高中數(shù)學(xué) 矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)案 蘇教版選修4-

矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用

設(shè)小、兒是二階矩陣力的兩個(gè)不同的特征值，即、是4的屬于特征值九、九的

特征向量，對(duì)于任意的非零向量

￡,設(shè)￡=打。1+力2a2(方1,力26R),則有4￡=方14；。1+力2工。2(77￡葉).

ri11「3］

［例1］已知矩陣—02，￡=1.

(1)求出矩陣〃的特征值和特征向量；

(2)計(jì)算就。。8；

(3)從第⑵小題的計(jì)算中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

［思路點(diǎn)撥］(1)先求出矩陣〃的特征多項(xiàng)式，求出特征值，再求出與其對(duì)應(yīng)的特征向

量；

⑵利用=打入：ai+友幾；。2(41、42是矩陣2的特征值，。1、a2是九、幾2的特

征向量，￡=打。1+12a2)計(jì)算；

(3)由"￡中〃的變化情況與計(jì)算結(jié)果即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

［精解詳析］(1)矩陣〃的特征多項(xiàng)式為

4一1-1

/1(4)==(4-1)(4一2),

0A-2

令/*(4)=0,解得兒=1,幾2=2.

所以它們對(duì)應(yīng)的特征向量為*=［：］，。2=口］

(2)令￡=0。1+77a2,

113

則有十刀

011

解得勿=2,/?=1,即P=2ai+a2.

2"I441+2"

所以〃￡=材(2。1+。2)=2"。1+川。2=24：。1+工。2=

18-

16j

-210+2-2—2

同理可得，"。21。

8='H8=2100

(3)當(dāng)〃很大時(shí)，可近似的認(rèn)為

[11「2]

"￡="(2%+。2)。2=2'=.

L1JL2nJ

[方法?規(guī)律?<1、結(jié)]s

求4。的一般步驟為：

第一步：求矩陣2的特征值4和相應(yīng)的特征向量A

第二步：把向量。用fl,f2線(xiàn)性表出，即。=%12+方2打；

第三步：由公式計(jì)算4。=方”"1+力2"乳.

1.已知矩陣A的一個(gè)特征值為3,對(duì)應(yīng)特征值3的特征向量a=，求那°a.

-1-3100-

解：A100a=3100

33101

212-

2.給定矩陣2=,B=

,30.-2.

⑴求4的特征值41,42及對(duì)應(yīng)的特征向量。2；

⑵求施

解：(1)設(shè)4為2的特征值,

A-2-1

由F(4)4(4-2)一3=0,

-34

解得小=-1,幾2=3.

21

當(dāng)兒=—1時(shí)，由

30

1

得4屬于特征值一1的特征向量為%=

-3.

1

同理，Z屬于特征值3的特征向量為口

1

2

⑵設(shè)B=mana2=

—

111+13=2,

得

一3勿+z?=—2.

m=1,

解得

77=1.

所以B=%+a2.

44

因此dB=A，(ai+a2)=(-1)ai+3a2

IT「81]「82

矩陣方塞4的求法

4—5

［例2］設(shè)4=°°,利用矩陣的特征值和特征向量計(jì)算4.

L-32J

［思路點(diǎn)撥］先求出矩陣2的特征值小，42與其對(duì)應(yīng)的特征向量。2,然后利用

Ana=Ana,并令4=,最后利用待定系數(shù)法建立二元方程組求得a,b,c,d.

_cd_

［精解詳析］/的特征多項(xiàng)式

A-45

=(4—4)(4—2)—15

=22—64—7=0,

令/1(4)=0,得2的特征值為41=7,幾2=—1.

(3x+5y=0,

對(duì)兒=7,解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組°「八

[3x+5y=0,

一5-

可得即=°為矩陣2的屬于特征值兒=7的特征向量.

L-3J

［—5x+5y=0

對(duì)42=-1,解相應(yīng)的方程組彳，

〔3x—3尸0

可得。2=［］為矩陣4的屬于特征值小=—1的特征向量.

4-55

于是21==7

-32-3

-5"|「5

顯然4°=7,°

-3-3

「ab]

設(shè)4=」則有

_cd_

5a—36a~\~b

5c—3(yc+d_

〃5z—36=5,ln,

5c—3d=—3?V,

所以〈

a-\-b=—”,

、c+d=—

5?7n-\--5?7n+~n

解得a=b=-----------------------：

-3?7n+~n3?7n+~n

----------------------------,d=-----------------------:

一5?7〃+:-5-7〃+

8一8

所以4

一3?7"+3?7〃+

88

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

矩陣的平方運(yùn)算可直接進(jìn)行矩陣相乘,更高次方的運(yùn)算可運(yùn)用矩陣的特征向量與特征值

對(duì)計(jì)算進(jìn)行設(shè)計(jì)、轉(zhuǎn)化.一般步驟為:

⑴求二階矩陣4的特征方程的根小，小，并分別求出對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量X,%,

nhDh

令/=

,771.

b]ab仍入；nh

⑵設(shè)4=,根據(jù)4%=入年，4%=幾覬，得

_cd_cd_.771.入H

42n2_

4

[anh+bni=入：nh[cnh~\-dn\=

⑶解方程組一-和一門(mén)即可求得4.

[anh-Tbn2=入2nh[c@十辦2=42刀2,

〃^題速4利'〃〃/

r

3.已知2=],求及

解：特征多項(xiàng)式為

A-l-1

F(4)==(4一1)2—1=幾2—2幾，

一14一1

令/O)=0,解得矩陣2的特征值小=0,'=2,

(—x—y=O,

對(duì)九=0,解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組

〔一才―P=°，

-r

可得即=?是矩陣4屬于特征值兒=0的一個(gè)特征向量.

-1

(x—y=0,

對(duì)小=2,解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組,

[~x+y=0,

可得。2是矩陣Z的屬于特征值小=2的一個(gè)特征向量.

-111「1一1

于是，2。1==0

11—1-1

mcH；]

顯然,弋1《卜】

a

設(shè)萬(wàn)=

c

a+b21U1024

c+d~2101024

'a—b=3

c-d=Q,

3+8=1024,

、c+d=1024.

解得<3=512,6=512,c=512,"=512.

512512-

所以，Ai0=

512512_

-21

4.已知A=，求An.

1_30」

解：特征多項(xiàng)式為

4一2一1

/*(4)==(久一2)4一3=幾一一3.

解方程乂―24一3=0,求得特征值兒=—1,力2=3.

—3^—y=0,

對(duì)于幾i=-1,解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組?

—3x—y=0,

「11

得是屬于人的一個(gè)特征向量.

_13_

[x-y=0,

對(duì)小=3,解相應(yīng)的線(xiàn)性方程組_八

[―3ox+3oy=0,

得口]是屬于小的一個(gè)特征向量.

rinrr

顯然4=（一>一①

—3o」L-3J

dH；］,②

「5b]

設(shè)4=,代入①②得

'a—3b=—

a~\~6=3",

c-3d=—

、c+d=3",

6

3小+

a

4

,3〃一

b=-----

4

解得＜

3〃+』〃+i

c

4

3”+

7d------

4

3小+3」

44

因此4=

3小+3〃+

44

國(guó)聚"|矩陣的實(shí)際應(yīng)用

［例3］某人進(jìn)行股票投資，獲利與虧損的規(guī)律為：如果某年投資獲利，則第二年投資

21

虧損的概率為］如果某年投資虧損，則第二年投資獲利的概率為5,假設(shè)2013年他獲利的

3

概率為了

(1)求他2014年投資獲利的概率；

(2)問(wèn)他2014年與2015年哪一年投資獲利機(jī)會(huì)大？

［思路點(diǎn)撥］列出數(shù)組之間的矩陣表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為矩陣問(wèn)題求解.

3

4-

31

［精解詳析］(1)2013年他獲利的概率為“則投資虧損的概率為?它可以用W=1表

4-

33

-ir

4-8-

32

=3

示.2014年他獲利與虧損的概率為限14=八?15所以2014年獲利的概率為］

21O

4-8-

32

(2)2015年獲利與虧損的概率為

113113

3-2-4-3-2-8-

_--

L211215

3-2-4-3-2-8-

7

所以2015年獲利的概率為主，2015年投資獲利機(jī)會(huì)大.

［方法?規(guī)律?小結(jié)］—f

對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題可通過(guò)列出數(shù)組之間的矩陣表達(dá)式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣問(wèn)題，利

用矩陣的相關(guān)知識(shí)，最終達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的.

〃〃/題做雜鈉

5.為了保證信息安全傳輸，設(shè)計(jì)一種密碼系統(tǒng)，其加密原理如下:

明文乃加密,密文Y發(fā)送,密文V解密，明文1

現(xiàn)在加密方式為：把發(fā)送的數(shù)字信息X寫(xiě)為“司11劉21劉12H22”的形式,先左乘矩陣A=

62,

1455

，再左乘矩陣B=得到密文上現(xiàn)在已知接收方得到的密文是

-22148

T5_

4,12,10,22,試破解該密碼.

解：由題意知,

~62-

551424

BA=

148-2268

5

11

-1

2

???（胡）T

31

_44

410

又（物）1=

1222

「口

-1-

410_2410

?,?>=（胡）722」—3_1

121222

4~4

8

21

-_02「

即發(fā)送的數(shù)據(jù)信息是2012.

~x+y^2,

6.已知不等式組<x20,確定的平面區(qū)域?yàn)辇?，點(diǎn)版(a,6)在平面區(qū)域片內(nèi),

點(diǎn)肱(a+b,26)在平面區(qū)域R內(nèi).

(1)求平面區(qū)域E的面積；

(2)若點(diǎn)加功,A)在平面區(qū)域用內(nèi)，則點(diǎn)例(ai+瓦2m便在平面區(qū)域內(nèi)內(nèi)，若點(diǎn)胭(az,

㈤在平面區(qū)域K內(nèi)，則點(diǎn)胭(包+A2㈤便在平面區(qū)域R內(nèi)，…，依次類(lèi)推，試判斷平面區(qū)

域6的形狀，并求其面積SSGN*).

解：(1)設(shè)幽(國(guó),4),依題意有

ELX=a+braiF1

可表示為，=八

bi—2b,-4」l_0

由于平面區(qū)域凡是由三個(gè)點(diǎn)4(0,0),4(2,0),4(0,2)組成的，故平面區(qū)域月是由三

個(gè)點(diǎn)。(0,0),A(2,0),白⑵4)組成的,其面積s=4.

(2)設(shè)%+i(a〃+i,4+1)(〃eN*),由題意有

a〃+i=a"+bn,1

可表示為，

60+i=26",_bn+\.0

-1

設(shè)2=

求得2的特征值九=1,幾2=2,

1

兒=1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量。1=

0.

42=2對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量a

又［?明,

故"［：］=2四即=2><1"乂11F2'

又=-2ai+2a2

故力[2]=—2XA"a)+2X八之即

=—2Xl"ai+2X2"a2

由題意知矩陣A所對(duì)應(yīng)的變換是線(xiàn)性變換，即在矩陣A的作用下，將直線(xiàn)4反變換成

Ai氏,將44變換成4%…，將直線(xiàn)4T員t變換為4員，

，平面區(qū)域凡是由三點(diǎn)ft(O,0),4(2,0),民(2"+i—2,2小)組成的三角形，其面積S?

=2小(AGN*).

課下訓(xùn)練經(jīng)典化，貴在觸類(lèi)旁通［對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P45］

1.已知向量$1=1]]鼻=[1]'au]]'把.用鼻線(xiàn)性表出.

解：設(shè)a=zhfi+i2f2即||=|

⑶Lti+foJ

力2=2,=1,

均+方2=3,方2=2.

「?a=fi+2f2.

2.若矩陣/有特征值九=2,九=—1,它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，=［：］和尸，

⑴求矩陣/及逆矩陣/T;

1

⑵若。=試求/°°a.

16.

ab\Ai=^17,

解：(1)設(shè)4=,則由題意可得

cd_AJ=42J；

10

7=2,

6=0,20

所以〈即A=

c=0,Lo-1

、d=T,

1

-o

2

所以=

o-

⑵設(shè)afj,貝匕6]=?。)+{[=[/

所以"=1,刀=16.

34

3.設(shè)A=,求4(〃￡N*).

52

解：矩陣2的特征多項(xiàng)式為:

A-3-4

/1(幾)==4?一54一14—(4—7)(幾+2),

-5-2

令/1(4)=0得矩陣2的特征值為小=7,42=-2.

把小=7,42=—2代入線(xiàn)性方程組

4—3-4x0

=

-5A-2,7.0

得各自對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量。1、a2,

??2。1=幾1。1,2。2=幾2。2,

4al=a1,4a2=力9。2.

□b]

設(shè)4=J則

_cd_

解得：石=/[5乂7〃+(—1)”?2〃+2],

4

b=-[7n+(-iy+i-21,

y

5

c=g[7"+(—1嚴(yán)、21，

y

d=！[4X7”+(―1)"X5X2].

y

4[5X7"+-14

"?2〃+1-[7B+-1

yy

5i

x7+-11?2]T[4X7"+-1"X5X2"]

yy

1o-21

112

4.若M=-T2-,8=，求［（朧

2<-2-2

-

1o--21-

-2-1-

11-

-12--

2±2-

---1o

-2-1

二?det(硼==1.

10

設(shè)（朧-的特征值為A,特征向量為f,

=一4(—2—4)+1=4+1=0.

一1

A=—l,f=.：、B=2W.

-1

2,

???[(脈T『°°￡=4儂.2f=2f=￡=

-2.

1a2

5.已知矩陣2=的一個(gè)特征值為4=2,其對(duì)應(yīng)的特征向量是,向量

-1b1

12

￡=1J?求己、b及6B.

ri

解：由題意可知

2+a=4a=2

即:

-2+6=26=4

HL—1I2的特征多項(xiàng)式為

A-1-2

/1(4)==A2—5A+6,

1―4

令/*(幾)=0得：小=2,42=3.

顯然兒=2時(shí)的一個(gè)特征向量為

設(shè)42=3時(shí)的一個(gè)特征向量為。2=1］，

則［一；1Hl

[x+2y=3,x1

BP：得y=x,不妨令。2=

〔一x+4y=3p1

7-21

又￡==3+=3。1+。2,

411

「23X26+35~435'

A/^=3X25

13X25+35_339

-1;及向量

6.已知矩陣2=

(1)計(jì)算4'a,并分析討論當(dāng)〃的值越來(lái)越大時(shí)，4a的變化趨勢(shì);

(2)給出4。的一個(gè)近似公式，并利用這一公式計(jì)算/3。.

4—1—2

解：⑴/*(幾)==/P—54—6=(A+1)(2—6),

—54—4

則矩陣N的特征值為九=-1,幾2=6.

1

屬于特征值兒=—1的一個(gè)特征向量1=

-1

屬于特征值42=6的一個(gè)特征向量a2=

“+2X6"'

A1o=Aia712a2

—5X6：

當(dāng)力的值越來(lái)越大時(shí)，（一1）〃和（一I）5可忽略不計(jì),

「2義6「

A'a心

5X6：

「2X6.

(2)由⑴可得,4s

2X6100-

.5X6100_

50

7.已知矩陣A=2,求點(diǎn)尸⑶3）