函數(shù)的應用(二)（第1課時不同函數(shù)增長的差異）課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.5函數(shù)的應用（二）第1課時不同函數(shù)增長的差異第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)人教A版

數(shù)學

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習單元3

函數(shù)的應用(二)學習函數(shù)的最終目的是應用.通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的學習,明確了具體函數(shù)特定性質(zhì)的應用.為了突出函數(shù)在一般意義上的廣泛應用,本單元進一步學習函數(shù)的應用(二),具體知識結(jié)構(gòu)圖如右:本單元一是采用從特殊到一般的方式,讓我們從函數(shù)的角度認識方程,了解用二分法求方程近似解的思路、步驟和算法,體會函數(shù)與方程的思想,培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng);二是初步掌握函數(shù)模型的應用,認識數(shù)學的價值,培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng).學習目標1.通過作圖,借助數(shù)學軟件體會并了解指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長特性.(數(shù)據(jù)分析、直觀想象)2.掌握冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長差異,并能解決相關(guān)問題.(邏輯推理)3.能正確地選擇函數(shù)模型解決實際問題.(數(shù)學建模)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點:三種常見函數(shù)模型的增長速度比較

增長快慢

函數(shù)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增減性

圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長速度不變形象描述指數(shù)爆炸對數(shù)增長直線上升增長速度y=ax(a>1)的增長速度最終會大大超過

的增長速度;總存在一個x0,當x>x0時,恒有

增長結(jié)果存在一個x0,當x>x0時,有

增函數(shù)

增函數(shù)增函數(shù)

y=kx(k>0)logax<kxax>kx>logax名師點睛1.對數(shù)函數(shù)y=logbx(b>1)在區(qū)間(0,+∞)上,隨著x的增長,增長得越來越慢,圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣,盡管在一定范圍內(nèi),logbx可能會大于xc,但是由于logbx的增長慢于xc的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時就會有l(wèi)ogbx<xc.2.對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0),在區(qū)間(0,+∞)上,無論c比a大多少,盡管在x的一定變化范圍內(nèi),ax會小于xc,但由于ax的增長快于xc的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時,就會有ax>xc.3.當?shù)讛?shù)a>1時,指數(shù)函數(shù)y=ax的值增長非?？?這種現(xiàn)象稱之為“指數(shù)爆炸”.微思考為什么存在一個x0,當x>x0時,ax>xn>logax(a>1,n>0)一定成立?提示

當a>1,n>0時,由y=ax,y=xn,y=logax的增長速度,知存在x0,當x>x0時,圖象由上而下依次對應指數(shù)、冪、對數(shù)函數(shù),故一定有ax>xn>logax.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1在同一個坐標軸畫出冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象,對比圖象,思考三類函數(shù)的增長速度快慢問題.遇到實際問題,如何選用適合的函數(shù)來擬合,以減少誤差?探究點一幾種函數(shù)模型增長的差異問題2一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度如何?代數(shù)方式如何發(fā)現(xiàn)其增長特征?【例1】

(1)下列函數(shù)中,當x→+∞時,增長速度最快的是(

)A.y=2021x B.y=x2021C.y=log2021x D.y=2021xA解析

比較指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象,指數(shù)函數(shù)增長最快.(2)四個自變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109Y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是

.

y2解析以爆炸式增長的變量呈指數(shù)型函數(shù)變化.從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,且都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,畫出它們的圖象(圖略),可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化.規(guī)律方法

常見的函數(shù)模型及增長特點(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,b>1)表達的函數(shù)模型,其增長特點是隨著自變量x的增大,函數(shù)值增長的速度越來越快,常稱之為“指數(shù)爆炸”.(3)對數(shù)函數(shù)模型:能用對數(shù)型函數(shù)f(x)=mlogax+n(m,n,a為常數(shù),m>0,x>0,a>1)表達的函數(shù)模型,其增長的特點是開始階段增長得較快,但隨著x的逐漸增大,其函數(shù)值變化得越來越慢,常稱之為“蝸牛式增長”.(4)冪函數(shù)模型:能用冪型函數(shù)f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠1)表達的函數(shù)模型,其增長情況由a和α的取值確定.探究點二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型比較問題3能否根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度的差異,通過圖象判斷函數(shù)類型呢?【例2】

已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖,設(shè)兩個函數(shù)的圖象相交于點A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應哪一個函數(shù);(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由.解(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度知:C1對應函數(shù)g(x)=x3,C2對應函數(shù)f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.當x<x1時,2x>x3,即f(x)>g(x);當x1<x<x2時,f(x)<g(x);當x>x2時,f(x)>g(x).因為f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因為f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.綜上可知,a=1,b=9.規(guī)律方法

比較函數(shù)增長快慢的方法:(1)利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的不同的增長特點比較函數(shù)增長的快慢;(2)借助函數(shù)圖象,通過圖象特點以及變化趨勢來比較函數(shù)的增長快慢;(3)通過計算相同區(qū)間上函數(shù)值的增量的大小來比較函數(shù)增長的快慢.探究點三不同函數(shù)模型的實際應用問題4現(xiàn)實情境增長的快慢,如何匹配合適的函數(shù)圖象加以研究?1.增長曲線的選擇【例3】

高為H、滿缸水量為V0的魚缸的軸截面如圖所示.現(xiàn)其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出.若魚缸水深為h時魚缸內(nèi)水的體積為V,則函數(shù)V=f(h)的大致圖象是(

)B解析

本題考查指對冪增長差異的實際應用.當h=H時,體積是V0,故排除A,C項.h由0到H變化的過程中,V的變化剛開始時增長速度越來越快,類似于指數(shù)型函數(shù)的圖象,后來增長速度越來越慢,類似于對數(shù)型函數(shù)的圖象,綜合分析可知選B項.規(guī)律方法

函數(shù)增長快慢對函數(shù)曲線的影響隨著自變量的增大,如果函數(shù)值增長得越來越快,則函數(shù)的圖象越“陡”,類似于指數(shù)函數(shù)的圖象;如果函數(shù)值增長得越來越慢,則函數(shù)的圖象越“緩”,類似于對數(shù)函數(shù)的圖象.2.函數(shù)模型的選擇與應用【例4】

某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品,在前三個月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t.為了預測今后各個月的生產(chǎn)量,需要以這三個月的月產(chǎn)量為依據(jù),用一個函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y與月序數(shù)x之間的關(guān)系.對此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均為待定系數(shù),x∈N*)或指數(shù)型函數(shù)y=g(x)=pqx+r(p,q,r均為待定系數(shù),x∈N*),現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個月的月產(chǎn)量為137t,則選用這兩個函數(shù)中的哪一個作為模擬函數(shù)較好?解根據(jù)題意可列方程組所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②再將x=4分別代入①式與②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),g(4)=-80×0.54+140=135(t).與f(4)相比,g(4)在數(shù)值上更為接近第四個月的實際月產(chǎn)量,所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好,故選用指數(shù)型函數(shù)y=g(x)=pqx+r作為模擬函數(shù)較好.規(guī)律方法

函數(shù)模型的實際應用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型在實際問題中有廣泛應用,可根據(jù)增長的快慢特征選擇、建立函數(shù)模型,再利用指數(shù)、對數(shù)運算解決問題,已經(jīng)給出函數(shù)模型的,則直接代入相應的數(shù)據(jù)計算解決.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011A級必備知識基礎(chǔ)練1.某公司為了適應市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)作了重大調(diào)整,調(diào)整后初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢,若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系,可選用(

)A.一次函數(shù)

B.冪函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù)

D.對數(shù)型函數(shù)D解析

初期利潤增長迅速,后來增長越來越慢.可用對數(shù)型函數(shù)模型來反映調(diào)整后利潤與時間的關(guān)系.12345678910112.某人從甲地去乙地,一開始跑步前進,后來步行,圖中橫軸表示走的時間,縱軸表示此人與乙地的距離,則較符合行程的圖象是(

)D解析

圖中給出的是直線模型,符合一次函數(shù)模型的特點,結(jié)合題意,應選D.12345678910113.下圖為某種植物1~5年內(nèi)的植株高度,根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在1~5年內(nèi)的生長規(guī)律,下列函數(shù)模型中符合要求的是(

)A.y=kax+b(k>0,a>0,且a≠1)B.y=klogax+b(k>0,a>0,且a≠1)C.y=+b(k>0)D.y=ax2+bx+c(a>0)B解析

由圖可知,植物高度增長越來越緩慢,故選擇對數(shù)模型,即B符合.故選B.12345678910114.(多選題)當a>1時,下列結(jié)論正確的是(

)A.指數(shù)函數(shù)y=ax,當a越大時,其函數(shù)值的增長越快B.指數(shù)函數(shù)y=ax,當a越小時,其函數(shù)值的增長越快C.對數(shù)函數(shù)y=logax,當a越大時,其函數(shù)值的增長越快D.對數(shù)函數(shù)y=logax,當a越小時,其函數(shù)值的增長越快AD解析

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象可知AD正確.12345678910115.以下是三個函數(shù)y1,y2,y3隨x變化的函數(shù)值列表:x12345678…y139278124372921876561…y2182764125216343512…y300.63011.2611.4651.6301.7711.892…其中關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的函數(shù)是

.

y1解析

指數(shù)函數(shù)中的增長量是成倍增加的,函數(shù)y1中增長量分別為6,18,54,162,486,1

458,4

374…是成倍增加的,因而y1呈指數(shù)型函數(shù)變化.12345678910116.函數(shù)f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的圖象如圖所示.(1)指出曲線C1,C2分別對應哪一個函數(shù);(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點,對f(x),g(x)的大小進行比較).解

(1)由題圖知,C1對應的函數(shù)為g(x)=0.3x-1,C2對應的函數(shù)為f(x)=lg

x.(2)當x∈(0,x1)時,g(x)>f(x);當x∈(x1,x2)時,g(x)<f(x);當x∈(x2,+∞)時,g(x)>f(x).12345678910117.某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)近幾年的數(shù)據(jù)顯示,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記2017年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位:萬件)之間的關(guān)系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=找出你認為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取2017年和2019年的數(shù)據(jù)求出相應的解析式.1234567891011解

符合條件的是f(x)=ax+b,理由:若模型為f(x)=2x+a,則由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此時f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,與已知相差太大,不符合.若模型為f(x)=則f(x)是減函數(shù),與已知不符合.1234567891011B級關(guān)鍵能力提升練8.當0<x<1時,f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的大小關(guān)系是(

)A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)D解析

在同一坐標系下作出函數(shù)f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的圖象,由圖象知,D正確.123456789101112345678910119.如圖所示的是一份統(tǒng)計圖表,根據(jù)此圖表得到的以下說法中,正確的有(

)(1)這幾年人民生活水平逐年得到提高;(2)人民生活費收入增長最快的一年是2019年;(3)生活費價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2020年;(4)雖然2021年生活費收入增長是緩慢的,但由于生活費價格指數(shù)也略有降低,因而人民生活有較大的改善.A.1項 B.2項

C.3項 D.4項C解析

由題意,“生活費收入指數(shù)”減“生活費價格指數(shù)”所得的差是逐年增大的,故(1)正確;“生活費收入指數(shù)”在2019~2020年最陡,故(2)正確;“生活費價格指數(shù)”在2020~2021年最平緩,故(3)不正確;由于“生活費價格指數(shù)”略呈下降趨勢,而“生活費收入指數(shù)”曲線呈上升趨勢,故(4)正確.123456789101112