《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗收卷

《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗收卷《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗收卷/《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-教師復(fù)習(xí)驗收卷第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系知識梳理1．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2,直線l：Ax＋By＋C＝0,圓心C(a,b)到直線l的距離為d,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x－a)2＋(y－b)2＝r2,,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R,r(R＞r),兩圓圓心間的距離為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切線條數(shù)432101．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．直線被圓截得的弦長的求法(1)幾何法：運用弦心距d、半徑r和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形,計算弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M,N,將直線方程代入圓的方程中,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,求出xM＋xN和xM·xN,則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r((xM＋xN)2－4xM·xN).診斷自測1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打"√”或"×”)(1)"k＝1”是"直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓外切．()(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交．()(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則O,P,A,B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)"k＝1”是"直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的充分不必要條件;(2)除外切外,還有可能內(nèi)切;(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含．2．直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A,B兩點,則|AB|＝______．答案eq\r(10)解析由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5,所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r＝eq\r(5).又圓心(1,2)到直線3x－y－6＝0的距離為d＝eq\f(|3－2－6|,\r(9＋1))＝eq\f(\r(10),2),由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＝r2－d2,得|AB|2＝10,即|AB|＝eq\r(10).3．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________．答案2eq\r(2)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0,,x2＋y2－4x＋4y－12＝0))得兩圓公共弦所在直線方程x－y＋2＝0.又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦長的一半為eq\r(4－2)＝eq\r(2),所求弦長為2eq\r(2).4．(2020·菏澤模擬)若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞,－1)∪(1,＋∞)D．a(chǎn)＝±1答案A解析因為點(1,1)在圓的內(nèi)部,所以(1－a)2＋(1＋a)2<4,所以－1<a<1.5．(2021·重慶診斷)已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A,B兩點,且|AB|＝eq\r(3),則·的值是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3)D．0答案A解析在△OAB中,|OA|＝|OB|＝1,|AB|＝eq\r(3),可得∠AOB＝120°,所以·＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2).故選A.6．(2020·浙江卷)已知直線y＝kx＋b(k＞0)與圓x2＋y2＝1和圓(x－4)2＋y2＝1均相切,則k＝__________,b＝__________.答案eq\f(\r(3),3)－eq\f(2\r(3),3)解析法一直線kx－y＋b＝0(k＞0)分別與圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為1,及圓心坐標(biāo)為(4,0),半徑為1的兩圓相切,可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|b|,\r(k2＋1))＝1,①,\f(|4k＋b|,\r(k2＋1))＝1,②))由①②且k＞0,解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3),,b＝－\f(2\r(3),3).))法二如圖,直線分別與兩個半徑相等的圓相切,由對稱性可知,直線與x軸的交點為A(2,0)．由AB＝2,BM＝1,∠AMB＝90°,得∠MAB＝30°,可得直線的斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3),直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－2)＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(2\r(3),3),因此b＝－eq\f(2\r(3),3).考點一直線與圓的位置關(guān)系1．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3,－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞,－3]∪[1,＋∞)答案C解析由題意可得,圓的圓心為(a,0),半徑為eq\r(2),∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋(－1)2))≤eq\r(2),即|a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.2．(2020·衡水模擬)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．不確定答案A解析法一(代數(shù)法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0,,x2＋(y－1)2＝5,))消去y,整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0,因為Δ＝16m2＋20>0,所以直線l法二(幾何法)由題意知,圓心(0,1)到直線l的距離d＝eq\f(|－m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5),故直線l與圓相交．法三易得直線l過定點(1,1)．把點(1,1)代入圓的方程有1＋0<eq\r(5),∴點(1,1)在圓的內(nèi)部,故直線l與圓C相交．3．(多選題)(2021·武漢調(diào)研)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R),則下列命題正確的是()A．不論k如何變化,圓心Ck始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(3,0)C．存在定直線始終與圓Ck相切D．若k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2),\f(3\r(2),2))),則圓Ck上總存在兩點到原點的距離為1答案ABC解析圓心坐標(biāo)為(k,k),在直線y＝x上,A正確;若(3－k)2＋(0－k)2＝4,化簡得2k2－6k＋5＝0,Δ＝36－40＝－4＜0,無解,B正確;圓心在y＝x上,半徑為定值2,故定直線斜率一定為1,設(shè)為y＝x＋b,eq\f(|b|,\r(2))＝2,b＝±2eq\r(2),故存在定直線y＝x±2eq\r(2)始終與圓Ck相切,C正確;圓Ck上總存在兩點到原點的距離為1,問題轉(zhuǎn)化為圓x2＋y2＝1與圓Ck有兩個交點,1＜|eq\r(2)k|＜3,則k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2),－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),\f(3\r(2),2))),D錯誤．感悟升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法,點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．考點二圓的弦長問題【例1】(1)(2020·濟南調(diào)研)已知圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1與直線kx＋y＋1＝0相交于A,B兩點,若△CAB為等邊三角形,則k的值為()A．±eq\r(3)B．±2C．±eq\f(\r(3),2)D．±eq\f(\r(2),2)(2)(2021·中原名校聯(lián)考)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C,直線l過(0,3),且與圓C交于A,B兩點,若|AB|＝2eq\r(3),則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0答案(1)A(2)D解析(1)圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圓心為C(1,－1),半徑為1,故|CB|＝|CA|＝1,又△CAB為等邊三角形,所以點C到直線kx＋y＋1＝0的距離為eq\f(\r(3),2),即eq\f(|k|,\r(12＋k2))＝eq\f(\r(3),2),解得k＝±eq\r(3),故選A.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x＝0,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,,x2＋y2－2x－2y－2＝0,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝1－\r(3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,,y＝1＋\r(3),))∴|AB|＝2eq\r(3),符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3,由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4,其圓心為C(1,1),半徑r＝2,∴圓心C(1,1)到直線kx－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|k－1＋3|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1)),∵d2＝r2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2),∴eq\f((k＋2)2,k2＋1)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2),即(k＋2)2＝k2＋1,解得k＝－eq\f(3,4),∴直線l的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋3,即3x＋4y－12＝0.綜上,滿足題意的直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0,故選D.感悟升華弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長l＝2eq\r(r2－d2).【訓(xùn)練1】(2020·天津卷)已知直線x－eq\r(3)y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A,B兩點．若|AB|＝6,則r的值為__________．答案5解析由題意知圓心為O(0,0),圓心到直線的距離d＝eq\f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4.取AB的中點M,連接OM(圖略),則OM⊥AB.在Rt△OMA中,r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2)＋d2)＝5.考點三圓的切線問題【例2】(1)(經(jīng)典母題)過點P(2,4)引圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線,則切線方程為________．(2)點P為射線x＝2(y≥0)上一點,過P作圓x2＋y2＝3的兩條切線,若兩條切線的夾角為90°,則點P的坐標(biāo)為()A．(2,1)B．(2,2)C．(2,eq\r(2))D．(2,0)答案(1)x＝2或4x－3y＋4＝0(2)C解析(1)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線方程為x＝2,此時,圓心到直線的距離等于半徑,直線與圓相切,符合題意;當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線方程為y－4＝k(x－2),即kx－y＋4－2k＝0,∵直線與圓相切,∴圓心到直線的距離等于半徑,即d＝eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋(－1)2))＝eq\f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1,解得k＝eq\f(4,3),∴所求切線方程為eq\f(4,3)x－y＋4－2×eq\f(4,3)＝0,即4x－3y＋4＝0.綜上,切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.(2)如圖所示．設(shè)切點為A,B,則OA⊥AP,OB⊥BP,OA＝OB,AP＝BP,AP⊥BP,故四邊形OAPB為正方形,則|OP|＝eq\r(6),又xP＝2,則P(2,eq\r(2))．【遷移】在例2(1)中,已知條件不變,設(shè)兩個切點為A,B,求切點弦AB所在的直線方程．解由題意得,點P,A,C,B在以PC為直徑的圓上,此圓的方程為(x－2)(x－1)＋(y－4)(y－1)＝0,整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0,①圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展開得x2＋y2－2x－2y＋1＝0,②由②－①得x＋3y－5＝0,即為直線AB的方程．感悟升華求過某點的圓的切線問題時,應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系,再求切線方程．若點在圓上(即為切點),則過該點的切線只有一條;若點在圓外,則過該點的切線有兩條,此時注意斜率不存在的切線．【訓(xùn)練2】(2020·馬鞍山二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在兩點A,B滿足∠AOB＝60°,則實數(shù)a的最大值是()A．5B．3C.eq\r(7)D．2eq\r(3)答案C解析根據(jù)題意,圓C的圓心為(3,a),在直線x＝3上,分析可得,當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠,∠AOB越?。鐖D：當(dāng)a>0時,圓心C在x軸上方,若OA,OB為圓的切線且∠AOB＝60°,此時a取得最大值,此時∠AOC＝30°,有|OC|＝2|AC|＝4,即(3－0)2＋(a－0)2＝16,解得a＝eq\r(7),故實數(shù)a的最大值是eq\r(7),故選C.考點四圓與圓的位置關(guān)系【例3】已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求證：圓C1和圓C2相交;(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．(1)證明圓C1的圓心C1(1,3),半徑r1＝eq\r(11),圓C2的圓心C2(5,6),半徑r2＝4,兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5,r1＋r2＝eq\r(11)＋4,|r1－r2|＝4－eq\r(11),所以|r1－r2|<d<r1＋r2,所以圓C1和C2相交．(2)解圓C1和圓C2的方程左、右分別相減,得4x＋3y－23＝0,所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3,故公共弦長為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).感悟升華1.判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法．2．若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項得到．【訓(xùn)練3】(1)已知圓O1的方程為x2＋y2＝1,圓O2的方程為(x＋a)2＋y2＝4,若這兩個圓有且只有一個公共點,那么a的所有取值構(gòu)成的集合是()A．{1,－1,3,－3}B．{5,－5,3,－3}C．{1,－1}D．{3,－3}(2)(2021·東北三省三校聯(lián)考)圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條答案(1)A(2)D解析(1)圓心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1,所以a＝1,－1,3,－3.故選A.(2)x2－4x＋y2＝0?(x－2)2＋y2＝22,圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為2;x2＋y2＋4x＋3＝0?(x＋2)2＋y2＝12,圓心坐標(biāo)為(－2,0),半徑為1,圓心距為4,兩圓半徑和為3,因為4>3,所以兩圓的位置關(guān)系是外離,故兩圓的公切線共有4條．故選D.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．直線y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,2)和圓x2＋y2－4x＋2y－20＝0()A．相交且過圓心B．相交但不過圓心C．相離D．相切答案A解析將圓的方程配方,得(x－2)2＋(y＋1)2＝25,圓心為(2,－1),半徑r＝5,將(2,－1)代入y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,2)中,得eq\f(3,4)×2－eq\f(5,2)＝－1,故直線過圓心,與圓相交．故選A.2．圓x2＋y2＝4與圓(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離答案A解析圓x2＋y2＝4的圓心為(0,0),半徑為2,圓(x－3)2＋(y－4)2＝49的圓心為(3,4),半徑為7,圓心距為eq\r(32＋42)＝5＝7－2(等于兩圓半徑的差),所以圓x2＋y2＝4與圓(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選A.3．過點P(1,－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB所在直線的方程為()A．y＝－eq\f(\r(3),4)B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2)D．y＝－eq\f(1,4)答案B解析由題意知,點P,A,C,B在以PC為直徑的圓上,易求得這個圓為(x－1)2＋(y＋1)2＝1,此圓的方程與圓C的方程作差可得AB所在直線的方程為y＝－eq\f(1,2).4．已知過原點的直線l與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點坐標(biāo)為D(2,eq\r(2)),則弦長為()A．2B．3C．4D．5答案A解析將圓C：x2＋y2－6x＋5＝0整理,得其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4,所以圓C的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為2.因為線段AB的中點坐標(biāo)為D(2,eq\r(2)),所以|CD|＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3),所以|AB|＝2eq\r(4－3)＝2.故選A.5．(多選題)(2021·青島調(diào)研)已知直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A,B兩點,弦AB的中點為M(0,1),則下列結(jié)論正確的是()A．實數(shù)a的取值范圍為a＜3B．實數(shù)a的取值范圍為a＜5C．直線l的方程為x＋y－1＝0D．直線l的方程為x－y＋1＝0答案AD解析若弦AB的中點為M(0,1),則點M(0,1)一定在圓內(nèi),且方程表示圓,即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a＞0,,1－4×1＋a＜0))得a＜3,故A正確;由圓的方程得,圓心坐標(biāo)為C(－1,2),又M(0,1),則kCM＝－1,則kAB＝1,由點斜式得,直線l的方程為y－1＝x,即x－y＋1＝0,故D正確．6．(2020·全國Ⅲ卷)若直線l與曲線y＝eq\r(x)和圓x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切,則l的方程為()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)答案D解析易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程y＝kx＋b,則eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(5),5)①,設(shè)直線l與曲線y＝eq\r(x)的切點坐標(biāo)為(x0,eq\r(x0))(x0≥0),則y′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)＝k②,eq\r(x0)＝kx0＋b③,由②③可得b＝eq\f(1,2)eq\r(x0),將b＝eq\f(1,2)eq\r(x0),k＝eq\f(1,2)x0－eq\f(1,2)代入①得x0＝1或x0＝－eq\f(1,5)(舍去),所以k＝b＝eq\f(1,2),故直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).二、填空題7．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為______．答案10eq\r(2)解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10,則圓心(1,3),半徑r＝eq\r(10),圓心(1,3)與E(0,1)距離eq\r((1－0)2＋(3－1)2)＝eq\r(5),由題意知AC⊥BD,且|AC|＝2eq\r(10),|BD|＝2eq\r(10－5)＝2eq\r(5),所以四邊形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).8．(2020·海南三模)已知點P(1,2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,過點P作圓C的切線有兩條,則實數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3),\f(2\r(3),3)))解析因為C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0為圓,所以k2＋4－4k2>0,解得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3),又過點P作圓C的切線有兩條,所以點P在圓的外部,故1＋4＋k＋4＋k2>0,解得k∈R,綜上可知－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3).故k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3),\f(2\r(3),3))).9．已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(－2,－1),則m＝________,r＝________．答案－2eq\r(5)解析根據(jù)題意畫出圖形,可知A(－2,－1),C(0,m),B(0,3),則|AB|＝eq\r((－2－0)2＋(－1－3)2)＝2eq\r(5),|AC|＝eq\r((－2－0)2＋(－1－m)2)＝eq\r(4＋(m＋1)2),|BC|＝|m－3|.∵直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A,∴∠BAC＝90°,∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2,解得m＝－2.因此r＝|AC|＝eq\r(4＋(－2＋1)2)＝eq\r(5).三、解答題10．已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10,求滿足下列條件的圓的切線方程;(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行;(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直;(3)過切點A(4,－1)．解(1)設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0(b≠－4),則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10),∴b＝1±2eq\r(5),∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0,則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10),∴m＝±5eq\r(2),∴切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3),∴過切點A(4,－1)的切線斜率為－3,∴過切點A(4,－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4),即3x＋y－11＝0.11．已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M,N兩點．(1)求k的取值范圍;(2)若·＝12,其中O為坐標(biāo)原點,求|MN|.解(1)易知圓心坐標(biāo)為(2,3),半徑r＝1,由題設(shè),可知直線l的方程為y＝kx＋1,因為l與C交于兩點,所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3),\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1,整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4(1＋k),1＋k2),x1x2＝eq\f(7,1＋k2).·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k(1＋k),1＋k2)＋8.由題設(shè)可得eq\f(4k(1＋k),1＋k2)＋8＝12,解得k＝1,所以l的方程為y＝x＋1.故圓心C在l上,所以|MN|＝2.B級能力提升12．(2020·全國Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0,直線l：2x＋y＋2＝0,P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA,PB,切點為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為()A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0答案D解析(x－1)2＋(y－1)2＝4,r＝2,M(1,1),如圖,由題意可知,AB⊥PM,|PM|·|AB|＝2S四邊形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|),∵|PA|＝|PB|,∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4eq\r(|PM|2－|AM|2)＝4eq\r(|PM|2－4),當(dāng)|PM|最小時,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min＝eq\f(5,\r(4＋1))＝eq\r(5),此時|PA|＝1,AB∥l,設(shè)直線AB的方程為y＝－2x＋b(b≠－2),圓心M到直線AB的距離為d＝eq\f(|3－b|,\r(5)),|AB|＝eq\f(4|PA|,|PM|)＝eq\f(4,\r(5)),∴d2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))eq\s\up12(2)＝|MA|2,即eq\f((3－b)2,5)＋eq\f(4,5)＝4,解得b＝－1或b＝7(舍)．綜上,直線AB的方程為y＝－2x－1,即2x＋y＋1＝0,故選D.13．(多選題)(2021·南京質(zhì)檢)已知圓M：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓N：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的圓心不重合,直線l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.下列說法正確的是()A．若兩圓相交,則l是兩圓的公共弦所在直線B．直線l過線段MN的中點C．過直線l上一點P(在兩圓外)作兩圓的切線,切點分別為A,B,則|PA|＝|PB|D．直線l與直線MN相互垂直答案ACD解析A．聯(lián)立兩圓方程得D1x＋E1y＋F1＝D2x＋E2y＋F2整理得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0,為兩圓的公共弦所在直線,故A正確;B．設(shè)圓M的半徑為r1,圓N的半徑為r2,Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D1,2),－\f(E1,2))),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D2,2),－\f(E2,2))),線段MN的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D1＋D2,4),－\f(E1＋E2,4))),代入直線l的方程得(D1－D2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D1＋