2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)第二章2.1函數(shù)及其表示理含解析北師大版

PAGE9-核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)四函數(shù)及其表示(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是 ()【解析】選B.對(duì)于選項(xiàng)A中函數(shù)定義域不是[-2,2];對(duì)于選項(xiàng)B符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C中當(dāng)x=2時(shí),有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng),所以該圖像不表示函數(shù);D中函數(shù)值域不是[0,2],所以它不符合題意.【變式備選】已知A={x|x=n2,n∈N},給出下列關(guān)系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能夠表示函數(shù)f:A→A的個(gè)數(shù)是 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.對(duì)于⑤,當(dāng)x=1時(shí),x2+1A,故⑤錯(cuò)誤,由函數(shù)定義可知①②③④均正確.2.(2024·鄭州模擬)函數(shù)f(x)=lnQUOTE+QUOTE的定義域?yàn)?()A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】選B.要使函數(shù)f(x)有意義,應(yīng)滿意QUOTE解得x>1,故函數(shù)f(x)=lnQUOTE+QUOTE的定義域?yàn)?1,+∞).【變式備選】函數(shù)f(x)=(x-2)0+QUOTE的定義域是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(-∞,+∞) D.QUOTE∪(2,+∞)【解析】選D.要使函數(shù)f(x)有意義,只需QUOTE所以x>-QUOTE且x≠2,所以函數(shù)f(x)的定義域是QUOTE∪(2,+∞).3.設(shè)f(x)=QUOTE若f(a)=f(a+1),則fQUOTE= ()A.2B.4C.6D.8【解析】選C.當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)為一次函數(shù),所以0<a<1,由f(a)=f(a+1)得QUOTE=2(a+1-1),解得a=QUOTE,則fQUOTE=f(4)=2×(4-1)=6.4.(2024·福州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),則函數(shù)g(x)=fQUOTE+f(x-1)的定義域?yàn)?()A.(-2,0) B.(-2,2) C.(0,2) D.QUOTE【解析】選C.由題意得QUOTE所以QUOTE所以0<x<2,所以函數(shù)g(x)=fQUOTE+f(x-1)的定義域?yàn)?0,2).5.(2024·太原模擬)若函數(shù)f(x)滿意f(1-lnx)=QUOTE,則f(2)等于 ()A.QUOTE B.e C.QUOTE D.-1【解析】選B.令1-lnx=t,則x=e1-t,于是f(t)=QUOTE,即f(x)=QUOTE,故f(2)=e.【一題多解】本題還可以采納如下解法:選B.由1-lnx=2,得x=QUOTE,這時(shí)QUOTE=QUOTE=e,即f(2)=e.6.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE若f(f(a))=2,則a= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選B.若a>0,則f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,得a=QUOTE.若a≤0,則f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,無(wú)解.7.具有性質(zhì):fQUOTE=-f(x)的函數(shù),我們稱為滿意“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù):①y=x-QUOTE;②y=lnQUOTE;③y=QUOTE其中滿意“倒負(fù)”變換的函數(shù)是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.①② B.①③ C.②③ D.①【解析】選B.①②③中分別令f(x)=y,則對(duì)于①,f(x)=x-QUOTE,fQUOTE=QUOTE-x=-f(x),滿意題意;對(duì)于②,f(x)=lnQUOTE,則fQUOTE=lnQUOTE≠-f(x),不滿意題意;對(duì)于③,fQUOTE=QUOTE即fQUOTE=QUOTE則fQUOTE=-f(x).所以滿意“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①③.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(1)定義域相同,值域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的兩個(gè)函數(shù)分別為________________________.

(2)值域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,但定義域不同的兩個(gè)函數(shù)分別為________________________.

【解析】(1)答案不唯一.因?yàn)閥=QUOTE與y=-QUOTE兩個(gè)函數(shù)的定義域都為{x|x≠0},值域都為{y|y≠0}.而對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,所以兩函數(shù)分別為f(x)=QUOTE,g(x)=-QUOTE.答案:f(x)=QUOTE,g(x)=-QUOTE(答案不唯一)(2)答案不唯一.函數(shù)f(x)=1,x∈[-1,1]與g(x)=1,x∈[0,1]的值域都是{1},而定義域一個(gè)為[-1,1],另一個(gè)為[0,1],其對(duì)應(yīng)關(guān)系都是:全部x對(duì)應(yīng)的y值都是1.因此這兩個(gè)函數(shù)可以為f(x)=1,x∈[-1,1],g(x)=1,x∈[0,1].答案:f(x)=1,x∈[-1,1],g(x)=1,x∈[0,1](答案不唯一)9.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE則滿意f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是________________.

【解析】函數(shù)f(x)=QUOTE的圖像如圖所示:結(jié)合圖像知,要使f(x+1)<f(2x),則需QUOTE或QUOTE所以x<0答案:(-∞,0)10.(2024·北京模擬)血藥濃度(SerumDrugConcentration)是指藥物汲取后在血漿內(nèi)的總濃度(單位:mg/mL),通常用血藥濃度來(lái)探討藥物的作用強(qiáng)度.如圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的改變狀況,其中點(diǎn)Ai的橫坐標(biāo)表示服用第i種藥后血藥濃度達(dá)到峰值時(shí)所用的時(shí)間,其他點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示服用三種新藥后血藥濃度其次次達(dá)到峰值一半時(shí)所用的時(shí)間(單位:h),點(diǎn)Ai的縱坐標(biāo)表示第i種藥的血藥濃度的峰值.(i=1,2,3) 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)①記Vi為服用第i種藥后達(dá)到血藥濃度峰值時(shí),血藥濃度提高的平均速度,則V1,V2,V3中最大的是________________________;

②記Ti為服用第i種藥后血藥濃度從峰值降到峰值的一半所用的時(shí)間,則T1,T2,T3中最大的是________________.

【解析】①設(shè)Ai(xi,yi),則Vi=QUOTE,由于0<x1<x2<x3,0<y2<y3<y1,所以QUOTE>QUOTE,QUOTE>QUOTE,即V1最大;②依據(jù)峰值的一半對(duì)應(yīng)關(guān)系得三個(gè)點(diǎn)從左到右依次對(duì)應(yīng)A1,A2,A3在其次次達(dá)到峰值一半時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn),由圖可知A3經(jīng)驗(yàn)的時(shí)間最長(zhǎng),所以T1,T2,T3中最大的是T3.答案:①V1②T3(15分鐘35分)1.(5分)(2024·潼關(guān)模擬)若函數(shù)f(x)的定義域是[1,2019],則函數(shù)g(x)=QUOTE的定義域是 ()A.[0,2018] B.[0,1)∪(1,2018]C.(1,2019] D.[-1,1)∪(1,2018]【解析】選B.由題知,1≤x+1≤2019,解得0≤x≤2018,又x≠1,所以函數(shù)g(x)=QUOTE的定義域是[0,1)∪(1,2018].2.(5分)(2024·貴陽(yáng)模擬)若函數(shù)f(x)滿意:在定義域D內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,則稱函數(shù)f(x)為“1的飽和函數(shù)”.給出下列三個(gè)函數(shù):①f(x)=QUOTE;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2).其中是“1的飽和函數(shù)”的全部函數(shù)的序號(hào)為 ()A.①③ B.② C.①② D.③【解析】選B.對(duì)于①,若存在實(shí)數(shù)x0,滿意f(x0+1)=f(x0)+f(1),則QUOTE=QUOTE+1,所以QUOTE+x0+1=0(x0≠0,且x0≠-1),明顯該方程無(wú)實(shí)根,因此①不是“1的飽和函數(shù)”;對(duì)于②,若存在實(shí)數(shù)x0,滿意f(x0+1)=f(x0)+f(1),則QUOTE=QUOTE+2,解得x0=1,因此②是“1的飽和函數(shù)”;對(duì)于③,若存在實(shí)數(shù)x0,滿意f(x0+1)=f(x0)+f(1),則lg[(x0+1)2+2]=lg(QUOTE+2)+lg(12+2),化簡(jiǎn)得2QUOTE-2x0+3=0,明顯該方程無(wú)實(shí)根,因此③不是“1的飽和函數(shù)”.【變式備選】(2024·日照模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x,都有f[f(x)-ex]=e+1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(ln2)= ()A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),不妨設(shè)f(c)=e+1,所以f(x)-ex=c,f(x)=ex+c.所以f(c)=ec+c=e+1.所以c=1.所以f(x)=ex+1.所以f(ln2)=eln2+1=3.3.(5分)已知f(x)+3f(-x)=2x+1,則f(x)=________________.

【解析】由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程組QUOTE得f(x)=-x+QUOTE.答案:-x+QUOTE【變式備選】下列四個(gè)結(jié)論中,正確的結(jié)論序號(hào)是________________.

①f(x)=QUOTE與g(x)=QUOTE表示同一函數(shù);②函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=1的交點(diǎn)最多有1個(gè);③f(x)=x2-2x+1與g(t)=t2-2t+1是同一函數(shù);④若f(x)=|x-1|-|x|,則fQUOTE=0.【解析】對(duì)于①,由于函數(shù)f(x)=QUOTE的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0},而函數(shù)g(x)=QUOTE的定義域是R,所以二者不是同一函數(shù);對(duì)于②,若x=1不是y=f(x)定義域內(nèi)的值,則直線x=1與y=f(x)的圖像沒有交點(diǎn),若x=1是y=f(x)定義域內(nèi)的值,由函數(shù)的定義可知,直線x=1與y=f(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn),即y=f(x)的圖像與直線x=1最多有一個(gè)交點(diǎn);對(duì)于③,f(x)與g(t)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均分別對(duì)應(yīng)相同,所以f(x)與g(t)表示同一函數(shù);對(duì)于④,由于fQUOTE=QUOTE-QUOTE=0,所以fQUOTE=f(0)=1.答案:②③4.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE且f(-2)=3,f(-1)=f(1).世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求f(x)的解析式.(2)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖像.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得QUOTE解得a=-1,b=1,所以f(x)=QUOTE(2)f(x)的圖像如圖所示.5.(10分)已知f(x)是二次函數(shù),若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函數(shù)f(x)的解析式. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=0,所以c=0,所以f(x)=ax2+bx.又因?yàn)閒(x+1)=f(x)+x+1,所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,所以(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,所以QUOTE解得QUOTE所以f(x)=