高考數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xeA<^>CL!A9xe=xgA.

2.德摩根公式

C”(An8)=CAu(AU8)=CuAng，8.

3.包含關(guān)系

AHB=A^A\JB=B0A=8=,8=。"

=人口5人①ogAUBuR

4.容斥原理

card(AU8)=cardA+cardB-card(AAB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(APlB)

—card(ACl8)—card(BC\C')—card(CflA)+card(APl5C|C).

5.集合{%,4,的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；非空的真子集

有2"-2個.

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a。0);

(2)頂點式f(x)-a(x-h)-+A(a。0);

零點式

(3)/(x)=a(x-xt)(x-x2)(aR0).

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

「,、M+N,M-N

QI/(X)------------l<-----------=

22

=-------------->-----------.

f(x)—NM-N

8.方程/(x)=0在(占，左2)上有且只有一個實根,與于(kJ/*?)<0不等價,前者是后者的一個必要而不是

充分條件.特別地，方程a/+以+c=0(。H0)有且只有一個實根在(匕，七)內(nèi)，等價于/(匕)/(七)<0,或

/伏1)=0且匕<——<■—~—>或/(%2)=0且'—-―'<一丁<J

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aH0)在閉區(qū)間［p,司上的最值只能在x=--處及區(qū)間的兩端點處取得，具

2a

體如下：

⑴當(dāng)a>0時，若》=一丁€［p,q］,貝U/(X)min=/(一丁)J(X)max=max{/(，)，/(")}；

2a2a

X=一丁仁［p，q］，/(X)max=max{/(P)J(q)}，/(苫濡=min{/(P)，/⑷}?

/?h

當(dāng)時，若則若則

(2)a<0x=--G[p,q],/(x)min=min{/(p),/(^)},x=-—i[p,q],

2a2a

/(x)max=max{/(p),/(q)}，/(x)min=min{/(/?),/(^r)}.

10.一元二次方程的實根分布

依據(jù)：若/(〃。/(〃)<0,則方程/(X)=O在區(qū)間(外〃)內(nèi)至少有一個實根.

設(shè)/(x)=x2+px+q,貝1I

p~-4q20

(1)方程/(x)=O在區(qū)間(見+8)內(nèi)有根的充要條件為/(〃?)=()或，p；(2)方程/(x)=O在

--->m

[2

7(/n)>0

/(?)=O.

區(qū)間(加,")內(nèi)有根的充要條件為/(加)/(〃)<0或<"2一42或，;'一或<

1f-af(n)>(J

m<--<n

I2

p2—4<y>0

(3)方程/(x)=O在區(qū)間(-8,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(〃?)<0或，p

——<m

[2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間L(形如麻⑶，(-8,4，[a,+8)不同)上含參數(shù)的二次不等式

/(X,f)2O(f為參數(shù))恒成立的充要條件是>O(XgL).

(2)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/(x,f)2O(f為參數(shù))恒成立的充要條件是

<°（x6L）.

a>0

a<0

⑶/(x)=ax4+bx2+c>0恒成立的充要條件是V〃NO或V

b2-4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非Pp或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有(〃-1)個

小于不小于至多有〃個至少有(〃+1)個

對所有X,存在某X,

成立不成立p或4―*p且一、q

存

在某X

對任何X,

立

成

不成立。且4-V7或「q

14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則〃是4必要條件.

(3)充要條件：若png,且qnp,則p是4充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)丹eHx?那么

(x,-x,)[/(x,)-/(x2)]>0=0在上是增函數(shù)；

占一聲

區(qū)一工2)"(X)—/(M)]<0Q27?<0o/(x)在[a,引上是減函數(shù).

X]-x2

⑵設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果廣(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果/(x)<0,則/(x)為

減函數(shù).

17.如果函數(shù)fix')和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)

y=/(〃)和〃=g(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=〃g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那

么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，貝ij/(x+a)=/(-X—。)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則

f(x+a)=f(-x+a).

20.對于函數(shù)y=/(x)(xeR),f(x+a)=/(。―幻恒成立，則函數(shù)/(x)的對稱軸是函數(shù)x=3芋；兩

個函數(shù)y=/。+。)與了=fd)的圖象關(guān)于直線尤對稱.

21.若/(x)=—/(—x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點($0)對稱；若/(x)=-/Q+a),貝U函數(shù)

)，=/(X)為周期為2a的周期函數(shù).

n

22.多項式函數(shù)P{x}=anx+4Txl+...+%的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)=尸(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=a對稱=/(a+x)=/(a-x)

<=>/(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線N=《女對稱of(a+mx)=f(b-mx)

of(a+b—mx)=f(mx).

24.兩個函數(shù)圖象的對稱性

(1)函數(shù)y=/(%)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=/(。一"x)的圖象關(guān)于直線x=-對稱.

2m

(3)函數(shù)y=/。)和、=/T(X)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移b個單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+b的圖象；若將曲線

/(x,y)=0的圖象右移a、上移b個單位，得到曲線--㈤=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系

f(a)=b0廣，(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(乙+匕)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y=H/T(x)-6],并不是y="T(代+b),而函數(shù)

k

y=[/-'(履+b)是y=-[f(x)-h]的反函數(shù).

k

28.幾個常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)/(x)=ex,f{x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)/(%)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(l)=a^0.

⑶對數(shù)函數(shù)f(x)=logax,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=l(a>0,aI).

(4)嘉函數(shù)fix)=,f(xy)=/(x)/(y),f⑴=a.

(5)余弦函數(shù)y(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

/(0)=l,lim^^=l.

x—>0x

29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)/(x)=/(x+a)=0，

或f(x+。)=—^―(/(x)豐0),

/(x)

或/(x+a)=-(/(x)^0),

/(x)

或;+J/(x)-/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,l]),則/(x)的周期T=2a；

(3)/(x)=1--1—(/(x)。0),則/(%)的周期T=3a；

f(x+a)

且/⑷=l(/(x,)-/(x)^l,0<lx-xl<2a),則f(x)的周期T=4a；

(4)/(X1+X2)=/(2+、華212

(5)f(x)+f(x+a)-l-f(x+2a)f(x+3a)-l-f(x-l-4ci)

=/(x)/a+a)/a+Zz)/(x+3a)/a+47),則f(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=f(x)-f(x+a),則f(x)的周期T=6a.

30.分數(shù)指數(shù)幕

21

(1)an-.——(Q〉0,〃2,〃eN,且〃〉1).

yjan,

一巴1

⑵a"=-(a>O,m,〃eN*,且〃>1)?

aH

31.根式的性質(zhì)

(1)(炳"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時，g=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，⑷7=1a.

-a,a<0

32.有理指數(shù)塞的運算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+\a>0,r,s&Q).

(2)(ar)s=ar\a>0,r,seQ).

(3)(ab\=a'br(a>0,b>0,reQ).

注：若A。P是一個無理數(shù)，則繆表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)

幕都適用.

33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式

log〃N=bQ/=N(a>0,aWl,N>0).

34.對數(shù)的換底公式

logN

lognN-——--(a>0,且a。1,機〉0,且加H1,N>0).

log,”a

Yl

推論loghn=—log,b(a>0,且a>1,加,〃>0,且加W1,〃W1,N>0).

am

35.對數(shù)的四則運算法則

若a>0,aWLM>0,N>0,貝！J

(1)log.(MN)=log0M+log“N;

M

⑵log"7=log“M-log,,N;

⑶log”Mn=nlog?M(neR).

36.設(shè)函數(shù)/(%)=log,,,(ax2+bx+c)(a-0),記設(shè)=從一4ac.若/(x)的定義域為R,則。>0,且△<0;

若/(x)的值域為R,則a>0,且△20.對于a=0的情形,需要單獨檢驗.

37.對數(shù)換底不等式及其推廣

若a>0">0,x>0,%。！，則函數(shù)y=1。8/")

a

(1)當(dāng)a>b時，在(0,工)和(L,+8)上y=log,“3)為增函數(shù).

aa

.(2)當(dāng)。<b時,在(0,-)和(L+8)上y=logat(bx)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>機>1，/?>0<a>0，且a/1，貝！I

⑴log,“+,,(〃+P)<log“"

⑵10g(,7M10gflrt<10ga.

38.平均增長率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為“，則對于時間x的總產(chǎn)值y,有>，='(1+2)\

39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系

s.,n=1

'c（數(shù)列｛%｝的前n項的和為,=%+。2+…

sn-s?_｛,n>2

40.等差數(shù)列的通項公式

an=q+(〃-l)d=dn+a、-d(n￡N*)；

其前n項和公式為

〃(q+”“)"5—1)

s=---!----=na.H-------a

n212

d2./1八

=—M+—u)n.

22

41.等比數(shù)列的通項公式

l

an=a^"~=--q"(nEN*)；

q

其前n項的和公式為

空匕蟲,小

s?=1i-q

na^q=\

叫,q=1

42.等比差數(shù)列{an}:an+]=qan+d,ai=b(qW0)的通項公式為

b+(n一l)d,q=1

4=*(d-1)q〃T-d"J

,q-i，q

其前n項和公式為

nh+n(n-\)d,(q=1)

d、"q"d..?

(b--——)―——〃，(qHD

l-qq-ll—q

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款x=”元(貸款。元,〃次還清，每期利率為b).

(1+/7)-1

44.常見三角不等式

兀

(1)若不￡(0,—)，則sinx<x<tanx.

2

⑵若元￡(0,—),貝!jl<sinx+cosx〈夜.

2

(3)Isinx14-1cosxl>1.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

qin0

sin2+cos2^=1,tan^=----,tan0-cotO=1.

cos。

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

n

.兀、(-1戶sina,（n為偶數(shù)）

sin(—+a)=<

H-l

2

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

（n為偶數(shù)）

兀、(-1)2cosa,

cos(—+a)=<

M+l

（n為奇數(shù)）(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(a±P)=sinacos夕土cosasin,；

cos(a±J3)=cosacos+sinasinp；

,,0、tannr±tanB

tan(a±夕)=---------j.

1+tanatanp

sin(a+p)sin(a-。)=sin26Z-sin2p(平方正弦公式)；

cos(a+p)cos(a-/?)=cos2a-sin2p.

asina+bcosa=J^"7^sin(a+8)(輔助角夕所在象限由點(a,。)的象限決定，tan^9=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos?a-\=l-2sin2a.

-2tana

tan2a=----------.

1-tana

49.三倍角公式

jr-jr

sin36=3sin6一4sin'6=4sin^sin(y-0)sin(y+0).

cos36=4cos30-3cos6=4cos0cos(y-0)cos(y+3)

cc3tantan3八k八、,)小

tan30=------------；---=tan0tan(-----0)tan(—十夕).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(0x+9),xGR及函數(shù)y=cos(0x+9),xGR(A,3,9為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期T=—

CD

函數(shù)y=tan(3x+9),x手k兀+5,kwZ(A,s,中為常數(shù),且AWO,3>0)的周期T=X

2co

51.正弦定理

ab

—=27?.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

/=力2+/—2bccosA;

b?=c?+a2-2cacosB;

c2=/+/-2ahcosC.

53.面積定理

(1)S=—ah=-bh=—ch(h>h>"分別表示a、b、c邊上的高).

2a2h2eah

(2)S=—ahsinC=—feesinA=—easinB.

222

”3y(加?麗尸-再畫2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+B+C=〃u>C=萬一(A+8)

C7TA4-B___?，C\

—=-------------2c=21兀-2(A+B).

222

55.簡單的三角方程的通解

sinx=a=X=攵乃+(一1)，arcsina(攵wZ,la\<l).

cosx=a<^>x=2k7r±arccosa(keZ,la\<l).

tanx=〃=>x=ATF+arctana(keZ.ae/?).

特別地，有

sina=sin/?=a=%"+(-1)A/3(kGZ).

cosa=cos/30a=2k兀±Z).

tana=tan/3=a=kjv+Z).

56.最簡單的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<1)<=>xeQk兀+arcsina,2k兀+九一arcsina),keZ.

sinx<a(\al<1)<=>XGQk兀一兀一arcsina,2k兀+arcsina),kwZ.

cosx>a(\a\<1)xeQk兀-arccosa,2k兀4-arccosa),kEZ.

cosx<a(\a\<1)<=>XGQk兀+arccosa,2k兀+2乃一arccostz),keZ.

兀

tanx>cR)=>rw(k兀+arctana,k7r+—),keZ.

2

TC

tanx<a(aE/?)=>XG(kn--,k7T-\-arctana),k€Z.

57,實數(shù)與向量的積的運算律

設(shè)入、口為實數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(口a)=(入P)a;

(2)第一分配律：(入+口)a=入a+口a;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(Aa)?b=A(a?b)=Aa?b=a?(Ab);

(3)(a+b)?c=a?c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)人】、入

使得a二入161+入202.

不共線的向量&、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標表示

設(shè)a=(再，%)，1)=(工2，%)，且bWO,則ab(b^O)?x,y2-x2yi=0.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b=|a||b|cos。.

61.a-b的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度lai與b在a的方向上的投影Iblcos0的乘積.

62.平面向量的坐標運算

⑴設(shè)a=(再，y，，b=。2，%)，則a+b=(~+工2，%+力)?

⑵設(shè)a=(斗，％),b=。2,%)，則a-b二(當(dāng)一々，%一為)?

(3)設(shè)A(%，M),BO2,%)，則A6=。6-。4=(>2-芯，>2一丁1)?

(4)設(shè)a=(x,y),/lc/?,則4a=).

⑸設(shè)a=(X[,%),b=。2,y2),則a?b=(x/+?%)?

63.兩向量的夾角公式

中科)產(chǎn)

cos",但(苞，)'|)力=(々,%))?

64.平面兩點間的距離公式

dAI)=\~AB\=yJ^BAB

=^^一玉產(chǎn)+⑵一%)？

(AO”％),B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)2=(內(nèi),切)d=(々,當(dāng))，且bHO，則

A||b<=>b=Xa<=>x]y2-x2y}=0.

a_Lb(aW0)=b=0=X/)+/%=。?

66.線段的定比分公式

設(shè)4(%,y)，P2(x2.y2),P(x,y)是線段々鳥的分點，X是實數(shù)，且m=2硒，則

x+AX

x=x2

1+4西+4配

QOP=

)1+辦21+A

y=

1+A

0麗=函+(1-?？?f=—L).

1+4

67.三角形的重心坐標公式

三個頂點的坐標分別為】，、則△的重心的坐標是

△ABCAGy])B(x2,y2)>Cy?),ABC

x,+x+x%+%+%、

G(--2—3，---).

68.點的平移公式

x=x+/zx=x-h---:—?—：

V.=<OOP=OP+PP.

y=y-\-ky=y-k

注:圖形F上的任意一點P(x,y)在平移后圖形F'上的對應(yīng)點為P(x,y),且港的坐標為(九攵).

69.“按向量平移”的幾個結(jié)論

(1)點P(x,y)按向量a=(/z,女)平移后得到點P'(x+/y+平.

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(〃#)平移后得到圖象C，,則C的函數(shù)解析式為y=/(x-力)+h

(3)圖象C'按向量a=(/z,A)平移后得到圖象。，若。的解析式y(tǒng)=/(x),則。?的函數(shù)解析式為

y=f(x+h)-k.

(4)曲線C:/(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到圖象C‘，則C’的方程為f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/z,A)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為AA8C所在平面上一點，角A,8,C所對邊長分別為a,b,c,則

(1)。為AABC的外心。況？=而，=無]

(2)。為AA8C的重心=蘇+麗+麗=0.

(3)。為AA6C的垂心Q次?麗=礪灰=麗?次.

(4)。為AABC的內(nèi)心況+。歷+c而=0.

(5)。為AA8C的Z4的旁心on方=b麗+c反.

71.常用不等式：

(1)。,b€/?=>。2+/22m(當(dāng)且僅當(dāng)@=1)時取“=”號).

(2)a,be/?+=>七心2疝(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號).

2

(3)a3+b5+c3>3abc(a>0,Z>>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+/?2)(c2+d2)>{ac+bd'y,a,b,c,d^R.

(5)|a|-|&|<\a+b\<|a|+1&|.

72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積盯是定值p,則當(dāng)x=y時和x+y有最小值2J萬；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時積盯有最大值一s2.

4

推廣已知x,yeR,則有(x+y)?=(x-y)2+2孫

(1)若積孫是定值，則當(dāng)lx-yl最大時，大+yl最大;

當(dāng)lx—yl最小時,lx+yl最小.

(2)若和lx+yl是定值，則當(dāng)lx-yl最大時,I到I最小;

當(dāng)lx-yl最小時，Ixyl最大.

73.一元二次不等式ax?+bx+c>0(或<0)(aH(),△=A?—4ac>0),如果a與ax?+bx+c同號，則其

解集在兩根之外；如果。與a/+bx+c異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之

間.

玉

<x<x2<=>(X-%!)(x-X2)<0(Xj<x2)；

%,或

X<X>X2<^>(X-Xj)(j-X2)>O(X]<x2).

74.含有絕對值的不等式

當(dāng)a>0時，有

\x\<a<^>x2<a~<=>-a<x<a.

\x\>ax2>a2<^>x>a^x<-a.

75.無理不等式

[/a)>o

⑴"(x)>Jg(x)=<g(x)>0.

/(x)>g(x)

,——f/W>o

(2)J/(x)>g(x)o(g(x)20或{.

,g(x)<0

lf(x)>[g(x)]28

/W>0

(3)J/(x)<g(x)=,g(x)>0.

j(x)<[g(x)r

76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當(dāng)a>l時，

-*⑴=/(x)>g(x);

7(x)>0

log,J(x)>log”g(x)=<g(x)>0.

/(x)>g(x)

(2)當(dāng)0<。<1時，

afM>asW=/(x)<g(x);

7u)>o

log。/(x)>log"g(x)=<g(x)>。

f(x)<g(x)

77.斜率公式

k=~~~—P2(x2,y2)).

X2~X\

78.直線的五種方程

(1)點斜式y(tǒng)—M=Z(X—%)(直線/過點勺(川，,)，且斜率為女).

(2)斜截式)，=履+6(1)為直線/在丫軸上的截距).

(3)兩點式~~》■=,*-*(>尸為)(々(X1，H)、鳥(》2，力)(X]#x2)).

力一切x2-x,

(4)截距式￡+工=1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、

ab

(5)一般式Ax+B)：+C=0(其中A、B不同時為0).

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若6:y=Z]X+4,l2:y=k2x+h2

①乙IIl2<==>k]=b2；

②/~U>W=T?

(2)若(：A]X++G=0：A2x++G=0,且A]、A2、B]、B?都不為零,

①4尾<=>A=A^￡_.

462c2

②41/2=44+4與=o；

80.夾角公式

(1)tana=12~-I.

1+岫

(4:y=A|X+伉，l2-.y=k2x+b2,k^k,21一1)

,A,B—A^B.

(2)tana=1—0-I.

44+5jB)

(4:Ax+&y+G^0,l2:A2x+B2y+C2=0,44+“，())?

直線4"L。時，直線與，2的夾角是

81.4到乙的角公式

k>—k,

(l)tan6r=-----L.

1+k?k[

(4:)；=&/+々，l2:y=k2x+b29k1k2￡-1)

A.—AQB,

(2)tana------—.

A4+4B?

(/]：Ax+8j，+G=0,/2:A2x+B2y+C2=0,44+8/2。0)?

直線/|JJ,時，直線/1到，2的角是石.

2

82.四種常用直線系方程

(1)定點直線系方程:經(jīng)過定點玲(演),孔)的直線系方程為y—=Z(x-x0)(除直線x=x°),其中人是待定

的系數(shù)；經(jīng)過定點Po(X。,為)的直線系方程為A(x-/)+8(y—%)=0,其中A,8是待定的系數(shù).

(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線/1：4x+B1》+G=0,/2：4％+82)'+。2=0的交點的直線系方程為

(4》+4)，+6)+〃4犬+82>+。2)=0(除4)，其中人是待定的系數(shù).

(3)平行直線系方程：直線y="+b中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程.與直線

4》+83；+。=0平行的直線系方程是4》+8)，+/1=0(2^0),人是參變量.

(4)垂直直線系方程：與直線Ax+6y+C=0(AW0,8#0)垂直的直線系方程是民1-4)，+/1=0,人

是參變量.

83.點到直線的距離

d=?刈/+'>之0(點p(x(),)，())，直線/.Ax+By+C=0).

y/A2+B2

84.Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Av+6y+C=0,則Ax+6)，+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若B/0,當(dāng)B與Ax+By+C同號時，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)B與Ax+8)，+C異號時，表示直線/

的下方的區(qū)域.簡言之，同號在上，異號在下.

若6=0,當(dāng)A與Ax+By+C同號時，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與4+By+C異號時，表示直線/

的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左.

85.(A/+B,y+C1)(A2x++C2)>00所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(Ax+耳丁+&)(4X+52^+。2)=0(則

(Ax+Bty+G)(4*+與)，+。2)>°或<°所表示的平面區(qū)域是：

(A}x+Bty+C,)(A2X+B2y+C2)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(A,.x+4)，+C,)(Ax+B2)'+C2)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標準方程(x-a)2+(y-/>)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2-4F>0).

x=〃+rcos，

(3)圓的參數(shù)方程，.八

y=b+rsm0

(4)圓的直徑式方程(x—%)(x-X2)+(y-y)(y—%)=0(圓的直徑的端點是4(王，弘)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

(1)過點A(X1,yJ,8(々,%)的圓系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)+/l[(x-x1)(y1-x2)]=0

=0—玉)(%—々)+(〉一%)(y一為)+2(4犬+8y+。)=0,其中ax+by+c=O是直線A8的方程，X是待定的

系數(shù).

⑵過直線/:Ax+By+C=O與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=O的交點的圓系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,入是待定的系數(shù).

222X

(3)過圓G:x+y+Dtx+Ety+=0與圓Q：+J+^2+E2y+F2=0的交點的圓系方程是

22

x~+y~+D、x+Exy++A(x+y+D2x+E2y+F2)=0,A.是待定的系數(shù).

88.點與圓的位置關(guān)系

點尸。0，先)與圓。一。)2+(〉一6)2=r2的位置關(guān)系有三種

22

若d=y](a-x0)+(/?-y0),貝|J

d>rQ點P在圓夕卜；d=r<=>點P在圓上；d<rQ點P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+力+C=0與圓(X-a)2+(y-。)2=產(chǎn)的位置關(guān)系有三種:

d>廣仁>相圖<=>A<0;

d=r=相切=△=();

d<r<^>相交<=>A>0.

|A。+Bb+(?|

其中d=

4A2+B-

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為01,02,半徑分別為n,r2,\0102\=d

d〉八+G=夕卜離=4條公切線；

d=r}+r2<=>外切Q3條公切線；

,-々I<"<八+G=相交=2條公切線；

d=|八-臼=內(nèi)切o1條公切線；

0cdeh-4=內(nèi)含=無公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓f+>2+￡)x+Ey+/?=0.

①若已知切點(x°,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

D(x+x)E(y+y)

v+y())'+■~0+—Q~-+F=0.

當(dāng)(x°,九)圓外時，x°x+%y+2竽生F?+P=0表示過兩個切點的切點弦方程.

②過圓外一點的切線方程可設(shè)為y-%=左(%-%)，再利用相切條件求k,這時必有兩條切線，注意不

要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y=H+b,再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓V+y?=/.

①過圓上的外(入0，%))點的切線方程為々/+為'=r2;

②斜率為人的圓的切線方程為y^kx±rVl+F.

22[—a

92.橢圓「+q=1(。>b>0)的參數(shù)方程是"="a"

ah[y=hsm0

22

93.橢圓「+斗=1(。>b>0)焦半徑公式

ab

22

\PFi\^e(x+—),|PF,|=-x).

cc

94.橢圓的的內(nèi)外部

2

222

%<

(1)點P(X,%)在橢圓—+=1(。>6>0)的內(nèi)部Q—Y+F

Oaha

2222

%>

(2)點F(x0,y0)在橢圓一+±~=1(〃>/?>0)的外部<=>—y+F

aba

95.橢圓的切線方程

22

(1)橢圓5+4=1(。>b>0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是誓+誓=1.

aba"b~

22

(2)過橢圓?+二=\(a>b>0)外一點P(x?,先)所引兩條切線的切點弦方程是

ab

(3)橢圓=+與=l(a＞/?＞0)與直線Ax+8y+C=0相切的條件是A2a2+1尸=。2.

ab

X2y2

96,雙曲線三―與=1(。＞0,6＞0)的焦半徑公式

ab~

22

\PF'lITe(xH---)I,|PQ|Te(----x)I.

cc

97.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點尸(%,%)在雙曲線一■—=1(。＞0,。＞0)的內(nèi)部0—T---^7＞1.

ahab

2222

(2)點P(x0,%)在雙曲線馬—二=1(。＞0/〉0)的外部=§_q＜1.

ab"ab"

98.雙