2022年新高考全國卷Ⅰ數學高考試題(含答案)

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普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設集合A={x\\<x<3}fB={x\2<x<4}f則AUB=

A.{x|2<x<3}B.{x\2<x<3}D.{X|14<4}

C.{x|l<x<4}

-2-4

2.=

1+2i一

A.1B.-1

C.iD.-i

3.6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名,

丙場館安排3名,則不同的安排方法共有

A.120種B.90種

C.60種D.30種

4.日懸是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的劈針投射到懸面的影子來測定時間.把地球看

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成一個球（球心記為0）,地球上一點A的緯度是指0A與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是

指過點A且與0A垂直的平面.在點A處放置一個日密，若辱面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯

40°,則唇針與點A處的水平面所成角為

A.0°B.0°

C.50°D.90°

5.某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學

生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是

A.2%B.6%

C.46%D.42%

6.基本再生數R。與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，

世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：/⑺e”描述

累計感染病例數/Q）隨時間”單位:天）的變化規(guī)律，指數增長率;"與/，T近似滿足4=1+，7有學者基于

已有數據估計出k=328,7=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約

為（ln2=0.69）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

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7.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則AP-AB的取值范圍是

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

8.若定義在R的奇函數40在(一8,0)單調遞減，且42)=0,則滿足1)之0的x的取值范圍是

A.[-1,1][3,+8)B.[-3,-1][0,1]

UU

C.[-1,0][1,+8)D.[-1,0][1,3]

UU

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.已知曲線+〃弁=1.

A.若機>〃>0,則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若機=">0,則C是圓，其半徑為4"

C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為丫=后

D.若加=0,〃>0,則C是兩條直線

10.下圖是函數產sin(5+p)的部分圖像，則sin((ux+9)=

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021_\/27

6\,/3

兀7C

A.sin(x+_)B.sin(_-2x)C.cos(2x+±)D.cos(，-2幻

3366

11.已知o>0,。>0,且a+b=\9則

A,1

A.〃2+拉之一B.2&-b>—

22

C.loga+logb>-2D.C+G

22

12.信息埔是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為12,〃，且

P(X=I)=P>0(/=1,2,,〃),ZP=1,定乂X的信息烯H(X)=—Zplogp.

iii2i

i=lZ=1

A若〃=1,則H(X)=0???

B若n=2,則”(X)隨著p的增大而增大

1

c若p=_(i=1,2,,〃)，則”(X)隨著〃的增大而增大

in

D若n=2m,隨機變量丫所有可能的取值為1,2,，加，KP(Y=j)=p+p(j=l,2,,m),則

j2m+l-J

H(X)<H(Y)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.斜率為石的直線過拋物線C：*=4x的焦點，且與C交于A,B兩點，則IABI=.

14.將數列｛2,1｝與｛3〃-2｝的公共項從小到大排列得到數列｛冊｝,則｛(｝的前n項和為.

15.某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧A8所在圓的圓

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心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC_LDG,

垂足為C,tan/ODC=6,BH//DG,EF=\2cm,DE=2cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,

5

圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

16.已知直四棱柱的棱長均為2,/BA￡>=60。.以。［為球心,人為半徑的球面與側面

8CC|B的交線長為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

在①ac=Q②csinA=3,③c=G這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角

形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

r匹，

問題：是否存在△4BC,它的內角A,8,C的對邊分別為且sinA=43sin8，C=--------

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（12分）

已知公比大于1的等比數列｛4｝滿足a+a=20,4=8.

n243

（1）求｛〃｝的通項公式；

n

記b為｛a｝在區(qū)間（0,何（meN*）中的項的個數,求數列。｝的前100項和S.

mnm100

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19.（12分）

為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的

PM2.5和S。濃度（單位：@m3）,得下表：

2

s[0,50](50,150](150,475]

°2

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S。濃度不超過150”的概率;

2

（2）根據所給數據，完成下面的2x2列聯(lián)表:

s[0,150](150,475]

°2

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根據（2）中的列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與S。,濃度有關？

n{ad-bc)2

附:

(a4-b)(c+d)(a+c)(b+d)

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P(Kz>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

20.(12分)

如圖，四棱錐P-A8C。的底面為正方形，底面ABCD設平面尸4。與平面P8C的交線為/.

(1)證明：平面POC；

(2)已知PD=AO=1,。為/上的點，求PB與平面QCC所成角的正弦值的最大值.

21.(12分)

已知函數f(x)-a&x-\-InJC+Ina.

(1)當〃=e時，求曲線),=/?(》)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)(x)>1,求a的取值范圍.

22.(12分)

已知橢圓C：巫+法=l(a>b>0)的離心率為也，且過點A(2,1).

ai2

(1)求C的方程:

(2)點M,N在C上,且4ML4N,AD±MN,。為垂足.證明：存在定點。，使得為定值.

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參考答案

一、選擇題

1.C2.D3.C4.B

5.C6.B7.A8.D

二、選擇題

9.ACD10.BC11.ABD12.AC

三、填空題

4匚57116.技

13.14.3/72-2A?15._+4yl

322

四、解答題

17.解：

方案一：選條件①.

由C=2和余弦定理得e+m-C2

62ab2

由sinA=msin8及正弦定理得a：=^3/?.

3Z?2+b2-C2小,u_r,

于是----尸----:---,由此可彳討6=C.

2^3/722

由①ac=《"，解得a=>^,%=c=1.

因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時c=

1,方案二：選條件②.

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由c=71和余弦定理得砒+“一”=/.

62ab2

由sinA=5^sinB及正弦定理得a=而)-

干是3枚+及一絞=產,由此可得6=八B=C二,人=史

2揚2263

由②csinA=3,所以c=%=2^5,4=6.

因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時c=2,

3.

方案三選條件③.----------i

由C="和合弦定理得"2+"-^=_3.

6v2ah*2

由sinA=3sinB圖P弦定理得a=3b.

~^r

于是3b2+b2-C2=3,由此可得方=c.

W3b22

由③c=3b，與方=c矛盾.

因此，選條件③時問題中的三角形不存在.

18.解:

(1)設｛?_｝的公比為4.由題設得。q+a0=20,aqz=8.

n111

解得夕=一1(舍去)，q=2.由題設得。=2.

21

所以｛a｝的通項公式為a=2〃.

nn

(2)由題設及(1)知，=0,且當2，，4機＜2用時，b=?.

1III

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所以S=b+(b+b)+(b+b+b+b)++3+b++b)+(b+b+4-b)

10012345673233636465100

=0+1x2+2X22+3X23+4K24+5X25+?6X(100-63)-…

=480.

19.解:

(1)根據抽查數據，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且S。2濃度不超過15°的天數為

32+18+6+8=64,因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO濃度不超過150的概率的估計值

2

為16=40.64.

100

⑵

根據⑵的列聯(lián)表得募鬻乙7.484.

由于7.484>6.635,故有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO濃度有關.

2

20.解：

①因為尸￡>!■底面ABCD,所以PD1AD.

又底面ABCD為正方形，所以AOJ.OC,因此A￡)_L底面

PDC.因為AO〃BC,AD<z平面PBC,所以AO〃平面PBC.

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由已知得///AD.因此/1平面PDC.

0以。為坐標原點，D4的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

則。(0,0,0),C(0,1,0),仇1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).

由(1)可設Q3,0,l),則￡＞。=3,0,1)._,一

fn-DQ=0,\ax+z=0.

設”=(x,y,z)是平面QCO喳向量，貝『2即

jn-DC=o,fy=o.

可取”=(-1,0,a).

所以cos<n,ra>==.

設PB與平前8所成角為0,則sinG=#x|二+1|=在2a

36+。231〃2+1，

因為它「三”，當且僅當a=l時等號成立，所以尸8與平面QC。所成角的正弦值的最大值

3V。2+13

為近

21.解:

的定義域為(0,+00),/(x)=gT_L

(1)當。=e時，f(x)=ex-\nx+l,//(l)=e-1,

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曲線y=f(x)在點(1J(D)處的切線方程為y-(e+l)=(e-l)(x-l),即y=(e—l)x+2.

-2

直線y=(e-l)x+2在X軸，y軸上的截距分別為一；，2.

e-1

2

因此所求三角形的面積為一;.

e-1

(2)當0<々<1時,/(I)=a+\na<].

當時，f(x)=et-i-\nx,尸a)=ei」.

x

當％e(0,l)時,尸(?<0;當時,/(%)>0.

所以當x=l時，/(幻取得最小值，最小值為從而/⑴之

1.當〃〉1時，f(x)=aex-\-Inx+lntz>et-i-\nx>1.

綜上，。的取值范圍是[1,+8).

22.解：

41,7

[4-=1。2一拉1

()由題設得，------=—>解得〃2=6，。2=3.

〃2biaz2

所以C的方程為—4--=1.

63

(2)設M(x,y),N(x、y).

II22

若直線MN與X軸不垂直，設直線MN的方程為y="+〃2,

心％2y2

代入—十—=1得(1+2k2)x2+4ktnx+2m2-6=0.

63

.410n2/722-6

于是x+x=-------,XX=--------(1)

121+2k2121+242

由AM_LAN知AM-AN=0,故。-2)(x-2)+(y-l)(y-1)=0,

1212

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可得伏2+1）%（加一左一2）（x4-x）+（m-1）24-4=0.

1212

將①代入上式可得（攵2+1）2〃"6_^km_k_2）4km+（,n_1）2+4=0.

1+2A21+2公

整理得（2火+3"+1）（2攵+機-1）=0.

因為A(2,1)不在直線MN上，所以2々+機-1/0,故2A+3m+1=0,

21

于是MN的方程為y=k(x-H1).

33

21

所以直線MN過點P(:「二).

33

若直線MN與x軸垂直，可得N(x,-y).

由AM.AN=0得（冗-2）（x-2）+（y