高中數學《分類加法計數原理與分步乘法計數原理》教案與分層同步練習

第六章計數原理

《6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理》教案

第一課時分類加法計數原理與分步乘法計數原理

課標要求素養(yǎng)要求

1.通過實例，了解分類加法計數原理、分

步乘法計數原理及其意義.通過兩個計數原理的學習，提

2.理解分類加法計數原理與分步乘法計數升數學抽象及邏輯推理素養(yǎng).

原理.

【課前預習】

新知探究

A情境引入

2017年3月3日政協十二屆第5次會議在北京舉行，某政協委員3月2日要從

泉城濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機，二是

乘坐動車組，假如這天飛機有3個航班可乘，動車組有4個班次可乘.

問題這個政協委員這一天從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選？

提示該政協委員共有3+4=7（種）快捷途徑可選.

/口識梳理

1.分類加法計數原理

正確運用分類加法計數原理的關鍵是明確分類的標準并做到不重不漏

完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類

方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

2.分步乘法計數原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同

的方法，那么完成這件事共有N=mXn種不同的方法.

拓展深化

［微判斷］

1.在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.（X）

提示在分類加法計數原理中，兩類不同的方案中，每一種方法都不相同.

2.在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.（J）

3.在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同

的.3

4.在分步乘法計數原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的

步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成.（J）

［微訓練］

1.從3名女同學和2名男同學中選出一人主持本班一次班會，則不同的選法種

數為（）

A.6B.5

C.3D.2

解析由分類加法計數原理知，共有3+2=5（種）不同的選法.

答案B

2.一^1b袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩

個袋子里各取一個球，共有種不同的取法.

解析由分步乘法計數原理知，共有6X8=48（種）不同的取法.

答案48

［微思考］

用一個大寫的英文字母或0?9這10個阿拉伯數字中的一個給教室里的座位編

號，總共能編出多少種不同的號碼？

提示因為英文字母共有26個，阿拉伯數字0?9共有10個，所以總共可以編

出26+10=36（種）不同的號碼.

【課堂互動】

題型一分類加法計數原理的應用

【例1】在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數為一.

解析法一根據題意，將十位上的數字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分

成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4

個，3個，2個，1個.由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8+7+

6+5+4+3+2+1=36（個）.

法二分析個位數字，可分以下幾類：

個位數字是9,則十位數字可以是1,2,3,…，8中的一個，故共有8個;

個位數字是8,則十位數字可以是1,2,3,…，7中的一個，故共有7個;

同理，個位數字是7的有6個；

個位數字是2的有1個.

由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有8+7+6+5+4+3+2+1=

36（個）.

答案36

【遷移1】（變條件）若本例條件變?yōu)閭€位數字小于十位數字且為偶數，那么

這樣的兩位數有多少個.

解當個位數字是8時，十位數字取9,只有1個.

當個位數字是6時，十位數字可取7,8,9,共3個.

當個位數字是4時，十位數字可取5,6,7,8,9,共5個.

同理可知，當個位數字是2時，共7個，

當個位數字是0時，共9個.

由分類加法計數原理知，符合條件的兩位數共有1+3+5+7+9=25（個）.

【遷移2】（變條件，變設問）用1,2,3這3個數字可以組成沒有重復數字

的整數個.

解析分三類：第一類為一位整數，有3個；

第二類為兩位整數，有12,21,23,32,13,31,共6個；

第三類為三位整數，有123,132,231,213,321,312,共6個，

???由分類加法計數原理知共可組成沒有重復數字的整數3+6+6=15（個）.

答案15

規(guī)律方法利用分類加法計數原理計數時的解題流程

<^>~（將完成這件事的方法分成若干冢］

<^>~~］求出每一類的方法數一）

［將每一類的方法數相加得出結果）

【訓練1】滿足a,be{-1,0,1,2},且關于x的方程ax'+2x+b=0有

實數解的有序數對(a,b)的個數為()

A.14B.13

C.12D.10

解析由關于x的方程ax?+2x+b=0有實數解，得a=0,b￡R或aWO時，

abWl.

又a,b6{-1,0,1,2},故

若a=-l時，b=-l,0,1,2,有4種可能；

若a=0時，b=-l,0,1,2,有4種可能；

若a=l時，b=-1,0,1,有3種可能；

若a=2時，b=—1,0,有2種可能.

...由分類加法計數原理知共有(a,b)的個數為4+4+3+2=13.

答案B

題型二分步乘法計數原理

【例2】在平面直角坐標系內，若點P(x,y)的橫、縱坐標均在{0,1,2,3)

內取值，則可以組成多少個不同的點P?

解確定點P的坐標必須分兩步，即分步確定點P的橫坐標與縱坐標.

第一步，確定橫坐標，從0,1,2,3四個數字中選一個，有4種方法；

第二步，確定縱坐標，從0,1,2,3四個數字中選一個，也有4種方法.

根據分步乘法計數原理，所有不同的點P的個數為4X4=16.故可以組成16個

不同的點P.

規(guī)律方法應用分步乘法計數原理應注意如下問題：

(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨用題目中所給的某種方法

是不是能完成這件事，也就是說要經過幾步才能完成這件事.

(2)完成這件事要分若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺

少哪一步，這件事都不可能完成，即各步之間是關聯的，相互依存的，只有前

步完成后步才能進行.

(3)根據題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，

才能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，即分步要做到步驟完整.

【訓練2】用0,1,2,3,4,5,6這七個數字共能組成多少個兩位數？

解第一步，確定十位數字，1,2,3,4,5,6六個數字都可以選擇，有6種

方法；

第二步，確定個位數字，0,1,2,3,4,5,6七個數字都可以選擇，有7種

選法.

根據分步乘法計數原理，不同的兩位數共有6*7=42（個）.

故可以組成42個兩位數.

題型三兩個計數原理的簡單應用

【例3】現有高一年級的四個班的學生34人，其中一、二、三、四班各7

人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學課外小組.

⑴選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？

（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？

（3）推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

解（1）分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班

學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第

四類，從四班學生中選1人，有10種選法.所以，共有不同的選法N=7+8+

9+10=34（種）.

⑵分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組

長.

所以，共有不同的選法N=7X8X9X10=5040（種）.

（3）分六類，每類又分兩步：從一、二班學生中各選1人，有7X8種不同的選

法；從一、三班學生中各選1人，有7X9種不同的選法；從一、四班學生中

各選1人，有7義10種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有8X9種不

同的選法；從二、四班學生中各選1人，有8X10種不同的選法；從三、四班

學生中各選1人，有9X10種不同的選法.

所以，共有不同的選法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=

431（種）.

規(guī)律方法（1）在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分

步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么，選擇合理的標準處

理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數的重復或遺漏.

（2）對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理

的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清晰.

【訓練3】某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會

英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少

種不同的選法？

解由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.

法一分兩類.

第一類：從只會英語的6人中選1人說英語、有6種選法，則說日語的有2+1

=3（種）選法.此時共有6X3=18（種）選法.

第二類：從不只會英語的1人中選1人說英語，有1種選法，則選會日語的有

2種選法，止匕時有IX2=2（種）選法.

所以由分類加法計算原理知，共有18+2=20（種）選法.

法二設既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后

又要分兩種：（D教英語；（2）教日語.

第一類：甲入選.

（1）甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數原理，有1X2

=2（種）選法；

（2）甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數原理，有1X6

=6（種）選法.

故甲入選的不同選法共有2+6=8（種）.

第二類：甲不入選.可分兩步.

第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法：第二步，從只會日語的2人

中選1人有2種選法.由分步乘法計數原理知，有6X2=12（種）不同的選法.

綜上，共有8+12=20（種）不同選法.

【素養(yǎng)達成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學習，進一步提升數學抽象及邏輯推理素養(yǎng).

2.應用兩個原理時，要仔細區(qū)分原理的不同，分類加法計數原理關鍵在于分

類，不同類之間互相排斥，互相獨立；分步乘法計數原理關鍵在于分步，各步

之間互相依存，互相聯系.

3.通過對這兩個原理的學習，要進一步體會分類討論思想及等價轉化思想在解

題中的應用.

二、素養(yǎng)訓練

1.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發(fā)3

次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內乘坐這三種交通工具從A地到B地

的不同走法的種數為（）

A.1+1+1=3B.34-4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不對

解析分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火

車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走

法.所以，由分類加法計數原理知共有3+4+2=9（種）不同的走法.

答案B

2.現有3名老師、8名男生和5名女生共16人.若需1名老師和1名學生參

加評選會議，則不同的選法種數為（）

A.39B.24

C.15D.16

解析先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學生中任選1名，有

13種選法.由分步乘法計數原理知，不同的選法種數為3X13=39.

答案A

3.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的

老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為

C.12D.9

解析由題意可知E-F共有6條最短路徑，F-G共有3條最短路徑，由分步

乘法計數原理知，共有6X3=18（條）最短路徑，故選B.

答案B

4.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個互不相等的數a,b組成復數a+

bi,其中虛數有個.

解析第一步取b的數，有6種方法，第二步取a的數，也有6種方法，根據

分步乘法計數原理，共有6X6=36（種）方法，即共組成36個虛數.

答案36

5.從-1,0,1,2這四個數中選三個不同的數作為函數f（x）=ax?+bx+c的

各項的系數，可組成不同的二次函數共有個，其中不同的偶函數共

有個.

解析一個二次函數對應著a,b,c（a70）的一組取值，a的取法有3種，b的

取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知，共有二次函數的個數

為3X3X2=18.其中不同的偶函數的個數為3X2=6.

答案186

【課后作業(yè)】

基礎達標

一、選擇題

1.某同學從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞

雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有（）

A.24種B.9種

C.3種D.26種

解析不同的雜志本數為4+3+2=9,從其中任選一本閱讀，共有9種選法.

答案B

2.已知xe｛2,3,7｝,yG｛-31,-24,4｝,則（x,y）可表示不同的點的個

數是（）

A.1B.3

C.6D.9

解析可分為兩步完成：第一步，在集合｛2,3,7｝中任取一個值x有3種方

法；第二步，在集合｛-31,-24,4｝中任取一個值y有3種方法.根據分步乘

法計數原理知，有3X3=9（個）不同的點.

答案D

3.某體育場南側有4個大門，北側有3個大門，小李到體育場看比賽，則他

進、出門的方案有（）

A.12種B.7種

C.14種D.49種

解析完成進、出體育場門這件事，需要分兩步，第一步進體育場，第二步出

體育場.

第一步進門共有4+3=7（種）方法，

第二步出門共有4+3=7（種）方法.

由分步乘法計數原理知，進、出門的方案有7X7=49（種）.

答案D

4.5名同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不

同的報名方法共有（）

A.10種B.20種

C.25種D.32種

解析每位同學限報其中的一個小組，各有2種報名方法，根據分步乘法計數

原理，不同的報名方法共有2，=32（種）.

答案D

5.如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面

組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的

“平行線面組”的個數是（）

A.60B.48

C.36D.24

解析長方體的6個表面構成的“平行線面組”有6X6=36（個），另外含4個

頂點的6個面（非表面）構成的“平行線面組”有6X2=12（個），所以共有36+

12=48（個）.

答案B

二、填空題

6.已知a￡{2,4,6,8},be{3,5,7,9},則能使log,,b>l的對數值有

__________個.

解析分四類，當a=2時，b取3,5,7,9四種情況；

當a=4時，b取5,7,9三種情況；

當a=6時，b取7,9兩種情況；

當a=8時，b取9一種情況，

所以總共有4+3+2+1=10種,又log23=log,9,

所以對數值有9個.

答案9

7.用0到9這十個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為

解析由題意知本題是一個分類計數問題.

若個位數字為0,前兩位的排法種數為9X8=72；

若個位數字不為0,則確定個位數字有4種方法，

確定百位數字有8種方法，確定十位數字有8種方法，

所以排法種數為4X8X8=256.

所以可以組成256+72=328(個)沒有重復數字的三位偶數.

答案328

8.如圖所示，在A,B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不

通.今發(fā)現A,B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有種.

解析按照焊接點脫落的個數進行分類：

第1類，脫落1個，有1,4,共2種；

第2類，脫落2個，有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),

共6種；

第3類，脫落3個，有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4

種；

第4類，脫落4個，有(1,2,3,4),共1種.

根據分類加法計數原理，共有2+6+4+1=13(種)焊接點脫落的情況.

答案13

三、解答題

9.用0,1,2,3,4,5這6個數字組成無重復數字的四位數，若把每位數字

比其左鄰的數字小的數叫做“漸降數”，求上述四位數中“漸降數”的個數.

解分三類：

第一類，千位數字為3時，要使四位數為“漸降數”，則四位數只有3210,

共1個；

第二類，千位數字為4時，“漸降數”有4321,4320,4310,4210,共4

個；

第三類，千位數字為5時，“漸降數”有5432,5431,5430,5421,5

420,5410,5321,5320,5310,5210,共10個.

由分類加法計數原理，得共有1+4+10=15個“漸降數”.

10.王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數

學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.

(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有多少種不同的帶法？

(2)若帶外語、數學、物理參考書各1本，則有多少種不同的帶法？

(3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，則有多少種不同的

帶法？

解(1)完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數學書、物理書，事情都

已完成，從而確定應用分類加法計數原理，共有5+4+3=12(種)不同的帶

法.

(2)完成的事情是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數學、物理書中各選

1本后，才能完成這件事，因此應用分步乘法計數原理，共有5X4X3=60(種)

不同的帶法.

(3)選1本外語書和選1本數學書應用分步乘法計數原理，有5X4=20種選

法；同樣，選外語書、物理書各1本，有5義3=15種選法；選數學書、物理書

各1本，有4X3=12種選法.即有三類情況，應用分類加法計數原理，共有

20+15+12=47(種)不同的帶法.

能力提升

11.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共

邊的三角形有個.

解析滿足條件的有兩類：

第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有?=8（個）；

第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2=8X4=32（個），

所以滿足條件的三角形共有8+32=40（個）.

答案40

12.已知集合八={2,4,6,8,10）,B={1,3,5,7,9）,在A中任取一元

素m和在B中任取一元素n,組成數對（m,n）,問：（1）有多少個不同的數對？

（2）其中所取兩數滿足m>n的數對有多少個？

解（1）?.?集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9）,在A中任取一元

素m和在B中任取一元素n,組成數對（m,n）,先選出m有5種結果，再選出n

有5種結果，根據分步乘法計數原理知共有5X5=25（個）不同的數對.

（2）在（1）中的25個數對中所取兩數滿足m>n的數對可以分類來解，當m=2

時，n=l,有1種結果；當m=4時，n=l,3有2種結果；當m=6時，n=

1,3,5有3種結果；當m=8時，n=l,3,5,7有4種結果；當m=10時，n

=1,3,5,7,9有5種結果.綜上所述共有1+2+3+4+5=15（個）不同的數

對.

創(chuàng)新猜想

13.（多空題）在如圖1的電路中，只合上一個開關可以接通電路，有

種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個開關可以接通電路，

有種不同的方法.

圖1圖2

解析對于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個開關或B中的三個開關

中合上一個即可，故有2+3=5（種）不同的方法.

對于圖2,按要求接通電路必須分兩步進行：

第一步，合上A中的一個開關；

第二步，合上B中的一個開關，

故有2X3=6（種）不同的方法.

答案56

14.（多空題）一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，從中任選1名同學

參加學科競賽，共有不同的選派方法種；若從中任選1名女同學和

1名男同學參加學科競賽，共有不同的選派方法種.

解析根據分類加法計數原理，從中任選1名同學參加學科競賽共有5+4=

9（種）選派方法.根據分步乘法計數原理，從中任選1名女同學和1名男同學參

加學科競賽共有4X5=20（種）選派方法.

答案920

第二課時兩個計數原理的綜合應用

課標要求素養(yǎng)要求

1.進一步理解分類加法計數原理和分步

通過進一步應用兩個計數原理，提

乘法計數原理的區(qū)別.

升數學抽象及數學運算素養(yǎng).

2.會正確應用這兩個計數原理計數.

【課前預習】

新知探究

A情境引入

青島是一座美麗的濱海城市，空氣良好，城市生活也很悠閑，海水清澈漂亮，

能看到美麗的海岸線，青島的海鮮很便宜，海濱城市邊吃海鮮邊吹海風很愜

意，小新決定“五一”期間從棗莊乘火車到濟南辦事，再于次日從濟南乘汽車

到青島旅游，一天中火車有3班，汽車有2班，他將如何安排行程？

問題上述情境中，小新從棗莊到濟南共有多少種不同的走法？

提示因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以從棗莊到青島需乘一

次火車再接著乘1次汽車就可以了，因此共有3X2=6（種）不同的走法.

上知識梳理

兩個計數原理的區(qū)別與聯系

用兩個計數原理解決問題時，要明確是需要分類還是需要分步，有時，可能既

要分類又要分步

分類加法計數原理分步乘法計數原理

相同點用來計算完成一件事的方法種類

分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

每步依次完成才算完成這件事

不同點每類方案中的每一種方法都能

（每步中的一種方法不能獨立完

獨立完成這件事

成這件事）

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整

拓展深化

［微判斷］

1.分類計數是指將完成這件事的所有方式進行分類，每一類都能獨立完成該事

件.（J）

2.分步計數是指將完成這件事分解成若干步驟，當完成所有的步驟時，這個事

件才算完成.（J）

3.當一個事件既需要分步又需要分類時，分步和分類沒有先后之分.（X）

提示當一個事件既需要分步又需要分類時，通常要明確是先分類后分步還是

先分步后分類，并且要明確分類的標準和分步的程序問題.

［微訓練］

1.有A,B兩種類型的車床各一臺，現有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都

會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作

這兩種車床，則不同的選派方法有（）

A.6種B.5種

C.4種D.3種

解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，

有1種方法；若選乙、丙，有1種方法.根據分類加法計數原理知，不同的選

派方法有2+1+1=4（種）.

答案C

2.某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，

如果每班每項限報1人，則這3名學生的參賽的不同方法有（）

A.24種B.48種

C.64種D.81種

解析由于每班每項限報1人，故當前面的學生選了某項之后，后面的學生不

能再報，由分步乘法計數原理，共有4X3X2=24（種）不同的參賽方法.

答案A

［微思考］

用前6個大寫英文字母和1?9九個阿拉伯數字，以A”A2,B”B?,…的

方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

提示編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字，我們可

以用樹形圖列出所有可能的號碼.如圖：

由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數字中的任何一個組成一個號

碼，而且它們各不相同，因此共有6X9=54（個）不同的號碼.

【課堂互動】

題型一兩個計數原理在排數中的應用

[例1]用0,1,2,3,4五個數字，

（1）可以排成多少個三位數字的電話號碼？

（2）可以排成多少個三位數？

（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？

解（1）三位數字的電話號碼，首位可以是0,數字也可以重復，每個位置都有

5種排法，共有5X5X5=5』125（種），即可以排成125個三位數字的電話號

碼.

（2）三位數的首位不能為0,但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外

共有4種方法，第二、三位可以排0,因此，共有4X5X5=100（種），即可以

排成100個三位數.

⑶被2整除的數即偶數，末位數字可取0,2,4,因此，可以分兩類，一類是

末位數字是0,則有4X3=12（種）排法；一類是末位數字不是0,則末位有2

種排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3

種排法，因此有2X3X3=18（種）排法.因而有12+18=30（種）排法,即可以

排成30個能被2整除的無重復數字的三位數.

【遷移】（變設問）由本例中的五個數字可組成多少個無重復數字的四位奇

數？

解完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：第一步定個

位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中

除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下

的包括0在內的3個數字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步

乘法計數原理知共有2X3X3X2=36（個）.

規(guī)律方法對于組數問題，應掌握以下原則：

（1）明確特殊位置或特殊數字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般

按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊位置（或特殊元素）優(yōu)先的策略

分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.

（2）要注意數字“0”不能排在兩位數字或兩位數字以上的數的最高位.

【訓練1】從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數

字的三位數，其中奇數的個數為（）

A.24B.18

C.12D.6

解析由于題目要求是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況；奇偶奇，

偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3種情況），之后

十位（2種情況），最后百位（2種情況），共12種；如果是第二種情況偶奇奇：

個位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是0,一種情況），共6種，因此

總共有12+6=18（種）情況.故選B.

答案B

題型二分配問題

【例2】高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，

其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有

（）

A.360種B.420種

C.369種D.396種

解析法一（直接法）

以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：

第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；

第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有

4X4=16（種）;

第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共

有6X4X4=96（種）；

第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有

4X4X4X4=256（種）.

綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（種）.

法二（間接法）

先計算四個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即：

5X5X5X5-4X4X4X4=369（種）方案.

答案C

規(guī)律方法選（抽）取與分配問題的常見類型及其解法

（1）當涉及對象數目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.

（2）當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法：

①直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理.一般地，若抽取是有順序

的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行.

②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的

抽取方法數即可.

【訓練2]（1）有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數學，在數

學考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數是（）

A.11B.10

C.9D.8

（2）從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，

若其中甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有（）

A.280種B.240種

C.180種D.96種

解析（1）法一設四個班級分別是A,B,C,D,它們的老師分別是a,b,c,

d,并設a監(jiān)考的是B,則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種

不同的方法；同理當a監(jiān)考C,D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級

也各有3種不同的方法.這樣，由分類加法計數原理知共有3+3+3=9（種）不

同的安排方法.

法二讓a先選，可從B,C,D中選一個，即有3種選法.若選的是B,則b

從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選

法，根據分步乘法計數原理知，共有3X3X1X1=9（種）不同安排方法.

（2）由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1

人，有4種選法.后面三項工作的選法有5X4X3種，因此共有4X5X4X3=

240（種）選派方案.

答案（DC（2）B

題型三涂色問題

【例3】如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設”、“計”四個區(qū)域分別涂

上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不

同的顏色，有多少種不同的涂色方法？

解創(chuàng)、新、設、計四個區(qū)域依次涂色，分四步.

第1步，涂“創(chuàng)"區(qū)域，有3種選擇.

第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇.

第3步，涂“設”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選

擇.

第4步，涂“計”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設”區(qū)域顏色不同，有1種選擇.

所以根據分步乘法計數原理，得不同的涂色方法共有3X2X1X1=6（種）.

規(guī)律方法求解涂色（種植）問題一般是直接利用兩個計數原理求解，常用方法

有：

（1）按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析；

（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類

加法計數原理分析；

⑶對于涂色（立方體）問題將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域涂色問題.

【訓練3】如圖所示，一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四塊，現有四種不同的花

供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種

數為（）

A.96B.84

C.60D.48

解析依次種A,B,C,D4塊，當C與A種同一種花時，有4X3X1X3=

36（種）種法；當C與A所種的花不同時，有4X3X2X2=48（種）種法.由分類

加法計數原理知，不同的種法種數為36+48=84.

答案B

【素養(yǎng)達成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學習重點提升數學抽象及數學運算素養(yǎng).

2.分類加法計數原理與分步乘法計數原理是兩個最基本，也是最重要的原理，

是解答排列、組合問題，尤其是較復雜的排列、組合問題的基礎.

3.應用分類加法計數原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應用分

步乘法計數原理要求各步均是完成事件必須經過的若干彼此獨立的步驟.一般

是先分類再分步，分類時要設計好標準，設計好分類方案，防止重復和遺

漏.若正面分類種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡

單一些.

二、素養(yǎng)訓練

1.已知函數y=ax?+bx+c為二次函數，其中a,b,cG{0,1,2,3,4）,則

不同的二次函數的個數為（）

A.125B.15

C.100D.10

解析若y=ax2+bx+c為二次函數，則aWO,要完成該事件，需分步進行：

第一步，對于系數a有4種不同的選法；

第二步，對于系數b有5種不同的選法；

第三步，對于系數c有5種不同的選法.

由分步乘法計數原理知，共有4X5X5=100（個）.

答案C

2.6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為（）

A.144B.120

C.72D.24

解析剩余的3個座位共有4個空隙供3人（不妨記為甲、乙、丙）選擇就座,

因此，可分三步：甲從4個空隙中任選一個空隙，有4種不同的選擇；乙從余

下的3個空隙中任選一個空隙，有3種不同的選擇；丙從余下的2個空隙中任

選一個空隙，有2種不同的選擇.根據分步乘法計數原理，任何兩人不相鄰的

坐法種數為4X3X2=24.故選D.

答案D

3.兩人進行乒乓球比賽，采取五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出勝負為

止，則所有可能出現的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種

C.20種D.30種

解析由題意知，比賽局數最少為3局，至多為5局.當比賽局數為3局時，

情形為甲或乙連贏3局，共2種；當比賽局數為4局時，若甲贏，則前3局中

甲贏2局，最后一局甲贏，共有3種情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，

所以共有6種情形；當比賽局數為5局時，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最

后一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4

局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以比賽局數為5局時共有2X6=

12（種），綜上可知,共有2+6+12=20（種）.故選C.

答案C

4.（ai+a2）?（bi+b^+b：）,（ci+cz+cs+cj的展開式中有項.

解析要得到項數分三步：

第一步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；

第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；

第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法.

由分步乘法計數原理知，共有2X3X4=24（項）.

答案24

5.將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰

的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有種.

解析分別用a,b,c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設

放入a,再安排第二塊田，有2種方法b或c,不妨設放入b,第三塊也有2種

方法a或c.

（1）若第三塊田放c：

abc

第四、五塊田分別有2種方法，共有2X2=4（種）方法.

（2）若第三塊田放a：

aba

第四塊有b或c2種方法：

①若第四塊放c：

abac

第五塊有2種方法；

②若第四塊放b：

abab

第五塊只能種作物c,共1種方法.

綜上，共有3X2X（2X2+2+l）=42（種）方法.

答案42

【課后作業(yè)】

基礎達標

一、選擇題

1.由數字1,2,3組成的無重復數字的整數中，偶數的個數為（）

A.15B.12

C.10D.5

解析分三類，第一類組成一位整數，偶數有1個；第二類組成兩位整數，其

中偶數有2個；第三類組成3位整數，其中偶數有2個.由分類加法計數原理

知共有偶數1+2+2=5（個）.

答案D

2.甲、乙、丙三人踢健子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經

過4次傳遞后，鍵子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（）

A.4種B.5種

C.6種D.12種

解析若甲先傳給乙，則有甲f乙f甲f乙f甲，甲f乙f甲一丙f甲，甲f

乙f丙f乙f甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故

共有3+3=6（種）不同的傳法.

答案C

3.若三角形的三邊長均為正整數，其中一邊長為4,另外兩邊長分別為b,c,

且滿足bW4Wc,則這樣的三角形有（）

A.10個B.14個

C.15個D.21個

解析當b=l時，c=4；當b=2時，c=4,5；當b=3時，c=4,5,6；當

b=4時，c=4,5,6,7.故共有1+2+3+4=10（個）這樣的三角形.

答案A

4.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7）,從兩個集合中各取一個

元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、二象限不同點的個數為（）

A.18B.16

C.14D.10

解析分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標，以集合N中的元素為縱坐

標，有3X2=6（個）不同的點，二是以集合N中的元素為橫坐標，以集合M中

的元素為縱坐標，有4X2=8（個）不同的點，故由分類加法計數原理得共有6+

8=14（個）不同的點.

答案C

5.有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同

的涂色方法共有（）

A.4320種B.2880種

C.1440種D.720種

解析第1個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個區(qū)域有5種不同的涂色方

法，第3個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個區(qū)域有3種不同的涂色方法，

第5個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據

分步乘法計數原理，共有6X5X4X3X4X3=4320（種）不同的涂色方法.

答案A

二、填空題

6.如圖所示為一電路圖，則從A到B共有條不同的單支線路可通

電.

解析按上、中、下三條線路可分為三類：上線路中有3條，中線路中有1

條，下線路中有2義2=4（條）.根據分類加法計數原理，共有3+1+4=

8（條）.

答案8

7.古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序.用天干的“甲、丙、戊、

庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、

己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成

組.

解析分兩類：第一類，由天干的‘'甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、

寅、辰、午、申、戌”相配，則有5*6=30（組）不同的結果；同理，第二類也

有30組不同的結果，共可得到30+30=60（組）.

答案60

8.4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的

一個運動隊，則不同的報法有種.

解析由于每個同學報哪個運動隊沒有限制，因此，每個同學都有3種報名方

法，4個同學全部報完，才算完成這件事，故共有3X3X3X3=81（種）不同的

報法.

答案81

三、解答題

9.將三個分別標有A,B,C的球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.

求：（1）1號盒中無球的不同方法種數；

（2）1號盒中有球的不同放法種數.

解（1）1號盒中無球即A,B,C三球只能放入2,3,4號盒子中，有3?=

27（種）放法；

（2）1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3X32=27（種）放

法，一類是1號盒中有兩個球，共有3X3=9（種）放法，一類是1號盒中有三

個球，有1種放法.共有27+9+1=37（種）放法.

10.若直線方程Ax+By=0中的A,B可以從0,1,2,3,5這五個數字中任取

兩個不同的數字，則方程所表示的不同直線共有多少條？

解分兩類完成.

第1類，當A或B中有一個為。時，表示的直線為x=0或y=0,共2條.

第2類，當A,B都不為0時，直線Ax+By=0被確定需分兩步完成.

第1步，確定A的值，有4種不同的方法；

第2步，確定B的值，有3種不同的方法.

由分步乘法計數原理知，共可確定4X3=12（條）直線.

由分類加法計數原理知，方程所表示的不同直線共有2+12=14（條）.

能力提升

11.方程ay=b-'x'+c中的a,b,cG{—3,—2,0,1,2,3},且a,b,c互

不相同.在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（）

A.60條B.62條

C.71條D.80條

解析利用兩個計數原理結合分類討論思想求解.

當a=l時：若c=0,則b?有2個取值，共2條拋物線；若cWO,則c有4個

取值，b?有2個取值，共有2X4=8（條）拋物線.

當a=2時：若c=0,則b?有3個取值，共有3條拋物線；若cWO,當c取1

時，b?有2個取值，共有2條拋物線；當c取一2時，旨有2個取值，共有2條

拋物線；當c取3時，有3個取值，共有3條拋物線；當c取一3時，b?有3

個取值，共有3條拋物線.

/.a=2時共有3+2+2+3+3=13（條）拋物線.

同理，a=-2,-3,3時，共有拋物線3X13=39（條）.

由分類加法計數原理知，共有拋物線39+13+8+2=62（條）.

答案B

12.某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如

下表：（單位：人）

參加書法社團未參加書法社團

參加演講社團85

未參加演講社團230

（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；

⑵在既參加書法社團又參加演講社團的8