2021-2022學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的為（）A． B． C． D．2．（2分）如圖，若AB＝AC，則添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC3．（2分）下列各組數(shù)作為三角形的三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，7 C．2，3，4 D．，，4．（2分）等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．8或105．（2分）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)是（）A．三角形的三條角平分線的交點(diǎn) B．三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三角形的三條高線的交點(diǎn) D．三角形的三條中線的交點(diǎn)6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，則正方形ABDE和正方形CBGF的面積差為（）A．10 B．15 C．20 D．257．（2分）在△ABC中，∠ACB為鈍角，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)P，使∠BPC＝2∠A，下列作法正確的是（）A． B． C． D．8．（2分）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上（包括頂點(diǎn)），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周長(zhǎng)為14，若AB＝5，BC＝4，AC＝．10．（2分）如圖，l垂直平分線段AB，垂足為點(diǎn)C，P為直線l上一點(diǎn)，連接PA．若PA＝5，PC＝4，則BC＝．11．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分線，BD＝5，則點(diǎn)D到邊AC的距離為．12．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則AB邊上的高線長(zhǎng)為．13．（2分）若等腰三角形的一個(gè)角為70°，則其頂角的度數(shù)為．14．（2分）如圖，四邊形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是邊AD的中點(diǎn)．若BC＝3，AD＝8，則△BPC的周長(zhǎng)為．15．（2分）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF．若∠DFC＝70°，則∠DEF＝°．16．（2分）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，則CD的長(zhǎng)為．17．（2分）如圖，在一個(gè)直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，折痕交邊BC于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為cm．18．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，線段AD＝10，連接BD，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，則BD的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共8小題，共64分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（6分）如圖，點(diǎn)C、E在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求證：BE＝CF．20．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四邊形ABCD的面積．21．（8分）如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，求證：BD＝DE．22．（8分）如圖，一棵高5.4m的大樹(shù)被臺(tái)風(fēng)刮斷，測(cè)得樹(shù)梢著地點(diǎn)到樹(shù)根的距離BC＝3.6m，求大樹(shù)折斷處離地面的高度AB．23．（6分）已知四邊形ABCD，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（1）如圖①，在對(duì)角線AC上求作一點(diǎn)M，使BM＝CM．（2）如圖②，AB＝CD，在對(duì)角線AC上求作一點(diǎn)N，使△ABN和△CDN的面積相等．24．（9分）小明在學(xué)習(xí)完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個(gè)角對(duì)邊上的中線，那么這個(gè)三角形是等腰三角形”并進(jìn)行證明．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點(diǎn)．求證：△ABC是等腰三角形．小明的證法：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點(diǎn)E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．請(qǐng)把小明的證法補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證明．25．（9分）如圖①，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AE、BD，連接DA并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，AE＝CE．（1）求證：△DBC≌△EAC；（2）如圖②，作△ADE的邊AD上的高線EG，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，求證：PB＝PE．26．（10分）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，正方體的棱長(zhǎng)為2cm，A是正方體的頂點(diǎn)，P為棱BC的中點(diǎn)．螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)P的最短路徑的長(zhǎng)為cm（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）如圖②，四棱錐的底面四邊形ABCD是正方形，O是四棱錐的頂點(diǎn)，四棱錐的四個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，側(cè)棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側(cè)棱OC的中點(diǎn)．圖③所示的四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)P的最短路徑，并求出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．（3）圖④中的幾何體是由底面相同的正方體和四棱錐組成．正方體的棱長(zhǎng)為acm，M是正方體的頂點(diǎn)，四棱錐的四個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，O是四棱錐的頂點(diǎn)，側(cè)棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側(cè)棱OC的中點(diǎn)．正方體的側(cè)面展開(kāi)圖如圖⑤所示，在圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)P的最短路徑的示意圖，并寫(xiě)出求最短路徑的思路．

2021-2022學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的為（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故選：B．2．（2分）如圖，若AB＝AC，則添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC【解答】解：A、根據(jù)ASA（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)SAS（∠A＝∠A，AB＝AC，AE＝AD）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確；D、根據(jù)AAS（∠A＝∠A，AB＝AC，∠AEB＝∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．3．（2分）下列各組數(shù)作為三角形的三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，7 C．2，3，4 D．，，【解答】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)符合題意；B、32+42≠72，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．4．（2分）等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【解答】解：①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2＝4，∴不能組成三角形；②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長(zhǎng)＝2+4+4＝10，綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為10．故選：C．5．（2分）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)是（）A．三角形的三條角平分線的交點(diǎn) B．三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三角形的三條高線的交點(diǎn) D．三角形的三條中線的交點(diǎn)【解答】解：∵到三角形的一邊的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這邊的垂直平分線上，∴到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：B．6．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，則正方形ABDE和正方形CBGF的面積差為（）A．10 B．15 C．20 D．25【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∴AB2﹣BC2＝AC2＝25，∴正方形ABDE和正方形CBGF的面積差為AB2﹣BC2＝25．故選：D．7．（2分）在△ABC中，∠ACB為鈍角，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)P，使∠BPC＝2∠A，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接PC，∵∠BPC＝2∠A，且∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠A＝∠ACP，∴PA＝PC，∴點(diǎn)P是線段AC中垂線上的點(diǎn)，故選：A．8．（2分）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上（包括頂點(diǎn)），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：如圖，∵△MNP是等腰三角形，∴符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選：D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周長(zhǎng)為14，若AB＝5，BC＝4，AC＝5．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周長(zhǎng)為14，∴△ABC的周長(zhǎng)為14，又∵AB＝5，BC＝4，∴AC＝14﹣5﹣4＝5，故答案為：5．10．（2分）如圖，l垂直平分線段AB，垂足為點(diǎn)C，P為直線l上一點(diǎn)，連接PA．若PA＝5，PC＝4，則BC＝3．【解答】解：連接PB，∵直線l垂直平分線段AB，垂足為點(diǎn)C，PA＝5，∴PB＝PA＝5，在Rt△PBC中，PC2+BC2＝PA2，∴42+BC2＝52，解得：BC＝3（舍去負(fù)值），故答案為：3．11．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分線，BD＝5，則點(diǎn)D到邊AC的距離為5．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，∵AD是∠BAC的平分線，∠B＝90°，∴DE＝BD＝5，即點(diǎn)D到AC邊的距離是5．故答案為：5．12．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則AB邊上的高線長(zhǎng)為．【解答】解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，∴△ABC的面積＝×5×12＝30，∴AB邊上的高線長(zhǎng)為30×2÷13＝．故答案為：．13．（2分）若等腰三角形的一個(gè)角為70°，則其頂角的度數(shù)為70°或40°．【解答】解：（1）當(dāng)70°角為頂角，頂角度數(shù)即為70°；（2）當(dāng)70°為底角時(shí)，頂角＝180°﹣2×70°＝40°．故答案為：70°或40°．14．（2分）如圖，四邊形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是邊AD的中點(diǎn)．若BC＝3，AD＝8，則△BPC的周長(zhǎng)為11．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACD＝90°，P是邊AD的中點(diǎn)，∴PB＝PC＝AD，∵AD＝8，∴PB＝PC＝8＝4，∴△BPC的周長(zhǎng)＝PB+PC+BC＝4+4+3＝11，故答案為：11．15．（2分）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF．若∠DFC＝70°，則∠DEF＝55°．【解答】解：如圖，由折疊的性質(zhì)知：∠EFB＝∠EFD．∵∠DFC＝70°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，∴∠EFB＝＝55°．又AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝55°．故答案是：55．16．（2分）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，則CD的長(zhǎng)為5．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，在△ABF與△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，CE＝AF＝4，CD＝AB，∵AE＝AF﹣EF＝4﹣2＝2，∴DF＝AD﹣AE﹣EF＝5﹣2﹣2＝1，∴DE＝EF+DF＝2+1＝3，∴BF＝DE＝3，∴AB＝，∴CD＝AB＝5，故答案為：5．17．（2分）如圖，在一個(gè)直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，折痕交邊BC于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為cm．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝10cm，設(shè)BF＝x，則CF＝6﹣x，根據(jù)折疊可知：EF＝BF＝xcm，AE＝AB＝8cm，∠AEF＝∠B＝90°，∴EC＝AC﹣AE＝10﹣8＝2（cm），∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴根據(jù)勾股定理得：（6﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，∴BF＝cm，故答案為：．18．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，線段AD＝10，連接BD，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，則BD的長(zhǎng)為2或14．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)B在AD的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CB于H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，AH⊥BC，∴AH＝BH＝CH＝6，∴DH＝＝＝8，∴DB＝DH﹣BH＝2，當(dāng)點(diǎn)B'在AD的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH'⊥C'B'于H'，同理可求DH'＝8，∴DB'＝14，綜上所述：BD的長(zhǎng)為14或2，故答案為：14或2．三、解答題（本大題共8小題，共64分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（6分）如圖，點(diǎn)C、E在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求證：BE＝CF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，∴BE＝CF．20．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四邊形ABCD的面積．【解答】解：連接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD＝AC?AD＝×5×12＝30．∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．21．（8分）如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，求證：BD＝DE．【解答】證明：∵等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠DBC＝∠CED，∴BD＝DE．22．（8分）如圖，一棵高5.4m的大樹(shù)被臺(tái)風(fēng)刮斷，測(cè)得樹(shù)梢著地點(diǎn)到樹(shù)根的距離BC＝3.6m，求大樹(shù)折斷處離地面的高度AB．【解答】解：設(shè)AB＝xm，則AC＝（5.4﹣x）m，依題意得：x2+（3.6）2＝（5.4﹣x）2，整理得：10.8x﹣16.2＝0，解得：x＝1.5．答：大樹(shù)折斷處離地面的高度AB＝1.5m．23．（6分）已知四邊形ABCD，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（1）如圖①，在對(duì)角線AC上求作一點(diǎn)M，使BM＝CM．（2）如圖②，AB＝CD，在對(duì)角線AC上求作一點(diǎn)N，使△ABN和△CDN的面積相等．【解答】解：（1）如圖①，點(diǎn)M為所作；（2）如圖②，點(diǎn)N為所作．24．（9分）小明在學(xué)習(xí)完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個(gè)角對(duì)邊上的中線，那么這個(gè)三角形是等腰三角形”并進(jìn)行證明．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點(diǎn)．求證：△ABC是等腰三角形．小明的證法：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點(diǎn)E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．請(qǐng)把小明的證法補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證明．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點(diǎn)E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案為：AD平分∠BAC；∠B＝∠C．法二：延長(zhǎng)AD至M，使得AD＝MD，連接CM，在△ABD與△MCD中，，∴△ABD≌△MCD（SAS），∴AB＝CM，∠BAD＝∠M，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠M＝∠DAC，∴AC＝CM，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．25．（9分）如圖①，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AE、BD，連接DA并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，AE＝CE．（1）求證：△DBC≌△EAC；（2）如圖②，作△ADE的邊AD上的高線EG，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，求證：PB＝PE．【解答】證明：（1）∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC（SAS）；（2）連接BE，如圖②所示：∵△DBC≌△EAC，∴BD＝AE，∵AE＝CE，CE＝CD，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，AD平分BC，∵EG⊥AD，∴EG∥BC，∴∠PEB＝∠CBE，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SSS），∴∠ABE＝∠CBE，∴∠PEB＝∠ABE，∴PB＝PE．26．（10分）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，正方體的棱長(zhǎng)為2cm，A是正方體的頂點(diǎn)，P為棱BC的中點(diǎn)．螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)P的最短路徑的長(zhǎng)為cm（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）如圖②，四棱錐的底面四邊形ABCD是正方形，O是四棱錐的頂點(diǎn)，四棱錐的四個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，側(cè)棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側(cè)棱OC的中點(diǎn)．圖③所示的四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)P的最短路徑，并求出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．（3）圖④中的幾何體是由底面相同的正方體和四棱錐組成．正方體的棱長(zhǎng)為acm，M是正方體的頂點(diǎn)，四棱錐的四個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，O是四棱錐的頂點(diǎn)，側(cè)棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側(cè)棱OC的中點(diǎn)．正方體的側(cè)面展開(kāi)圖如圖⑤所示，在圖中畫(huà)出螞