高中數(shù)學公式總結學業(yè)水平考試

學業(yè)水平考試數(shù)學公式結論總結

1.AcB={x|xeA,且re8}AUB={x|xeA,或re8}q,4={x|xw(7,且x把A}

2.奇偶性：(注：是奇偶函數(shù)的前提條件是:定義域必須關于原點對稱).

(1)若有/(一幻=一/(%)或/(一幻+/。)=0,則f(x)就是奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關于

原點對稱；(2)若有/(一幻=/(幻，則f(x)就是偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.

3.函數(shù)的最值：函數(shù)最大(小)首先應該是某一個函數(shù)值，即存在/e/,使得f(x0)=M：

函數(shù)最大(小)應該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對于任意的xe/,都有

f(x)<M(/(%)>m).

4函數(shù)的單調性：如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x?xz,當x,<x2

時，都有f(xj<(>)f(x1,那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，函數(shù)的單調性是

在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質。

5.有理指數(shù)募的含義及其運算性質：

①優(yōu)?優(yōu)="+'；②(優(yōu))』心③("丫=a&(a>O,b>O",se。)。

函數(shù)y=a\a>0且a豐1)叫做指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

y=ax0<<1a>1

，y,y

一

圖象V一-_一_二

~00

XX

定義域R

值域(0,+8)

性過定點(0,1),即x=0時，y-1

定點(1)a>1,當冗>0時，y>1；當x<0時，0<)<1。

質

(2)0<?<1,當工>0時，0<y<1；當x<0時，y>1c

單調性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)

對稱性y=優(yōu)和y=。一”關于y軸對稱

6.對數(shù)函數(shù)

(1)對數(shù)的運算性質：如果a>0,a￥1,材>0,N>0,那么:

M

①bg“MN=log?M+logaN；?loga-=log?M-log.M

③log。Mn=nlogaM(〃GR)o

(2)換底公式：108“6=理上(。＞0一旦。k1,，＞0且，工1,。＞0)

log,a

(3)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質

y=log“x0<4<1a>\

s

二4.|'loga<(?J>h

圖I飛?川一

象j/l,,0)x

定義域(0,+8)

值域R

(1)過定點(1,0),即x=l時，y=0

性(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)

質(3)同正異負，即0v〃<1,0<x<1或a>1,%>1時，log“x>0；

0<^7<1,x>1或。>1,0<無<1時，logdX<0o

7.騫函數(shù)：函數(shù)y=x0叫做累函數(shù)(只考慮a=1,2,3,的圖象)。

8.方程的根與函數(shù)的零點：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一

條曲線，并且有/(a)"S)＜0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內有零點，即存在

ce(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(幻=0的根。

9.棱柱、棱錐、棱(圓)臺的本質特征

⑴棱柱：①有兩個互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即側面)每相鄰兩個

面的公共邊都互相平行(即側棱都平行且相等)。

⑵棱錐：①一個面(即底面)是多邊形，②其余各面(即側面)是有一個公共頂點的三角形。

⑶棱臺：①每條側棱延長后交于同一點，②兩底面是平行且相似的多邊形。

⑷圓臺：①平行于底面的截面都是圓，②過軸的截面都是全等的等腰梯形，③母線長都相等,

每條母線延長后都與軸交于同一點。

11.圓柱、圓錐、圓臺的展開圖、表面積和體積的計算公式

22

(1)S圓推表=nr(r+"-S圓臺表二”(r_h+rr+r±7+rr1)-S圓柱表=2兀r(r+7)

r上=0r_E=r下

(2)Vm=-nh-V圓臺二±五(r上、r下之+r上r下)h一＞V圓柱=Jir'h

33

42c

(3)球其體積V=-TTR\表面積S=4%R-

3

12空間中兩條直線有三種位置關系：相交、平行、異面。

13.空間直線和平面的位置關系：直線與平面相交、直線在平面內、直線與平面平行

14空間平面與平面的位置關系：平面與平面平行、平面與平面相交

15直線與平面平行的判定定理：

文字表述：如果平面外一條直線與平面內一條直線平行，那么該直線與這個平面平行。

aa

符號表示：bca-=>alla?圖形表示:

a//b

16.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這

兩個平面平行。

au。

bu/3

符號表示：a[\b-P?pIIao

alia

b//a

17.直線與平面平行的性質定理：如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面與已

知平面相交，那么交線與這條直線平行。

alia

符號表示：au/3?=>a/lb；圖形表示:

a[\p=b

18兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線

平行。符號表不：a///3,aC]y=a,/3C\y=b=>a//b

19.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么

這條直線垂直于這個平面。符號表不：a(^a,b(^a,a(^\b-P,l±a,lI±a

20.兩個平面垂直的判定定理：一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

符號表示：ILaJuBnal。

21.直線與平面垂直的性質：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

符號表示：aA-a]^a//bo

b.La]

22.平面與平面垂直的性質：如果兩個平面互相垂直，那么在其中一個平面內垂直于交線的

直線垂直于另一個平面。符號表示：/匚%?？谑?私/_1〃?=/，氐

23..直線的斜率：k=tan0=———

x2-xx

24.直線的五種方程：

(1)點斜式y(tǒng)--玉)(直線/過點《(X|，x),且斜率為％).

(2)斜截式y(tǒng)="+8(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點式上——=——工(>產內)(6(X|，X)、己(了2，%)(玉力9)).

%一y9一司

(4)截距式±+2=1(外人分別為直線的橫、縱截距，。、/?^0)

ab

(5)一般式++C=0(其中A、B不同時為0).

25.兩條直線的平行和垂直

⑴若4:y=攵M+A,/2:y=k2x+h2

①4||4=左1=&2力1?！?②，120不？=—1.

(2)若4:A［X+gy+G=0,4：4工+52》+。2=0,且A］、A2>B］、B2都不為零,

①/j|/,=4="②/=44+片區(qū)=0

AB2C2

26.兩點PI(xi,yD、P2(X2,y2)的距離公式IPR|二/6一七>+(為一切了

27兩點Pi(xi,yD、P2(x2,y2)的中點坐標公式M(土上，)

22

28.點P(x。，y?)到直線Ax+ByM>0的距離公式d尸加箕型二5

VA2+B2

29.平行直線Ax+By+G=O、Ax+By+C2=0的距離公式2=史61

VA2+B2

30.圓的方程：(1)圓的標準方程(x-a)2+(y->)2=/

(2)圓的一般方程x2+y2+Px+￡y+F=0(D2+E2-4F>0).

31.點與圓的位置關系

點P(x0,%)與圓(x-?)2+(y-b)2=r2的位置關系有三種：

若4=J(a-Xo)2+(b-%)2,則

d>r。點P在圓外；d=ro點P在圓上；d<r=點尸在圓內.

32.直線與圓的位置關系

直線Ax+3)，+C=0與圓(X—。尸+(y-㈤？=尸的位置關系有三種：

d>ro相離=△<();〃=尸=相切=△=();

d<r=相交=△>().其中d=\Aa+Bb+C\

VA2+B2

33.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為0“02,半徑分別為n,n,|QQ|=d

">八+弓o外離o4條公切線；4=6+4<=>外切<=>3條公切線；

-r2\<d<八+々=相交o2條公切線；d=,-々|=內切=1條公切線;

0<t/<|r(-^|o內含o無公切線.

34.空間直角坐標系，兩點之間的距離公式

⑴xoy平面上的點的坐標的特征A(x,y,0)：豎坐標2=0

xoz平面上的點的坐標的特征B(x,0,z)：縱坐標y=0

yoz平面上的點的坐標的特征C(0,y,z)：橫坐標x=0

x軸上的點的坐標的特征D(x,0,0)：縱、豎坐標y=z=0

y軸上的點的坐標的特征E(0,y,0)：橫、豎坐標x=z=0

z軸上的點的坐標的特征E(0,0,z)：橫、縱坐標x=y=0

(2)|P1P2I=J(X2-X1)-+(丫2-丫|)-+(Z2-Z1)-

35.標準差：

J----[(X]-+(—X~)~+.-.+—JV)2]

s=

1—o—>—c

36.方差：s~=———x)-+---+(X”-X)一]

n"

37.(1)若ADB為不可能事件，即AnB=4),那么稱事件A與事件B互斥；

(2)若ACB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

(3)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事

件，則AUB為必然事件,所以P(#AB)=P(A)+P(B)=L于是有P(A)=1—P(B).

38.古典概型：1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2)每個基本事件出現(xiàn)的可

A包含的基本事件個數(shù)

能性相等；古典概型的概率計算公式：P(A)

總的基本事件個數(shù)

構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

39.幾何概型的概率公式:P(A)=

試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度(面積或體積)

幾何概型的特點：1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個；2)每個基本事

件出現(xiàn)的可能性相等.

40.任意角的三角函數(shù)

設P(x,y)是角a終邊上任一點(與原點不重合)，記r=|OPhJx?+y)，則

yxy

sma=—>cosa=—.tana=—<>

rrx

41.同角三角函數(shù)的基本關系式

sin(y

(1)平方關系：sin2?+cos2a=l(2)商數(shù)關系：-----=tana

cosa

42.三角函數(shù)的誘導公式

k

利用三角函數(shù)定義，可以得到誘導公式：即二+―萬與a之間函數(shù)值的關系(kGZ),

2

其規(guī)律是“奇變偶不變，符號看象限”。

43.三角函數(shù)的圖象與性質

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象產

/7J\/、

一^^方..:心YP....?|

-I個廣,/￥

定義RR

域71

{x\x^ATFH——,kGZ}

值域R

[-1,1][-U]

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

周期2萬2萬7V

性

在［2%萬一、，2女萬+、］(%eZ)在［2%萬一肛24)|(女￡Z)在

上是增函數(shù)

+(AeZ)

上是增函數(shù)在［2左肛2%/十4］(&wZ)22

單調

在上是減函數(shù)上是增函數(shù)

性

\2k7v+-,2k7v+—］(keZ)

22

上是減函數(shù)

當x=2k冗,kGZ時，

當x=~2^2k兀、keZ時，

Xnax=1

無

Xnax=1

當x=(2k+1)肛keZ時，

最值

當x=-—+2k7V,keZ時，Znin=I

2

Vmin=-1

TT

對稱中心(左肛0),keZ對稱中心(ATT4—,0)，對稱中心(左肛0),keZ

2

對稱

JTkeZ對稱軸：無

性對稱軸：x=k7c-\——(kGZ)

2

對稱軸：X=左乃(攵GZ)

44.函數(shù)y=Asin(@r+e)的圖象

(1)用“圖象變換法”作圖

由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=ASin(5+。)的圖象，有兩種主要途徑：“先

平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。

法一：先平移后伸縮

向左”>0)或向右(0<0)

y=sin%平移附個單位~■?y=sin(x+甲)

橫坐標變?yōu)樵瓉淼纳媳度缯龡U加為IS#的，位

縱坐標不變">y=sin(s+G從坐黑鬻霆/y=Asing+°)

法二：先伸縮后平移

橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

向左(0>0)或向右(°<0)

'二加一縱坐標不變。>'=sins>y=sin(ear+(p)

平移的個單位

?羽納空網幽鰭L?y=Asin(如十0)

橫坐標不變'’

當函數(shù)丁=Asin(羽+。)(A>0,。>0,%€[0,+8))表示一個振動量時，人就

表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復振動一次

所需要的時間丁=把27r，它叫做振動的周期；單位時間內往1復振2動4的次數(shù)/=上=把，它

CDTG)

叫做振動的頻率；奴+0叫做相位，。叫做初相(即當x=0時的相位)。

45.實數(shù)與向量的積的運算律：設入、口為實數(shù)，那么

(1)結合律：入(ua)=(Au)a;⑵第一分配律：(入+u)a=Aa+ua;

(3)第二分配律：x(a+b)=xa+xb.

46.向量的數(shù)量積的運算律：(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(Aa),b=A(a?b)=/la,b=a?(A,b);(3)(我b)?c=a,c+b?c.

47.平面向量基本定理：

如果創(chuàng)、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且

只有一對實數(shù)3、3,使得a=、e+3e“

不共線的向量以、蛻叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.

48.向量平行的坐標表示

設a=(X],y),b=(X2，y2)，且bHO,則a||b(bx0)o一々乂=0?

49.a與b的數(shù)量積(或內積)：a?b=abcos0.

50.a?b的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影bcos。的乘積.

51.平面向量的坐標運算

⑴設a=(X|,y),b=(X2，y2)，則a+b=(X]+x2,y]+y2).

(2)設a=(X|,y),b=(X2，y2)，則a-b=(X1-%2，以一必)?

⑶設A(X],yJ,8(々,必)，則AB=OB-OA=(x2-x},y2-yl).

(4)設a=(x,y),4eR,則4a=(Xx,4y).

(5)設2=(M，>|)々=(無2，%)，則a,b=(X]X2+%%).

52.兩向量的夾角公式

cose=%|A;+(年(％,M),b=(々，乂))?

網+?網+

53.平面兩點間的距離公式dAH=\AB\=\/ABAB=-內產+(%一乂了

54.?向量的平行與垂直：設a=(x，y),b=(z，%)，且bwO,則

abob=人a<=>x]y2—x2y]=0.a±b(a^0)Oa?b=0<x>x]x2+y]y2=0.

55.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下:

sin(cr±/?)=sinacos/?±cosasin(3;cos(6Z±yff)=cosacosyff+sinorsin(3;

/，小tana±tanB

tan(cr±/3)=------------