高中數(shù)學(xué) 講末質(zhì)量評(píng)估2達(dá)標(biāo)訓(xùn)練 新人教A版選修4-5

講末質(zhì)量評(píng)估(二)(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知a>2，b>2，則有 ()．A．a(chǎn)b≥a＋b B．a(chǎn)b≤a＋bC．a(chǎn)b>a＋b D．a(chǎn)b<a＋b解析作商比較法.eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,b)＋eq\f(1,a)，又a>2，b>2，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,2)，eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，∴eq\f(a＋b,ab)<eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.答案C2．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中值最大的是()．A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1bC．a(chǎn)1b2＋a2b1 D.eq\f(1,2)解析特殊值法．令a1＝eq\f(1,4)，a2＝eq\f(3,4)，b1＝eq\f(1,4)，b2＝eq\f(3,4)，則a1b1＋a2b2＝eq\f(10,16)＝eq\f(5,8)，a1a2＋b1b2＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，a1b2＋a2b1＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，∵eq\f(5,8)>eq\f(1,2)>eq\f(3,8)，∴最大的數(shù)應(yīng)是a1b1＋a2b2.該題也可用作差法來(lái)判斷．答案A3．設(shè)a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，則a與b的大小關(guān)系是 ()．A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b解析a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，∵x<0，∴b＝ex＜e0＝1，∴a＞b.答案B4．若0<x<y<1，則()．A．3y<3x B．logx3<logy3C．log4x<log4y D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y解析∵y＝3x在R上是增函數(shù)，且0<x<y<1，∴3x<3y，故A錯(cuò)誤．∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)且0<x<y<1，∴l(xiāng)og3x<log3y<log31＝0，∴0>eq\f(1,log3x)>eq\f(1,log3y)，∴l(xiāng)ogx3>logy3，故B錯(cuò)誤．∵y＝log4x在(0，＋∞)上是增函數(shù)且0<x<y<1，∴l(xiāng)og4x<log4y，故C正確．∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在R上是減函數(shù)，且0<x<y<1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，故D錯(cuò)誤.答案C5．若不等式2x2＋ax＋b<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<\f(1,3)))，則a－b的值是 ()．A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析－eq\f(a,2)＝－eq\f(1,6)，eq\f(b,2)＝－eq\f(1,6).∵a－b＝eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(2,3).答案B6．設(shè)關(guān)于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()．A．k>0 B．k>1C．k<－4 D．k>0或k<－4解析設(shè)方程2kx2－2x－3k－2＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1，x2且x1<1，x2>1，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－8k－3k－2>0，,x1－1x2－1＝－\f(3k＋2,2k)－\f(2,2k)＋1<0，))解得k>0或k<－4，故選D.答案D7．若p<0，－1<q<0，則p、pq、pq2間的大小關(guān)系是 ()．A．p>pq>pq2 B．pq2>pq>pC．pq>p>pq2 D．pq>pq2>p解析由－1<q<0得1>q2>q，又p<0，∴p<pq2<pq.答案D8．下列命題中，命題M是命題N成立的充要條件的一組命題是 ()．A．M：a>b，N：ac2>bc2B．M：a>b，c>d，N：a－d>b－cC．M：a>b>0，c>d>0，N：ac>bdD．M：|a－b|＝|a|＋|b|，N：ab≤0解析對(duì)于A，M是N的必要不充分條件，對(duì)于B，M是N的充分不必要條件，對(duì)于C，M是N的充分不必要條件，對(duì)于D，M是N的充要條件，故選D.答案D9．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，則下列不等式中正確的是 ()．A．log2a＞0 B．2a－b＜eq\f(1,2)C．log2a＋log2b＜－2 D．2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＜eq\f(1,2)解析法一特值法．令a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)代入可得．法二因?yàn)?＜a＜b且a＋b＝1，所以0＜a＜1，所以log2a－1＜a＜b＜0所以eq\f(1,2)＜2a－b＜1，又因?yàn)閑q\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2所以2eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞4，而ab＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，所以log2a＋log2b答案C10．若a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5,4)π))，M＝|sinα|，N＝|cosα|，P＝eq\f(1,2)|sinα＋cosα|，Q＝eq\r(\f(1,2)sin2α)，則它們之間的大小關(guān)系為 ()．A．M>N>P>Q B．M>P>N>QC．M>P>Q>N D．N>P>Q>M解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))，∴0>sinα>cosα，∴|sinα|<|cosα|，∴P＝eq\f(1,2)|sinα＋cosα|＝eq\f(1,2)(|sinα|＋|cosα|)＞eq\f(1,2)(|sinα|＋|sinα|)＝|sinα|＝M，排除A、B、C，故選D項(xiàng)．答案D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將正確答案填在題中橫線上)11．某工廠第一年年產(chǎn)量為A，第二年增長(zhǎng)率為a，第三年增長(zhǎng)率為b，則這兩年的平均增長(zhǎng)率x與eq\f(a＋b,2)的大小關(guān)系是______________．解析設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，則A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)?(1＋x)2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))2.∴x≤eq\f(a＋b,2).答案x≤eq\f(a＋b,2)12．用反證法證明命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是鈍角”時(shí)的反設(shè)是________．解析三角形的內(nèi)角中鈍角的個(gè)數(shù)可以為0個(gè)，1個(gè)，最多只有一個(gè)即為0個(gè)或1個(gè)，其對(duì)立面是“至少兩個(gè)”．答案三角形中至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角13．不等式|x＋1|－|x－1|<m的解集是R的非空真子集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析由||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，知－|a－b|≤|a|－|b|≤|a－b|，可得－2≤|x＋1|－|x－1|≤|(x＋1)－(x－1)|＝2.因此，滿足條件的實(shí)數(shù)m應(yīng)?。?≤m≤2.答案[－2,2]14．請(qǐng)補(bǔ)全用分析法證明不等式“ac＋bd≤eq\r(a2＋b2c2＋d2)”時(shí)的推論過(guò)程：要證明ac＋bd≤eq\r(a2＋b2c2＋d2)，①____________________________________________________________.只要證(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即要證：a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2即要證：a2d2＋b2c2≥2abcd②____________________________________________________________.解析對(duì)于①只有當(dāng)ac＋bd≥0時(shí)，兩邊才能平方，對(duì)于②只要接著往下證即可．答案①因?yàn)楫?dāng)ac＋bd≤0時(shí)，命題顯然成立，所以當(dāng)ac＋bd≥0時(shí)②∵(ad－bc)2≥0，∴a2d2＋b2c2≥2abcd，∴三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(10分)求證：a2＋b2＋3≥ab＋eq\r(3)(a＋b)．證明∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥2eq\r(3)a，b2＋3≥2eq\r(3)b；將此三式相加得2(a2＋b2＋3)≥2ab＋2eq\r(3)a＋2eq\r(3)b，∴a2＋b2＋3≥ab＋eq\r(3)(a＋b)．16．(10分)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求證：eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))≤2.證明eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))≤2?a＋eq\f(1,2)＋b＋eq\f(1,2)＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2))))≤4?eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2))))≤1?ab＋eq\f(a＋b,2)＋eq\f(1,4)≤1?ab≤eq\f(1,4)，∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)成立，故eq\r(a＋\f(1,2))＋eq\r(b＋\f(1,2))≤2.17．(10分)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．證明假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，則1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，這與已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假設(shè)錯(cuò)誤，∴a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．18．(10分)已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求證：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8；(2)eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,c)≥18.證明(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b≥2eq\r(ab)，a＋c≥2eq\r(ac)，b＋c≥2eq\r(bc).又∵a＋b＋c＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))＝eq\f(b＋ca＋ca＋b,abc)≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝eq\f(8abc,abc)＝8.(2)∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,c)≥3eq\r(3,\f(8,abc))，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＋eq\f(4,c)＝1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)＋\f(4,c)))＝(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)＋\f(4,c)))≥3eq\r(3,abc)·3eq\r(3,\f(8,abc))＝18.19．(10分)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1＝3，b1＝1，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2＝64.(1)求an，bn；(2)求證：eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＜eq\f(3,4).(1)解設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ban＋1,ban)＝\f(q3＋nd,q3＋n－1d)＝qd＝64＝26，,S2b2＝6＋dq＝64，))①由(6＋d)q＝64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一，解①得d＝2，q＝8.故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)證明∵Sn＝3＋