指數(shù)課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)單元1

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的學(xué)習(xí),我們初步掌握了研究函數(shù)的一般途徑:概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用.并在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,逐步體會(huì)用函數(shù)的思想解決問(wèn)題的基本思路.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高中階段非常重要的基本初等函數(shù),通過(guò)這兩類重要的基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí),再次理解研究函數(shù)的基本方式,體會(huì)用函數(shù)模型解決問(wèn)題的基本思路.本單元學(xué)習(xí)指數(shù)與指數(shù)函數(shù).為了研究指數(shù)函數(shù),首先,把指數(shù)冪運(yùn)算作了進(jìn)一步拓展,將指數(shù)冪由整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理數(shù)指數(shù)冪,再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪;其次,根據(jù)研究函數(shù)的一般思路“概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用”,對(duì)指數(shù)函數(shù)作了進(jìn)一步的講解,這是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線.具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如圖所示.本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)就是掌握指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì),并能利用此函數(shù)模型解決問(wèn)題.在此單元的學(xué)習(xí)過(guò)程中,通過(guò)指數(shù)運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)模型等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)有理指數(shù)冪

(a>0,且a≠1,m,n為整數(shù),且n>0)、實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0,且a≠1,x∈R)含義的認(rèn)識(shí),了解指數(shù)冪的拓展過(guò)程.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解根式運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),能正確進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一:n次方根1.n次方根的定義:一般地,如果xn=a,那么x叫做

,其中n>1,且n∈N*.

2.n次方根的性質(zhì)(1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),這時(shí),a的n次方根用符號(hào)

表示.(2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)

表示,負(fù)的n次方根用符號(hào)

表示.正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫(xiě)成

.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.

(3)0的任何次方根都是0,記作

.

a的n次方根

3.根式的定義:式子

叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開(kāi)方數(shù).(根號(hào)內(nèi)的數(shù))4.根式的性質(zhì):(1)()n=a.名師點(diǎn)睛1.在n次方根的概念中,關(guān)鍵是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a,因此求一個(gè)數(shù)a的n次方根,就是求一個(gè)數(shù)的n次方等于a.2.n次方根實(shí)際上就是平方根與立方根的推廣.3.n次方根的概念表明,乘方與開(kāi)方是互逆運(yùn)算.微思考

(2)()n中實(shí)數(shù)a的取值范圍是任意實(shí)數(shù)嗎?提示

不一定,當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí),a∈R;當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí),a∈[0,+∞).知識(shí)點(diǎn)二:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:(a>0,m,n∈N*,n>1).2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后,冪ax中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù).名師點(diǎn)睛1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

不可理解為

個(gè)a相乘,它是根式的一種寫(xiě)法.2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù).3.我們可以類似得出:一般地,給定正數(shù)a,對(duì)任意無(wú)理數(shù)α,aα都是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).同理規(guī)定a-α=.這樣指數(shù)冪中指數(shù)的范圍就擴(kuò)展到了全體實(shí)數(shù).微思考

知識(shí)點(diǎn)三:指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于任意正數(shù)a,b和實(shí)數(shù)r,s,指數(shù)冪均滿足下面的運(yùn)算性質(zhì):(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).名師點(diǎn)睛實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)除了上述三個(gè)外,還有如下兩個(gè)常用性質(zhì):(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);微思考為什么指數(shù)冪的運(yùn)算法則要求a>0?重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1我們知道,正數(shù)的平方根有兩個(gè),負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.若將平方根推廣至n次方根,類比初中平方根的定義,n次方根的定義是什么?被開(kāi)方數(shù)需要滿足什么條件?問(wèn)題2根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是如何轉(zhuǎn)化的?認(rèn)真探究問(wèn)題:一定相等嗎?據(jù)此問(wèn)題思考,根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化時(shí)需要特別注意什么?探究點(diǎn)一根式的概念問(wèn)題3根據(jù)根式的概念,如何區(qū)分求奇次方根與偶次方根?【例1】

(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

(2)已知x6=2019,則x=

.

(3)若

有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為

.

3±2[-3,+∞)規(guī)律方法

根式概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)(1)n的奇偶性決定了n次方根的個(gè)數(shù);(2)n為奇數(shù)時(shí),被開(kāi)方數(shù)a的正負(fù)決定著n次方根的符號(hào).探究點(diǎn)二根式的化簡(jiǎn)(求值)問(wèn)題4根據(jù)根式的運(yùn)算性質(zhì),如何對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)?【例2】

求下列各式的值:解(1)原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴當(dāng)-3<x<1時(shí),原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當(dāng)1≤x<3時(shí),原式=(x-1)-(x+3)=-4.延伸探究(1)該例中的(2),若定義域改為x<-3呢?(2)該例中的(2),若定義域改為x>3呢?解

由例題解析可知原式可化為|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,則x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.(2)若x>3,則x-1>0,x+3>0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.探究點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算問(wèn)題5如何根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算?【例3】

計(jì)算:規(guī)律方法

1.對(duì)于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,以便于計(jì)算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2.對(duì)于計(jì)算題的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示,但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).探究點(diǎn)四條件求值問(wèn)題6如何利用給定的條件求值?嘗試歸納常用的技巧.(1)a+a-1;

(2)a2+a-2;

(3)a2-a-2.分析

解答本題可從整體上尋求各式與條件

的聯(lián)系,進(jìn)而整體代入求值.規(guī)律方法

解決條件求值問(wèn)題的一般方法——整體法對(duì)于條件求值問(wèn)題,一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式,再將字母取值代入求值.當(dāng)字母的取值未知或不易求出時(shí),可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?構(gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu),從而通過(guò)“整體法”巧妙地求出代數(shù)式的值.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(多選題)下列運(yùn)算正確的是(

)A.a2·a3=a6 B.(3a)3=9a3C.=a D.(-2a2)3=-8a6CD1234567891011A12345678910113.已知x2+x-2=3,則x+x-1的值為(

)C解析

由(x+x-1)2=x2+x-2+2=5,可得x+x-1=±.故選C.1234567891011D12345678910115.若

=1-2a,則a的取值范圍是

.

12345678910116.若α,β是方程5x2+10x+1=0的兩個(gè)根,則2α·2β=

,(2α)β=

.

12345678910117.求值:1234567891011B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.已知正數(shù)x滿足,則x2+x-2=(

)A.6 B.7 C.