取到極值，所以［二:'解得1］：為

If(2)=0.1b=4.

當(dāng)a=-3>b=4時，

f(x)=3(2x2-6x4-4)=6(x-2)(x—1).

當(dāng)x<l時，f(x)X)；

當(dāng)I<xv2時，f(x)<0j

當(dāng)x>2時，f(x)>0.

所以此時1與2都是極值點，

因此a=-3,b=4,f(x)=2x3-9x:+12x4-8c.

(2)由⑴知函數(shù)y=f(x)在x=l處取到極大值f⑴=5+8c,在x=2處取到極小值f(2)

=4+8c.

因為f(0)=8c,f(3)=9+8c,

所以當(dāng)xe［0,3］時，函數(shù)y=f(x)的最大值是f(3)=9+8c,所以要使對于任意的x

e［0,3］都有f(x)〈c?成立，需要f(3)=9+8c〈c2,-8c—9>0,解得c〈一1或c>9.

(3)由(1)⑵知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(—k,1)上是增|困數(shù)，在11,為上是減函數(shù)，在(2,+工)上是增函數(shù),

y=f(x)在x=l處取到極大值f(l)=5+8c,

在x=2處取到極小值f(2)=4+8c,f(l)>?2).

所以要使方程f(x)=c：有三個根，

需要f(2)<c-<f(l)，即4+8c<e<5+8c,

解得44-2粥vc<4+曲或4-?vcv4-2s.

考點四、運用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題

例4、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃

修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為九12,山區(qū)邊

界曲線為C,計劃修建的公路為1,如圖所示，M,"為C的兩個端點，測得點〃到4,心的

距離分別為5千米和40千米，點”到為，心的距離分別為20千米和2.5千米，R以4，h

所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線。符合函數(shù)y=

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EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(a

x2+b,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(a,x2+b(其中a,b

為常數(shù))模型.

(1)求a,6的值;

(2)設(shè)公路/與曲線C相切于〃點，〃的橫坐標(biāo)為方.

①請寫出公路/長度的函數(shù)解析式廣(方)，并寫出其定義域；

②當(dāng)［為何值時，公路/的長度最短？求出最短長度.

解⑴由題意知，點弘N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).

將其分別代入

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(a

y=x2+b,EQ\*JcO\*〃戶ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a,x2+b,得

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a

=2.5,,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(a,=2.5,

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a=l000,

解得b=0.,EQ\*JcO\*/zFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(a=l000,,b=0.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000

(2)①由(1)知，y=x2,EQ\*jcO\*〃Mnt:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000,x2

(5WxW20),

“Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000

則點尸的坐標(biāo)為t2,〃Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000,t2,

設(shè)在點尸處的切線/交x,y軸分別于4B點,

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2000

y'=—x3,EQ\*JcO\*z，F(xiàn)ont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(2000,x3,

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1000

則1的方程為y—t2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，/\*hps21\o(\s\up9(1000,t2

(2000

=-13,(2000,t3(x—t)9

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3t

由止匕得A,O,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3t,,0,B

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3000

t2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3000,t2.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(3000

故廣(方)=2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3000,2

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p9(3EQ\*jcO\*'Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4X106

=2,p9(3,2t4,EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4X106,t4,序

[5,20].

②設(shè)g(r)=￡+W

L

則￡(f)=2L

令g'⑺=0,解得

當(dāng)￡(5,IOS)時，g1(0<0,g⑴是減函數(shù);

當(dāng)fE(loS,20：時，g,(r)>0,g⑴是增函數(shù).

從而，當(dāng)f=10把時，函數(shù)g⑴有極小值，也是最小值，

所以g(r)5=300,此時Ona—1.

答：當(dāng)r=ioS時，公路『的長度最短，最短長度為isS千米.

【規(guī)律方法】

解析幾何、立體幾何及其實際應(yīng)用等問題中的最優(yōu)化問題，一般利用函數(shù)思想來解決，

思路是先選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，再用函數(shù)的知識來解決.

【變式探究】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距m米，余下工程只需要

建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相

鄰兩橋墩之間的橋面工程費用為(2+)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，

且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元.

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？

【解析】(1)設(shè)需要新建n個橋墩，(n+l)x=m,

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

即n=x,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(m,x—1,所以y=f(x)

=256n+(n+1)(2+)x=256

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

—1,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(m,—1+

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

x,EQ\*JcO\*^Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(m,x(2+)x

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(256m

x,EQ\*JcO\*〃戶ont:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(256m,x+m+2m—256.

(2)由⑴知，『(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(256m(\s\up9(1

x2,EQ\*jcO\*，zFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(256m,x2+2,(\s\up9(1,2m,x—

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(1

2,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(1,2=

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EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

2x2,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(m,2x2(x

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(3

2,EQ\*jcO\*/zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(3,2—512).

3

令(x)=0,得x2,3,2=512,所以x=64.

當(dāng)0VxV64時*(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；

當(dāng)64VxV640時，伊(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù),

所以f(x)在x=64處取得最小值，此時，

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(m

n=x,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(m,x-1=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(640

64,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(640,64—1=9.

故需新建9個橋墩才能使y最小.

【小結(jié)反思】

1.函數(shù)與方程思想在許多容易題中也有很多體現(xiàn).

2.有很多時候可以將方程看成函數(shù)來研究，這就是函數(shù)思想.

3.有些時候可以將函數(shù)看成方程來研究，這就是最簡單的方程思想.我們可以有意通

過函數(shù)思想部分訓(xùn)練提升自己的數(shù)學(xué)能力.

考點五、用數(shù)形結(jié)合思想解決方程、不等式及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題

例5、(1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x+l)=f(x—1)；②當(dāng)x￡［—L1］時，

f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個數(shù)是()

A.5個B.7個C.9個D.10個

⑵設(shè)有函數(shù)f(x)=a+和g(x)=

EQ\*JcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(4一

3,EQ\*JcO\*zzFont:Calibrizz\*hps21\o(\s\up9(4,3x+l,已知x￡［—4,0］時恒有

f(x)Wg(x),求實數(shù)a的取值范圍.

思路點撥：(D在同一坐標(biāo)系中畫出y=f(x)和y=：gx的圖象，由它們交點個數(shù)判斷方程的解的個數(shù).

(2)先將不等式其x)秘x)轉(zhuǎn)化為《一x：-4爛玄+1-a,然后在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=V-x：-4x

和y號+—a的圖象，移動y與+1的圖象使其滿足條件，數(shù)形結(jié)合得要滿足的數(shù)量關(guān)系.

解析：⑴由題意可知,卻0是以2為周期,值域為［0,1］的函數(shù).又f(x)=lgx,則x&O,10］,畫出兩

困數(shù)圖象，則交點個數(shù)即為解的個數(shù).

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由圖象可知共9個交點，故選C.

EQ\*JcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4

⑵f(x)Wg(x),即a+W3,EQ\*jcO\*"戶ont:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(4,3x

+1，

\s\up9(4

變形得W3,\s\up9(4,3x+l—a,

令y=，①

EQ\*jcO\*，zFont:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(4

y=3,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(4,3x+1—a,②

①變形得(x+2>+y2=4(y20),即表示以(-2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓&口圖);

②表示斜率為§縱截距為1-a的平行直線系(如圖).

設(shè)與圓相切的直線為AT,其傾斜角為a,

47T

則有tana=70<a<y,

.,.sina=t,cosa=|,

c,、<903+a\1-cos(90，+a)

OA=2tan：―；—?

,f-sin(903+a)

r1+sina

=：-----------=

cosa

要使f(x)Sg(x)在x€[-4,0]B寸恒成立，

則②所表示的直線應(yīng)在直線AT的上方或與它重合，故有1-心6,；.a的范圍為｛a瞄-

誤區(qū)警示：作圖時弄清y=lgx的圖象何時超過1,否則易造成結(jié)果錯誤.

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【規(guī)律方法】

(1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解

的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的

表達(dá)式(不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個

函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù).

(2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多

個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，

往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答.

(3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降，奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性，最

值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標(biāo).

【變式探究】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x—4)=—f(x),且在區(qū)間［0,2］

上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根x”x2,x3,x4,則Xi

+x2+x3+x4=.

【解析】因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x),由f(x)為奇函數(shù)，所

以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱且f(0)=。.由f(x-4)=-f(x：知f(x-8)二貞x),所以函數(shù)是以8為周期的周期

函數(shù)，又因為f(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間［-2,Q］上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程f(x)

=m［m>0)在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根xi,大，位，xx,不妨設(shè)X1<X2<K<X4由對稱性知x】+x：=-

12,xs+xi=4所以x1+x：+x5+x4=—12+4=-3.

【答案】一8.

考點六、用數(shù)形結(jié)合思想解決參數(shù)、代數(shù)式的最值、取值范圍問題

例6、⑴已知x,y滿足條件

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(x2

16,EQ\*jcO\*z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1,求y—3x的最大值與

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最小值.

⑵已知實數(shù)Xy滿足不等式組

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2+y2W4,

x20,,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x24y2W4,,x20,求函數(shù)

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y+3

z=x+l,EQ\*JcO\*zzFont:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(y-f~3,x+1的值域.

思路點撥：(d☆b=y—3x,即y=3x+b,視b為直線y=3x+b的截距，而直線與橢

圓必有公共點，故相切時，b有最值.

(2)此題可轉(zhuǎn)化成過點(一1,—3)與不等式組

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2+y2W4,

x20,EQ\*JcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x2~f~y2W4,,x20表示區(qū)域的

點的連線的斜率的范圍.

【解析】⑴令y—3x=b,則y=3x+b,原問題轉(zhuǎn)化為在橢圓

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2

16,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1上找一點,使過該點的

直線斜率為3,且在y軸上有最大截距或最小截距.

由圖可知，當(dāng)直線y=3x+b與橢圓

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2

16,EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*"Mnt:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1相切時，有最大或最小

的截距.

EQ\*jcO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(x2

將y=3x+b代入16,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibriz/\*hps21\o(\s\up9(x2,16+

EQ\*jcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(y2

25,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，/\*hps21\o(\s\up9(y2,25=1,

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得169x2+96bx+l6b2—400=0,

令A(yù)=0,解得b=±13.

故y-3x的最大值為13,最小值為一13.

(2)由解析幾何知識可知，所給的不等式組表示圓婷+F=4的右半圓域(含邊界)，可改寫為y

+3=z(x+1),

把z看作參數(shù)，則此方程表示過定點P(-l,-3),斜率為z的直線系.

那么所求問題的幾何意義是：求過半圓域+(定0)內(nèi)或邊界上任一點與過點式-1,-3)的直線斜

率的最大、最小值.

Zmax

EQ\*icO\*"Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(2—(—3)

0—(—1),EQ\*jcO\*zzFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(2—(—3),0—(—1)

=5.

過點P向半圓作切線，切線的斜率最小.

設(shè)切點為B(a,b),則過點B的切線方程為ax+by=4.又B在半圓周上，P在切線上，

則有

EQ\*JcO\*'Font:Calibri〃\*hps21\o(\s\up9(a2+b2=4,

—a—3b=4,,EQ\*jcO\*Z/Font:Calibriz，\*hps21\o(\s\up9(a2+b2=4,，一a—3b=4,

又a>0,

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(6—3

解得6因此Zmin=3,EQ\*jcO\*，zFont:Calibri，z\*hps21\o(\s\up9(6—3,3.

綜上可知函數(shù)的值域為

教育精品學(xué)習(xí)資源

EQ\*jcO\*'Font:Calibri"\*hps21\o(\s\up9(6—3

,5,EQ\*jcO\*"戶ont:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(6—3,,5.

誤區(qū)警示：此題很容易犯的錯誤是由z=

EQ\*jcO\*"Font:Calibri”\*hps21\o(\s\up9(y+3

x+l,EQ\*jcO\*z/Font:Calibri/z\*hps21\o(\s\up9(y^3,x+1得到點(一1,一3)的

坐標(biāo)時，很容易寫成(1,3),所以做題時要看清順序.

【規(guī)律方法】

如果參數(shù)、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明