2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章 第九節(jié) 圓錐曲線中的定值問題含答案

1版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章第九節(jié)圓錐曲線中的定值問題第九節(jié)圓錐曲線中的定值問題【核心考點·分類突破】考點一長度或距離為定值[例1](2024·九江模擬)如圖,已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點A為C1上的一個動點(非左、右頂點),連接AF1并延長交C1于點B,且△ABF2的周長為8,△(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)因為△ABF2的周長為8,由橢圓的定義得4a=8,即a=2,又△AF1F2面積的最大值為2,所以12·2c·b=2,即bc=2,因為a2=b2+c2,所以b2+c2=4,所以b2+2b2=4,解得b所以橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y[例1](2024·九江模擬)如圖,已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點A為C1上的一個動點(非左、右頂點),連接AF1并延長交C1于點B,且△ABF2的周長為8,△AF(2)若橢圓C2的長軸端點為F1,F2,且C2與C1的離心率相等,P為AB與C2異于F1的交點,直線PF2交C1于M,N兩點,證明:|AB|+|MN|為定值.【解析】(2)由(1)可知F1(-2,0),F2(2,0),橢圓C1的離心率e=ca=22,設(shè)橢圓C2的方程為x2a'2+y2b'2=1,則有a'=橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),因為點P在曲線C2上,所以x02+2依題意,可設(shè)直線AB,MN的斜率分別為k1,k2,則AB,MN的方程分別為y=k1(x+2),y=k2(x-2),于是k1·k2=y0x0+2·y0x聯(lián)立方程得y=k1(x+2)x24+y所以x1+x2=-42k122k12+1所以|AB|=1+k12(x同理可得:|MN|=4k因為k2=-12k1,所以|MN|=4k2所以|AB|+|MN|=4k12+4【解題技法】定值問題的求解策略(1)圓錐曲線中的定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題,證明該式是恒定的.(2)定值問題同證明問題類似,在求定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù),運用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定值顯現(xiàn).【對點訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1.若M,N分別是C1,C2上的動點,且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.【證明】當(dāng)直線ON垂直于x軸時,|ON|=1,|OM|=22,則O到直線MN的距離為3當(dāng)直線ON不垂直于x軸時,設(shè)直線ON的方程為y=kx(顯然|k|>22),則直線OM的方程為y=-1k由y=kx,所以|ON|2=1+k24+k2,同理|OM設(shè)O到直線MN的距離為d,因為(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,所以1d2=1|OM|2+1|綜上,O到直線MN的距離是定值.考點二與直線斜率有關(guān)的定值問題[例2](2024·武漢模擬)已知O為坐標(biāo)原點,橢圓x2a2+y2b2=1(a>(1)求橢圓的方程;【解析】(1)由題意知,ca=32,橢圓的上頂點到右頂點的距離為a2即ca=32a2+b2因此,橢圓的方程為x24+y2[例2](2024·武漢模擬)已知O為坐標(biāo)原點,橢圓x2a2+y2b2=1(a>(2)若橢圓的左、右頂點分別為E,F,過點D(-2,2)作直線與橢圓交于A,B兩點,且A,B位于第一象限,A在線段BD上,直線OD與直線FA相交于點C,連接EB,EC,直線EB,EC的斜率分別記為k1,k2,求k1·k2的值.【解析】(2)如圖所示:不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由圖可知,直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,因為點D(-2,2),則-2k+m=2,則m=2k+2,聯(lián)立y=kx+mx2+4y24m2-4=0,Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)>0,可得m2<4k2+1,即(2k+2)2<4k2+1,解得k<-38由根與系數(shù)的關(guān)系可得,x1解得-12<k所以-12<k<-38,易知E(-2,0),由于C在直線OD上,設(shè)C(-x0,x0),又由于C在直線FA上,則x0-x0-2=yk1·k2=y2x=-y=-(=-k=-4=-14【解題技法】與直線的斜率有關(guān)的定值問題的解題策略1.選擇合適的參數(shù)(傾斜角、點的坐標(biāo));2.依據(jù)題設(shè)條件,求出所求(斜率的或與其有關(guān)的)解析式;3.結(jié)合題設(shè)條件,化簡所求解析式得出定值.【對點訓(xùn)練】(2024·西安模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為A,O為原點,點P(1,1)在C(1)求C的方程;【解析】(1)因為點P(1,1)在C的漸近線y=bax上,所以a=bA(a,0),則S△PAO=12a=12,所以a=1,故所以C的方程為x2-y2=1;(2024·西安模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為A,O為原點,點P(1,1)在C(2)過點P作直線l交C于M,N兩點,過點N作x軸的垂線交直線AM于點G,H為NG的中點,證明:直線AH的斜率為定值.【解析】(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l與雙曲線只有一個交點,不符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立x2-y2=1y-1=k(x-1),消去y得(1-k2)則1-解得k<1且k≠-1,x1+x2=2k(1-k)1-k2直線AM的方程為y=y1x1令x=x2,得y=y1(x2-1)x因為H為NG的中點,所以H(x2,y1所以kAH=y1(x2-1)因為y1x1-1+=2k+1x1-1+1x2-1=2k+x1+x2-2(x所以直線AH的斜率為定值.【加練備選】如圖,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>(1)求橢圓E的方程;【解析】(1)由題設(shè)知ca=22,b=1,結(jié)合a2=b2+c2,解得a=所以橢圓E的方程為x22+y2如圖,橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>(2)經(jīng)過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為定值.【解析】(2)由題設(shè)知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),代入x22+y得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,則x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k考點三與面積有關(guān)的定值問題[例3](2024·安慶模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點A(-a,0),B(0,-b)兩點,橢圓的離心率為32,(1)求橢圓C的方程;【解析】(1)根據(jù)題意可知e=ca=3又S△OAB=12ab=1,即可得ab=2,結(jié)合a2=b2+c2解得a2=4,b2=1,c2=3,即橢圓C的方程為x24+y2[例3](2024·安慶模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點A(-a,0),B(0,-b)兩點,橢圓的離心率為32,(2)設(shè)P為橢圓C上第一象限內(nèi)任意一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.【解析】(2)由(1)可知A(-2,0),B(0,-1),如圖所示:設(shè)P(x0,y0),且x0>0,y0>0,易知直線PA的斜率kPA=y0x0+2,所以PA的直線方程為y=同理直線PB的斜率kPB=y0+1x0,所以PB的直線方程為y=由題意解得M(0,2y0x0+2所以可得|AN|=x0y0+1+2,|四邊形ABNM的面積S=12|AN|·|BM|=12(x0y0+1+2)(又x024+y02故S=x=4+4=4(即四邊形ABNM的面積為定值.【解題技法】與面積有關(guān)的定值問題的解題策略探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題,一般用直接求解法,即可先利用三角形面積公式(如果是其他凸多邊形,可分割成若干個三角形分別求解)把要探求的幾何圖形的面積表示出來,然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式,把這個關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達式中,化簡即可.【對點訓(xùn)練】(2024·南昌模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),漸近線方程為y±x(1)求雙曲線C的方程;【解析】(1)因為a>0,b>0,依題意,ba所以雙曲線C的方程為x24-y2(2024·南昌模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),漸近線方程為y±x(2)過點A的兩條直線AP,AQ分別與雙曲線C交于P,Q兩點(不與A點重合),且兩條直線的斜率k1,k2滿足k1+k2=1,直線PQ與直線x=2、y軸分別交于M,N兩點,求證:△AMN的面積為定值.【解析】(2)依題意可知直線PQ斜率存在,設(shè)方程為y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),y=kx+mx24-y2=1?(1-4k2)Δ=64k2m2+4(1-4k2)(4m2+4)>0,m2+1-4k2>0①,k1+k2=y1x=2kx1整理得(m+2k)(m+2k-1)=0.①m+2k=0?PQ:y=kx-2k,過A(2,0),舍去;②m+2k-1=0?PQ:y=kx-2k+1,過點(2,1),此時,將m=1-2k代入①得(1-2k)2+1-4k2=2-4k>0,k<12,所以PQ與x=2交于點M(2,1),故S△AMN=12【加練備選】已知O為坐標(biāo)原點,點P(3,12)在橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,橢圓C的左、右焦點分別為F1,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)由橢圓C的左、右焦點分別為F1,F2,且F1F2可知:c=3,即a2=b2+3①,將P(3,12)代入方程C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)得:3a2+1所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2已知O為坐標(biāo)原點,點P(3,12)在橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,橢圓C的左、右焦點分別為F1,(2)若點P0,P1,P2在橢圓C上,原點O為△P0P1P2的重心,證明:△P0P1P2的面積為定值.【解析】(2)設(shè)P0(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2),當(dāng)直線P1P2斜率不存在,即x1=x2時,由原點O為△P0P1P2的重心,可知x0+x1+x23=0,y0+y1+y23=0,故可得此時有P0(-2x1,0),該點在橢圓上,則4×x124=1,不妨取x1=1,則有P0(-2,0),P1(1,則此時S△P0P1P2當(dāng)直線P1P2斜率存在時,不妨設(shè)P1P2的方程為y=kx+m,則聯(lián)立y=kx+mx24+y2=1,整理得(1+4且需滿足Δ=(8km)2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2+1-m2)>0,則x1+x2=-8km1+4k2,x1所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m由原點O為△P0P1P2的重心知,x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2),故P0的坐標(biāo)為(8km1+4k2,-2m化簡得:(8km1+4k2)2+4(即4m2=1+4k2,又原點O為△P0P1P2的重心,故P0到直線P1P2的距離為原點O到直線P1P2距離的3倍,所以d=3|而|P1P2|=1+k2|x1-x=1+=1+k2=1+k2=1+k2×因此S△P0P1P2=1=12×1+k2×=63|m|2綜上所述,△P0P1P2的面積為定值.第六節(jié)雙曲線第1課時雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解雙曲線的實際背景及雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單的幾何性質(zhì).(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)3.了解雙曲線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.【考情分析】考點考法:高考對雙曲線的考查形式有兩種:(1)根據(jù)題設(shè)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究雙曲線的基本性質(zhì),常以選擇題或填空題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.雙曲線的定義(1)一般地,把平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.(2)數(shù)學(xué)表達式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù),且c>a>0.【微點撥】(1)當(dāng)|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)時,點P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.當(dāng)|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)時,點P的軌跡為靠近F1的雙曲線的一支.(2)若a=c,則軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;若a>c,則軌跡不存在;若a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2(a>0,b>0)y2a2(a>0,b>0)圖形性質(zhì)范圍x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸對稱中心:原點頂點頂點坐標(biāo):A1(-a,0),A2(a,0)頂點坐標(biāo):A1(0,-a),A2(0,a)漸近線y=±bay=±ab離心率e=ca,e∈a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長等軸雙曲線①定義:中心在原點,以坐標(biāo)軸為對稱軸,實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.②性質(zhì):a=b;e=2;漸近線互相垂直;等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號13241.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.雙曲線的焦點一定位于雙曲線的實軸上B.若兩條雙曲線的焦點相同,則其漸近線也一定相同C.焦點在x軸上的雙曲線的離心率越大,其漸近線斜率的絕對值就越大D.焦點在x軸上的雙曲線與焦點在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線【解析】選AC.雙曲線的焦點一定在實軸上,A正確;若兩條雙曲線的焦點相同,ba=c2-a2a2=eba=c2-a2a2=e2-1,焦點在x軸上的雙曲線的離心率越大,則ba越大,即漸近線斜率的絕對值ba越大,C正確;焦點在x軸上的雙曲線與焦點在y軸上的雙曲線,如雙曲線x22.(混淆焦點位置)已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(0,-5),F2(0,5),雙曲線上一點P與F1,F2的距離差的絕對值等于6,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x29-y216=1 B.C.y29-x216=1 D.【解析】選C.由題意,c=5,2a=6,所以a=3,則b=c2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29-x3.(選擇性必修第一冊P120例1變條件)已知平面內(nèi)兩定點A(-5,0),B(5,0),動點M滿足|MA|-|MB|=6,則點M的軌跡方程是 ()A.x216-y29=1 B.x2C.x29-y216=1 D.x2【解析】選D.由雙曲線的定義知,點M的軌跡是雙曲線的右支,故排除A,C.又由題意可知c=5,a=3,所以b=c2-a2=4,故點M的軌跡方程為x294.(2021·全國甲卷)已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為 ()A.72 B.132 C.7 D【解析】選A.設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=3m,|F1F2|=m2+9m2-2×3m×m×cos60°=7m,所以C的離心率e【巧記結(jié)論·速算】1.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2.若P是雙曲線右支上一點,F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.3.同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦),其長為2b4.與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示為x2a5.雙曲線的離心率公式可表示為e=1+b【即時練】1.(2024·揚州模擬)雙曲線x216-y2A.43 B.74 C.54 【解析】選C.由題意得a2=16,b2=9,所以e=ca=c2a2=a22.若雙曲線x2a2-y2b2=1的焦點F(3,0)到其漸近線的距離為A.x24-y25=1 B.C.x23-y26=1 D.【解析】選A.因為焦點為F(3,0),所以c=3,根據(jù)雙曲線的焦點到漸近線的距離為b,得b=5,所以雙曲線方程為x24-y【核心考點·分類突破】考點一雙曲線的定義及應(yīng)用[例1](1)(2024·濰坊模擬)已知動圓M與兩圓x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,則動圓M的圓心軌跡是 ()A.雙曲線 B.雙曲線的一支C.拋物線 D.前三個答案都不對【解析】選B.題中兩圓分別記為圓A:x2+y2=1以及圓B:(x-3)2+y2=2,設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為r,則|MA于是|MB|-|MA|=2-1(<|AB|=3)為定值,因此動圓M的圓心軌跡是雙曲線的一支.(2)若F1,F2分別是雙曲線x29-y①若雙曲線上一點P到焦點F1的距離為7,求|PF2|;【解析】①由x29-y216=1,得a=3,b由于|PF1|=7<a+c=8,因此點P在雙曲線的左支上,因此|PF2|-|PF1|=6,結(jié)合|PF1|=7可知|PF2|=13.(2)若F1,F2分別是雙曲線x29-y②若點P是雙曲線上的一點,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.【解析】②由定義和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=64,所以S△F1PF2=12·|PF1||PF2|·sin∠F1PF2【解題技法】1.雙曲線定義的主要應(yīng)用(1)判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線,進而根據(jù)要求可求出曲線方程.(2)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.2.與雙曲線兩焦點有關(guān)的問題常利用定義求解.3.如果題設(shè)條件涉及動點到兩定點的距離,求軌跡方程時可考慮能否應(yīng)用定義求解.【對點訓(xùn)練】1.已知平面內(nèi)兩定點F1(-3,0),F2(3,0),下列條件中滿足動點P的軌跡為雙曲線的是 ()A.PF1-B.PF1-C.PF1-D.PF12【解析】選C.由題意,因為F1所以由雙曲線的定義知,當(dāng)0<PF動點P的軌跡為雙曲線.2.(2024·南昌模擬)已知F1,F2分別為雙曲線x25-y24=1的左、右焦點,P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點,點A在雙曲線的右支上,則|AP|+|AFA.37+4 B.37-4C.37-25 D.37+25【解析】選C.因為|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-25,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.如圖,連接F1P交雙曲線的右支于點A0.當(dāng)點A位于點A0處時,|AP|+|AF1|最小,最小值為|PF1|=3-(-3)故|AP|+|AF2|的最小值為37-25.【加練備選】1.(2024·渭南模擬)如果雙曲線x24-y212=1上一點P到它的右焦點的距離是8,那么點P到它的左焦點的距離是A.4 B.12C.4或12 D.不確定【解析】選C.設(shè)雙曲線x24-y212=1的左、右焦點分別為F1,F2,則a=2,c=4+12=4;則|PF2|=8>6,由雙曲線定義可得||PF1|-|PF2||=2a=4,即||PF1|-8|=4,所以|PF1|=4或|PF1|=12,由于c-a2.(2024·荊州模擬)已知雙曲線C:x216-y29=1的左、右焦點分別是F1,F2,點P是C的右支上的一點(不是頂點),過F2作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足是M,O是原點,則|【解析】如圖所示,延長F2M交PF1于Q,由于PM是∠F1PF2的平分線,F2M⊥PM,所以△QPF2是等腰三角形,所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中點.根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8,由于O是F1F2的中點,所以MO是△QF1F2的中位線,所以|MO|=12|QF1|=4答案:4

考點二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[例2](1)(2024·武漢模擬)已知點F1(-4,0),F2(4,0),曲線上的動點P到F1,F2的距離之差為6,則曲線方程為 ()A.x29-y27=1(x>0) B.C.y29-x27=1(y>0) D.【解析】選A.由題意可得|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,由雙曲線定義可知,所求曲線方程為雙曲線的一支,且2a=6,2c=8,即a=3,c=4,所以b2=c2-a2=16-9=7.又因為焦點在x軸上,所以曲線方程為x29-y27(2)已知兩圓C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,動圓M與兩圓C1,C2都相切,則動圓圓心M的軌跡方程是 ()A.x=0 B.x22-y214=1(C.x22-y214=1 D.x2【解析】選D.動圓M與兩圓C1,C2都相切,有四種情況:①動圓M與兩圓都外切;②動圓M與兩圓都內(nèi)切;③動圓M與圓C1外切、與圓C2內(nèi)切;④動圓M與圓C1內(nèi)切、與圓C2外切.在①②情況下,動圓圓心M的軌跡方程為x=0.在③的情況下,設(shè)動圓M的半徑為r,則|MC1|=r+2,|MC2|=r-2.故得|MC1|-|MC2|=22.在④的情況下,同理得|MC2|-|MC1|=22.由③④得|MC1|-|MC2|=±22.已知|C1C2|=8,根據(jù)雙曲線定義,可知點M的軌跡是以C1(-4,0),C2(4,0)為焦點的雙曲線,且a=2,c=4,b2=c2-a2=14,其方程為x22-y[例3](1)(2024·成都模擬)已知直線y=2x是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線,且點(23,23)在雙曲線C上,則雙曲線A.x23-y24=1 B.C.x26-y212=1 D.【解析】選C.由雙曲線C:x2a2-y2b2=1,則其漸近線方程為y=±bax,由題意可得:ba將(23,23)代入雙曲線方程可得12a2-122a2=1,解得a所以雙曲線C的方程為x26-y(2)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F,離心率為2.若經(jīng)過F和A.x24-y24=1 B.C.x24-y28=1 D.【解析】選B.由離心率為2,可知a=b,c=2a,所以F(-2a,0),由題意知kPF=4-00所以2a=4,解得a=22,所以雙曲線的方程為x28-y【解題技法】求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法根據(jù)雙曲線的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點位置,求出雙曲線方程,常用的關(guān)系有:①c2=a2+b2;②雙曲線上任意一點到雙曲線兩焦點的距離的差的絕對值等于2a.(2)待定系數(shù)法一般步驟.【對點訓(xùn)練】1.(2021·北京高考)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)過點(2,A.x2-y23=1 B.x23C.x2-3y23=1 D.3x【解析】選A.由e=ca=2,得c=2a,b=c2-a2=3a將點(2,3)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得2a2-33a2=1,解得a=1,故b=3,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓M:(x+2)2+y2=12,點N(2,0),Q是圓M上任意一點,線段NQ的垂直平分線與直線MQ相交于點P,設(shè)點P的軌跡為曲線E,則曲線E的方程為____________.

【解析】因為P在線段NQ的垂直平分線上,所以|PQ|=|PN|,所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=23<|MN|=4,由雙曲線的定義知點P的軌跡是以M,N為焦點,23為實軸長的雙曲線,則c=2,a=3,得b=1,所以曲線E的方程為x23-y2答案:x23-y【加練備選】(2024·杭州模擬)已知等軸雙曲線Γ經(jīng)過點A(3,2),則Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.x25-y25=1 B.C.y2-x2=1 D.x2-y2=1【解析】選A.設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0),代入點A(3,2),得λ=9-4=5,故所求雙曲線的方程為x2-y2=5,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x25-y考點三雙曲線的幾何性質(zhì)【考情提示】雙曲線的離心率及漸近線方程是高考命題的熱點,它們常與方程、不等式及向量等知識相結(jié)合,多以選擇或填空題的形式出現(xiàn).角度1雙曲線的離心率[例4](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2.點A在C上,點B在y軸上,F1A⊥F1【解析】方法一:依題意,設(shè)|AF2|=2m,則|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,則(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,則|AB|=5a,故cos∠F1AF2=|AF1||所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2=16a2+4整理得5c2=9a2,故e=ca=3方法二:依題意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(yù)(x0,y0),B(0,t),因為F2A=-23F2B,所以(x0-c,y0)=-則x0=53c,y0=-23又F1A⊥F1B,所以F1A·F1B=(83c,-23t)(c,t)=83c2又點A在C上,則259c2整理得25c29a2-4所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),整理得25c4-50c2a2+9a4=0,則(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,又e>1,所以e=355或e=55(舍去),故e答案:3(2)已知F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若在雙曲線右支上存在點P,使得點F2到直線PF1的距離為A.(1,52) B.(5C.(1,5) D.(5,+∞)【解析】選B.雙曲線的漸近線方程為y=±bax,由極限思想,設(shè)過F1且與一條漸近線平行的直線l的方程為y=ba(x+c),即bx-ay+bc=0.依題意,若在雙曲線右支上存在點P,使得點F2到直線PF1的距離為a,則點F2到直線l的距離大于a,即d=2bca2+b2>a,所以2b>a,所以ba>12,e=ca=c2a2【解題技法】求雙曲線離心率的方法(1)若可求得a,c,直接利用e=ca(2)若已知a,b,可直接利用e=1+(b(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r為常數(shù),且pqr≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+qe+r=0求解.角度2雙曲線的漸近線方程[例5](1)(2024·南京模擬)設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P滿足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1FA.3x±4y=0 B.4x±3y=0C.3x±5y=0 D.5x±4y=0【解析】選B.作F2Q⊥PF1于點Q,如圖所示,因為|F1F2|=|PF2|,所以Q為PF1的中點,由雙曲線的定義知||PF1|-|PF2||=2a,所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因為cos∠PF1F2=45,所以|F1Q||F即a+c2c=45,得3c=5a,所以3a2+故雙曲線的漸近線方程為y=±43x,即4x±3y=0(2)(一題多法)(2022·北京高考)已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±33x,則m【解