專練16（幾何類壓軸題）中考數(shù)學(xué)考點必殺500題（江西專用）（解析版）

2021中考考點必殺500題專練16（幾何類壓軸題）（30道）1．（2021·江西九年級一模）如圖1，在菱形中，，，點為上一動點，在點的運動過程中，始終保持，，連接，，與相交于點．（1）如圖1，求證四邊形為平行四邊形；（2）當點運動到什么位置時，四邊形為矩形？并說明理由；（3）如圖2，延長到，使，連接，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）的垂直平分線上，理由見解析；（3），理由見解析【分析】（1）菱形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，繼而可證得四邊形為平行四邊形；（2）通過證得，再結(jié)合四邊形為平行四邊形，即可得證；（3）連接，根據(jù)四邊形為平行四邊形及，可得是△的中位線，繼而得到，根據(jù)菱形的軸對稱可得，繼而可得．【詳解】解：（1）證明：由菱形的性質(zhì)可得，，由平移可得，，；∴，，∴四邊形為平行四邊形；（2）當點運動到的垂直平分線上時，四邊形為矩形．∵菱形中，，∴，，∵，∴，即，又∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為矩形；（3）如圖，連接，由（1）得四邊形為平行四邊形，∴，又∵，∴是的中位線，∴，由菱形的軸對稱可得，即，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)判定與性質(zhì)．2．（2021·江西九年級二模）如圖1，在正方形中，點分別在邊上，且，延長到點G，使得，連接．（特例感知）（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______________．（結(jié)論探索）（2）圖2，將圖1中的繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接并延長到點G，使得，連接，此時與還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）在（2）的條件下，若，當是以為直角邊的直角三角形時，請直接寫出的長．【答案】(1)=，(2)存在，證明見解析，（3）或或16或4．【分析】(1)連接GC，證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(2)類似（1）的方法，先證△AFD≌△AEB，再證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(3)根據(jù)E、F是直角頂點分類討論，結(jié)合（2）中結(jié)論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，∵，∴DG=BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴=；故答案為：=；(2)存在，連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，與（1）同理，=；(3)當∠FEG=90°時，如圖1，因為∠FEA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一條直線上，∵AB=5，∴AC=5,CE=5-3=2,GE=EC=4；如圖2，E在CA延長線上，同理可得，EC=8，GE=EC=16；當∠EFG=90°時，如圖3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，所以，B、E、F在一條直線上，作AM⊥EF，垂足為M，∵，∴EF=6，AM=ME=MF=3，，BE=DF=1,FG=2，；如圖4，同圖3，BE=DF=7，F(xiàn)G=14，EF=6，，綜上，的長為或或16或4．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當?shù)倪B接輔助線，構(gòu)造全等三角形；會分類討論，結(jié)合題目前后聯(lián)系，解決問題．3．（2021·江西九年級一模）定義：在凸四邊形中，我們把兩組對邊乘積的和等于對角線的乘積的四邊形稱為“完美四邊形”．（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四邊形”的是．（2）如圖1，在“完美四邊形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，求線段BD的長．（3）如圖2，⊙O內(nèi)接四邊形EFGH，GE為⊙O的直徑．①求證：四邊形EFGH為“完美四邊形”．②若EF＝6，F(xiàn)G＝8，F(xiàn)H是否存在一個值使四邊形EFGH的面積最大？若存在，求出FH的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）正方形、矩形；（2）3；（3）存在，．【分析】（1）依次判斷正方形、矩形、菱形是否滿足定義條件即可；（2）根據(jù)“完美四邊形”的定義，得到邊和對角線之間的關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)運算即可求解；（3）①做輔助線構(gòu)造出兩組相似三角形，得到四邊形的邊和對角線之間的關(guān)系，再利用等式的性質(zhì)代換即可得到所需條件，進而得以求證；②將四邊形分成兩部分，一部分是，得到它的面積為定值，另一部分為，它的面積隨H點位置的變化而變化，當H點到GE的垂線段就是半徑時為最大，此時的面積也最大，從而整個四邊形的面積就最大；再利用勾股定理和“完美四邊形”的定義等進行求解即可．【詳解】解：（1）正方形、矩形理由如下：①如圖，設(shè)正方形邊長為a，∴對角線長為，所以對角線的積為，因為兩組對邊的積的和為，∴正方形為“完美四邊形”．②如圖，設(shè)矩形的兩鄰邊長分別為b和c，∴矩形的對角線長為，∵矩形的對角線長相等，∴矩形對角線的積為，又∵矩形對邊的積分別為和，則對邊積的和為∴矩形為“完美四邊形”．③如圖，設(shè)菱形的兩條對角線長的一半分別為m和n，∴菱形的邊長為，∵菱形的四條邊相等，∴菱形的對邊的積的和為，∵菱形的對角線的積為，令，∴∴只有當時，該菱形才為“完美四邊形”，當時，則它不是“完美四邊形”，∴菱形不是“完美四邊形”．綜上可知：只有正方形和矩形是“完美四邊形”．（2）由“完美四邊形”的定義可知：，∴．（3）①如圖，在GE上取一點M，使∠GFM=∠HFE，∵∠FGM=∠FHE（同弧所對的圓周角相等），∴∽∴∴，∵∠GFM=∠HFE，∴∠GFH=∠MFE，又∵∠GHF=∠MEF，∴∽，∴，∴，∴∴四邊形EFGH為“完美四邊形”．②存在；理由：如下面圖①，∵GE是直徑，∴∠EFG=90°，∴，的面積為∴要使四邊形GFEH面積最大，則只需面積最大，作HN⊥GE，垂足為N，則HN的值最大時，面積就最大，因為H點到直徑DE的垂線段的長最大為半徑，即垂足N點在原點時最大；如下面圖②，當O點與N點重合時，由GE是直徑，∴∠GHE=90°，∵HN垂直平分GE，∴HG=HE，∵∴；由它是“完美四邊形”，∴∴，∴存在，當時，面積最大．【點睛】本題為新定義型試題，綜合考查了圓、相似、勾股定理、四邊形等內(nèi)容，考查了學(xué)生對相關(guān)概念的理解與應(yīng)用，本題屬于壓軸題，其中作輔助線是一個難點，對學(xué)生的綜合分析與知識點運用的能力有著十分高的要求，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合等思想．4．（2021·江西贛州市·九年級一模）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．【答案】（1）∠E＝α；（2）見解析；（3）①∠AED＝45°；②【分析】（1）由角平分線的定義可得出結(jié)論；（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，證得∠ABF=∠FBC，證出∠ACD=∠DCT，則CE是△ABC的外角平分線，可得出結(jié)論；（3）①連接CF，由條件得出∠BFC=∠BAC，則∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，證明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE=DA，則∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，則可求出答案；②過點A作AG⊥BE于點G，過點F作FM⊥CE于點M，證得△EGA∽△ADC，得出，求出，設(shè)AD=4x，AC=5x，則有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的長，求出DM，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出FM，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案．【詳解】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如圖1，延長BC到點T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線，∵，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）①如圖2，連接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，F(xiàn)D＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如圖3，過點A作AG⊥BE于點G，過點F作FM⊥CE于點M，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴設(shè)AD＝4x，AC＝5x，則有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE?FM＝．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了角平分線的定義，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江西贛州市·九年級期末）（問題提出）如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點，，，．求的度數(shù)．（數(shù)學(xué)思考）當圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題．（嘗試解決）（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，則為等邊三角形．，，，為______三角形的度數(shù)為______．（類比探究）（2）如圖2，在等邊三角形外部有一點，若，求證．（聯(lián)想拓展）（3）如圖3，在中，，．點在直線上方且，，求的長．【答案】（1）直角；150°；（2）見詳解；（3）．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的逆定理，判定為直角三角形，即可得到答案；（2）將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到如圖所示，再連接，由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，從而得到結(jié)論成立；（3）將△PAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到如圖所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接，則為等邊三角形．∴，，，，為直角三角形，∴,的度數(shù)為：．故答案為：直角；150°．（2）將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到如圖所示，再連接，∵△ABC是等邊三角形，則點與點B重合，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∴是等邊三角形，則，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∵，，∴．（3）將△PAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到如圖所示，∵AB=AC，∠BAC=90°，則點與點C重合，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，，∴是等腰直角三角形，∴，則點P、、B三點共線，∵，，∴點是PB的中點，設(shè)，則，由勾股定理，得，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理進行解題，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線進行分析．6．（2021·江西吉安市·）如圖，在正方形中，點E在對角線上，，過點E的直線分別交，于點M，N．（1）當時，的長為________，________；（2）已知．①若，求此時的長；②當E，F(xiàn)為的三等分點，點P在正方形的邊上時，是否存在滿足的情況？如果存在，請通過分析指出這樣的點的個數(shù)；如果不存在，說明理由．【答案】（1）；；（2）①；②存在，有8個．【分析】解：（1）由四邊形ABCD為正方形，得到△ACD為等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的長，由MN=CD，可以求出MN的長，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.（2）①過點E作EG⊥AD于點G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到對應(yīng)邊成比例，由勾股定理求出GM的長，再由AM=AG+GM可求出．②畫出圖形，過點F作點F關(guān)于BC的對稱點M，連接FM交BC于點N，連接EM，根據(jù)點M與點F關(guān)于BC對稱，計算出PE+PF的最小值，與PE+PF=9比較．得出BC上存在兩個點，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個點使PE+PF=9．【詳解】解：（1），∵四邊形ABCD為正方形∴△ACD為等腰直角三角形，則，在Rt△ACD中有AD=AC，AD2+DC2=AC2，∵AC=12，解得：AD=CD=6，又∵MN⊥BC，CD⊥BC∴MN∥CD，且MN=CD，即MN=DC=6，又∵AD∥BC∴△AEM∽△CEN.（2）①如圖，過點E作于點G．

∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，∴．∴．∴．②存在，這樣的點有8個．如圖，過點F作點F關(guān)于的對稱點M，連接交于點N，連接，∵點E，F(xiàn)將對角線三等分，且，∴，．∵點M與點F關(guān)于對稱，∴，．∴．∴．則在線段上存在點N到點E和點F的距離之和最小為．∴在線段上，點N的左右兩邊各有一個點P使．同理在線段，，上都存在兩個點使．即共有8個點P滿足．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段和的最值問題等，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng).7．（2021·江西上饒市·九年級期末）觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D與點C重合，點E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點D沿CA方向移動，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請求出具體數(shù)值：若不變，請說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至點F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請用含有n，a的式子表示）【答案】（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，構(gòu)造直角三角形：△ADG，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合方程求得答案；（3）如圖3，過點E作EG⊥AD于點G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點D作DG∥BC交AB于點G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設(shè)DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點E作EG⊥AD于點G，設(shè)AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．8．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·九年級期末）如圖將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度后，與構(gòu)成位似圖形，則稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識理解：①兩個重合了一個頂點且邊長不相等的等邊三角形________（填：是或不是）“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．如圖，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”②若，，，則的度數(shù)為________；③若，，，則的長度為________；（2）知識運用：如圖，在四邊形中，，于，．求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）拓展提高：如圖，為等腰直角三角形，點為斜邊的中點，點是上一點，是延長上一點，點在線段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，若，，求和的長．【答案】（1）①是；②；③；（2）證明見解析；（2）DE=；BD=．【分析】（1）①根據(jù)“旋轉(zhuǎn)位似圖形”的定義即可得答案；②由“旋轉(zhuǎn)位似圖形”的定義可得△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠C、∠BAC的度數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EAC=26°，利用角的和差關(guān)系即可得答案；③由“旋轉(zhuǎn)位似圖形”的定義可得△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)及角的和差關(guān)系可得∠2=∠BAE，即可得出∠1=∠BAE，進而可證明△ACD∽△ABE，即可得結(jié)論；（3）作交直線于點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出AB的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AE的長，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠DAE=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=AE′，即可證明點E與點E′重合，可得AE⊥DG，可得DE=AE，即可得出DE的長，利用勾股定理即可求出BD的長．【詳解】（1）①如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，∴△ABC∽△ADE，∴繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度后與構(gòu)成位似圖形，故答案為：是②∵與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”∴△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E=29°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°，∵△ADE繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度后，與△ABC構(gòu)成位似圖形，∴∠EAC==26°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°，故答案為：25°③∵與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”∴△ABC∽△ADE，∴，即，解得：BC=，故答案為：（2）∵AE⊥BD，∠ABC=90°，∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAE，∵∠ADC=∠AEB=90°，∴△ACD∽△ABE，∵△ACD與△ABE有一個公共頂點A，∴△ACD與△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）如圖，作交直線于點，∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6，∴AB=AC=，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，．，，；．∴∠DAE′=45°，∴為等腰直角三角形．，．，點和點重合，．∴，，∴．【點睛】本題考查位似圖形及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合，理解“旋轉(zhuǎn)位似圖形”的定義并熟練掌握相似三角形的判定定理、是解題關(guān)鍵．9．（2021·江西）在中，，點E在射線上運動．連接，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，點E在點B的左側(cè)運動．①當，時，則_________；②猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系為_____________________________．（2）如圖2，點E在線段上運動時，第（1）問中線段與之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系．（3）點E在射線上運動，，設(shè)，以A，E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形面積為y，請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出x的取值范圍）．【答案】（1）①30；②；（2）不成立，；（3）點E在點B左側(cè)運動時，；點E在線段上運動時，．【分析】(1)①根據(jù)勾股定理，得AE=2，逆用直角三角形中，30°角的性質(zhì)即可得到答案；②過點F作FD⊥EC，垂足為D，證△ABE≌△EDF，從而證明AB=ED=BC，F(xiàn)D=DC，可探解結(jié)論；(2)按照（1）的思路，探解，可得到不同的結(jié)論；(3)按照（1），（2）兩種情形，分別表示四邊形的面積即可.【詳解】解：（1）①根據(jù)勾股定理,得AE==2，∵BE=1=AE，∴∠BAE=30°；②．理由如下：如圖1，過點F作FD⊥EC，垂足為D，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠DEF，∵AE=EF，∠ABE=∠EDF=90°，∴△ABE≌△EDF，∴AB=ED=BC，∴FD=DC，∴CF=CD，AC=AB=ED，∴AC+CF=CD+ED=(CD+ED)=CE；（2）不成立．如圖2，過點F作交的延長線于點H．∴，∴∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FEH=∠BAE，∴，∴,∴,∴為等腰直角三角形，∴．又∵,即．（3）如圖1，當點E在點B左側(cè)運動時，y=CE×(AB+FD)==；如圖2，當點E在點B右側(cè)運動時，連接AF，根據(jù)勾股定理，得AE=，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得AE=EF，∴EC=EH-CH=BC-BE=∴y=AE×EF+EC×FH=+=+=．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形的全等，線段之間關(guān)系的猜想與證明，分類思想，圖形的面積，熟練掌握分類思想，學(xué)會構(gòu)造直角三角形，圖形面積的分割是解題的關(guān)鍵.10．（2021·江西宜春市·九年級期中）如圖①，正方形ABCD的邊長為4，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°）得到正方形AEFG，連接BE并延長交CF于點O，連接AC，AF．（1）旋轉(zhuǎn)角α與∠OBC的數(shù)量關(guān)系是，∠OBC與∠OEF的數(shù)量關(guān)系是；（2）猜想：在旋轉(zhuǎn)過程中，OC與OF的數(shù)量關(guān)系是什么？請證明你的結(jié)論；（3）如圖②，當α＝45°時，求△BCH的面積．【答案】（1）α＝2∠OBC，∠OBC＝∠OEF；（2）OC＝OF，理由見解析；（3）8﹣8【分析】（1）如圖，作AK⊥BE于K，由∠ABK+∠BAK＝90°，和∠ABK+∠OBC＝90°，可得∠BAK＝∠OBC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AB＝AE，由AK⊥BE，∠ABE＝∠AEB，可得∠BAK＝α，由∠AEB+∠OEF＝90°，可得∠OBC＝∠OEF；（2）OC＝OF，理由如下：如圖，過點F作FM⊥BO交BO的延長線于M，過點C作CN⊥BO于N，可證△BCN≌△EFM（AAS），再證△OCN≌△OFM（AAS），可得OC＝OF；（3）當α＝45°時，AF與AD在同一條直線上，可求AF＝4，DF＝4﹣4，由面積公式△CDF的面積＝×DF×CD＝8﹣8，可證△BCH≌△CDF（ASA），可得△BCH的面積＝△CDF的面積＝8﹣8．【詳解】解：（1）如圖，作AK⊥BE于K，∴∠ABK+∠BAK＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABK+∠OBC＝90°，∴∠BAK＝∠OBC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AB＝AE，∵AK⊥BE，∠ABE＝∠AEB，∴∠BAK＝α，∴α＝2∠OBC，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠OEF＝90°，∴∠OBC＝∠OEF，故答案為：α＝2∠OBC，∠OBC＝∠OEF；（2）OC＝OF，理由如下：如圖①，過點F作FM⊥BO交BO的延長線于M，過點C作CN⊥BO于N，在△BCN和△EFM中，，∴△BCN≌△EFM（AAS），∴NC＝FM，在△OCN和△OFM中，，∴△OCN≌△OFM（AAS），∴OC＝OF；（3）當α＝45°時，AF與AD在同一條直線上，∵正方形的邊長為4，∴AF＝4，∴DF＝4﹣4，∴△CDF的面積＝×DF×CD＝8﹣8，∵AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝∠ACD＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝67.5°，∴∠OBC＝90°﹣∠ABE＝22.5°，∠DCF＝∠ACF﹣45°＝22.5°．∴∠OBC＝∠DCF．在△BCH和△CDF中，，∴△BCH≌△CDF（ASA），∴△BCH的面積＝△CDF的面積＝8﹣8．【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)特征，互余角關(guān)系，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，掌握正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)特征，互余角關(guān)系，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形面積是解題關(guān)鍵．11．（2021·江西撫州市·九年級月考）（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖（1），在正方形ABCD中，若點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD邊上的動點（均不與端點重合），且∠EAF=45°，試判斷BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．小明把△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，發(fā)現(xiàn)EF=BE+DF，請你給出證明過程；（2）類比探究①如圖（2），在正方形ABCD中，若點E，F(xiàn)分別是邊CB，DC延長線上的動點，且∠EAF=45°，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請寫出證明過程．②如圖（3），在正方形ABCD中，若點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的動點，且∠EAF=45°，請直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．（不要求證明）（3）拓展應(yīng)用在（1）中，若正方形ABCD的邊長為6，AE=，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）①不成立，理由見解析；②BE=EF+DF；（3）5【分析】（1）證明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，則結(jié)論得證；（2）①將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM根據(jù)SAS可證明△EAF≌△MAF，可得EF=FM，則結(jié)論得證；②將△ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABN，證明△AFE≌△ANE，可得出EF=EN，則結(jié)論得證；（3）求出DG=2，設(shè)DF=x，則EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，得出關(guān)于x的方程，解出x則可得解．【詳解】（1）證明：把△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，如圖1，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，∴∠ADF+∠ADG=180°，∴F，D，G三點共線，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠DAG+∠FAD=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=FG=DF+DG，∴EF=DF+BE；（2）①不成立，結(jié)論：EF=DF-BE；證明：如圖2，將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM，∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，∴∠FAM=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；②結(jié)論為：BE=EF+DF，如圖3，將△ADF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABN，∴AN=AF，∠NAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠NAE=45°，∴∠NAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF=EN，∴BE=BN+NE=DF+EF．即BE=EF+DF；（3）解：由（1）可知AE=AG=3，∵正方形ABCD的邊長為6，∴DC=BC=AD=6，∴DG=，∴BE=DG=3，∴CE=BC-BE=6-3=3，設(shè)DF=x，則EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，∴(6-x)2+32=(x+3)2，解得：x=2．∴EF=x+3=5．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進行推導(dǎo)．12．（2021·江西贛州市·九年級期末）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)．（1）當△DEC統(tǒng)點C旋轉(zhuǎn)到點D恰好落在AB邊上時，如圖2．①當∠B=∠E=30°時，此時旋轉(zhuǎn)角的大小為；②當∠B=∠E=α時，此時旋轉(zhuǎn)角的大小為(用含a的式子表示)．（2）當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小楊同學(xué)猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學(xué)的猜想是否正確，若正確，請你證明小楊同學(xué)的猜想．若不正確，請說明理由．【答案】（1）①60°；②2α；（2）小楊同學(xué)猜想是正確的．證明見解析．【分析】（1）①證明△ADC是等邊三角形即可．

②如圖2中，作CH⊥AD于H．想辦法證明∠ACD=2∠B即可解決問題．

（2）小揚同學(xué)猜想是正確的．過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，想辦法證明△CBN≌△CEM（AAS）即可解決問題．【詳解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴旋轉(zhuǎn)角為60°．故答案為：60°．②如圖2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋轉(zhuǎn)角為2α．故答案為：2α．（2）小楊同學(xué)猜想是正確的．證明如下：過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC?CD?BN，S△ACE?AC?EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．13．（2021·江西吉安市·九年級一模）在△ABC中，AB=BC，點O是AC的中點，點P是AC上的一個動點（點P不與點A，O，C重合）．過點A，點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F，連接OE，OF（1）如圖1，請直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當∠ABC=90°時，請判斷線段OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，當△POF為等腰三角形時，請直接寫出線段OP的長．【答案】（1）OF=OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由見解析；（3）OP的長為或.【分析】（1）如圖1中，延長EO交CF于K，證明△AOE≌△COK，從而可得OE=OK，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；（2）如圖2中，延長EO交CF于K，由已知證明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，繼而可證得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分點P在AO上與CO上兩種情況分別畫圖進行解答即可得.【詳解】（1）如圖1中，延長EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；（2）如圖2中，延長EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如圖3中，點P在線段AO上，延長EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=EK=2，∵△OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP=.如圖4中，點P在線段OC上，當PO=PF時，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=OE=，綜上所述：OP的長為或.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.14．（2021·贛州市南康區(qū)教學(xué)研究室九年級一模）在中，，，動點在直線上（不與點，重合），連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，，分別是，的中點，連接．（特例感知）（1）如圖1，當點是的中點時，與的數(shù)量關(guān)系是______．與直線的位置關(guān)系是______．（猜想論證）（2）當點在線段上且不是的中點時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？①請在圖2中補全圖形；②若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）若，其他條件不變，連接、．當是等邊三角形時，請直接寫出的面積．【答案】（1），；（2）①見解析；②結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）由把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，可得AD=AE，∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°由點D為BC中點，AB=AC，∠BAC=90°，可得AD⊥BC，∠ABC=∠BCA=45°，AD=BD=CD，可證DF⊥AC，AF=CF，由FG為△ADC的中位線，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G，F(xiàn)G⊥BC；（2）①補全圖形如圖所示；②結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，．連結(jié)EC，由把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，可得AD=AE，∠DAE=90°，可證△BAD≌△CAE（SAS）∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，由，分別是，的中點，可得FG為△DEC的中位線即可；（3）連接，作，由，結(jié)合勾股定理AM2+BM2=AB2，即2AM2=2，可求AM2=1，AM=1，當點在點的左側(cè)時，，可得，DM×tan30°=AM，可求DM=，可求的面積為：，當點在點的右側(cè)時，，可得，可求的面積為：即可．【詳解】解：（1）∵把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴AD=AE，∠DAE=90°，∴∠ADE=∠AED=45°∵點D為BC中點，AB=AC，∠BAC=90°，∴AD⊥BC，∠ABC=∠BCA=45°，AD=BD=CD，∴∠DAC=∠ACD=45°∴∠CDE=90°-∠ADE=90°-45°=45°∴DF⊥AC，AF=CF，∵G為DC中點，∴DG=CG，∴FG為△ADC的中位線，∴FGAD，F(xiàn)G，∴FG⊥BC；（2）①補全圖形如圖所示（下列兩圖均可）②結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，．連結(jié)EC，∵把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∠ABC=∠BCA=45°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴EC⊥BC，∵，分別是，的中點，∴FG為△DEC的中位線，∴，．∴；（3）或．連接，作，∵，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°由勾股定理AM2+BM2=AB2，即2AM2=2∴AM2=1，AM=1，，∴∠BAM=45°∵AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，點F為DE中點，∴AD=AE，∠DAE=90°，AF平分∠DAE，∴∠FAE=45°，∴．如圖3-1中，當點在點的左側(cè)時，∵△ACF是等邊三角形，∴∠FAM=∠FAC-∠MAC=60°-45°=15°又∵∠FAM為旋轉(zhuǎn)角，∴，∴，DM×tan30°=AM，∴DM=∴，，∴的面積為：．如圖3-2中，當點在點的右側(cè)時，，∴，∴，，∴的面積為：．【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形中位線，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角銳角三角函數(shù)，三角形面積，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形中位線，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角銳角三角函數(shù)，三角形面積是解題關(guān)鍵．15．（2021·江西九年級其他模擬）如圖1，菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，連接，．特例探索（1）當時，；當時，；拓展應(yīng)用（2）如圖2，若射線，交于點，．①求與的數(shù)量關(guān)系；②連接，若，，求的值；③當?shù)扔诙嗌贂r，點，，在同一直線上？請直接寫出的值，不必說明理由．【答案】（1）180°；90°；（2）①；②100°；③90°，理由見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行判斷即可；（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出∠AEO+∠AEG=∠AEO+∠ABD=180°，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可推出結(jié)論；②結(jié)合已知條件可分別先求出各部分角度，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出∠BOG的度數(shù)，再結(jié)合①的結(jié)論求解即可；③根據(jù)前兩問的思路，討論，能夠唯一得出∠COF=180°即可得證．【詳解】（1）當菱形轉(zhuǎn)動180°，使∠BAD與∠EAG形成一組對頂角時，BD∥EG；當菱形轉(zhuǎn)動90°時，BD⊥EG；故答案為：180°；90°；（2）①由題意，△BAD≌△EAG，∴∠ABD=∠AEG，∵射線，交于點，∴∠AEO+∠AEG=∠AEO+∠ABD=180°，∴在四邊形ABOE中，∠BAE+∠O=360°-（∠AEO+∠ABD）=180°，∵，，∴；②如圖所示，作AM⊥BD，AN⊥GE，則AM=AN，由菱形的性質(zhì)知，AB=AD，△ABD為等腰三角形，當時，∠ABD=∠ADB=70°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=70°，∴∠BOA=40°，∵AM=AN，∴OA平分∠BOG，即：∠BOA=∠GOA=40°，∴∠BOG=80°，即：，由①知：，∴；③當時，點，，在同一直線上，理由如下：如圖所示，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠BDC=∠BDA，∴∠CDO=∠ADO，又CD=AD，OD=OD，∴△ODC≌△ODA，∴∠AOD=∠COD，同理可得∠AOE=∠FOE，∵，∴，即：∠BOG=90°，由②可知，∠AOB=∠AOG=45°，∴∠AOD=∠COD=∠AOE=∠FOE=45°，∴∠COF=4×45°=180°，∴點，，在同一直線上．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握菱形和旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2021·江西九年級其他模擬）操作：如圖1，正方形ABCD中，AB=a，點E是CD邊上一個動點，在AD上截取AG=DE，連接EG，過正方形的中線O作OF⊥EG交AD邊于F，連接OE、OG、EF、AC．探究：在點E的運動過程中：（1）猜想線段OE與OG的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）∠EOF的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？若不會，求出其度數(shù)，若會，請說明理由．應(yīng)用：（3）當a=6時，試求出△DEF的周長，并寫出DE的取值范圍；（4）當a的值不確定時：①若=時，試求的值；②在圖1中，過點E作EH⊥AB于H，過點F作FG⊥CB于G，EH與FG相交于點M；并將圖1簡化得到圖2，記矩形MHBG的面積為S，試用含a的代數(shù)式表示出S的值，并說明理由．【答案】（1）OE=OG，理由參見解析；（2）不會發(fā)生變化，∠EOF=45°；（3）6，（0＜DE＜3）；（4）①，②S=a2，理由參見解析.【分析】（1）連接OD,由正方形的性質(zhì)和已知條件得到△AOG≌△DOE即可；（2）由△AOG≌△DOE得到結(jié)論，再結(jié)合同角或等角的余角相等求出∠EOF；（3）判斷出OF垂直平分EG，計算出周長=DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD=AB=6即可；（4）①先判斷出△AOF∽△CEO，得出S△AOF:S△CEO=AF:CE，進而求出結(jié)果．②由△AOF∽△CEO得出對應(yīng)線段成比例，可導(dǎo)出AF×CE=OA×OC，因為S=AF×CE，所以可求出S=OA×OC=a2.【詳解】（1）OE=OG，理由：如圖1，連接OD，在正方形ABCD中，∵點O是正方形中心，∴OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，∵AG=DE，∴△AOG≌△DOE，∴OE=OG；（2）∠EOF的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由：由（1）可知，△AOG≌△DOE，∴∠DOE=∠AOG，∵∠AOG+∠DOG=90°，∴∠DOE+∠DOG=90°，∴∠DOE=∠AOG，∵∠EOG=90°，∵OE=OG，OF⊥EG，∴∠EOF=45°，∴∠EOF恒為定值；（3）由（2）可知，OE=OG，OF⊥EG，∴OF垂直平分EG，∴△DEF的周長為DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD，∵AB=a=6，∴△DEF的周長為AD=AB=a=6，（0＜DE＜3）；（4）①如圖2，∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠AOF=135°∵∠OAF=45°，∴∠AFO+∠AOF=135°，∴∠COE=∠AFO，∴△AOF∽△CEO，∴S△AOF:S△CEO=(OF:OE)2，∵O到AF與CE的距離相等，∴S△AOF:S△CEO=AF:CE，∴（）2=，∵＞0，∴=，②猜想：S=a2，理由：如圖3，由（1）可知，△AOF∽△CEO，∴，∴AF×CE=OA×OC，∵EH⊥AB，F(xiàn)G⊥CB，∠B=90°，∴S=AF×CE，∴S=OA×OC=．考點：1.正方形的性質(zhì)；2.線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)；3.相似三角形的性質(zhì)和判定.17．（2020·江西南昌市·九年級三模）（概念建立）如圖1，點D是中點，點E是中點，連接，則稱為的中位線，則①；②．（概念辨析）給出中位線的兩個逆命題：（?。┤酎cE是的中點，，則點D是的中點；（ⅱ）若點E是的中點，，則點D是的中點．（1）判斷這兩個命題是真命題，還是假命題，若是真命題，則證明；若是假命題，則舉例說明．（解決問題）如圖2，點P，Q，M，N分別是四邊形各邊的中點，（2）求證：．（綜合運用）（3）如圖3，已知，，，點M、N分別是、的中點，求的長度．（4）如圖4，已知點P、Q分別是，的中點，且，求證：．【答案】（1）命題（ⅰ）是假命題，說明見解析；命題（ⅱ）是真命題，證明見解析；（2）證明見解析；（3）1；（4）證明見解析．【分析】（1）命題（ⅰ）：畫出圖形，舉出反例即可；命題（ⅱ）：如圖（見解析），先根據(jù)中位線定理可得，再根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)中位線定理可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，同理可得，然后根據(jù)面積的和差即可得；（3）如圖（見解析），先根據(jù)中位線定理可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得E、M、N三點共線，然后根據(jù)線段的和差即可得；（4）如圖（見解析），先根據(jù)中位線定理可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，最后根據(jù)等量代換可得，從而可得E、B、C三點共線，由此即可得證．【詳解】（1）①命題（?。┦羌倜}，舉例說明如下：如圖，點E是的中點，點F是AB的中點，是的中位線，，由圓的性質(zhì)得：，，但點D不是的中點；②命題（ⅱ）是真命題，證明如下：如圖，取BC的中點為點F，連接EF，點E是的中點，是的中位線，，，四邊形BDEF是平行四邊形，，，即點D是的中點；（2）如圖，連接AC、BD，點P、N分別是AB、AD的中點，是的中位線，，，，即，同理可得：，，，，，；（3）如圖，取AD的中點為點E，連接EM、EN，點M是BD的中點，是的中位線，，同理可得：，，，又，點E、M、N共線，；（4）如圖，連接DP，并延長至點E，使得，連接BE、CE，點P是DE的中點，點Q是CD的中點，是的中位線，，，，即，點P是AB的中點，，在和中，，，，，又，，點E、B、C共線，．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，較難的是題（4），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和中位線是解題關(guān)鍵．18．（2020·江西九年級一模）（1）方法導(dǎo)引：問題：如圖1，等邊三角形的邊長為6，點是和的角平分線交點，，繞點任意旋轉(zhuǎn)，分別交的兩邊于，兩點．求四邊形面積．討論：①小明：在旋轉(zhuǎn)過程中，當經(jīng)過點時，一定經(jīng)過點．②小穎：小明的分析有道理，這樣我們就可以利用“”證出．③小飛：因為，所以只要算出的面積就得出了四邊形的面積．老師：同學(xué)們的思路很清晰，也很正確．在分析和解決問題時，我們經(jīng)常會借用特例作輔助線來解決一般問題：請你按照討論的思路，直接寫出四邊形的面積：________．（2）應(yīng)用方法：①特例：如圖2，的頂點在等邊三角形的邊上，，，邊于點，于點，求的面積．②探究：如圖3，已知，頂點在等邊三角形的邊上，，，記的面積為，的面積為，求的值．③應(yīng)用：如圖4，已知，頂點在等邊三角形的邊的延長線上，，，記的面積為，的面積為，請直接寫出與的關(guān)系式．【答案】（1）；（2）①的面積；②xy=12；③．【分析】（1）連接、，利用ASA證出，從而得出的面積與四邊形的面積相等，過點作于點，利用銳角三角函數(shù)求出OH即可求出△OBC的面積，從而得出結(jié)論；（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而求出∠BOD，然后根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出OD和BD，從而求出結(jié)論；②過點作于，于，根據(jù)相似三角形判定定理可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，變形可得，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)論；③過點作交的延長線于，于，根據(jù)相似三角形的判定定理可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，變形可得，分別求出OM和ON，再結(jié)合三角形的面積公式即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接、∵是等邊三角形，∴∵是和的角平分線交點∴∴，∴∴∴的面積與四邊形的面積相等過點作于點∵，∴∵，∴，∴∴四邊形的面積為．故答案為：．（2）①∵是等邊三角形，∴∵于點，∴∵，∴，，∴的面積②過點作于，于．由①得：，同理：∵是等邊三角形，∴∵，∴∴，∴∴，∴∴③過點作交的延長線于，于．∵，∴∴，∵∴，∴∴∵，，∴，∴∵，，∴，∴∴【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．19．（2020·江西吉安市·九年級其他模擬）已知菱形中，為對角線，點是的中點，連接交于點，的垂直平分線交于點，交于點，連接.（1）若，求證：四邊形是正方形（2）已知，求的長；（3）若固定，設(shè)，將繞著點從點開始逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，菱形也隨之變化，且滿足，若是直角三角形，直接寫出的值；【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，由垂直平分線的性質(zhì)可得，，由等邊對等角可得：，等量代換可得，由平行線的判定及性質(zhì)可得，＝90°，繼而由正方形的判定求證結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可知，，由相似三角形的判定可得，繼而由相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可得：，根據(jù)題（1）可知，進而可證△BGE∽△BAD，由此可知，代入數(shù)據(jù)，求出，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)求解；（3）根據(jù)題意，從旋轉(zhuǎn)過程中可看出，線段在旋轉(zhuǎn)360°的過程中，由0°增大到90°再減小到0°再增加到90°再到0°，據(jù)此結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是菱形∴，∴，∵的垂直平分線交于點∴，∴，∴∴∴∵，∴∵四邊形是菱形∴四邊形是正方形（2）∵四邊形是菱形∴，∴；∴∴∵∴△BGE∽△BAD，∴∵∴∵的垂直平分線交于點∴．（3）若是直角三角形時的值可能是60°，90°，270°或300°∵從旋轉(zhuǎn)過程中可看出，線段在旋轉(zhuǎn)360°的過程中，由0°增大到90°再減小到0°再增加到90°再到0°∴第一次出現(xiàn)是直角三角形時，如圖1所示，此時為的一半，可得旋轉(zhuǎn)角度即為60°；第二次出現(xiàn)是直角三角形時，如圖2所示，此時（1）中已證明旋轉(zhuǎn)角度即為90°；當繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時到達的下方，同理可得旋轉(zhuǎn)角度為270°和300°．【點睛】本題主要考查四邊形的綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)、正方形的判定、相似三角形的判定及其性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，熟練運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．20．（2020·江西九年級二模）如圖，正方形的對角線交于點O，，．（1）在圖1中，點A與點E重合，與相交于點P，連接，求證：是等腰三角形．（2）猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)度角（）．①當旋轉(zhuǎn)角為30°時，判斷的形狀，并說明理由．②在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在為等腰三角形的情況？如果存在，直接寫出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；如果不存在，直接作出判斷，不必說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）①是等邊三角形，理由見解析；②存在，旋轉(zhuǎn)的角度為或．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得和的度數(shù)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可得證；（2）如圖（見解析），過點O作于點G，過點F作于點H，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的三線合一、直角三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)即可得；（3）①先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差得出，從而可得垂直平分EF，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，又根據(jù)（2）的結(jié)論、等腰三角形的三線合一可得垂直平分AB，從而可得，最后根據(jù)等量代換可得，由此即可得出結(jié)論；②根據(jù)等腰三角形的定義，分、和，先確定點E、F的運動軌跡，從而可得為等腰三角形時，點E、F的位置，再結(jié)合①的結(jié)論，三角形全等的判定定理與性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1），點A與點E重合，，四邊形ABCD是正方形是等腰三角形；（2），理由如下：如圖，過點O作于點G，過點F作于點H，則四邊形ABCD是正方形是等腰直角三角形斜邊上的中線（等腰三角形的三線合一）在中，四邊形OFHG是平行四邊形平行四邊形OFHG是矩形；（3）①是等邊三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：由正方形的性質(zhì)得：，，，即平分是等腰三角形垂直平分EF（等腰三角形的三線合一）如圖，連接OE、AE，延長OE交AB于點M由（2）可知，是等腰三角形垂直平分AB（等腰三角形的三線合一）是等邊三角形；②根據(jù)等腰三角形的定義，分以下三種情況：（?。┊敃r，為等腰三角形由①可知，此時旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（ⅱ）當時，為等腰三角形如圖，由題意可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點E、F的運動軌跡在以點D為圓心，DA長為半徑的圓上過點O作的平行線，交圓D于點P由①可知，由三角形的三邊關(guān)系定理得：則以點B為圓心，BP長為半徑畫圓，與圓D必相交于兩點，即點P、Q即只有當點E運動至點P或點Q時，才有當點E運動至點P時，由①可知，此時旋轉(zhuǎn)的度數(shù)當點E運動至點Q時，連接BQ、CQ、DQ則由①可知，為等邊三角形，，在和中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，則此時旋轉(zhuǎn)的角度為故此時或（ⅲ）當時，為等腰三角形同（ⅱ）可得：此時或綜上，在旋轉(zhuǎn)的過程中，存在為等腰三角形的情況，此時旋轉(zhuǎn)的角度為或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3）②依據(jù)題意，確認出點E、F的運動軌跡是解題關(guān)鍵．21．（2020·江西南昌市·九年級其他模擬）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，點D為BC邊上一動點，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE．（1）當AD平分∠BAC時，如圖1，四邊形ADCE是形；（2）過E作EF⊥AC于F，如圖2，求證：F為AC的中點；（3）若AB=2，①當D為BC的中點時，過點E作EG⊥BC于G，如圖3，求EG的長；②點D從B點運動到C點，則點E所經(jīng)過路徑長為．(直接寫出結(jié)果)【答案】（1）菱形；（2）證明見解析；（3）①EG；②2．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ADCE為平行四邊形，證明AD=AE，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（2）證明△BAD≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB，證明結(jié)論；（3）①作EF⊥AC于F，連接EC，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CG，根據(jù)勾股定理計算，得到答案；②根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到E'E''垂直平分AC，證明△E'AE''≌△BAC，得到E'E''=BC=．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=30°．∵△ADE為等邊三角形，∴∠DAE=60°，∴∠EAC=30°，∴∠EAC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，∴AE∥DC，AD=DC．∵AE=AD，∴AE=CD，∴四邊形ADCE為平行四邊形．∵AD=AE，∴平行四邊形ADCE為菱形．故答案為：菱形；（2）在△BAD和△FAE中，，∴△BAD≌△FAE(AAS)，∴AB=AF，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴AC=2AF，∴F為AC的中點；（3）①如圖3，作EF⊥AC于F，連接EC，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∴BC2，∵D為BC的中點，∴BDBC，∴AD，∵AF=FC，EF⊥AC，∴EC=AE=AD，∵EC=EA=ED，EG⊥DC，∴CGCD，∴EG；②如圖4，當點D與點B重合時，點E在E'處，點E'是AC中點；當點D與點C重合時，點E在E''處，其中△ACE''是等邊三角形，由（1）得：AE=CE，∴點E始終落在線段AC的垂直平分線上，∴E'E''垂直平分AC，∴點E的運動路徑是從AC的中點E'，沿著AC垂直平分線運動到E''處，在△E'AE''和△BAC中，，∴△E'AE''≌△BAC(AAS)，∴E'E''=BC=2．故答案為：2．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（2020·江西撫州市·金溪一中九年級一模）定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個三角形為“準黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．（概念感知）（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準黃金”三角形，請說明理由．（問題探究）（2）如圖2，是“準黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是的重心，求的值．（拓展提升）（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準黃金”的“金底”BC在直線上，點A在直線上．，若是鈍角，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點D．①當時，則_________；②如圖4，當點B落在直線上時，求的值．【答案】（1）是“準黃金”三角形，理由見解析；（2）；（3）①；②．【分析】（1）過點A作于點D，先求出AD的長度，然后得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，由“金底”的定義得，設(shè)，，由勾股定理求出AB的長度，根據(jù)比值即可求出的值；（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的長度，由相似三角形的性質(zhì)，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，則，即可求出DF的長度，然后得到CD的長度；②由①可知，得到CE和AC的長度，分別過點，D作，，垂足分別為點G，F(xiàn)，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得到，然后求出CD和AD的長度，即可得到答案．【詳解】解：（1）是“準黃金”三角形．理由：如圖，過點A作于點D，∵，，∴．∴．∴是“準黃金”三角形．（2）∵點A，D關(guān)于BC對稱，∴，．∵是“準黃金”三角形，BC是“金底”，∴．不防設(shè)，，∵點為的重心，∴．∴，．∴．∴．（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：由題意得AE=3，∵，∴BC=5，∵，∴，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∴，∴；∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，∴△ACE∽△DAF，∴，設(shè)，則，∵∠ACD=30°，∴，∴，解得：∴．②如圖，過點A作于點E，則．∵是“準黃金”三角形，BC是“金底”，∴．∴．∵，∴．∴．∴，．分別過點，D作，，垂足分別為點G，F(xiàn)，∴，，，則．∵，∴．∴．∴設(shè)，，．∵，∴，且．∴．∴．∴，解得．∴，．∴．【點睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了重心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進行解答．23．（2020·江西省石城二中九年級其他模擬）（問題情境）定義：如圖1，點E在四邊形ABCD的邊CD上，若AE、BE將四邊形ABCD分割成三個相似的三角形，則稱點E為該四邊形的相似點．（1）若相似點在四邊形ABCD的邊CD上，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個正三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長從小到大排序)為_______

．（2）若相似點在四邊形ABCD的邊CD上，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個全等的等腰直角三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長從小到大排序)為_______．（3）（探索研究）如圖2，點E為四邊形ABCD邊上的相似點，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個全等的三角形，已知∠ABC=90°，AD=AB=BC=2，求邊CD的長．（4）（問題解決）如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E為四邊形ABCD的邊CD上的相似點，且AD=a，AB=b，BC=c(其中a≠c)，此時邊CD的長為多少？請用含a、b、c的代數(shù)式直接寫出所有可能的結(jié)果．【答案】（1）四邊長度的比為1:1：1:2；（2）四邊之比為1:1：：2；（3）CD=；（4）CD=【分析】（1）根據(jù)相似點的定義以及分成三個正三角形得出這三個三角形全等，從而得出邊之比；（2）根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系為設(shè)參數(shù)即可得出答案；（3）根據(jù)全等以及尋找出特殊角度的三角形再進行求解；（4）根據(jù)和相似點的定義判斷出四邊形是平行四邊形，從而得出，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例計算，從而得出答案．【詳解】（1）∵均為正三角形，且三個三角形相似∴這三個三角形全等設(shè)∴則∴四邊長度的比為（2）∵三個三角形為等腰直角三角形∴設(shè)，則∴四邊之比為（3）過點A作AF⊥DE如圖：∵∴∴在直角三角形中：在直角三角形中,,∴=++=（4）∵根據(jù)相似點的含義可知，∴,,∵∴四邊形是平行四邊形∴∴∴∴【點睛】本題考查定義新運算與相似、全等的綜合，掌握相關(guān)的線段與角度之間的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．24．（2020·江西景德鎮(zhèn)市·九年級一模）如圖，拋物線（）的頂點為，對稱軸與軸交于點，當以為對角線的正方形的另外兩個頂點、恰好在拋物線上時，我們把這樣的拋物線稱為美麗拋物線，正方形為它的內(nèi)接正方形．（1）當拋物線是美麗拋物線時，則______；當拋物線是美麗拋物線時，則______；（2）若拋物線是美麗拋物線時，則請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系；（3）若是美麗拋物線時，（2），的數(shù)量關(guān)系成立嗎？為什么？（4）系列美麗拋物線（為小于的正整數(shù)）頂點在直線上，且它們中恰有兩條美麗拋物線內(nèi)接正方形面積比為．求它們二次項系數(shù)之和．【答案】（1），；（2）；（3）答：成立．見解析；（4）這兩條美麗拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)和為．【分析】（1）分別求出美麗拋物線的頂點A的坐標，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點B的坐標，代入函數(shù)解析式求出a或k；（2）由（1）得到規(guī)律；（3）利用拋物線的平移的性質(zhì)即可得到答案；（4）設(shè)這兩條美麗拋物線的頂點坐標分別為和，（，為小的正整數(shù)，且），它們的內(nèi)接正方形的邊長比為，解得，得到這兩條美麗拋物線分別為和，根據(jù)，，求出，即可得到答案.【詳解】（1）∵拋物線，∴頂點A的坐標為（0,1），∴BD=OA=1，∴點B的坐標為（-0.5,0.5），將點B的坐標代入，得到0.25a+1=0.5，解得a=-2，同理，拋物線是美麗拋物線，∴頂點A（0，k），∴B（-，），將點B的坐標代入，得，解得k=-4，故答案為：，；（2）由（1）知：當a=-2時，k=1；當a=時，k=-4，∴；（3）答：成立．∵美麗拋物線沿軸向右或向左平移后得到的拋物線仍然是美麗拋物線．∴美麗拋物線沿軸經(jīng)過適當平移后沿到美拋物線．∴．（4）設(shè)這兩條美麗拋物線的頂點坐標分別為和，（，為小的正整數(shù)，且），它們的內(nèi)接正方形的邊長比為，∴，得．∴這兩條美麗拋物線分別為和．∵，，∴，．∴．答：這兩條美麗拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)和為．【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查新定義形式的二次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵，此題是一道較難的綜合題.25．（2020·江西九江市·九年級其他模擬）在下列正多邊形中，是中心，定義：為相應(yīng)正多邊形的基本三角形．如圖1，是正三角形的基本三角形；如圖2，是正方形的基本三角形；如圖3，為正邊形…的基本三角形．將基本繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得．（1）若線段與線段相交點，則：圖1中的取值范圍是________；圖3中的取值范圍是________；（2）在圖1中，求證（3）在圖2中，正方形邊長為4，，邊上的一點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，若有最小值時，求出該最小值及此時的長度；（4）如圖3，當時，直接寫出的值．【答案】（1），；（2）見解析；（3）最小值：，此時＝2+；（4）【分析】（1）根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可解決問題；（2）如圖1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，連接．利用全等三角形的性質(zhì)分別證明：BE＝，即可解決問題；（3）如圖2中，作點O關(guān)于BC的對稱點E，連接OE交BC于K，連接交BC于點，連接，此時的值最小，即有最小值．（4）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問題；【詳解】（1）由題意圖1中，∵△ABC是等邊三角形，O是中心，∴∠AOB＝120°∴∠α的取值范圍是：0°＜α≤120°，圖3中，∵ABCDEF…是正n邊形，O是中心，∴∠BOC＝，∴∠α的取值范圍是：0°＜α≤，故答案為：0°＜α≤120°，0°＜α≤．（2）如圖1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，連接．∵∠OEB＝∠OF＝90°，根據(jù)題意，O是中心，∴OB＝OC，∴∠OBE＝∠，∴△OBE≌△OF（AAS），∴OE＝OF，BE＝F∵，∴Rt△≌Rt△（HL），∴，∴．（3）如圖2中，作點O關(guān)于BC的對稱點E，連接OE交BC于K，連接交BC于點，連接，此時的值最?。摺希?35°，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠＝45°，∴∥BC，∵OK⊥BC，OB＝OC，∴BK＝CK＝2，OB＝2，∵∥，OK＝KE，∴，∴＝＝，∴＝2+，在Rt△中，＝．∵，∴有最小值，最小值為，此時＝2+．（4）如圖3中，∵ABCDEF…是正n邊形，O是中心，∴∠BOC＝，∵OC⊥，，∴∠＝∠＝∠BOC＝，∴α＝．【點睛】本題屬于多邊形綜合題，考查了正多邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．26．（2020·江西南昌市·九年級其他模擬）數(shù)學(xué)活動課上，小明同學(xué)根據(jù)學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖像、性質(zhì)進行了探究，下面是小明同學(xué)探究過程，請補充完整：如圖1，已知在，，，，點為邊上的一個動點，連接．設(shè)，．（初步感知）（1）當時，則①________，②________；（深入思考）（2）試求與之間的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍；（3）通過取點測量，得到了與的幾組值，如下表：00.511.52.2.533.5421.81.7_____22.32.63.0_____（說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）1）建立平面直角坐標系，如圖2，描出已補全后的表中各對應(yīng)值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；2）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①________________________________；②________________________________．【答案】（1）①；②；（2）；（3）1.8，3.5；1）作圖見解析；2）①的最小值為（或1.7），②當時，隨增大而減小．【分析】（1）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)求出BP，CP即可；（2）過作于，分兩種情況：①當時，②當時，分別利用勾股定理計算即可；（3）分別求出x＝1.5和x＝4時y的值，即可補全表格；1）描點、連線即可；2）根據(jù)函數(shù)圖象，可從最值和增減性方面寫出函數(shù)的性質(zhì)．【詳解】解：（1）當時，BP＝BC＝1，CP＝，故答案為：①；②；（2）過作于，由（1）可知，，，①當時，如圖1-1，，，∴；②當時，如圖1-2，，，綜合①②可得：；（3）當x＝1.5時，，當x＝4時，，00.511.52.2.53