高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題 26(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題(26)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.如圖所示，在△ABC中，AQ=QC<AR8Q與CR相交于/,A/的延長線與邊8c交于

點P.

⑴用四和前分別表示的和麗;

(2)如果可=同+入的=前+〃B，求實數(shù)4和4的值;

2.如圖所示，在口ABC。中，AB=a<AD=b<BM=-BC,AN=-AB.

34

(1)試用向量E來表示而，AM；

(2)AM交DN于O點,求ZO：OM的值.

3.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.

①荏2+荏.元=_6；②爐+?2=52；③△ABC的面積為3房.

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為小b,e,已知b-c=2,cosA=_______

4

⑴求a；

(2)求cos(2C+9的值.

4.如圖，在長方形ABC。中，E為邊。C的中點，F(xiàn)為邊BC上一點，且黑=|.設(shè)e=3屆=)

(1)試用基底Z，。表示第，涼

(2)若G為長方形A8CO內(nèi)部一點，且啟=|：+|3.判斷E,G,尸三點是否共線，請說明理由.

5.已知平面向量;工滿足：問=2,b=1.

(1)若0+2方)?位一3)=1，求之工的值；

(2)設(shè)向量之工的夾角為仇若存在teR,使得|a+tb|=l,求cosJ的取值范圍.

6.已知向量五=(1,2),b=(-3,4)，求：

⑴I五—小

(2)向量之+%與之_］夾角的余弦值.

7.已知|五|=5,|K|=4>

(1)若有與方的夾角為。=120°.

①求①方;

②求方在至上的投影向量.

(2)若方〃方，求

8.已知三個點4(2,1),6(3,2),0(-1,4).

(1)求證：AB1AD；

(2)要使四邊形ABCO為矩形，求點C的坐標并求矩形ABCQ兩對角線所成的銳角的余弦值.

9.已知日46,b0)當(dāng)|五+1石|(teK)取最小值時，

(1)求r的值；

(2)若方、E共線且同向,求證:b1(a+tb).

10.如圖，在直角梯形ABCD中，|瓦刑=2,^CDA=%a=2CB>48為直角，E為A8的中點,

DP=ADC{0<A<1).

(1)當(dāng)a=3時，用向量方乙育表示向量屈；

(2)求|而|的最小值，并求出相應(yīng)的實數(shù)2的值.

11.己知區(qū)石片是同一平面內(nèi)的三個向量，a=(2,1).

(1)若用|=2遙，且次己共線反向，求口的坐標；

(2)若|石|=亨，且—+21)J.(2五一」)，求I與石的夾角。.

12.已知同=短同=1,3與B的夾角為45。，

⑴求|五+23的值；

(2)若向量(2五一；I。)與■。五一3石)的夾角是銳角，求實數(shù)％的取值范圍。

13.在團ABC中，AB=2,AC=1,/BAC=120°,點E,F在BC邊上且就=，或，BF=^BC.

(1)若/1=/求AE的長;

(口)若市.萬=4,求；的值.

14.如圖，在ACMB中，P為線段48上一點，且赤=x6?+yG反

(1)若加=而，求x，y的值;

(2)若9=3而，|瓦？|=4，|用|=2,且瓦?與方的夾角為60。，求赤?用的值.

15.如圖，在△。4B中，已知P為線段AB上的一點，OP=xOA+yOB.

(1)若即=互?，求x,y的值;

(2)若前=2成，|市|=4，|而|=2，且函與函的夾角為60。時，求訶?近的值.

16.三角形ABC是等腰直角三角形，Z.B=90°,。是BC邊的中點，BELAD,延長BE交AC于F,

連接DF.求證：4ADB=乙FDC.

17.如圖，已知河水自西向東流速為|詬|=lm/s,設(shè)某人在靜水中游泳的速度為女,在流水中實際

速度為

北

(1)若此人朝正南方向游去，且|五|=V5rn/s，求他實際前進方向與水流方向的夾角a和記的大

??；

(2)若此人實際前進方向與水流垂直，且|五|=V^n/s,求他游泳的方向與水流方向的夾角￡和

訪的大小.

18.已知|五|=3,|B|=4，3與方的夾角為「求：

(l)(3a-2h)-(a-2b)；

(2)1a-K|.

19.在△ABC中，點。在線段BC上，且DC=280,點。是線段AO的中點，過點。的直線分別交

AB,AC于點何，N,若祠=m濕，前=n正.(1)求證：^+^=3；

(2)求m+n的最小值.

20.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A,B,C三點滿足玩=g鼐+g而

(1)求證：A,B,C三點共線；

(2)已知A(l,cosx),B(1+sinx,cosx),xe[o,1,f(x)=嬴.氏一(2m2+§.|屈|的最小值為

p求實數(shù)機的值.

21.在平行四邊形43。9,荏=五，荷=3,方=：方，療=|備.

(1)用五，方表示市;

(2)若|初=1,囚=4，￡DAB600,求宿用的值.

22.如圖，已知404B中，延長BA到C,使4B=AC,點。滿足而=3而，CC和。4交于點E,

設(shè)04=a>OB=b>

(1)用五，方表示灰，CD-.

(2)若麗=4力，求實數(shù)4的值。

23.在△4BC中，乙4,”的對邊分別為a,b,c,已知向量沅=(cosB,2cos21-1)>n=(c,Z)-2a),

且記?n=0.

(1)求4c的大?。?/p>

(2)若點。為邊AB上一點，且滿足而=而，|而|=V7，c=23求△ABC的面積.

24.如圖所示，在ABOC中,A是邊BC的中點，而=2而,DC和0A交于點E,設(shè)耐=花麗=左

(1)用方和豆表示向量3?,DC；

(2)若岳=4瓦?，求實數(shù)；I的值.

25.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，A,B,C三點滿足次=[市+|南.

⑴求留的值；

(2)已知A(l,cosx),B(1+cosx,cosx),x€[0.,'j./(J)=OC-12m4-AS：.若/(x)的最

小值為g(m)，求g(m)的最大值.

26.如圖，在平面斜坐標系xO)，中，zxOy=60",平面上任一點P的斜坐標定義如下：若而=萬瓦1+

y要(其中耳，石分別為與x軸，y軸同方向的單位向量)，則點P的斜坐標為(x,y).此時有瓦？=

(1,2),麗=(a,4)，試在該斜坐標系下探究以下問題：

(l)M//0B-求麗的坐標；

(2)06=(3,4),求立?布的值；

(3)求與原同向的單位向量的坐標.

27.已知面=4，畝=3，(2。一3辦.(2日+，)=61?⑴求:與，的夾角仇

(2)若［=ta+(1—t)b，且b?1=()，求，及?.

28.平面向量；，；滿足Z-b=1

(1)若乙方為單位向量，求|方+3；

(2)若;,淌夾角為60。，求1g+2力的最大值

29.若但|=1,巧|=m,|五+1|=2.

⑴若|五+231=3，求實數(shù)〃?的值；

(2)若日+石與方一石的夾角為拳求實數(shù)〃7的值.

30.已知直線/：y=入+t與橢圓C：5+2=l(a>b>0)交于A、B兩點,F(歷0)為橢圓的右

焦點，長軸長為6.

(1)當(dāng)k=g,t=0時，證明：AF1BF；

(2)直線/過焦點，設(shè)點M的坐標為(巾,0),當(dāng)&變動時，N4MB的角平分線始終為無軸，求加

的值.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)由麗=1近,

可得的=BA+AQ=-AB+^AC.

AR=-AB,

3

.?■CR=CA+AR=-AC+-AB.

3

(2)將麗=-而+萍，CR=-AC+^AB

代入國=話+4的=前+4配

則有荏+，(-四+《前)=前+〃(-前+［荏)，

B［J(1—X)AB+^AAC=+(1—p.)AC,又近與就不共線，

；?i3解得|1

解析：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，利用平面向量基本定理求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

(1)由血=［而，可得的=再由荏=［荏，可得B=+短，即可求解.

(2)將麗=一而+［而，次=-刀+：荏可得(1一，)而+［；(正=［〃四+(1-〃)而，利用對

應(yīng)系數(shù)相等即可求解.

2.答案：解：(1)因為AN=(48,所以而=：泊

所以說=前一而=工五一B,

4

因為BM=|BC,所以的=，方=彳同=|B,

所以前=AB+'BM=a+^b.

(2)因為A,O,M三點共線，所以而〃祠,

設(shè)方=A宿，則前=AO-AD=AAM-AD=A(a-l-lb)-b=Aa+(lA-l)b.

因為。，。，N三點共線,所以前〃而，

存在實數(shù)〃使方5=—b)=^a-p.bfAa+(|A—l)K=^/ia—/1K,

_iQ__3_

由于向量益石不共線，則12一"，解得I一力

0-1=一〃心,

所以而=-AM.OM=-AM,

1414

所以AO：0M=3：11.

解析：本題主要考查共線向量基本定理，向量加法、減法的幾何意義，以及平面向量基本定理，數(shù)

乘的幾何意義.

(1)根據(jù)條件便可得到而=；五，BM=|fiC=|AD=|^＞再用向量日石來表示麗，而即可；

(2)由D,0,N三點共線，則存在實數(shù)4使麗=〃麗=〃(軻-b)=^a-nb,同理可得前=A0-

AD=AAM-AD=A(a+lb)-b=Aa+^-l)b,解出心〃，這樣便能得出A。：0M的值.

3.答案：解：方案一：選擇條件①：

2

⑴同+AB-BC=AB-(AB^BC>)

=AB-AC=bccosA=-6

1

vcosA=——

4

???be=24

由於言解得憶網(wǎng)：二：(舍去)

1

：?a2=b2-Vc2-2bccos4=36+16—2x6x4x(一二)=64

4

???a=8

Q+匕

22_c264+36-16_7

(2)cosC=

2ab2x8x6-8

49金

：?sinC=1------

648

17

???cos2C=2cos2c—1

32

sin2c=2sinCcosC=^p

7T.7171

???cos(2C4--)=cos2Ccos——sin2Csin-

666

17V3-7V15

64

方案二：選擇條件②:

⑴由*二2解得憶:或憶力舍去)

1

：?a2=Z?24-c2-2bccos4=36+16—2x6x4X(--)=64

4

-?a=8

(2)同方案一

方案三：選擇條件③:

1

(1)vcos/1=--

4

4

1V15

S4ABe=弓besinA=~^-bc3V15

LO

,be=24

由於言解得力舍)

1

???a2=624-c2-2bccos4=36+16-2X6x4X(--)=64

4

???Q=8

(2)同方案一.

解析：本題考查了余弦定理、三角形的面積公式、兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，

考查了考生的計算求解能力，屬于中檔題.

方案一：選擇條件①：(1)首先利用向量的加法以及向量的數(shù)量積可得bccosA=-6,從而可求出從

c,然后再利用余弦定理即可求解.

(2)利用余弦定理可得cosC=］再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinC,由二倍角公式以及兩角

O

和的余弦公式即可求解.

方案二：選擇條件②：(1)求出氏C,再利用余弦定理即可求解.

(2)同方案一

方案三:選擇條件③：(1)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin4,再利用三角形的面積公式可得兒=

24,求出6、c,再利用余弦定理即可求解.

(2)同方案一.

4.答案：解：(1)由題，AE=AD+DE=^AD+^DC=AD+^AB=b+1a,

EF=EC+CF=-AB+-CB=-AB--AD=-a--b.

232323

(2)AF=AB+JF=AB+^AD=a+^b,

AG=-a+-b=-(b+-a)+-(a+-b')=-AE+-AF,

432、272v3722

V2AG=AE+AF＞即布-荏=而一福

故前=碎，即宙〃蕭，

.-.E,G,尸三點共線.

解析：本題考查平面向量的線性運算的應(yīng)用及平面向量基本定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真

審題，注意平面向量加法法則的合理運用.

(1)根據(jù)題意，由平面向量的線性運算法則即可用基底｛五,可，表示荏，前；

(2)根據(jù)條件得到2布=荏+衣，得到面〃斤，即可證明E,G,尸三點共線.

5.答案：解：(1)若(君+2石)?(方一石)=1，

則五2+a-b—2b2=1?

又因為|五|=2,|K|=1，

所以4+蒼?石一2=1.

所以五=-1;

(2)若|方+行|=1，

則看+2ta-b+t2^=1'

又因為他|=2,|方|=1，

所以t2+20?E)t+3=O，

即產(chǎn)+4tcos6+3=0,

所以Z=16cos2。-12>0,

解得cos。>逅或cos。<——>

22

所以COS。E[―1,—曰]U[曰,1]>

解析：本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及模的運算，涉及根的判別式，屬于中檔題.

⑴條件可轉(zhuǎn)化為片+元不_2/=1，代入|方|=2,|b|=l，即可得到心了；

(2)條件轉(zhuǎn)化為t2+4tcos0+3=0,則有4=16cos2。一1220,解出不等式即可.

6.答案：解：(1)va=(1,2),b=(-3,4)>

a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2),

故忖_同=/42+(-2)2=2V5.

(2)-a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6).

\a+b\=V(-2)2+62=2V10.

(a+b)-(a-K)=(4,-2)■(-2,6)=4x(-2)4-(-2)x6=-20.

又：忖—=2遍，

設(shè)向量五+石與G-方夾角為。，

同rr><fl-(a+b>0詢--2X4+6X(-2)_-20__/2

川COSU-/加坨-2V5X2V10-20^2-2-

故向量Z+石與五-3夾角的余弦值為一號.

解析：本題考查向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.

(1)結(jié)合題設(shè)根據(jù)向量的坐標運算法則先求得w-5，再由模長公式計算即可；

(2)先求得|為+3及值+K)-(a-K)結(jié)合怔-3以及向量的夾角公式即可求得結(jié)果

7.答案：解：(l)(l)a-b=\a\\b|cos0=5x4xcos120°=-10.

②五在方上的投影向量為|磯-cos端=5x(-xg=-|反

(2)???//］，

五與方的夾角為。=0?；?80。.

當(dāng)9=0。時,a-b=|a||K|cos0°=20.

當(dāng)。=180°時，ab=|a||b|cosl80°=-20.

解析：本題考查向量的夾角、向量的數(shù)量積、投影向量以及平面向量共線的充要條件，屬于中檔題;

(1)①利用數(shù)量積的定義即可求解；

②利用投影向量定義即可求解；

⑵五〃B，分五與石的夾角為。=。?；?80。兩種情況即可求解；

8.答案：⑴證明:???4(2,1),8(3,2),0(-1,4).

AB=(1,1),AD=(-3,3).

又???亞?荷=1x(-3)+1x3=0，ABLAD,

即AB_LAD.

(2)解：由(1)知荏1同，

又???四邊形ABCD為矩形，［AB=DC.

設(shè)點C的坐標為(x,y),則瓦1=(x+l,y-4).

又「后=(1，1)，，［〉泊懈得［

???點C的坐標為(0,5).

AC=(-2,4)，麗=(-4,2).

AC-JD=8+8=16，|砌=2遮，\'BD\=275.

設(shè)左與前的夾角為e,

而前_竺_<>0

則cos。=\AC\-\BD\-20-5’

???矩形的兩條對角線所成的銳角的余弦值為

解析:

本題考查了向量的數(shù)量積、夾角及向量垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.

(1)求出而，而的坐標，證明荏?同=0即可;

(2)由題意得，AB=DC，設(shè)點C的坐標為(x,y),則反=(x+l,y-4)，即可得點C的坐標，從而

Ad-Bb

可得配=(-2,4)>~BD=(-4,2).設(shè)前與前的夾角為仇根據(jù)<6。=

因.而即可求得結(jié)果.

9.答案：解：(1)令布=^+tE，a為五與E的夾角，則

rn2—|a|2+2ta-b+t2|b|

_?2

=t2\b\+2t|a||h|cos0+\a\2

=同之,+1cos。)4-|a|2sin0.

所以當(dāng)t=一探cos。時，才有最小值，即|方+㈤有最小值.

(2)證明：因為乙石共線且同向，故cosO=l.

所以t二一耕所以石,(蒼+防=五?方+t|K|2=|a||K|-|a||b|=0>

所以亍1(a+tb).

解析：本題考查利用平面向量的數(shù)量積以及向量垂直的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)令沅=五+11，五與石的夾角為。，對記2進行變形，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)可取得最小值時對應(yīng)的

f值.

(2)當(dāng)落方共線且同向時，COS0=1,只需證明方.(五+tE)=0即可；

10.答案：解：(1)當(dāng)；1=1時，直角梯形ABC。中，

網(wǎng)|=2,^CDA=pDA=2CB，

角B為直角,E為AB中點，DP=^DC,

]

VPE=-[(DA-DP)+(PC+CF)]

1一1一2一1一

=-(DA--DC+-DC+-DA)

2、3327

=-DC+-DA；

64

(2)?.?直角梯形ABC￡>,|萬？|=2，^CDA=p~DA=2CB，

角8為直角，E為AB中點，DP=ADC，(0<A<1),\DC\=2,

11

?.?而=2(西+而)=2[(DA-DP)+(PC+CB)]

1一一一1一、

=-[r￡?1-ADC+(1-A)DC+-DA]

13_

=2產(chǎn)+(1-24)的

=1DA+I^DC,

42

―,,9—,2(1-24)2_123__._(

\PE\2=—DA+-~~一一DC+-(1-2A)M-DC

1644

=4A2-7A+-=4(A--)2+-,

4v8y16

V0<A<1,

...當(dāng)"澗，|兩|2有最小值高

二|屋|有最小值手.

解析：本題考查了平面向量的線性運算，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于

中檔題.

(1)利用三角形法則即可得出結(jié)論；

(2)表示出|而|2的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其模的最小值即可.

11.答案：解：(1)設(shè)蕓=(x,y),

vI?I=2V5,且3〃落

(x—2y=0

[x2+y2=20'

解噬二端u，

又因為百、不共線反向，

故，=(一4,-2)；

(2)???(a+2b)1(_2a-b~)>

(a+2b)-(2a-6)=0.

即2片+3五.加一2石之=0,

???2x5+3五?1-2x>。,

整理得W?方=-j,

又??,96[0,TT]，

???e=n.

解析：本題考查平面向量的坐標運算和數(shù)量積，判斷兩個平面垂直的條件的靈活運用，是基礎(chǔ)題.

（1）設(shè)口=（x,y）,由|笠|=2迷，且"/落知H；2：020'結(jié)合^共線反向，由此能求出而勺坐

標；

（2）由m+2為1（2五一方），知0+2日）?（2日一石）=0，整理得行7=1，故cos0==1，由

此能求出五與方的夾角仇

12.答案：解：（1）\a.+2b\=+2同*=J同2+4同同cos450+\2b\^=+4+4=V10

\a+2b\=V10；

（2）???（2行一/1石）與（4行一3方）的夾角是銳角,

???（2a-2b）-（Aa-3h）>0,且（2五一；與儲@一3石）不能同向共線,

A2-7A+6<0,2a-Abfc(Aa-3h).k>0,

?-?1<A<n或后<A<6.

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積、模長計算及夾角問題，屬于基礎(chǔ)題.

⑴根據(jù)|日+2區(qū)|=J|a+2b|2>展開計算即可；

(2)向量(2行一/1萬)與(2五—33)的夾角是銳角，等價于(2行一4方).(幾萬―3石)>0，且(2日一；15)與

Q五-35不能同向共線，由此建立不等式組即可.

13.答案：解：(I)設(shè)48=五，AC=b<

則同|=2,同=1,a.-b=|a||K|cosl20°=—1>

所以荏=超+而=五+式下一五)=|五+：反

(II)AE=AB+BE=a+-3)=(1—A)a+Ah

同理可得，AF=AB+BF=a+/i(b—a)=(1—^)a+K，

AE?AF-[(1—A)H+Ab]?[(1—〃)Z+=4(1—4)(1—〃)+2〃一[(1—+(1—〃)2]

=4+7A/z-5(2+〃)，

4+7川一5(2+〃)=4,7川-5(2+〃)=0,

117

同除以川可得，+-=-.

A7/XO

解析：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，考查計算能力，是中檔題.

(1)設(shè)而=區(qū)AC=b,，利用向量的數(shù)量積以及向量的模求解即可.

(H)求出荏?都=4中的向量表示，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.

14.答案:解：⑴若加=而，則赤=4訓(xùn)+：話,

故％=y=|.

(2)若麗=3方,

=-OA+-OB,

44

OP-AB=（^OA+^OBy（pB-OA'）

1——>21——>——>3——>2

=--0A——0A,OB+-OB

424

1o13

=--X42--X4X2XCOS6004--x22

424

解析：本題考查平面向量基本定理、數(shù)量積和線性運算，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題.

⑴由布=而得麗=：市+之而，故％=y=3

(2)利用赤?AB=QO4+|OF)-(OB-即可求解.

15.答案：解：(1)由薩=同，得前一前=57-前，

所以就+而)=：6?+：而，

所以x=y=-i

(2)由麗=2腐，得而一麗=2畫-而),

所以而=|萬？+［而；

5L\0A\=4.\OB\=2>且次與旗的夾角為60。，

則而?AB=(|07+|OB)■(OB-OA)

2——Q1---?21——>——?

=--jOA+-OB+§0/?08

211

=--X42+-X22+-X4X2XCOS60°

333

解析：本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運算問題，是中檔題.

(1)由喬=可得而一南=市一加，用市、福表示亦即可；

(2)由前=2同得布=2(瓦？一赤)，求出赤，再計算前?荏的值.

16.答案：證明：如圖，以B為原點，BC,BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如

圖所示：

設(shè)4(0,2),C(2,0),則。(1,0),AC=(2,-2)，

設(shè)存=AAC，

則前=BA+AF

=(0,2)+(2A,-2A)=(2A,2-2A),

又因為歷=(-1,2)，1

所以麗?萬？=0，

所以一24+2(2-22)=0,解得2=}

所以前=仁為，

所以加=前一前=12

3‘3,

又因為萬？=(1,0)，麗=(—1,0)，

所以cos44OB=尚贏=《,

屈.虎_y/5

CXJSZFDC畫研可，

又因為乙4DB,乙FDC￡(0,n),

所以4ADB=乙FDC.

解析：本題考查了向量的幾何運用，向量的夾角，向量的數(shù)量積，平面向量的坐標運算等知識，屬

于中檔題.

由于△力BC是等腰直角三角形，故以B為原點,8C所在直線為x軸建立直角坐標系，要想證明乙4DB=

/.FDC,只需證明cos〃DB=cos"75C.設(shè)直角三角形的邊長為2,由此求出向量而，配,瓦?，而，

再結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算求解.

17.答案：解：設(shè)04=可，OB=可，OC=V2>

則由題意知記=萬+說，|函|=1，

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得四邊形OACB為平行四邊形.

(1)由此人朝正南方向游去得四邊形OACB為矩形，且|而|=4C=B，如下圖所示:

則在直角A04C中，|五|=0C=皿2+4c2=2m.ls，

tanN40C=立=g，又a=Z40C6(0潦)，所以a=%

14J

所以他實際前進方向與水流方向的夾角a為余底的大小為2zn/s：

(2)由題意知乙4。。=今且|五|=|OC|=B，BC=1,如下圖所示,

則在直角△OBC中，|五|==V。干2+BC?=2m/s，

tan/BOC=白=—>

V33

又乙8。。€(0譚)，所以NBOC=g

則夕=T+￡=g,

所以他游泳的方向與水流方向的夾角夕為與，宣的大小為2m/s.

解析：本題主要考查向量在物理中的應(yīng)用.

(1)設(shè)市=為神=五,元=五，根據(jù)向量加法的運算法則進行求解.

(2)根據(jù)向量加法的運算法則以及向量模長的公式進行求解.

18.答案；解：(l)|a|=3,|石|=4,方與E的夾角為:，

<>

a?b=|a|?|b|-cosg=3x4x1=6,

(3a-2b)?(a-2b)

=3|a|2+4|b|2-8a-b

=3x9+4x16-8x6=43;

(2)|a-b|2=|a|2+|K|2-2a-b=9+16-12=13,

\a-b\=V13.

解析：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算以及模長計算，屬于中檔題.

(1)先計算方?E，再計算(3a-2b)-(a-2b);

(2)先計算0-3)2,再開方得出答案；

19.答案：(1)證明：因為DC=2BD,

所以同=詬+]而=荏+](而一而)=|AB+J^C,

又同E而，

所以方=:同+工前.

36

因為祠=mAB,AN=nAC>

所以而=」-祠+工前.

3m6n

又例，O,N三點共線，

所以:+白=1,

3m6n

即得"=3.

⑵解：由⑴知親+*=1，

所以m+n=On+n)島+￡)E+會+合》打2=扛圣

當(dāng)且僅當(dāng)會=三時，取等號，

3m6n

所以m+n的最小值為工+也.

23

解析：本題考查向量的線性運算，平面向量的基本定理，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生分

析解決問題的能力，屬于中檔題.

(1)利用向量的線性運算，Ad^^AB+^AC,結(jié)合祠=/n荏，麗=n而得而=表祠+《前，

又M,O,N三點共線，得白+；=1即工+；=3.

3m6nm2n

(2)由⑴知++W=l，m+n=(m+n)(^+^)=i+^+^,利用基本不等式求解即可.

20.答案：(1)證明：因為疝6B-6A>

_X1>9_X9_91.9__7_,

所以靛06-OA.OA+；OB-OA=；OB；OA=；(OB-OA)=-AB,

333333

Z.AC//AB,

又.4?ah有公共點A

.?A、B、C三點共線；

(2)解：由A(l.cosx),B(1+sinx.cosx),xG[(1.J,

一1一2一2一

.OCOA+~OB(1+~sinx,cosx),AB(sinx.())，

JJJ

故|AB|=\/siii2xsinx,

__..9_.oo

從而f(x)=OA*O(j-(2nr+二)?|AD|==1+-sinx-f-cos2x-(2nr+isinx

?53?5

AAAA

=cos-x-2m-sinx+1=-siirx-2m~sinx+2

=-(sinx+m2)2+m4+2,

/.當(dāng)sinx=1時,f(x)取最小值.

即_(1+m2)2+m4+2=j,

7.m2，=1,

4

,1

解析：本題考查平面向量和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于一般題.

(1)通過求證Mb//Ah，即可求證A,B,C三點共線；

(2)求出〃工)=-(sinx+in2)2+in1+2,利用正弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

21.答案：解：（1）平行四邊形A8C。中，通=%AD=b，CE=|CB,CF=|CD,

—,―，―?2—>1—,

???EF=CF—CE=-CD--CB

33

=--AB+-AD=--a4--d；

3333

⑵|五|=1,|b|=4，ZDAB60，

???\EF\2=(-|a+1K)2=^a2-^a-b+^b2

——?x1x4xct)cs()(K+-=一,

9993

.??固1=竽,

vZc=a4-K，

:.He-FE=(a+K)?(|a-

2-21--1-2

=-a+-a,b-qb

2.1..ii.

=——x1x4x------x4=-4.

3323

解析：本題主要考查了向量的線性運算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量的線性運算用向量乙方表示正直接求解即可；

(2)利用向量的關(guān)系，把正用向量五花表示，再結(jié)合(1)的結(jié)論利用向量的模和數(shù)量積的運算性質(zhì),

求解即可.

22.答案：解：(1)由已知，點A是線段BC的中點,

：.OA=^(OB+OC),

即力=：(石+爐)，

解得歷=2a—b■,

由已知，OB=3OD=>OD=g而,

因此而=萬+而=-OC+^OB=~{2a-b}+^b=-2a+^b■,

(2)vC,E,。三點共線，

???存在實數(shù)m使得被=mOC+(l-m)OD

—zn(2a—b)+(1—m)?|b=2ma+1:，b,

又。，E,A三點共線，必存在實數(shù);1,而=%萬？=

由平面向量的基本定理，同一基底下，兩種表達式的對應(yīng)系數(shù)完全相等，

(2m=2(X=2m

故［誓=0=,=；=4=51，

所求實數(shù);I的值為a

解析：本題考查平面向量的加減和數(shù)乘運算，考查平面向量的基本定理，屬于中檔題.

(1)由于點A是8c線段中點，可得函=)礪+灰)，可以解出瓦，利用加法的三角形法則，CD=

方+而利用已有結(jié)果整理即可；

(2)由C,E,。三點共線，根據(jù)向量共線定理存在實數(shù)"?使得南=m能+(1-m)前,另一方面

E,A三點共線，OE=XOA=Aa^根據(jù)平面向量基本定理，對應(yīng)系數(shù)相等，由此即可得出結(jié)果.

23.答案：解：(1)??,記=(cosB,cosC)，n={c,b—2a),

由鉆?n=0,AccosB+(b-2a)cosC=0,

在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,

得sin(B+C)=2sirii4cosC,

即sinA=2sinAcosC,

又sinAH0,???cost=而CG(0,兀)，，=熱

(2)由而=前知，~CD-CA=CB-：＞2CD=~CA+CB，

兩邊平方得4|CD|2=b2+a2+2bacosZ.ACB=Z?24-a24-ha=28.①，

Xc2=a?+-2abcosZ.ACB,:.a2+b2—ab=12,②,

由①②得泌=8,SLABC=^absinZ.ACB=273.

解析：本題考查了正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，是中檔題.

(1)由沅?記=0,得ccosB+(h-2a)cosC=0,再由正弦定理和兩角和與差的三角函數(shù)公式得sinA=

2sini4cosC,則cost1=5即可得出C的大??；

(2)由而=而知，得2而=瀛+而,兩邊平方得力2+小+=28,再由余弦定理得小+爐一

ab=12,聯(lián)立可得〃方的值，即可得出△ABC的面積.

24?答案：解：⑴灰=南+阮=麗+2詢=麗+2畫-畫=2成-麗=2五一石;

DC=OB+=：08+2(04—08)=204一：08=2萬一：b.

(2)設(shè)方=〃反=2〃五一|〃丸

則詁=元+荏=2a-b+2na-^n~b=(2+2^)5-(1+|M)6,

X0￡=A07=2a，

(2+2〃=4

%+冢=0'

解得"J.

解析：(1)根據(jù)平面向量加減運算的三角形法則進行表示；

(2)設(shè)方=〃反，用了范表示出赤，求出；I的值.

考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，以及共線向量、平面向量基本定理.

25.答案：解：(1)由題意知A,B,C三點滿足而=1函+|而，

可得沅-07=|(0B-O4),

所以n=|南=|(尼+而)，

照前=|而，即前=2而，

則網(wǎng)=2\CB\,所以用=2；

(2)由題意，0C=|o2+|0F=^1+|cosx,cos%y

即審次1+*CUSJ*+cots%,

?J

又荏=OB—O^A=(cosx,0)，

即3科一(XISJ'I,

又％W[0,J

???函數(shù)/(%)=07-OC-(2m+|)?|AB|

=1+1cosx+cos2x—(2m+|)cos%=(cosx—m)2+1—m2,

vxe[0^],

???cosxG[0,1],

當(dāng)m<0時,=/(])1,故此時g(m)=1,

當(dāng)0<m<1時，當(dāng)cosx=m時，f(%)取得最小值g(?n)=1-m2,

當(dāng)m>l時，當(dāng)cos%=1時，f(x)取得最小值g(m)=2—2機，

1,m<0

綜上所述，g(〃，)=\1—nr.()W〃，W1，

[2—2m,rn>1

當(dāng)m<0時，g(m)=1,

當(dāng)OWmWl時，g(m)=1-機2在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

此時g(m)ma#=g(0)=1，

當(dāng)巾>1時，g(m)=2-2m在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

此時gG)<g(i)=o,

綜上函數(shù)g(?n)的最大值為1.

解析：本題主要考查了向量的線性運算，向量的數(shù)量積的坐標性質(zhì)，以及三角函數(shù)和二次函數(shù)的性

質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.

⑴由前=IAS=I(AC+CB),變形即可得到兩向量模的比值；

(2)求出/'(X)=(COSX—巾)2+1-巾2,由xe[0,§,得COSX6[0,1],從而根據(jù)他的范圍結(jié)合函數(shù)的

1,m<0

性質(zhì)，分類討論可得g(，〃)={I?r.()&mW1，進而可得函數(shù)g(m)的最大值.

、2—2rn,m>I

26.答案：解：(1)由市=/+2瓦，OB=aeT+4eJ>

由萬?〃而，可得存在4使得函=2次

即a百+4定=2(可+26，解得a=2,即而=(2,4).

(2)若施=(3,