函數(shù)y=(8x2+9)√(x2+1)的主要性質(zhì)及其圖像示意圖

函數(shù)y=(8x2+9)eq\r(x2+1)的主要性質(zhì) 主要內(nèi)容：本文介紹函數(shù)y=(8x2+9)eq\r(x2+1)的定義域、單調(diào)性、凸凹性、奇偶性及極限等性質(zhì)，并通過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)計(jì)算函數(shù)的單調(diào)和凸凹區(qū)間。 ※.函數(shù)的定義域 函數(shù)y=(8x2+9)eq\r(x2+1)為二次函數(shù)與根式函數(shù)的乘積，根據(jù)函數(shù)的特征，函數(shù)自變量x可以取全體實(shí)數(shù)，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?-∞，+∞）。 ※.函數(shù)的單調(diào)性∵y=(8x2+9)eq\r(x2+1)∴y'=16xeq\r(x2+1)+(8x2+9)*eq\f(x,eq\r(x2+1))=eq\f(16x(x2+1)+(8x2+9)*1x,eq\r(x2+1))=eq\f(x(24x2+25),eq\r(x2+1))令y'=0,則x=0。即：(1).當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),eq\f(dy,dx)＜0，此時(shí)函數(shù)y為減函數(shù)。(2).當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),eq\f(dy,dx)≥0，此時(shí)函數(shù)y為增函數(shù)?！?函數(shù)的凸凹性∵y'=eq\f(x(24x2+25),eq\r(x2+1))=eq\f((24x3+25x),eq\r(x2+1))∴y〞=eq\f([(72x2+25)eq\r(x2+1)-(24x3+25x)eq\f(x,eq\r(x2+1))],x2+1),=eq\f([(72x2+25)(x2+1)-(24x3+25x)x],eq\r((x2+1)2)),=eq\f((48x4+72x2+25x),eq\r((x2+1)2))>0,則函數(shù)在定義區(qū)間上為凹函數(shù)?！?函數(shù)的極限與極值lim(x→-∞)(8x2+9)eq\r(x2+1)=+∞,lim(x→+∞)(8x2+9)eq\r(x2+1)=+∞,lim(x→0)(8x2+9)eq\r(x2+1)=ymin.※.函數(shù)的奇偶性∵f(x)=(8x2+9)eq\r(x2+1)∴f(-x)=[8(-x)2+9]eq\r([(-x)2+1])=(8x2+9)eq\r(x2+1)，即f(-x)=f(x)，則函數(shù)在定義域上為偶函數(shù)，函數(shù)y=(8x2+9)eq\r(x2+1)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?！?函數(shù)的五點(diǎn)圖表x-1-0.500.518x2+9171191117eq\r(x2+1)1.411.1111.111.41y23.9712.2912.223.97y=(8x2+9)eq\r(x2+1)y （-1，23.97）（1，23.97）（-0.5,12.2）（0.5,