2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.3空間直線、平面的平行【課件】

第七章立體幾何與空間向量第3節(jié)空間直線、平面的平行ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.1.直線與平面平行(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的__________平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與______平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b一條直線交線(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理2.平面與平面平行

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條__________與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β相交直線性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線______于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面_____，那么兩條______平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b平行相交交線1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化×解析(1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故(1)錯(cuò)誤.(2)若a∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯(cuò)誤.(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行或相交，故(3)錯(cuò)誤.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.(

) (2)若直線a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)條.(

) (3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(

) (4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(

)××√D解析因?yàn)閍∥平面α，所以直線a與平面α無(wú)交點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交，故選D.2.下列說(shuō)法中，與“直線a∥平面α”等價(jià)的是(

) A.直線a上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi) B.直線a與平面α內(nèi)的所有直線平行 C.直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線不相交 D.直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交B解析根據(jù)m?α，m∥β得不到α∥β，因?yàn)棣粒驴赡芟嘟?，只要m和α，β的交線平行即可得到m∥β；反之，α∥β，m?α，所以m和β沒(méi)有公共點(diǎn)，所以m∥β，即由α∥β能得到m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件.3.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α，則“m∥β”是“α∥β”的(

) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析A.若m∥α，n∥β且α∥β，則可能m∥n，m、n異面，或m，n相交，A錯(cuò)誤；B.若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正確；C.若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，又α∥β，m?β，故m∥β，C正確；D.若m∥n，n⊥α，則m⊥α，又α⊥β，則m∥β或m?β，D錯(cuò)誤.4.(多選)已知m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是(

) A.若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n B.若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β C.若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥β D.若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥βBC解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正確；5.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，下列四個(gè)推斷中正確的是(

) A.FG∥平面AA1D1D B.EF∥平面BC1D1 C.FG∥平面BC1D1 D.平面EFG∥平面BC1D1AC∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故B錯(cuò)誤；∵E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯(cuò)誤.解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.6.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_____________.平行四邊形KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2證明

法一如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.例1

如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.角度1直線與平面平行的判定∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二如圖，在平面ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BE交AB于點(diǎn)M，連接QM.則PM∥平面BCE，∵PM∥BE，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.證明

如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，例2

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.角度2直線與平面平行的性質(zhì)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.證明如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.訓(xùn)練1

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn). (1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解

l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.證明

由題設(shè)知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.例3

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. (1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，證明：B1D1∥l.證明

由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說(shuō)明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.證明

∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，訓(xùn)練2

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn). (1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；則BF∥A1G，∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn).證明

∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過(guò)G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn).所以BC∥AE，BC＝AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP，因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)求證：GH∥平面PAD.證明

連接OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，所以FH∥PD，因?yàn)镻D?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥AD，因?yàn)锳D?平面PAD，OH?平面PAD，所以O(shè)H∥平面PAD.又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因?yàn)镚H?平面OHF，所以GH∥平面PAD.證明如圖，連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點(diǎn).訓(xùn)練3

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：(1)BE∥平面DMF；連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)平面BDE∥平面MNG.證明因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥NG，又DE?平面MNG，NG?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析對(duì)于A，若直線l在平面α內(nèi)，l上有兩點(diǎn)到α的距離為0，相等，此時(shí)l不與α平行，所以A錯(cuò)誤；1.(多選)已知α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，l是直線.給出下列命題，其中正確的命題是(

) A.若l上兩點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α B.若l⊥α，l∥β，則α⊥β C.若α∥β，l?β，且l∥α，則l∥β D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nBC對(duì)于B，因?yàn)閘∥β，所以存在直線m?β使得l∥m，因?yàn)閘⊥α，所以m⊥α，又m?β，所以β⊥α，所以B正確；對(duì)于C，l∥α，故存在m?α使得l∥m，因?yàn)棣痢桅?，所以m∥β，因?yàn)閘∥m，l?β，所以l∥β，C正確；對(duì)于D，因?yàn)閙⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D錯(cuò)誤.解析把這三條線段放在正方體內(nèi)可得如圖，2.如果AB，BC，CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過(guò)它們中點(diǎn)的平面和直線AC的位置關(guān)系是(

) A.平行

B.相交 C.AC在此平面內(nèi)

D.平行或相交A顯然AC∥EF，AC?平面EFG，∵EF?平面EFG，故AC∥平面EFG.解析A中，a可以在過(guò)b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確.3.下列命題中正確的是(

) A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行 C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行 D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD解析如圖所示，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.4.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有(

) A.0條

B.1條 C.2條

D.1條或2條C∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以與平面α(平面EFGH)平行的棱有2條.解析如圖所示，延長(zhǎng)AE交CD于H，連接FH，B因?yàn)槠矫鍭EF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.A.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值C.隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D.當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí)，AE·AH為定值6.(多選)如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是(

)AD解析根據(jù)棱柱的特征(有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行)，結(jié)合題中圖形易知A正確；由題圖可知水面EFGH的邊EF的長(zhǎng)保持不變，但鄰邊的長(zhǎng)卻隨傾斜程度而改變，可知B錯(cuò)誤；因?yàn)锳1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當(dāng)平面EFGH不平行于平面ABCD時(shí)，A1C1不平行于水面所在平面，故C錯(cuò)誤；當(dāng)容器傾斜如題圖(3)所示時(shí)，因?yàn)樗捏w積是不變的，所以棱柱AEH－BFG的體積V為定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確.解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確.7.設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題. ①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.

可以填入的條件有________(填序號(hào)).①或③8.下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是________.①④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.解析如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.9.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.Q為CC1的中點(diǎn)連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB?平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.又因?yàn)锳B∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，所以四邊形ABQG是平行四邊形，所以BQ∥AG，又BQ?平面PAD，AG?平面PAD，所以BQ∥平面PAD.10.已知在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點(diǎn). (1)求證：BQ∥平面PAD；證明取PD的中點(diǎn)G，連接AG，GQ，解

因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，所以點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)S到平面ABCD的距離為h，又PD⊥平面ABCD，PD＝3，所以點(diǎn)S在線段PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處.11.如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn). (1)證明：MN∥平面C1DE；證明

如圖，連接B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，由題設(shè)知A1B1綉DC，可得B1C綉A1