高中數(shù)學(xué)人教版必修1教案1 .3 .1 單調(diào)性與最大（?。┲?第 1 課時

1.3.1單調(diào)性與最大（小）值第1課時

1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

整體設(shè)計

教學(xué)分析

在研究函數(shù)的性質(zhì)時，單調(diào)性和最值是一個重要內(nèi)容.實際上，在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時，已經(jīng)重

點研究了一些函數(shù)的增減性，只是當(dāng)時的研究較為粗略，未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義,

對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出，而本小節(jié)內(nèi)容，正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化

和提高：給出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于

某個區(qū)間來說的，還說明判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進行觀察的較為粗略的方法，又有

根據(jù)定義進行證明的較為嚴(yán)格的方法、最好根據(jù)圖象觀察得出猜想，用推理證明猜想的正確

性，這樣就將以上兩種方法統(tǒng)一起來了.

由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此，在本節(jié)教學(xué)時可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)

教學(xué)情境，以利于學(xué)生作函數(shù)圖象，有更多的時間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性

質(zhì).還要特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過程，以便加深對單調(diào)性和最值的理解.

三維目標(biāo)

1.函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識數(shù)的過程，在這個過程中，讓學(xué)生通過自

主探究活動，體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦，學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會求函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識解決問題的能力.

3.通過實例，使學(xué)生體會、理解到函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，能夠借助函數(shù)圖象的

直觀性得出函數(shù)的最值，培養(yǎng)以形識數(shù)的解題意識.

4.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡單的實際問題，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必

要性與重要性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

重點難點

教學(xué)重點:函數(shù)的單調(diào)性和最值.

教學(xué)難點:增函數(shù)、減函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)形式化定義的形成.

課時安排

2課時

設(shè)計方案（一）

教學(xué)過程

第1課時函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)入新課

思路L德國有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯（HermannEbbinghaus,18507909）,他以自

己為實驗對象，共做了163次實驗，每次實驗連續(xù)要做兩次無誤的背誦.經(jīng)過一定時間后再

重學(xué)一次，達到與第一次學(xué)會的同樣的標(biāo)準(zhǔn).他經(jīng)過對自己的測試，得到了一些數(shù)據(jù).

時間間隔t0分鐘20分鐘60分鐘8~9小時1天2天6天—個月

記憶量y（百分比）100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%

觀察這些數(shù)據(jù)，可以看出：記憶量y是時間間隔t的函數(shù).當(dāng)自變量（時間間隔t）逐漸增大

時，你能看出對應(yīng)的函數(shù)值（記憶量y）有什么變化趨勢嗎？描出這個函數(shù)圖象的草圖（這

就是著名的艾賓浩斯曲線）.從左向右看，圖象是上升的還是下降的？你能用數(shù)學(xué)符號來刻畫

嗎？通過這個實驗，你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識？（可以借助信息技術(shù)畫圖象）

圖1-3-1-1

學(xué)生：先思考或討論，回答：記憶量y隨時間間隔t的增大而增大；以時間間隔t為x軸，

以記憶量y為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，描點連線得函數(shù)的草圖——艾賓浩斯遺忘曲線如圖

1-3-1-1所示.

遺忘曲線是一條衰減曲線，它表明了遺忘的規(guī)律.隨著時間的推移，記憶保持量在遞減，剛

開始遺忘速度最快，我們應(yīng)利用這一規(guī)律，在學(xué)習(xí)新知識時一定要及時復(fù)習(xí)鞏固，加深理解

和記憶.教師提示、點撥，并引出本節(jié)課題.

思路2.在第23屆奧運會上，中國首次參加就獲15枚金牌；在第24屆奧運會上，中國獲5

枚金牌；在第25屆奧運會上，中國獲16枚金牌；在第26屆奧運會上，中國獲16枚金牌；

在第27屆奧運會上，中國獲28枚金牌；在第28屆奧運會上，中國獲32枚金牌.按這個變

化趨勢，2008年，在北京舉行的第29屆奧運會上，請你預(yù)測一下中國能獲得多少枚金牌？

學(xué)生回答（只要大于32就可以算準(zhǔn)確）,教師：提示、點撥，并引出本節(jié)課題.

推進新課

新知探究

提出問題

①如圖1-3-1-2所示為一次函數(shù)y=x,二次函數(shù)y=x2和丫=點的圖象，它們的圖象有什么變化

規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律？

圖1-3-1-2

②函數(shù)圖象上任意點P(x,y)的坐標(biāo)有什么意義？

③如何理解圖象是上升的？

④對于二次函數(shù)y=x2,列出x.y的對應(yīng)值表(1).完成表(1)并體會圖象在y軸右側(cè)上升.

X-4-3-2-101234

f(x)=x2

表⑴

⑤在數(shù)學(xué)上規(guī)定：函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù).誰能給出增函數(shù)的定義？

⑥增函數(shù)的定義中，把“當(dāng)XIVX2時,都有f(Xl)<f(X2)”改為“當(dāng)X1>X2時,都有f(Xl)>f(X2)”,這

樣行嗎？

⑦增函數(shù)的定義中，“當(dāng)XI<X2時，都有f(X|)<f(X2)”反映了函數(shù)值有什么變化趨勢?函數(shù)的圖

象有什么特點？

⑧增函數(shù)的幾何意義是什么？

⑨類比增函數(shù)的定義，請給出減函數(shù)的定義及其幾何意義？

⑩函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，說明了函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的圖象有什么變

化趨勢？

討論結(jié)果:①函數(shù)y=x的圖象，從左向右看是上升的；函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，

在y軸右側(cè)是上升的；函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的.

②函數(shù)圖象上任意點p的坐標(biāo)(X,y)的意義：橫坐標(biāo)X是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為X

時對應(yīng)的函數(shù)值的大小.

③按從左向右的方向看函數(shù)的圖象，意味著圖象上點的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸

增大.圖象是上升的意味著圖象上點的縱坐標(biāo)逐漸變大，也就是對應(yīng)的函數(shù)值隨著逐漸增大.

也就是說從左向右看圖象上升,反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大.

④在區(qū)間(0,+8)上，任取XI、X2,且X1<X2,那么就有yi<y2,也就是有f(Xl)<f(X2).這樣可以體會

用數(shù)學(xué)符號來刻畫圖象上升.

⑤一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的

值XI、X2,當(dāng)X1VX2時,都有f(X])<f(X2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).

⑥可以?增函數(shù)的定義：由于當(dāng)X|<X2時，都有f(X|)<f(X2),即都是相同的不等號“<”，也就是

說前面是“<”，后面也是步調(diào)一致；“當(dāng)X|>X2時，都有f(X|)>f(X2)”都是相同的不等號

也就是說前面是后面也是步調(diào)一致.因此我們可以簡稱為：步調(diào)一致增函數(shù).

⑦函數(shù)值隨著自變量的增大而增大;從左向右看，圖象是上升的.

⑧從左向右看，圖象是上升的.

⑨一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量

的值XI、X2,當(dāng)X|<X2時，都有f(Xl)>f(X2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為：

步調(diào)不一致減函數(shù).減函數(shù)的幾何意義：從左向右看,圖象是下降的.函數(shù)值變化趨勢：函數(shù)值

隨著自變量的增大而減小.總結(jié)：如果函數(shù)y=f(X)在區(qū)間D上是增函數(shù)(或減函數(shù))，那么

就說函數(shù)y=f(X)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)遞增(或

減)區(qū)間.

⑩函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上，函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大(減小)，幾何意

義：從左向右看，圖象是上升(下降)的.

應(yīng)用示例

思路1

例1如圖1-3-1-3是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

圖1-3-1-3

活動：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示

并及時評價學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).

解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-5,2),[1,3)

上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù).

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性,圖象法判斷函數(shù)

的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)

性.函數(shù)的圖象類似于人的照片，我們能根據(jù)人的照片來估計其身高，同樣我們根據(jù)函數(shù)的

圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢即單調(diào)性.

圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)

性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.

變式訓(xùn)練

課本P32練習(xí)1、3.

例2物理學(xué)中的玻意耳定律p=F(k為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積

V減少時，壓強P將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.

活動：學(xué)生先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時，教師再提示，及時糾正

學(xué)生解答過程出現(xiàn)的問題，并標(biāo)出關(guān)鍵的地方，以便學(xué)生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時,

壓強P將增大是指函數(shù)p=[是減函數(shù)；刻畫體積V減少時，壓強P將增大的方法是用不等

式表達.已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時，常用單調(diào)性的定義來解決.

解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)P=±在區(qū)間。+8)上是減函數(shù)即可.

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.

定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任平兩個自變量XI和X2,

通常令Xl<x2；第二步：比較f(X|)和f(X2)的大小，通常是用作差比較法比較大小，此時比較它

們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為：一“取

(去)"、二“比”、三“再(賽)”，因此簡稱為：“去比褰”.

變式訓(xùn)練

課本P32練習(xí)4.

思路2

例1(1)畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象;

(2)證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-8,1]上是增函數(shù);

(3)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-oo,m]上是增函數(shù)時，求實數(shù)m的取值范圍.

圖1-3-1-4

解：(1)函數(shù)f(x)=-x?+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.

(2)設(shè)XI、X2G(-00,l],且X[<X2,則有

f(xI)-f(X2)=(-X|2+2X|+3)-(-X22+2X2+3)

=(X22-X12)+2(X1-X2)

=(X|-X2)(2-X|-X2).

"."XisX2^(-CO,1],且Xl<X2,.".X|-X2<0,X|+X2<2.

2-X|-X2>0..,.f(x|)-f(X2)<0./.f(x0<f(X2).

函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-8,1]上是增函數(shù).

(3)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=l,在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當(dāng)區(qū)間(-8,m]

位于對稱軸的左側(cè)時滿足題意，則有mW,即實數(shù)m的取值范圍是(-8,1].

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性

問題時，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點來分析；二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的

單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi).

判斷函數(shù)單調(diào)性時，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明.

判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲：

第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢；

第二步，結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

第三步，用數(shù)學(xué)符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何

意義，會根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運用單調(diào)性解決

一些問題，會判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為

密切，是高考命題的熱點題型.

變式訓(xùn)練

已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；

⑵證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(],0)成中心對稱圖形.

活動：(1)本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格

式書寫；(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象上的任意點關(guān)于點(1,0)的對稱點還是在函數(shù)y=F(x)的

圖象上即可.

解:(1)設(shè)XI、X2^R,且X]<X2.則

F(XI)-F(X2)=[f(xi)-f(a-xi)]-[f(X2)-f(a-X2)]

=[f(xi)-f(X2)]+[f(a-X2)-f(a-Xj)].

又丁函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，X1<X2,.,.a-X2<a-X2.

])<f(X2),f(a-X2)<f(a-xi).

A[f(xi)-f(X2)]+[f(a-X2)-f(a-xi)]<0.

???F(X|)<F(X2).???F(X)是R上的增函數(shù).

(2)設(shè)點M(xo,F(xo))是函數(shù)F(x)圖象上任意一點，則點M(xo,F(x。))關(guān)于點(￡())的對稱點

2

Mz(a-xo,-F(xo)).

又F(a-xo)=f(a-xo)-f(a-(a-xo))

=f(a-xo)-f(xo)

="(f(xo)-f(a-xo)］

=-F(xo),

...點M，(a-xo,-F(xo))也在函數(shù)F(x)圖象上，

又?.?點M(xo,F(xo))是函數(shù)F(x)圖象上任意一點，

二函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(|,0)成中心對稱圖形.

例2(1)寫出函數(shù)y=x?-2x的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸，觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)

性有什么特點？

(2)寫出函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什

么特點？

圖1-3-1-5

(3)定義在［-4,8］上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖象如圖1-3-1-5

所示，請補全函數(shù)y=f(x)的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間，觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有

什么特點？

(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?試加以證明.

活動：學(xué)生先思考，再回答，教師適時點撥和提示：

(1)畫出二次函數(shù)y=x^2x的圖象，借助于圖象解決；(2)類似于(1);(3)根據(jù)軸對稱

的含義補全函數(shù)的圖象，也是借助于圖象寫出單調(diào)區(qū)間；(4)歸納函數(shù)對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間

上的單調(diào)性的異同來發(fā)現(xiàn)結(jié)論，利用軸對稱的定義證明.

解：⑴函數(shù)y=xZ2x的單調(diào)遞減區(qū)間是G*D,單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+8)；對稱軸是直線X=l；區(qū)間

(-8,1)和區(qū)間(1,+00)關(guān)于直線x=l對稱，而單調(diào)性相反.

(2)函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間

(-8,0)和區(qū)間(0,+8)關(guān)于直線x=0對稱，而單調(diào)性相反.

(3)函數(shù)y=f(x),xG［-4,8］的圖象如圖1-3-1-6.

圖1-3-1-6

函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［-4,-1］,［2,5］;單調(diào)遞減區(qū)間是［5,8］,［-1,2］;區(qū)間［-4,-1］

和區(qū)間［5,8］關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反，區(qū)間［-1,2］和區(qū)間［2,5］關(guān)于直線x=2對

稱，而單調(diào)性相反.

(4)可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱，那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側(cè)

對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.證明如下：

不妨設(shè)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，區(qū)間［a,b］關(guān)于直

線x=m的對稱區(qū)間是［2m-b,2m-a］.

由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱，則f(x)=f(2m-x).

設(shè)2m-bWxi<X202m-a,貝b>2m-xi>2m-X2>a,

f(xi)-f(X2)=f(2m-xi)-f(2m-X2).

又?..函數(shù)y=f(x)在［a,b］上是增函數(shù),，f(2m-xi)-f(2m-X2)>0.

f(Xl)-f(X2)>0.f(Xl)>f(X2).

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［2m-b,2m-a］上是減函數(shù).

當(dāng)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)時，其在［a,b］關(guān)于直

線x=m的對稱區(qū)間［2m-b,2m-a］上是減函數(shù)，即單調(diào)性相反.

因此有結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱，那么函數(shù)y=f(x)在對稱軸兩側(cè)的對稱

單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.

點評：本題通過歸納——猜想——證明得到了正確的結(jié)論，這是我們認(rèn)識世界發(fā)現(xiàn)問題的主

要方法，這種方法的難點是猜想，突破路徑是尋找共同的特征.本題作為結(jié)論記住，可以提高解

題速度.圖象類似于人的照片，看見人的照片就能估計這個人的身高、五官等特點，同樣根

據(jù)函數(shù)的圖象也能觀察出函數(shù)的性質(zhì)特征.這需要有細(xì)致的觀察能力.

變式訓(xùn)練

函數(shù)y=f(x)滿足以下條件：

①定義域是R;

②圖象關(guān)于直線x=l對稱；

③在區(qū)間［2,收)上是增函數(shù).

試寫出函數(shù)y=f(x)的一個解析式f(x)=(只需寫出一個即可，不必考慮所有情況).

活動：根據(jù)這三個條件，畫出函數(shù)y=f(x)的圖象簡圖(只要能體現(xiàn)這三個條件即可)，再根

據(jù)圖象簡圖，聯(lián)系猜想基本初等函數(shù)及其圖象和已有的解題經(jīng)驗寫出.

解：定義域是R的函數(shù)解析式通常不含分式或根式，常是整式；圖象關(guān)于直線x=l對稱的

函數(shù)解析式滿足：f(x)=f(2-x),基本初等函數(shù)中有對稱軸的僅有二次函數(shù)，則由①②想到了

二次函數(shù)；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，在區(qū)間［2,+00)上是增函數(shù)說明開口必定向上，且正好滿

足二次函數(shù)的對稱軸直線X=1不在區(qū)間［2,+8)內(nèi)，故函數(shù)的解析式可能是y=a(x-l)2+b(a>0).

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知這三條都可滿足開口向上的拋物線，故有：

形如y=a(x-l)2+b(a>0),或為y=a|x-l|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.

知能訓(xùn)練

課本P32練習(xí)2.

【補充練習(xí)】

L利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.

解：①正比例函數(shù)：y=kx(VO)

當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函

數(shù).

②反比例函數(shù)：y=—(k#))

x

當(dāng)k>0時，函數(shù)y=K的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0),(0,+^),不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k<()時，

X

函數(shù)y="的單調(diào)遞增區(qū)間是(代,0),(0,+℃),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.

X

③一次函數(shù)：y=kx+b(k/o)

當(dāng)k>0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是

減函數(shù).

④二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a^0)

bb

當(dāng)a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-叫一?。?單調(diào)遞增區(qū)間是［-丁,+刈；

2。2a

I)b

當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ax?+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是［-丁,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是G0°,一?。?

2a2a

點評：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.

2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.

答案：k￡(0,+oo).

3.二次函數(shù)f(x)=xZ2ax+m在(心,2)上是減函數(shù)，在(2,+s)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的值.

答案：a=2.

4.2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷，8已知f(x)是定義在(0,+8)上的減函數(shù)，若

f(2a2+a+l)<f(3a2-4a+l)成立，則a的取值范圍是_____.

分析:：f(x)的定義域是(0,+℃),

2a+a+1>0,1

\.解得ac；；■或a>l.

3a2-4a+l>0.3

：f(X)在(0,+8)上是減函數(shù)，

2a2+a+l>3a2-4a+1./.a2-5a<0.

.,.0<a<5..\0<a<-oJcl<a<5,即a的取值范圍是(O-)U(1,5).

33

一1

答案：(0,§)U(l,5)

點評：本題實質(zhì)是解不等式，但是這是一個不具體的不等式，是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)

的抽象不等式時，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式.

拓展提升

問題：1.畫出函數(shù)y=，的圖象，結(jié)合圖象探討下列說法是否正確？

X

(1)函數(shù)yu"1"是減函數(shù)；(2)函數(shù)y=，的單調(diào)遞減區(qū)間是(g,0)u(o,+oo).

XX

2.對函數(shù)y=L取Xi=-l<X2=2,則f(X])=-l<f(X2)=[，滿足當(dāng)X]VX2時f(X[)<f(X2),說函數(shù)y=—

x2x

在定義域上是增函數(shù)對嗎？為什么？

3.通過上面兩道題,你對函數(shù)的單調(diào)性定義有什么新的理解？

解答：1.(1)是錯誤的，從左向右看，函數(shù)y=，的圖象不是下降的.

X

(2)是錯誤的，函數(shù)y=L的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0),(0,y).這表示在區(qū)間(?8,0)口(0,+8)即定

x

義域上是減函數(shù)，在定義域上函數(shù)丫=’的圖象，從左向右看不是下降的，因此這是錯誤的.

X

2.不對.這個過程看似是定義法，實質(zhì)上不是.定義中XI、X2是在某區(qū)間內(nèi)任意取的兩個值，

不能用特殊值來代替.

3.函數(shù)單調(diào)性定義中的XI、X2必須是任意的，應(yīng)用單調(diào)性定義解決問題時，要注意保持其任

意性.

點評：函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在其定義域的子集上的性質(zhì)，是函數(shù)的“局部性質(zhì)”；函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)和(b,c)上均是增(減)函數(shù)，那么在區(qū)間(a,b)U(b,c)上的單調(diào)性不能確定.

課堂小結(jié)

本節(jié)學(xué)習(xí)了:①函數(shù)的單調(diào)性;②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法.

活動：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點撥，及時評價.

引導(dǎo)方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié).

作業(yè)

課本P39習(xí)題L3A組2、3、4.

設(shè)計感想

“函數(shù)單調(diào)性”是一個重要的數(shù)學(xué)概念，以往的教學(xué)方法一般是由教師講解為主，在單調(diào)性的

定義教學(xué)中，往往缺少從定性的描述到定量表示的思維過程，即缺少“意義建構(gòu)”.本設(shè)計致

力于展示概念是如何生成的.在概念的發(fā)生、發(fā)展中，通過層層設(shè)問，調(diào)動學(xué)生的思維，突

出培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)了教師是用教材教，而不是教教材.

本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境,

引導(dǎo)探究，師生交流,最終形成概念，獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學(xué),

為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識.考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較

好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進行適當(dāng)?shù)难诱梗由顚Χx的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.

(設(shè)計者：張建國)

設(shè)計方案(二)

教學(xué)過程

第1課時函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)入新課

思路1.

為了預(yù)測北京奧運會開幕式當(dāng)天的天氣情況,數(shù)學(xué)興趣小組研究了2002年到2006年每年這

一天的天氣情況，如圖1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線

圖.

圖1-3-1-7

問題：觀察圖1-3-1-7,能得到什么信息？

(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及達到的時刻；

(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.

引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考回答.教師：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化

規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的.歸納：用函數(shù)觀點看，其實

這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大或變小.

思路2.如圖1-3-1-8所示,觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些

變化規(guī)律：

圖1-3-1-8

隨x的增大，y的值有什么變化？

引導(dǎo)學(xué)生回答，點撥提示，引出課題.

設(shè)計意圖:創(chuàng)設(shè)情景，引起學(xué)生興趣.

推進新課

新知探究

提出問題

問題①:分別作出函數(shù)y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=’的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值的變

X

化規(guī)律.

如圖1-3-1-9所示：

圖1-3-1-9

問題②:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)？

設(shè)計意圖:從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識：直觀感知.

_2

問題③:如圖1-3-1-10是函數(shù)y=x+—（x>0）的圖象能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

x

和減函數(shù)嗎？

圖1-3-1-10

設(shè)計意圖:使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.

問題④:如何從解析式的角度說明f（x）=x2在［0,也）上為增函數(shù)？

設(shè)計意圖:把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性的高度，完成對概念的第二次認(rèn)識.事實上也

給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學(xué)習(xí)作好鋪墊.

問題⑤:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎？

設(shè)計意圖:讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析,

加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.

活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對

回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.

引導(dǎo)方法與過程：問題①：引導(dǎo)學(xué)生進行分類描述圖象是上升的、下降的（增函數(shù)、減函數(shù)）,

同時明確函數(shù)的圖象變化（單調(diào)性）是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).

問題②：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識.

學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置.

問題③：通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精

確，需要結(jié)合解析式進行嚴(yán)密化、精確化的研究.

問題④：對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學(xué)生認(rèn)識

到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量

XI、X2.

問題⑤：師生共同探究：利用不等式表示變大或變小彳導(dǎo)出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類

比得出減函數(shù)的定義.

歸納總結(jié)：1.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，那么在

區(qū)間D上的圖象是上升的(下降的).

2.函數(shù)單調(diào)性的定義：略.可以簡稱為步調(diào)一致增函數(shù)，步調(diào)相反減函數(shù).

討論結(jié)果：①⑴函數(shù)y=x+2,在整個定義域內(nèi)y隨X的增大而增大；函數(shù)y=-x+2,在整個

定義域內(nèi)y隨x的增大而減小.(2)函數(shù)y=x2,在［0,+oo)上y隨x的增大而增大，在(-8,0)上

y隨x的增大而減小.(3)函數(shù)y=-,在(0,+8)上y隨x的增大而減小，在(-8,0)上y隨x的增

x

大而減小.

②如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間

上為增函數(shù)；如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)f(x)

在該區(qū)間上為減函數(shù).

③不能.

④(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如2和3,因為22<32,所以f(x)=x2在［0,+8)上為增函數(shù).

⑵仿(1),取多組數(shù)值驗證均滿足，所以f(x)=x2在［0,+8)上為增函數(shù).

(3)任取X1、X2《［0,+oO),fiX1<X2,因為X12-X22=(X)+X2)(X|-X2)<0,BPx/vx??.所以f(X)=X?在［0,+8)

上為增函數(shù).

⑤略

應(yīng)用示例

思路1

例1課本P29頁例L

思路分析：利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論，再回答.

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.

圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

①畫函數(shù)的圖象；

②觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.

圖象法的難點是畫函數(shù)的圖象，常見畫法有描點法和變換法.

答案：略.

變式訓(xùn)練

課本P32練習(xí)4.

例2課本P32頁例2.

k

思路分析：按題意，只要證明函數(shù)P=M在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)即可，用定義證明.

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性.

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：(定義法)

①任取XI、X2WD,且XI<X2；

②作差f(X|)-f(X2)；

③變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(即判斷差f(X1)-f(X2)的正負(fù))；

⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(X)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

易錯分析：錯取兩個特殊值XI、X2來證明.

答案：略.

變式訓(xùn)練

判斷下列說法是否正確：

①已知f(x)=L，因為f(-l)<f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).

X

②若函數(shù)f(x)滿足f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,3］上為增函數(shù).

③若函數(shù)