中考數(shù)學(xué)壓軸大題經(jīng)典模型培優(yōu)胡不歸問題（全國解析版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題9胡不歸（PA+kPB）型最短問題

解題策略

__________________/

“PA+k?PB”型的最值問題，當(dāng)k=l時(shí)通常為軸對稱之最短路徑問題，而當(dāng)k>0時(shí)，若以常規(guī)的軸對稱

的方式解決，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.

1.當(dāng)點(diǎn)P在直線上

如圖，直線BM,BN交于點(diǎn)B,P為BM上的動點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM,BN同側(cè)，已知sin/MBN=k.

過點(diǎn)A作AC_LBN于點(diǎn)C,交BM于點(diǎn)P,此時(shí)PA+k?PB取最小值，最小值即為AC的長.

證明如圖，在BM上任取一點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,作QD_LBN于點(diǎn)D.

由sinZMBN=k,可得QD=k?QB.

所以QA+k-QB=QA+QDeAC,即得證.

2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上

如圖，。。的半徑為r,點(diǎn)A,B都在。0夕卜，P為。0上的動點(diǎn)，已知r=k-0B.

在0B上取一點(diǎn)C,使得0C=k?r,連結(jié)AC交。0于點(diǎn)P,此時(shí)PA+k?PB取最小值，最小值即為AC的長.

證明如圖，在。0上任取一點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,BQ,連結(jié)CQ,0Q.

則0C=k?0Q,0Q=k?OB.

而NC0Q=NQ()B,所以△COQS/\QOB,

所以QC=k-QB.

所以QA+k-QB=QA+QC>AC,即得證.

經(jīng)典例題

【例1】（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)），=4/+公+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)

A（-1,0）,B（0,-V3），C（2,0）,其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M為拋物線的對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱

形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若P為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接尸力，求/8+尸￡＞的最小值.

【答案】⑴2（X-；）2一鳴（1,一述案⑵弓,玄）或弓，一亞）或（；，一百媽或（；,一百一叵）

22828乙2N2N?2N2

或（；，一更）；（3）逗

264

【詳解】思路引領(lǐng)：（1）將A、8、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入+云+c,利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表

達(dá)式，進(jìn)而得到其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，分三種情況：①以A為圓心A8為半徑畫弧與對稱軸有

兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM=A8；②以8為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)8例=48；③線段48

的垂直平分線與對稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)4M=BM,分別列出方程，求解即可；

（3）連接A8,作。于”，交OB于P,此時(shí)（PB+PD最小.最小值就是線段QH,求出DH即可.

a-b+c=0a=~

答案詳解：（1）由題意c=-V3，解得｛b=_立，

4Q+2b+c=02

。=-V3

/.拋物線解析式為卜爭2一生_6,

?.）=?_鳥一百=遺（X-i）2一%,

22228

???頂點(diǎn)坐標(biāo)6，一空）；

28

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為6，y）.

（-1,0）,B（0,-V3）,

.".AB2=l+3=4.

①以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM-AB,

則（（+1）2+^=4,解得），=±y，

即此時(shí)點(diǎn)例的坐標(biāo)為（；，之）或（；，—五）：

2222

②以8為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)

則0）2+（y+V3）2=4,解得），=—年或3，=一百一苧

即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為《，—6+叵）或4，-73-^）:

③線段48的垂直平分線與對稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM=BM,

則弓+1）2+產(chǎn)=（1）2+（y+V3）2,解得y=一立，

即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為弓，一立）.

N6

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)例的坐標(biāo)為弓，C）或弓，一衣）或0，-B+運(yùn)）或號，一百一叵）或弓,

222222222

（3）如圖，連接AB,作的1.A8于H,交08于尸，此時(shí)護(hù)8+尸￡＞最小.

理由：\'OA=1,OB=V3.

二NA8O=30。，

：.PH=-PB,

2

：.-PB+PD=PH+PD=DH,

2

二此時(shí)，5+PD最短（垂線段最短）.

在RtZkAO”中，VZAHD=90°fAD=j,N/MD=60。，

/.sin60°=77,

AD

：.DH=—,

4

.?.手8+尸。的最小值為這.

N4

【例2】(2022?重慶?八年級期末)已知，在正方形A8CD中，點(diǎn)E,F分別為A。上的兩點(diǎn)，連接BE、CF,

并延長交于點(diǎn)G,連接OG,”為C尸上一點(diǎn)，連接8”、DH,4GBH+乙GED=90°

(1汝口圖1,若“為CF的中點(diǎn)，且4F=2DF,DH=—,求線段AB的長；

2

(2)如圖2,若BH=BC,過點(diǎn)8作8/J.CH于點(diǎn)/,求證：BI+-DG=CG-.

2

(3)如圖2,在(1)的條件下，P為線段A。(包含端點(diǎn)A、D)上一動點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)8作BQJ.CP于點(diǎn)

Q,將^BCQ沿BC翻折得△BCM,N為直線AB上一動點(diǎn)，連接MM當(dāng)^BCM面積最大時(shí)，直接寫出當(dāng)4N+

MN的最小值.

【答案】⑴3

(2)見解析

(3)3位

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得尸C=2CH=VIU，設(shè)正方

形的邊長為3x,AF=2DF,可得FD=x,在Rt^FDC中，根據(jù)勾股定理建立方程，即可求解；

(2)過點(diǎn)。作DM±GC于點(diǎn)M,證明△GB/是等腰直角三角形，△B/C三△CMD,進(jìn)而證明△GMD是等腰直

角三角形，根據(jù)GC=GI+IC=Bl+MD=8/+立GD即可得證：

2

(3)取BC的中點(diǎn)S,連接SM,連接PN,以PN為底邊，在PN的左側(cè)作等腰直角三角形7TN,根據(jù)直角二角

形中斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可得SM=|FC=|,則當(dāng)SM1BC時(shí)，ABCM的面積最大，由TN+MN=

當(dāng)AN+MNNTM，可得當(dāng)T,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，?4N+MN取得最小值，證明四邊形4rMe是矩形，可得

TM=AC=3五,即當(dāng)4N+MN的最小值為3\/I.

(1)

解：；四邊形4BCD是正方形，

.\AADC=90°,AB=AD=DC,

v”為CF的中點(diǎn)，DH=巫,

2

???FC=2DH=V10，

設(shè)正方形的邊長為3x,AF=2DF,可得FD=x,

在RQFDC中，F(xiàn)D2+DC2=FC2,

即(3x)2+/=10,

解得X=l,

:.AB=3x=3；

(2)

如圖，過點(diǎn)。作OM_LGC于點(diǎn)M,

???LAEB=乙GED,乙GBH+乙GED=90°,

???Z.AEB+UBE=90°,

Z.ABE—乙GBH=-LABH,

2

vBH=BC,Bl1CH,

：./.HBI=Z.CBIH

=22BC,

???/.ABC=90°,

???4GBI=Z.GBH+乙HBI=-Z.ABH+-/LHBC=-^LABC=45°,

222

??.△GB/是等腰直角三角形，

:?GI=B1,

???乙BIC=Z.CMD=90°,Z.ICB=90°-Z.DCM=4COM,BC=DC,

BIC=△CMDt

???MD=IC,MC=BI,

???GM=GC-CM=GC-BI=GC-GI=/C,

???GM=MD,

??.△GMD是等腰直角三角形，

???MD=%D,

2

GC=GI+IC=BI+MD=BI+—GD,

2

+—DG=CG-

2

H

r*'(-

圉2

(3)

如圖甲所示，取BC的中點(diǎn)S,連接SM,連接PN,以PN為底邊，在PN的左側(cè)作等腰直角三角形7PN,

TN=—PN,

2

??BQ1PC,

ABCQ是直角三角形，

??,將ABCQ沿8c翻折得ABCM,

BMC是直角三角形，

???SM=-BC=

22

當(dāng)SM18C時(shí)，△BCM的面積最大，

??-S是BC的中點(diǎn)，

???△BMC是等腰直角三角形，

則ABQC也是等腰直角三角形，

CQ=BQ=^BC=^AC，

此時(shí)如圖乙所示，則點(diǎn)P與4重合，

TN+MN=—AN+MN>TM,

2

7,N,M三點(diǎn)共線時(shí),衛(wèi)AN+MN取得最小值,

2

???APCM=乙ACB+乙BCM=90°,

???乙BMC=90°,Z.TAC=(TAB+ABAC=90°,

則四邊形4TMC是矩形，

:.TM=AC=3vL

即日AN+MN的最小值為3魚.

圖

甲

圖乙

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，

全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【例3】(2022?湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級開學(xué)考試)如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三

角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”.如圖1,

在"BC中，A8=AC=1,ZBAC=\0S°,DE垂直平分48,且交BC于點(diǎn)。，連接AD

(1)證明直線A。是AABC的自相似分割線;

(2)如圖2,點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，B4+PC的值最??？求此時(shí)%+PC的長度.

(3)如圖3,射線C/平分/AC3,點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)4Q+與1。。取最小值時(shí)，求NQAC的正弦值.

【答案】⑴直線AD是A48c的自相似分割線;

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí)，%+PC的值最小，此時(shí)PA+PC=在±1；

2

(3)NQAC的正弦值為沏

4

【分析】(1)根據(jù)定義證明△。氏4s△ABC即可得證；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA+PC=PB+PC>BC,當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)，PA+PC=PB+PC=BC,

此時(shí)P4+PC最小，設(shè)BD=x,則BC=x+l

根據(jù)△0B4列出方程，解方程求解即可求得BD,進(jìn)而即可求得8c的長，即PA+PC最小值；

(3)過點(diǎn)4作AHJ.8C于點(diǎn)H,過點(diǎn)Q作QG18C于點(diǎn)G,連接4G,設(shè)CF與4。交于點(diǎn)M,根據(jù)已知條件求得

GQ=^CQ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為AQ+4icQ=4Q+GQ，則當(dāng)Q點(diǎn)落在4G上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)”重合，此時(shí)4Q+

與i”的值最小，最小值為AH,進(jìn)而根據(jù)sin44C=sin/從4c=附求解即可.

(1)

,.?△ABC中，A8=AC=1,ZBAC=108°

：.ZB=ZC=-(1800-ZBAC)=36°

2

?.?DE垂直平分A8

：.AD=BD

二N8=/BA￡>=36°

：.ZC=ZBAD

又,：NB=NB

二直線A￡)是^ABC的自相似分割線.

(2)

如圖，連接PB,AD,

A

圖2

???DE垂直平分A8,

PA=PB

??.PA-^-PC=PBPC>BC

當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)，P4+PC=P8+PC=BC,此時(shí)PA+PC最小，

???2LADC=+乙BAD=72°,乙DAC=乙BAC一乙BAD=72°

???Z.ADC=Z.DAC

??CD=CA=1

設(shè)8。=x,則BC=x+l

DBAABC

BD_AB

J，而=而

x1

:,一=----

1X+1

x2+x-1=0

解得：x=2

2

Vx>0

??x

2

V5+1

???BC=%+1=——-——

...以+PC=2史1

二當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動到n點(diǎn)時(shí),鞏+PC的值最小,此時(shí)必+.=等

(3)

如圖，過點(diǎn)4作AHLBC于點(diǎn)H,過點(diǎn)Q作QGJ.BC于點(diǎn)G,連接4G,設(shè)CF與4。交于點(diǎn)M,

AB=AC,

1V5+1

：?CH=-BC=--—

24

由（2）矢口，DC=AC=1

???C尸平分乙4cB

???CM1AD

1V5-1

DM=AM=-AD=---

24

.：Sin.MCD=^=^=^l

V5-1

:?GQ=—^~CQ

x/5-1

AQ+--—CQ=AQ+GQ>AG

4

???AG>AH

???Q點(diǎn)落在4G上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，

即此時(shí)4Q+與iCQ的值最小，最小值為4”

???Z.QAC=Z.HAC

??,AB=AC,AH1BC

1V5+1

...CH=-BC=-

CHV5+1

???sinz.QAC=s\nz.HAC=—=——

??.NQAC的正弦值為亙i

4

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂

線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)健.

【例4】(2021.全國.九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線^=爭+8和直線，2：y=-V3x

十人相交于y軸上的點(diǎn)B,且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C.

(1)求AABC的面積；

(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)尸為直線//上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動點(diǎn)，求當(dāng)EF+CF最小時(shí)?，點(diǎn)F

的坐標(biāo)，并求出此時(shí)尸F(xiàn)+四OP的最小值.

2

【答案】(1)S"18c=2e；(2)點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,嗎;PF+立OP的最小值為也+它.

3232

【分析】(1)根據(jù)//的解析式可得4、8坐標(biāo)，把點(diǎn)8坐標(biāo)代入y=-回+b可求出b值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C

坐標(biāo)，即可求出4C、08的長，利用三角形面積公式即可得答案；

(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線//的對稱點(diǎn)C，，連接CE,交h于F,根據(jù)A、B、C坐標(biāo)可得△48C是直角三

角形，可得點(diǎn)C在直線/2上，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得出C坐標(biāo)，可得CE為EF+CF的最小值，利用待

定系數(shù)法可得出直線CE的解析式，聯(lián)立直線CE與//解析式即可得出得尸的坐標(biāo)；作二、四象限對角線

13,過點(diǎn)尸作/GJ_〃于G,交y軸于P,可得/GOP=45。，可得PG—0P,可得FG為PF+立0尸的最小值，

22

過點(diǎn)F作FQ_Lx軸，交“于Q，可得AFGQ為等腰直角三角形，可得FG=jFQ,由〃的解析式為產(chǎn)-x及

點(diǎn)F的坐標(biāo)可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，進(jìn)而可得FQ的長，即可得尸G的長，可得答案.

【詳解】⑴???//：y=^x+V3,

當(dāng)x=0時(shí),y=6,當(dāng)尸0時(shí)，x=-3,

：.A(-3,0),B(0,V3)>

..?點(diǎn)8直線/2：y=~V3x+Z?_t,

b=W，

,直線h的解析式為y=-V3x+V3,

；?當(dāng))=0時(shí)，x=\,

：.C(1,0),

：.AC=4,OB=用,

：.SAABC=^AC-OB=^x4xV3=2V3.

(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線。的對稱點(diǎn)C，，連接C￡,交//于F,

(-3,0),B(0,V3),C(1,0),

22

：.AB=(-3)+(V3)2=12,Bg2+(付2=4,AC2=42=16>

'.'A^AB^BC2,

.".△ABC是直角三角形，

...點(diǎn)C'在直線，2上，

?點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于直線h的對稱，

CC=2BC=4,

設(shè)點(diǎn)C(m,-V3/n+V3.)

；?(m-1)2+(-V3w+V3)2=42,

解得："〃二?1,團(tuán)2=3,

?.?點(diǎn)C在第二象限，

/.m=-1,

???-V3W+V3=2>/3，

*：FC=FC,

:.EF+CF=EF+FC\

???當(dāng)C、F,E三點(diǎn)共線時(shí)M+CF的值最小，

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,

k+b=2V3,

I5fc+/?=0

解得：I-ZJ,

,5V3

b=—

3

直線CE的解析式為y=+竽，

_V35V3

y=---xH---

聯(lián)立直線C'E與//解析式得1/3,

(y=fx+V3

fX=1

解得：4V3,

\.y=—

：.F(1,瑪.

3

如圖，作二、四象限對角線4,過點(diǎn)尸作/GJL/j于G,交y軸于P,過點(diǎn)尸作尸。_Lx軸，交〃于Q,

直線1.1的解析式為產(chǎn)-x,NGOP=45。，

.?.△GOP是等腰直角三角形，

:.PG—OP,

2

...G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PF+立OP的值最小，最小值為FG的長，

2

VZGOP=45°,ZPOE=90°,

JZEOQ=45°,

：.ZFGO=45O,

???△FGQ是等腰直角三角形，

:.FG也FQ,

2

VF(1,竽)，直線人的解析式為產(chǎn)-x,

:.Q(1,-1),

-(-1)也雪1,

33

FG=^FQ=^-X(嗎1)二漁+烏

22332

/.PFSOP的最小值為辿+它.

232

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟

練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

培優(yōu)訓(xùn)練

\______________________________Z

一、填空題

1.(2022.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.中考真題)如圖，在△ABC中，AB=4C=4,NC4B=30。，ADLBC,垂足為。,

P為線段A。上的一動點(diǎn)，連接PB、PC.則必+2PB的最小值為.

【答案】472

【分析】在N54C的外部作/C4E=15。，作B凡LAE于凡交AO于P,此時(shí)%+2尸8=26「4+PB)=

：(PF+PB)=22F,通過解直角三角形ABF,進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

在NBAC的外部作/CAE=15。，作8尸_L4E于尸，交AC于P,

此時(shí)以+2P8最小，

二90°

"：AB=AC,AD1.BC,

：

.ZCAD=ZBAD=-2^BAC=-2x30°=15°,

/.ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,

：.PF=-PA,

2

：.PA+2PB=2（^PA+PB）=]（PF+PB]=2BF,

在RsA3尸中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCA￡=45°,

.*.BF=AB?sin45°=4x—=2vL

2

(B4+2PB)M大=28F=4VL

故答案為：4V2-

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰二角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

2.(2022?湖北湖北?八年級期末)如圖，口ABCD中乙4=60。,48=6,AD=2,P為邊CD上一點(diǎn)，則遍PD+2PB

的最小值為.

【答案】6V3

【分析】作交AO的延長線于H,由直角三角形的性質(zhì)可得"P-CP,因此

2

y/3PD+2PB=2(^-DP+PB)=2(PH+PB),當(dāng)從P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即百卜2必有最小值,

即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PHJ_4。，交4。的延長線于H,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

AB//CD,

：./-A=乙PDH=60°

VPH1.AD

."DPH=30°

：.DH=\PD,PH=V3DH=^-PD，

：.6PD+2PB=2(當(dāng)PD+PB)=2(PH+PB)

???當(dāng)點(diǎn)，，點(diǎn)P,點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即bPD+2PB有最小值，

此時(shí)BHA.AH,UBH=30°,Z.A=60°,

：.AH=^AB=3,BH=V3AH=373

貝，PC+2PB最小值為6百，

故答案為：6A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識.構(gòu)造直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2022.湖北武漢?一模)如圖，在AACE中，C4=CE,^.CAE=30°,半徑為5的。0經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的

切線，且圓的直徑4B在線段4E上，設(shè)點(diǎn)D是線段4C上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則的最小值為.

【分析】過點(diǎn)C作關(guān)于4E的平行線，過點(diǎn)。作CH垂直于該平行線于H,可將轉(zhuǎn)化為DH,此時(shí)。

就等于OD+DH,當(dāng)OOH共線時(shí)，即為所要求的最小值.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作DH垂直于該平行線于H,

???CH//AB,/.CAE=30°,OC=OA,

???Z.HCA=40cA=30°,

on-I

???sinzHCD=-=-乙HCO=60°,

CD2t

?.-CD=HD,

2

OD+-CD=OD+DH,

2

???當(dāng)0,D,H三點(diǎn)共線，即在圖中H在H'位置，。在。位置的時(shí)候有OD+DH最小，

二當(dāng)0,D,H三點(diǎn)共線時(shí)，OD+^CC有最小值，

此時(shí)OH'=OCxsinZHCO=OCxsjn60°=5x—=嬰，

CD的最小值為也，

22

故答案為更.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

4.（2022.湖北武漢.九年級階段練習(xí)）如圖，在AACE中，CA=CE,NC4E=30。，半徑為5的。。經(jīng)過點(diǎn)

C,CE是圓。的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)O是線段4c上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則00+18

的最小值為.

【分析】作。尸平分NAOC,交。。于凡連接4尸、CF、DF,易證四邊形AOC尸是菱形，根據(jù)對稱性可得

DF=DO.過點(diǎn)。作O//LOC于從易得DH^DC,從而有1。。+。。=。，+尸。.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：

當(dāng)尸、D、”三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即/C+OZ））最小，然后在對△?！笔羞\(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題.

【詳解】解：作。尸平分NAOC,交。。于F,連接AE、CF、DF,如圖所示,

,/OA=OC,

.../OCA=NO4C=30。，

NCOB=60。，

貝ijNAOF=NCOFg/AOCg(180°-60°)=60°.

OA=OF=OC,

：./\AOF.△COF是等邊三角形，

."尸=AO=OC=FC,

二四邊形AOCF是菱形，

根據(jù)對稱性可得DF=DO.

過點(diǎn)。作OHJ_OC于H,則DH=^DC,

：.^CD+OD=DH+FD.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，

當(dāng)F、D、，三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD(BP|CD+OD)最小，

'：OF=OA=5,

：.OH=-OF=-,

22

FH=y/OF2-OH2=—

2

即<￡>+0。的最小值為速.

22

故答案為：逗.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓半徑相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線

段最短、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，把(C￡?+OD轉(zhuǎn)化為D”+F￡>

是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?江蘇?蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E為邊AO

上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊8上，且線段EF=4,點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接8G、CG,則BG+|CG的最小

【答案】5

【分析】因?yàn)镺G=1E尸=2,所以G在以。為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動，取Q/=l,可證△GO/S^COG,

從而得出G/=（CG,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出8/是其最小值

在RSOE尸中，G是E尸的中點(diǎn)，

：.DG^-EF=2,

2

.?.點(diǎn)G在以。為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動,

在8上截取。/=1,連接G/,

.Dl_DG_1

?(------..—.

DGCD2

:?/GDI=/CDG,

:?△GDIs^CDG,

._DI-1

??CG-DG~2f

：.IG=-CG,

2

二8G+；CG^BG+IG>BI,

...當(dāng)8、G、/共線時(shí)，BG+：CG最小=B/,

在RS8C7中，C7=3,8c=4,

：.BI=5,

故答案是：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?四川省成都市七中育才學(xué)校八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/分別交x、y軸于8、

C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,-3),且/OCB=60。，點(diǎn)尸是直線/上一動點(diǎn)，連接AP,則AP+在「。

2

的最小值是.

［答案］3+3烏楸36+3

U，22

【分析】作NOC￡=120。，過點(diǎn)尸作PGLCE于點(diǎn)G,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求

得PG一尸C；當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+3PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角

22

形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解.

【詳解】解：：點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,-3),

，OA=3,OC=3,

作NOCE=120°,

NOC8=60°,

貝UZOCB=NBCE=ZFCE=60°,

過點(diǎn)P作尸GLCE于點(diǎn)G,如圖:

:.AP+^PC=AP+PG,

2

當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PG=AG的值最小，

延長AG交y軸于點(diǎn)F,

VZFCG=60°,ZCGF=90°,

ZCFG=30°,

：.CF=2CG,GF—CF,

2

在即△CM/中，ZAOF=90°,ZOM=30°,

.\AF=2OA=6,OF=y/30A=3V3，

:.CF=OF-OC=3V3-3，

.?6=苧（36一3）=1-竽，

，AG=A尸-尸G=6—2+型=2+速，

2222

即AP+^-PC的最小值為三+迪.

222

故答案為：山.

2

【點(diǎn)睛】本題考查r坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，得到

當(dāng)4、P、G在同一直線時(shí)，A/5+在PC=AP+PG=AG的值最小是解題的關(guān)鍵.

2

7.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，直線y=x-3分別交x軸、y軸于8、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0,1）在y軸

上，點(diǎn)尸在x軸上運(yùn)動，則&PC+PB的最小值為

【答案】4

【詳解】思路引領(lǐng):過P作刊〃A8于。，依據(jù)△A08是等腰直角三角形，可得/&40=/480=45。=/8/犯

進(jìn)而得到△8OP是等腰直角三角形，故PDJPB,當(dāng)C,P,。在同一直線上時(shí)，CDLAB,FC+P。的最

小值等于垂線段CO的長，求得C。的長，即可得出結(jié)論.

答案詳解：如圖所示，過P作于￡>,

?直線y=x-3分別交x軸、y軸于8、4兩點(diǎn)，

令x=0,則y=-3；令y=0,則x=3,

???A(0,-3),B(3,0),

：.AO=BO=39

又丁ZAOB=90°,

???△AOB是等腰直角三角形，

???/BAO=48。=45。=/BPD,

???△BDP是等腰直角三角形，

：.PD=^-PB,

2

.\>/2PC+PB=y/2(PC+它PB)=V2(PC+PD'),

2

當(dāng)C,P,。在同一直線上，即CCJLA8時(shí)，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CO的長，

此時(shí)，△48是等腰直角三角形，

又?：點(diǎn)、C(0,1)在y軸上,

C

O

:.CD=與AC=2a,

即PC+P。的最小值為2魚，

:.y/iPC+PB的最小值為近x2V2=4,

故答案為：4.

8.（2021.全國?九年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中A8=3,BC=國，E為線段A8上一動點(diǎn)，連接CE,

【詳解】思路引領(lǐng)：在射線A8的下方作/M4B=30。，過點(diǎn)E作ET_L4M于T,過點(diǎn)C作C”，AM于H.易

證推出/￡+EC=CE+E7^CH,求出CH即可解決問題.

答案詳解：；四邊形A88是矩形，

二N8=90°,

AtanZC-4B=—=^,

AB3

，NC4B=30。，

；.AC=28C=2后

在射線AB的下方作NM4B=30。，過點(diǎn)E作ETLAM于T,過點(diǎn)C作Ca_L4M于H.

VETA.AM,NE4T=30°,

D

3=次，

VZCAH-6O0,NC7M=90。，AC=2g，

C//=AC*sin6°=2V3x卷=3,

,//E+EC=CE+ET>CH,

：.^AE+EC>3,

.?.，E+EC的最小值為3,

故答案為3.

9.（2021?四川?成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期末）如圖，△ABC中,NBAC=75。,NAC8=60。,AC=4,

則△ABC的面積為二點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為BC,AB,AC上的動點(diǎn)，連接。E,EF,FD,則AOEF的

周長最小值為一

備用圖

【答案】6+2b3^2+V6

【分析】（I）過點(diǎn)A作AH,8c于〃，根據(jù)N8AC=75。，ZC=60°,即可得到

（2）過點(diǎn)B作R/LAC于J,作點(diǎn)F關(guān)于A3的對稱點(diǎn)M,點(diǎn)尸關(guān)于8c的對稱點(diǎn)M連接BM,BN,BJ,

MN,MN交AB于E,交8c于D,此時(shí)△PET/的周長=MN的長，然后證明△是等腰直角三角形，

8M的值最小時(shí)，的值最小，再根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)8F與即重合時(shí)，的值最小，由此求解即

可.

【詳解】解：①如圖，過點(diǎn)A作8c于H.

???ZAHB=ZAHC=9O09

VZBAC=75°,ZC=60°,

AZB=180°-ZBAC-ZC=45°,ZHAC=30°

：?BH=AH,HC=-AC=2

2

=y/AC2-HC2=2V3

:.AH=BH=2/,

：.BC=BH+CH=2y/3+2,

：.SAABC=^BC>AH=^(2V3+2)=6+2技

②如圖，過點(diǎn)B作R/L4C于作點(diǎn)F關(guān)于A8的對稱點(diǎn)M,點(diǎn)/關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M連接BM,BN,

BJ,MN,MN交AB于?E,交8c于O,此時(shí)△FE7T的周長=〃汽的長.

,;BF=BM=BM,NABM=NABJ,NCBJ=NCBN,

：.NM8N=2NA8C=90。，

...ABMN是等腰直角三角形，

???8M的值最小時(shí)，MN的值最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)8尸與即重合時(shí)，8M的值最小，

=25^12+4V3

二MN的最小值為夜氏/=3夜+6，

二/\DEF的周長的最小值為3&+V6.

故答案為：6+2-\/3-3\/2+V6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線

段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

10.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在邊長為4的正方形ABC。內(nèi)有一動點(diǎn)P,且8P=&.連接CP,

將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段P0.連接CQ、則打。+CQ的最小值為一.

【答案】5

【分析】連接AC、AQ,先證明△8cps/XAC。得票=當(dāng)即4。=2,在4。上取4E=1,證明△Qk—△DNQ

得EQ=：QD,故?)Q+CQ=EQ+CQNCE,求出CE即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、AQ,

???四邊形ABCD是正方形，PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

：.ZACB=ZPCQ=45°,

：.ZBCP=ZACQ,cosZACfi=—=^,cosZPCQ=—=—,

匕AC2*QC2

：.ZACB=ZPCOf

:,叢BCPs^ACQ,

???A—Q=V—2

BP2

,:BP=0,

???AQ=2,

在以A為圓心，A。為半徑的圓上,

在4。上取AE=1,

V^=i,絲）,ZQAE=ZDAQ,

AQ2AD2

：./\QAE^^DAQ,

?嚼=抑々=9,

^DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

連接CE,

?*-CE=\!DE2+CD2=5,

.6OQ+C。的最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵

在于能夠連接AC、AQ,證明兩對相似三角形求解.

11.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形A8CO是菱形，A8=8,且NABC=60。，M為對角線8。（不

含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+^BM的最小值為

D

【答案】4^/3

【分析】如圖，過點(diǎn)A作ATLBC于7,過點(diǎn)M作8c于”，根據(jù)菱形的性質(zhì)和30。角的直角三角形的

性質(zhì)可得用于是可得的最小值即為AT的長，再利用解直角三角形的知識求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作ATLBC于丁，過點(diǎn)M作胡/7LBC于從

?四邊形ABCD是菱形，/A8C=60。，

,ZDBC=-ZABC=30°,

2

t：MHA.BC,：.ZBHM=90°,

.\AM+-BM=AM+MH,

2

,：ATLBC,：.ZA7'B=90°,

.?.AT=A8?sin60°=4H，

\'AM+MH>AT,

：.AM+MH>4y/3,

：.AM+^BM>4y/3,

：.AM+^BM的最小值為4V3.

故答案為：4V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、30。角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短以及解直角三角形等知識，屬于

常考題型，熟練掌握上述知識、明確解答的方法是解題關(guān)鍵.

12.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，nABCD中，/DAB=30。，AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動

點(diǎn)，貝I2PB+PD的最小值等于.

D

A

【答案】6

【分析】過點(diǎn)P作PELAD交AD的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB〃CD,推

HlPE=，D,由此得到當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，利用NDAB

=30。，ZAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=^AB=3,得至U2PB+PD的最小值等于6.

【詳解】過點(diǎn)P作PE1AD交AD的延長線于點(diǎn)E,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB/7CD,

NEDC=/DAB=30。，

.?.PE’PD,

2

V2PB+PD=2(PB+|PD)=2(PB+PE),

...當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，

,.?/DAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=^AB=3,

.?.2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30。角的問題，動點(diǎn)問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)

共線的形式是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?四川自貢?一模)如圖，△ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE14C于點(diǎn)E,0是線段BE上的

一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值是.

【答案】4V5

【分析】過點(diǎn)D作。H14B于H,過點(diǎn)C作CMJ.48于M,首先通過勾股定理及tanA=2求出AE,BE的長

度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出CM=BE,然后通過銳角三角函數(shù)得出=更BD,進(jìn)而可

5

得出CD+日8。=CD+DH，最后利用C7)+0">CM即可求值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作。H148丁?“，過點(diǎn)C作CM于M.

U：BE1AC,

：.￡AEB=90°,

設(shè)AE=Q,BE=2Q,

vAB2=AE2+BE2

A100=4+4a2,

??a2=20,

???0=2而或一2西（舍棄），

；?BE=2a=4倔

9CAB=4C,BELAC,CM工AB,

???CM=BE=4甚（等腰三角形兩腰上的高相等）

■:乙DBH=ZLABE,乙BHD=CBEA,

?.DHAE病

??sinzyOnBDHU=—=—=—，

BDAB5

'DH=￡BD,

:.CD4BD=CD+DH,

:?CD+DH>CM,

二CD>4V5.

CD+^BD的最小值為4隗，

故答案為：4傷.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等，學(xué)會添加輔助線并

利用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵.

14.（2021.全國?九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線3/=/一2%-3與》軸交于4、B兩點(diǎn),過8的直線交拋物

線于E,且tanNEBA。有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)。處，再以1.25

單位/s的速度沿著OE爬到E點(diǎn)處覓食，則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是s.

【分析】過點(diǎn)E作x軸的平行線，再過。點(diǎn)作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)H,如圖，利用平行線的性質(zhì)和三

角函數(shù)的定義得到tan4HE。=tan^EBA=^=-,設(shè)DH=4m,EH=3m,則。E=5m,則可判斷螞蟻從

EH3

。爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從。爬到H點(diǎn)所用的時(shí)