滬教版 九年級數(shù)學(xué) 相似三角形復(fù)習(xí)

相似三鬲形復(fù)習(xí)

o課前刑忒

【題目】課前測試

已知，正方形的邊長為2,E為8c邊的延長線上一點,CE=2,聯(lián)結(jié)

AE,與。交于點F,聯(lián)結(jié)6尸并延長與線段OF交于點G,則6G的長為_____

【答案】BG=g也

【解析】延長A2BG相交于點》,

?.正方形A3C。，.,./AOC=NZ)CE=90-

-AD=CE=2,NAFD=/EFC,

：.\AFD蘭AEFCf/.AF=EF,DF=CF,

/AH||BE,

DH=BC

AH||BEZ

DHDGHG_1

'^E~~GE~^G~2'

.BG=-BH,

3

AB=2,AH=4,/BAH=90-:.BH=2后,

.BG=-45.

總結(jié)：本題考點包括平行線分線段成比例、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，考查學(xué)生

綜合運用知識的能力.

【難度】3

【題目】課前測試

如圖,在梯形A5CQ中，AD//BC,AD=a,BC=b,E、尸分別是AO、BC的中點,

且交8E于P,CE交DF于Q,求PQ的長.

【答案】PQ=g

a+b

AEPEEDEQ

【解析】AD//BC,■■~BF~~BP，~FC~^C*

又E、尸分別是A。、3C的中點，

.PEEQ

:.AE=DE,BF=FC~BP~~QC'

PQ//BC//AD.

PQEPPQPFPB

'------------------------.--------------------------

"BC~EB"AD~AF~EB'號+表」

代入，求得：PQ=R.

a+b

總結(jié)：考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理的，先應(yīng)用性質(zhì)證明比例線段相等再

判定.由三線平行模型可得出結(jié)論.

【難度】4

苕如識,位

適用范圍滬教版，初三年級，成績中等以及中等以下

知識點概述相似三角形是初中數(shù)學(xué)九年級上學(xué)期第一章的內(nèi)容，在本章中，我們學(xué)習(xí)了

比例線段的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形的概念、判定及性質(zhì)和平面向量的線性運算.重點是靈活

運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，難點是利用輔助線解決相似三角形問題以及相似三

角形與動點問題相結(jié)合的類型

適用對象；成績中等以及中等以下

;主意事項大部分學(xué)生試聽這個內(nèi)容主要想聽相似三角形章節(jié)復(fù)習(xí)

重點選講：

f--------------------------------------------------------------------------------------\

①相似形與比例線段

②三角形一邊的平行線定理

II

③相似三角形的判定與性質(zhì)定理

茗如出境鋰

卷如出椅ifI:相他形與比俐線用

i

譽1.相似形

(1)相似形的概念

相似形：我們把形狀相同的兩個圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形.

(2)相似多邊形的性質(zhì)

如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例.當(dāng)

兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應(yīng)邊的長度的比值為1.

二國三2.比例線段及性質(zhì)

(1)比例線段

1.在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么這四條線段叫做

成比例線段，簡稱比例線段.

2.如果鬻、以：葭堿’是比例線段，即生之(或研曲7涵)，那么線段薛'、黨是比例外

囹%

項，曲、4是比例內(nèi)項.

3.如果比例的兩個內(nèi)項(或兩個外項)相同，那么這個相同的項叫做比例中項.

4.如果點P把線段分割成"和AP>PB)兩段，其中AP是AB和抬的比例中

項，那么稱這種分割為黃金分割，點尸稱為線段鉆的黃金分割點.其中，

—=^-0.618,稱為黃金分割數(shù)，簡稱黃金數(shù).

AB2

(2)比例的性質(zhì)

1.基本性質(zhì)：

如果@=',那么。4=歷；

bd

如果2=￡,那么2=4,-=-,-=-.

bdaccdab

2.合比性質(zhì)：

4rlpnQcXJ/Za+bc+d

如1果一=一,那P么----=-----;

baba

如果3=￡,那么i=j.

bdbd

3.等比性質(zhì):

如果3=￡=七，那么烏!￡=q=￡=4(b+d#))

bdb+dbd

等比性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相等的比的情形：

號’啕福腌婚上密+吩-4檎婚喧稔循.

如果曲黨f腳，則甥喇*h*―+潞叔黨/,眼

(b+d+f+......+n#0)

⑥如出場鋰2：三鬲形一邊的平行線

1.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例.如圖，已

知AABC,直線,且與回、AC所在直線交于點。和點E,那么黑=若

二國’2.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三

邊對應(yīng)成比例.

如圖，點、D、E分別在AABC的邊他、AC上，DE//BC,那么匹=42=絲

BCABAC

定義：三角形三條中線交于一點，三條中線交點叫三角形的重心.

性質(zhì)：三角形重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍.

二國’4.三角形一邊的平行線判定定理

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三

角形的第三邊.

5、三角形一邊的平行線判定定理推論

如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所

得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

6.平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

DFFG

如圖，直線/"兒/兒，直線加與直線〃被直線《、4、4所截，那么——=——.

［國=7.平行線等分線段定理

兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一

條直線上截得的線段也相等.

卷垢出梳鋰3：相似三鬲形的性口與初定

二國’1.相似三角形預(yù)備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相

似.

2、相似三角形判定定理

(1)如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相

似.可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.

(2)如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那

么這兩個三角形相似.

可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似.

(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個角形

相似.可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.

(4)如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直

角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似

3.相似三角形性質(zhì)定理

(1)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

(2)相似三角形周長的比等于相似比.

(3)相似三角形的面積的比等于相似比的平方

俐魅嘯第

題型1:相似形與比例線居

下列各組中的兩個圖形一定相似的有()

(1)兩個等腰三角形；(2)兩個直角三角形；(3)兩個等腰直角三角形；

(4)兩個等邊三角形；(5)兩個矩形；(6)兩個菱形；

(7)兩個正方形；(8)兩個等腰梯形；(9)兩個圓.

(A)3組(B)4組(C)5組(D)6組

【答案】B

【解析】相似的是(3)(4)(7)(9)

對于三角形來說，三個角大小相等即可，對于其它多邊形來說，除了考慮角的大小，

還要考慮邊的大小對應(yīng).

總結(jié)：考查相似圖形的特征，形狀完全相同，

【難度】2

題型1變式練習(xí)1:題型1:相似形與比例線目

(1)點P是線段AB的黃金分割點，求—的值.

An

(2)》是9和4的比例中項，則6=；

(3)線段a=6厘米，b=16厘米，貝(J線段。和6的比例中項是.

【答案】(1)或三以.(2)±6;(3)4V6cm.

【解析】

222

(1沖艮據(jù)黃金分割點的定義，AP=BPAB，即AP=(AB-AP)-A8,兩邊同時除以AB,

可解得警=趙二；或=AP-2C,類似的可得警==5.

AB2AB2

(2)由題意可知片=9x4=36,可解得6=±6;

(3)。、6都為線段，因此其比例中項只能是線段，取正值，即為反正=4癡0”

總結(jié)：注意線段的黃金分割點有兩個.注意線段比例中項和數(shù)字比例中項的區(qū)別.

【難度】2

【題目】題型1變式練習(xí)2:題型1:相似形與比例線段

nhc

已知^—=——=--=k,則一次函數(shù)y=丘-3的圖像一定經(jīng)過第幾象限？

b+ca+ca+b

【答案】三、四.

【解析】

,a+b+c11

(1)a+b+c/O時，根據(jù)比例的等比性左=，此時一次函數(shù),=彳尤一3經(jīng)

/ICt-IUIC-I4乙

過一、三、四象限；

(2)。+匕+。=0時，可得。+。=一。，貝必=&二一1,止匕時一次函數(shù))二一1一3經(jīng)過二、三、

-a

四象限；

綜上所述，函數(shù)必經(jīng)過三、四象限.

總結(jié)：考查比例的等比性質(zhì)，注意根據(jù)分母是否為0分類討論，同時考查一次函數(shù)所在象限

與系數(shù)的關(guān)聯(lián).

【難度】3

【題目】題型2:三角形一邊的平行線定理及其推論

如圖，M為的中點，EF//AB，聯(lián)結(jié)EM、WW分別交4尸、BE于點C和點。.

求證：CD//AB.

【答案】見解析

【解析】

EFECEFDF

證明：EF//AB,

M為AB的中點,AM=BM.

ECDF

CDIIAB.

總結(jié)：考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理，先判定再應(yīng)用

【難度】2

【題目】題型2變式訓(xùn)練1:三角形一邊的平行線定理及其推論

如圖,AABC中，DE//BC,AE=3,DE=4,DF=2,CF=5,求EC的長.

9

【答案】EC=-

【解析】DE//BC,

DEDFAE_2

BC-CF-AC-5

2Q

即3+EC=-，求得：EC=3

總結(jié)：相似三角形中"A"字型和"X"字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式.

【難度】2

【題目】題型2變式訓(xùn)練2:三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及其推論

如圖，梯形ABCD中，DC//EF//GH//AB,AB=30cm,CD=10cm,

DE:EG:GA=2:3:4,求EF與G"的長度.

M

空叫

【答案】EF=GH=^cm.

99

【解析】

過點C作CP//D4分別交GH、AB于

點、M、點、N、點、P,則易得四邊形ZMPC為平行

四邊形.

P

貝EM=GN=AP=DC=Wcm,PB=20cm.

FMCMDE2

由尸M//BP,可得:

PBCPDA9

40130

代入可得：FM=一cm,EF=EM+FM=—cm.

NHCNDG5

由NH/IPB,可得:

PBCP萬廠5'

代入可得：NH=^-cm,GH=GN+NH=^-cm.

總結(jié)：夾在平行線間的線段對應(yīng)成比例.

【難度】3

【題目】題型3:相似三角形性質(zhì)及判定定理

如圖，AB=AC,AC2=ADAE,求證：BC平分/DBE.

【答案】見解析

【解析】證明：AB=AC,AC2=AD?AE,

,ABAE

■■^=AD.AE,D即n罰=莉—

又ZA=ZA,:.MBDs^AEB.ZABD=NE.

又AB=AC,：.ZABD+ZDBC=ZACB.

又ZCBE+ZE=ZACB,，/CBD=/CBE.即BC平分/QBE.

總結(jié)：本題考查了相似三角形的判定及三角形外角的性質(zhì).

【難度】2

【題目】題型3變式練習(xí)1:相似三角形性質(zhì)及判定定理

如圖，在AABC中，ADA.BC,BEYAC,D、￡分別為垂足.若NC=60°,

SAW=1,求四邊形的面積.

【答案】3

【解析】ADA.BC,BELAC,ZCDA=ZBEC=90

CDCA

ZCDA=ZBEC=90-,\CBE^\CAD~CE

CDCA

ZCDA=ZBEC=90-,，ACBE^^CAD

CE-CB

ADCE^AACB,

—

CD_1.S^DCE_SMJCE_2

ZCBE=ACAD=30qa

CA21^AACB4。四邊形BDEAJ

S'CDE=1,一S四邊形QE4B-3.

總結(jié)：本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，直角三角形的性質(zhì)等知識.

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:相似三角形性質(zhì)及判定定理

如圖，AB=16厘米，AC=12厘米，動點尸、Q分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同

時開始運動，其中點P從點A出發(fā)沿AC邊一直移動到點。為止，點。從點2出發(fā)沿

8A邊一直移動到點A為止.經(jīng)過多長時間后，AAP0與AABC相似？

-48,、32

T【答案】五s或gS

【解析】設(shè)兩動點運動時間為'則4尸=為，8Q=f,AQ=16-f.

(1)AAQPsM8C時，則有當(dāng)=4

ADAC

16—Z2t._.48

即TTF‘解/l得=："IT.

(2)AAPQs入48c時，則有當(dāng)=當(dāng)

ADAC

2t16—/_32

即TTTF,A解/1得=I：

總結(jié)：解決三角形相似問題時，一定要注意確立好對應(yīng)關(guān)系，題目沒有明確說明的前提下,

則需要進行分類討論，三角形比例關(guān)系不確定，且有相等夾角時，實際上只需要將相

應(yīng)比例關(guān)系順序變換一下即可.

【難度】3

【題目】興趣篇1

已知：。為AABC的中位線M/V上任意一點，BP、。的延長線分別交ZU26于點

。和點￡

ADAE

求證：--------1-------

DCEB

【答案】

【解析】過點A作GU//5C分別交上、5。的延長線于點G、H.

MN是中位線,

AM=MB,AN=NC,MN/IBC.

:.GH/IBC!/MN.

AMGP

...GP=PC

MBPC

GHGP

GHIIBC

BCPC

GH=BC;

ADAHAEAG

GH//BC

DCBCEBBC

ADAE1

..——+——=l

DCEB

總結(jié)：本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線、三角形中位線的相關(guān)

知識.

【難度】3

【題目】興趣篇2

ADBD

如圖,2。是AA5C的內(nèi)角平分線.求證：八八

/i(_z

【答案】見解析

【解析】過點。作CM//A3交AO的延長線于點M.

B

CMIIAB

ABBD

,ZBAD=ZM

CMDC

是角平分線

/BAD=ZDAC;

...Z.M=ADAC

...AC=CM

AB_BD

AC-DC

總結(jié)：本題考查了三角形一邊的平行線、角平分線及等腰三角形的相關(guān)知識.

【難度】3

備選試題1

如圖，。是線段上一點，且2BD=3DC,CE交AB于點F,AE:ED=1:3,

求AF:族的值.

【答案】2:15

【解析】過點A作AM//3。交CF的延長線于點M,*

F/\

根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，/IE\

又2BD=3DC,gp2(BC-DC)=3DC.

由AM//BC可得：AF:BF=AM:BC=2:15.

總結(jié)：考查三角形一邊平行線的性質(zhì)，由已知和所求比例構(gòu)造平行

【難度】3

【題目】

如圖，正方形。斤的邊爐在AABC的邊BCh,頂點D、G分別在邊力&AC,AH

是AA5C的高，6。=60厘米，2〃=40厘米，求正方形。斤白的邊長.A

BEHFC

【答案】24.

【解析】設(shè)正方形的邊長為工,

DGADAP

DG//BC,/........-------

BCABAH

x40-x

—=----,x=24,

6040

正方形EFG。的邊長為24.

總結(jié)：本題考查三角形內(nèi)接正方形的相關(guān)知識，主要還是通過比例相等來列式建立關(guān)系.

【難度】3

【題目】甯選試題3

如圖，梯形ABCD中，AD//BC,￡是腰AB上的一點，過點日乍6c的平行線交CD

于點，已知2,BC=6.

(1)如果萬一，試求“的長；

匕BJ

(2)如果變些=：,試求"的長

?梯形EBCFJ

【答案】(1)EF=-;(2)EF=|Vi05.

【解析】(1)過點/作AN//OC交比"于點N,交)于點M.

AD//NC//FE,

四邊形//VC■。是平行四邊形，

四邊形/股⑶是平行四邊形，

AD=MF=NC=2,BC=6,:.BN=4.

AEEMAE_2AE_2

EF/IBCEB-3AB-5

ME_2

~NB~~5

E

(2)分別延長胡、。交于點G.

設(shè)S梯形AE尸D=2a,，梯形EBB=3a，貝[]S梯形地⑺=5。,

SAGZM_S^GDA_]

SAAQG+S梯形ABCQ3AADG+5〃9

5