高中數(shù)學(xué)競賽教案第八講不等式

第八講不等式

第一部分幾個重要不等式

一、平均值不等式及應(yīng)用

（一）、相關(guān)定義

設(shè)a”a2,…，為是〃個正實數(shù)，記----------G，=0%%…即,

——+——+…+——

%a2an

J222

■+電+…+%，分別稱〃，的4,&為這〃個正

n

數(shù)的調(diào)和平均、幾何平均、算術(shù)平均數(shù)、平方平均.

（二）、相關(guān)定理

定理Hn〈Gn〈AnWQn,，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a/=a2="=a〃

引理若冬20且42%（左=2,3,則

%”"（2%-%）（3/一2%）…［叫—（〃—D%J等號成立當(dāng)且僅當(dāng)xE-x0.

（三）?二維平均值不等式的變形

山2瘋

（1）對實數(shù)a,3有a+l）＞2ab⑵對正實數(shù)a,6有2

M/1±2_]_

N2。-b——方>

⑶對力0,有b,b4⑷對勖'MJ有F'M:,

ci+—之2

(5)對實數(shù)a"有a(a-力)>b{a~lj)(6)對a>0,有u

,a_12]—_

(7)對力0,有a（8）對實數(shù)a,b有才,2abK

ab<—(A2<JJ+—r)

（9）對實數(shù)a,b及入〉0,有2A2

例題選講

332223

例1.設(shè),x+y+z=O,x,y,zeR9求證：6(x++z)<(x++z)

W：(1)由z二一(x+y)，得x3+y3+z3=3xyz,記1=6(x3+y3+z3)=54x3y3z3,

現(xiàn)在從外形可看出能應(yīng)用G3<A3

C222、2

但只能推出如下形式：IW54%+z(X2+/+Z2)

I3J=2

由千x+y+z=O及對稱性,不妨及yWO,把I改寫成

在注意到x2+y2=(x+y)2-2xy=z2+2|xy|,tfcfcZx2+2|xy|=x2+y2+z2o

從而原始得證。

另解：由干x+y+z=0及對稱性,不妨設(shè)x〉O,yNO,zW0,由x+y=-z得

222223

z=(x+y),Mnf(x+y+z)=8(x?+xy+y2)3,由A3>G3^f

22

22x(x+y)y(x+y)x+y

x+xy+y=----—+----—+....-

222

Jxy(x+y)2x2+y2py^z7

-3V-41書［一.

222

2223

(x+y+z)>3x27x「：=54x2y2z2

=6(x2+y2+z2)3

（￡咕））（￡々2）應(yīng)十）

例2.證明柯西不等式Z1Z

X

Ta?=0T6?=02qT6?

證明：法一、若H,或=命題顯然成立，對Iwo且仁4,取

代入⑼得?“也￡5（*娟+齊有

A1

Ul/

兩邊平方得小心.嘻'）

加…)＞J_26*a,y6.）x+y6/0

法二、即二次式不等式支念占M恒成立

4（￡地）2-4（2＞」）（2＞））。

則判別式占豈支

題外話：有很多同學(xué)十分“痛恨”zn這兩個符號，總是看不懂，其實這兩個符

號是絕對好用的，并且以后會常常遇到，在大學(xué)課本中更是家常便飯，多看幾次自然

也就習(xí)慣了。

例3.已知a>Q,b>0,c>0,abc=l,試證明:

a+b+ca+b+c,a+b+c、9

—5-------------?—*---------------+-5---------------2-

⑴鼠(b+c)b\a+c)c'(a+b)2

111、3

-5^-----+---------+-5--------2—

(2)C?(6+C)b\a+c)c\a+b)2

1?1?1

證明：⑴左=(a+A+c)[/S+c)b'(a+c)c'(a+b)]

%(a+b)+0+c)+(c+切[:、+、+

=2a2(b+c)b2(a+c)c3J(a+6T)

13V(a+b)(b+c)(c+a)夕-----------------------=-

32、V(a+b)(6+c)(c+a)2

—Sx--(y>0)

⑵由y4知

(1)2,

111A1

2———(一+—

oJ(i+c)-oJ(i+c)11Abe

■+—a

bc

1

同理：b"a+c)b4ac

—(—+—+—)^—n^bc="

相加得：左32abe22

22.▲.2?+A+a.I

勺+ag+△>———............—

例4.求證:n

,。1+。2+A+a.

證明：法一、取一n,有

a^a-lj)>^(<3i-Z?),a2(a2-ti)b>(為一方)，…，b>(an-ti)

相加得(囪?+1+…+相)-(-31+&+???+4)任6[(囪+/+…+aj-nb\>0

22,A?2、+A+o.)

41+O+A+%_2---------IL

所以2n

法二、由柯西不等式得：(ai+a2+…+a〃)=((aiX1+a?X1+…+a”X1)一》(a:+a2'+…

+a；)(1*2+12+-+12)

22

=(a:+a2+---+a?)n,

所以原不等式成立

例5.已知團(tuán)，物…，為是正實數(shù)，且為+及+??,+4<L證明:

ga2A%［1-（。］+&+八+4）］（1

31+%+A+。”）（1一%）。-%）八（1-%）

證明：設(shè)1-（4+為+…+4）=4+i>0,

則原不等式即〃加1團(tuán)及…打1之（1-團(tuán)）（1-功）…（1-4）

l-43i=a2+<93+***+^i>/7^aiU^21

d

］一為二囪+&+???+己加1之力胃口10^A?u

1一?3加尸團(tuán)+團(tuán)+???+42X?"口1人口?

相乘得（『名）（1-a2）…（1-2）〃之"|也1&,人生；=原**%臼A

例6.對于正整數(shù)77,求證：

（1+3*<。+工嚴(yán)

n?+1

I*若*+嗎+。+”+嗎

證明：法一、

][11-

（1+-）（1+-）A（1+-）=（1+-）**1

>Vwnnn

I1+1+-+A1+—

（吟吟

ii+3*=iA（1+-）<（------2----------±產(chǎn)

法二、左=nMM+1

?+1+11

?)7=(1+產(chǎn)

=?+1%+1

Ta,=l

例7.已知aba2,a3,?,,,a〃為正數(shù)，且丁,求證:

(1H■-^-)(1+A(1+—(1+?3)*

(1)々的勺

(2)1+%+%+4+/l+C]+%+A+/1+。1+%+4+a._j2M_1

1+-y=1+2i+八+3i-(/+0(--),“

證明：⑴%nainai叫

1至1—

(n2+D[---------------]?M>Q，+1)*[------------i-----------]?M

2

相乘左邊3?(a}a2Ka,)(<3i4-a2+A+0,)=(/?+l)

證明(2)1+盯+與+A+/2-ax

1,1

-------+------+--A+——)

左邊二-ZT+2(2-4，-口22-a.

=—z?+2X[(2-團(tuán))+(2-及)+…+(2-4)](

V(2?ai)(2-O2)A(2?a.)”1、A>“、=,"+

NF2Xny(2-at)(2-a2)A(2-&)

練習(xí)題

1.設(shè)。，尸，。為銳角，且cos2a+cos2/?+cos2e=l,求證：對任意實數(shù)x,有

—(x2++z2)>cot/?cot夕yz+cot。cot。?zx+cotcifcot/?-xy

2.設(shè)％,且試求:f=----------------1---------------1--的---最----小----值--

y（X-y2）z（i-z2）x（i-x2）

3a,b,c,deR*,JiLa+6+c+d=l,正：J4a+1+J4b+1+J4c+1+J4d+1<6

分析：為了湊出a+b+c+d,以便充分利用條件，將4a+l,4b+l,4c+l,4d+l視作整體,

利用平均不等式。

4若5a+6匕—7c+4d=1,求3a?+2〃+5c?+筋的最小值。并指出等號成立的條件。

分析：由于a,b,c,d各項系數(shù)不同，而且既有1次項，又有2次項，顯然要用柯西不

等式。而且使用柯西不等式不受-7c這項的影響。使用時，注意寫明等號成立條件，

檢驗最小值能否取到。

二、柯西不等式及應(yīng)用

相關(guān)定理柯西不等式是指下面的定理

22

定理設(shè)為也eR（i=l,2,…,項則（￡a也）24這生）（￡々）

i=li=lz=l

當(dāng)數(shù)組a2,…，an,bMb2,…，b0不全為0時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

bt=（1<z<n）.

注：這個式子在競賽中極為常用，只需簡記為“積和方小于方和積”。等號成立條件

比較特殊，要牢記。此外應(yīng)注意在這個式子里不要求各項均是正數(shù)，因此應(yīng)用范圍

較廣。

柯西不等式有兩個很好的變式：

變式1設(shè)為eR,bi>0（i=1,2,-??,?）,V—>,

，=i瓦工h

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)2=A（I<，<"）

變式2設(shè)a“b1同號且不為。（i=l,2,…，n）則,

i=ib,2^aibi

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=b2=--=bn

注：要求辦，b均為正數(shù)。當(dāng)然，這兩個式子雖常用，但是記不記并不太重要，只

要將柯西不等式原始的式子記得很熟，這兩個式子其實是一眼就能看出來的，這就

要求我們對柯西不等式要做到活學(xué)活用。

柯西不等式推廣一一赫爾德不等式

+

若生,biGR（i=l,2,???,n）,p>Lq>l且^~+工=1則

pq

￡

（n\n、

Pq

±aibi<

Z=1\Z=17\i=l7

注：這個式子成立的前提挺多，不難看出當(dāng)p=q=2時，這個式子即為柯西不等式。

例題選講

例1.設(shè).迎…，及都是正數(shù)(n>2)且士七之，求證：二古與"

V

證明：不等式左端即Z(1)

nV—12^—^------

之乃R一方尸三S-A

tr1,取乂=/一%,則①1⑵

I?1?I

由柯西不等式居gs/=E

及Ab

綜合⑴、⑵、(3)⑷式得:

十二-十」V

之忘iT師F=E^2尚宮百

例2.已知aba2,a3,an,A,A,…，A為正數(shù)，求證：HH-'1：

力(麻)力曲‘噂后

證明：左邊二1

、，、——4

例3.對實數(shù)Si,a2,???,a?,求證：

y(i^)<VIJ+IJ+A+iJ

證明：左邊=1』

例4.在DABC中，設(shè)其各邊長為a,6,c,外接圓半徑為R,求證:

(a3+Z>3+?)(—L-+—L-+—L-)>36^a

SOLAsmEsmC

證明：左邊之sinA向3smC

/(a1+、2—)/L+(b1、+2—)/+(cI+C—、)10N0---

例5.設(shè)當(dāng)力,c為正數(shù)，且a+ZrHc=l,求證：ab

1(la+P+la)((a+l)a+(i>+-)J+(<r+-)a]

證明：左邊=3abc

；〔】+(a+b+c)d+,+l)f之；[1+(4+Jb+Jc

3T

113

-------<----

例6.若〃是不小于2的正整數(shù)，試證：723Ai-12n2

,1.11,11八1,1一,1、.1.一1、

1——+-—-+AA+-----------=(1+―+—+A+—)-2(—+-+A+—)

證明：2342n-\2n232242n

1…1

+A+—

M+1村+22n

1113

所以求證式等價于?。糬+1+^+2+A+一<-

2n2

(------+-------+A+—)[(?+1)+(?+2)+A+%]>M

由柯西不等式有n+1用+22H

111n32片2、4

------+-------+AA+->----------------------------------=--------=------N-

同+1曾+22?(月+D+(力+2)+A+%3月+117

于是：3+?

又由柯西不等式有

1+—<l(la+2J+A+?)[—?-^-+——!―+A+—T

+------rJ-)

〃+1附+22n￥("+1)25+2)，(2尸

nii?1■rnrr晚

ln[----------+------------------+A+----------------]=—-^―)=

<1/?(?+1)(?+1)(?+2)(2?-1)(2?)2

練習(xí)

22444

1.1)設(shè)三個正實數(shù)a,6,c滿足面+b+cy>2(a+b+c)

求證：a,6,c一定是某三角形的三邊長；

2)設(shè)23)個正實數(shù)a〃a2,…,an

1兩足(6+。2+…+。")~>(〃—1)(%+。2+…+。")

222

2.已知九,y,zw尺+,且￡'=1求證：——+——+——>1

―2+九2+x2+y2+z

222

3?設(shè)％y,z￡R+,求證：—―三----+―—與----+—一三---->1

y+z+yzz+x+zx%+y+xy

173

4.設(shè)x,y,zeR+,且x+2y+3z=36,求一+—+—的最小值.

xyz

三、排序不等式及應(yīng)用

相關(guān)定義及定理

1)考慮如下2*(n+1)個實數(shù)擺成的矩陣:

,/J-，C=

[b0）（屈第J（2上如之…出）

其中，。片,…凡是0,1,2,…,n的一個排列.矩陣A稱為同序矩陣,矩陣B稱為矩陣A

的亂序矩陣,矩陣。稱為矩陣A的反序矩陣.

若矩陣力的亂序〃可經(jīng)列列交換變出4則稱矩陣M為N的可同序矩陣.顯然，A的

列積和或列和積均與A的列交換無關(guān).

記S(A),T(A)分別表示矩陣A的列積和與列和積，則S(M)=S(A),T(M)=1

(A)

2)排序不等式

排序不等式1設(shè)1為2*(n+1)同序?qū)崝?shù)矩陣，8為1的亂序陣，。為N的反序

陣，

則S(A)2S(5)NS(C),即之外瓦豈外九汽aMr，左邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)方

k=Ok=Ok=O

中任意兩列同序，右邊等號成立當(dāng)且僅當(dāng)8中任意兩列反序.

排序不等式2設(shè)A為2*(Ml)同序非負(fù)實數(shù)矩陣，6為力的亂序陣，C為A的

反序陣，

則T(A)<T(B)<T(C),即fj(ak+%)<jf(ak+4)<(ak+*),左(右)邊等

k=Ok=Ok=O

號成立當(dāng)且僅當(dāng)B中任意兩列同(反)序.

排序不等式3

設(shè)A為m*n同序非負(fù)實數(shù)矩陣，Az為A的亂序陣，則有

mnm〃mnmn

(1)S(A)>S(AZ),即；.；(2)T(A)<T(B),即;

j=li=lj=li=lj=lz=lj=lz=l

例題選講

1n_______

例1、A—G不等式：國>0(7-1,2,???,77),則A=—\ai>^axa2--an=G.

〃T

證明:

令h=察。=1,2,——,n）,則bib2——%=1,故可取

x2,-----x/0,使得b|=--,b9=—,------,bnj=—

X2X3Xn

Y

2

bnn—■，由排序不等式有：b[+b,H--------Fbn

xi

=—+^-+------+3（舌L序和）2X1-L+x。?上+----

X。X3X[X]-x2

+Xn-'（逆序和）=n,.,.芻-+-^-d-------+-^->n,

XnGnGnGn

.+a?++a。，g

nni

例2.若團(tuán)，念，…,當(dāng)為兩兩不等的正整數(shù)，求證：￡^n->￡4.

證明：由對稱性，不妨設(shè)為〈@2〈@3^"-<ak<■-，.依題意，ak>k,

注：排序不等式：反序和《亂序和《同序和

例3.對包瓦CER；比較a3+Z?3+c與ab^ljc^-ca的大小

解：取兩組數(shù)a",c；a,Z?2,c,c^ca

axa24_

-T+-7+A+—7?界

例4.正實數(shù)囪,切,…，劣的任一排列為國1…/則有％出八

—11..八1—

證明：取兩組數(shù)a,a?,…，a*%出冊

°’+叼+A+it

其反序和為為由“八一二原不等式的左邊為亂序和，有

/2L12A2

例5.已知名&clR+求證:becaab

1

——N—2

證明:不妨設(shè)心處c〉0,則Arcaai>0Ha12>^12c>12>0

例6.設(shè)ab續(xù)，…,a〃是1,2,???,n的一個排列，求證：

1.2.?—1..a?.i

—+—+A+M—+—+A+----

23na3a3a,

證明：設(shè)從，色…，如是囪，包,…，a1的一個排列,且冰冰???<加；

Q,Q,…，eg是a2,a3,???,c的一個排列,且ci<c2<--<c^i

c421,42,…，%IN/7-1；<?i2>,

則2J-i且之C23>,--?,c?-x>n

—+—+A+->—+—+A+->-1+-+A

利用排序不等式有：與的*SJ23"

.a2+2>2b2+c3c3+a3a3b3c3

a+B+cgG—+—+

例7.設(shè)國瓦cIR,求證：2c2a2bbecaab

證明：不妨設(shè)則cbc,a2>Z?2>c2>0

由排序不等式有：abcab

兩式相加得2c2a2b

—N—2—>0

又因為：>1?>c>0,becciab

5

爐爐「、爐e/b2//

?hecaabbecaabcab

/a2b2

—+—+―

becaabbecaabbca

b3+C2b3?

兩式相加得2c2a2bbecaab

例8.切比雪不等式：若aiN&N…Nan豆biNb^N…Nbn,

-2勺4N（-￡々）（-￡4）

貝!jni-lnMl&z

證明：由排序不等式有：

3181+4&+???+3〃8尸aibi+&b^…+ah

??

axbi+a2b+??,>ab計a2b計?

avb^a2b^^^anbn>&&+&a+???+&金

aibi+a2b計?八+@加吐aibn+a2bi+-^anbn-1

將以上式子相加得：

〃（囪4+&及+???+區(qū)。）>團(tuán)（4+5+…+"）+包（4+&+???+4）+??,+"3+小+,??+/）

—也？（—Z%）（一>也）

/.力i-1冏'】H3

練習(xí)題

a6+b6a+ba2+b~a3+b3

1.若a>0,6>0,則-----------2--------------------

222-2-

2.在“8C中，求證:a1(b+c-a)+b2{c+a-b)+c2{a+b-c)<3abc.(IMO)

3.右X/,,X1+X2+...+xn——,則(1—X])(1—0)…(1—x“)2Q

四、琴生不等式

首先來了解凸函數(shù)的定義

一般的，設(shè)f(x)是定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)如果對于定義域內(nèi)的任意兩數(shù)Xi,X2都

有

f(4+/)</(匹)+/(%)

I2r2，則稱f(x)是(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù)，一般說的凸函

數(shù)，也就是下凸函數(shù)，例如y=x2,從圖像上即可看出是下凸函數(shù)，也不難證明其

滿足上述不等式。如果對于某一函數(shù)上述不等式的等號總是不能成立，則稱此函

數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)。

注：凸函數(shù)的定義為我們提供了極為方便地證明一個函數(shù)為凸函數(shù)的方法。這個

方法經(jīng)常使用。此外利用二階求導(dǎo)也可以判斷一個函數(shù)為凸函數(shù)，凸函數(shù)的二階

導(dǎo)數(shù)是非負(fù)數(shù)。

凸函數(shù)具有的常用性質(zhì)

性質(zhì)一：

對于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)f(x),有

(.、fl

Yxi

于i=l<i=l注：此即常說的琴生不等式

nn

I7

性質(zhì)二：加權(quán)的琴生不等式對于(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)，若￡%=1,則

1=1

n、.

fW工%f(xj

\i=\7z=l

注：加權(quán)琴生不等式很重要，當(dāng)4=工時，即為原始的琴生不等式。

n

注：另外，對于上面有關(guān)凸函數(shù)和琴生不等式的部分，如果將不等號全部反向,

則得到的便是凹函數(shù)，以及凹函數(shù)的琴生不等式。

例設(shè)Xi〉O（i=l,2,-??,n）,Yx.=1,求證：Y>i=\---

注：不僅要用琴生不等式，注意知識綜合利用。

五.利用二次函數(shù)的性質(zhì)證不等式

一般來說，許多題目是涉及x,y,z三個量的證明題，由于二次函數(shù)的性質(zhì)

十分好用，因此湊出一個關(guān)于其中一個字母的二次函數(shù)，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性

質(zhì)可以解決最值問題。

例設(shè)x,y,zNO,且x+y+z=l,求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。

提示：將x=l-y-z代入，整理成關(guān)于y的二次函數(shù)，最值即為

4（3z—l）（z—?。（14Z+3Z2）2,整理后不難得到z=。和z=i式分別取到最大值工

4（3z-l）4

和最小值0,然后只需舉一例證明能夠取到即可。

1.x,y,z>0,且xyz=1.求證：

------------------1-------------------1------------------2.........................(1)

(1+y)(l+z)(1+z)(l+x)(1+x)(l+y)4

2.=x+y+z-xyz,其中x,y,z20,且必+/+=].求f的最大值與最小值

3.設(shè)%>OJEL?O=1.a,<aM+a.,i=0,1,2…，〃一2,其中〃22.

求出+%+…+*的最小值。

4.對于給定的正整數(shù)〃，求最小的正整數(shù)X,使得：

如果al,a2,---,ane[1,2],仇也，…也是外,電,…,4的一個排列。

就有：

1=12Z=1

5.設(shè)q=；,a”=：(l+a,_i)2,"?2.求最小的實數(shù)4使得Vx1,0,…,々002之0-

2002丫_K

￡4〈3的。。2,其中4=；--------------&---------------5

M(1y

Xk+兀*+1+,,,+X2002+方左(左一1)+1

n

設(shè)且'/=求證:

6.62g2…2%20.1.>1.

i=lEi=\4i+4i^

7.設(shè)—>0,i=1,2,…，〃.且Z電=1.設(shè)X。=0.求證:

Z=1

1<石.<J

z=lJl+X]+%2------------------------%2

8.求證：Vx,y,z>0./(x,y,z)=「%一■+~^=)+2=>1.

y1x2+8yzy/y2+8xzylz2+Sxy

9.求證：9x,y,z>0,/(x,y,z)=—,-：+/工----<2.

J12+8yzJy2+8xzJz?+8盯

對原命題加強(qiáng)，證明：\/。,仇。>0,且欣=1.J1+/1+/1.<2.

Jl+2aJl+2671+2c

10.設(shè)了,)；,2>0,/+儼+22=1.求/=^^+3二+^的最大、最小值。

1+yz1+xz1+町

11.設(shè)%,yER.(%2+I)(y2+1)=2.求x+y的最小值12.求最小的正數(shù)左，使得

%yz7/----------

Vx,y,z>0,有—/H—/H—/<左Jx+y+z.

Jx+yJy+zJz+%”

2z

13.設(shè)％Q”Zj>0,xy-zz>0.i=1,2,3,…，幾且2天2%-Ei=L

ii3=i

n1

求y—J的最小值。

i=l—Zj

(]]1

14,0<a<b,f=(九]+%2+?,?+工〃)--1------F,??H----,X-￡[a,/?],

/=1,2,3,???,?.求f的最大值和最小值。

15.若x,y,zeR,且必+_y2+z2=2.則x+y+z-xyz<2.

第二部分高考不等式問題

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，涉及整個高中數(shù)學(xué)的各個部分。不等式的證

明則是高中數(shù)學(xué)中對邏輯推理能力要求較高的內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)。近

年來，雖然淡化了單純的證明題，但是以能力立意與證明有關(guān)的綜合題卻頻繁出

現(xiàn)，尤其與一次函數(shù)，二次函數(shù)放在一起綜合考查邏輯推理能力是考查的重要內(nèi)

容，且不等式的證明難度大，綜合性強(qiáng)。

例1.若a、b、c是實數(shù)，f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)TWxWl時，|f(x)|

Wl.

⑴求證：|c|Wl

⑵當(dāng)]x|Wl時，|g(x)[W2

⑶設(shè)a〉0,當(dāng)-lWxWl時，g(x)的最大值為2,求f(x).

證明：(1)由條件知：|f(0)1=1cIW1

(2)*/g(x)=ax+b為一次函數(shù)，.?.要證：|g(x)|W2,則只需|g(T)|W

2,|g(l)|W2而|g(l)[=.|a+b[^|f(l)-c|Wf(1)|+|cW2

卜g(-l)IMa-b|=|f(T)-c|W|f(-l)，+|c|W2故當(dāng)：|x|時，「g(x)|W2

(3)因為a>0,則g(x)在[-1,1]上是增函數(shù)，當(dāng)x=l時取最大值2,即

g(l)=2=a+b則：f(l)-f(0)=2,又因為-lWf(0)=f(l)-2Wl-2=-l,c=f(0)=-L

因為當(dāng)TWxWl時，|f(x)|Wl,即f(x)NT,由二次函數(shù)的性質(zhì)知：直線x=0

b

為f(x)圖像的對稱軸,由此得:-2a=0,即b=0,由a+b=2,得a=2,所以f(x)=2x2-l0

2

例2.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩根Xi、x2,滿足

j_

0<Xi<x2<a

(1)當(dāng)X?(0,Xl)時，求證：X<f(X)<Xi,

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對稱，求證：x0<2

證明(1)令F(x)=f(x)-x因為Xi、X2是方程f(x)-x=0的兩根，所以

F(x)=a(x-xi)?(x-x2)而XKX2,(0,xj故F(x)〉0恒成立，即f(x)〉x.

j_

a

又f(x)-Xi=a(x-Xi)(x-x2)+x-Xi=(x-Xi)[a(x-x2)+l]因為0<x<Xi<x2<

所以：Xi-x>01+a(X-X2)=l+ax-ax2>l-ax2>0得f(x)-xKOBPf(x)<Xi

故：X<f(X)<Xi

b

(2)依題意知:x()=-2a,因為xi、X2是方程f(x)-x=0的根,即x?是方

1-b

程ax2+(b-l)x+c=0的根,所以:xi+x2=a

b+x2)-lax{+ax2-1ax{%；

x?=-2a=2。=2。又因為axz〈l,所以：x0<2a=2.

例3.設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x，|x—a|+l,x?R.

(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.

解：(1)當(dāng)a=0時，函數(shù)f(—x)=(—xT+|—x|+[=f(x),此時f(x)為偶函數(shù);

當(dāng)aWO時，f(a)=a2+l,f(—a)=a2+2|a|+1,f(—a)Wf(a),f(—a)/一f(a).此時

函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(2)①當(dāng)xWa時，函數(shù)f(x)=x2—x+a+l=(x—2)2+a+4,若aW2,則函數(shù)f(x)

在(一8,a】上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(一8,al上的最小值為f(a)=a，l.

1131

若a>2,則函數(shù)f(x)在(一8,一上的最小值為f(2)=4+a,且f(2)Wf(a).

j_3

②當(dāng)xNa時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+l=(x+2)2—a+4；

113

當(dāng)aW—2時，則函數(shù)f(x)在［a,+8)上的最小值為f(―2)=4—a)且f(一

j_￡

2)Wf(a).若a〉一2,則函數(shù)f(x)在［a,+8)上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f(x)

在［a,+8)上的最小值為f(a)=a2+l.

j_3j_j_

綜上，當(dāng)aW—2時，函數(shù)f(x)的最小值是4—a,當(dāng)一2<aW2時，函數(shù)

3

f(x)的最小值是a?+l;當(dāng)a〉5時，函數(shù)f(最的最小值是a+4

例4.已知二次函數(shù)f(x)=ax，bx+c,當(dāng)TWf(x)W1時，|f(x)|Wl.

求證：⑴c|<l,|b|<l,Ia|<2(2)當(dāng)|x|W2時，|f(x)|W7

證明：(1)由于當(dāng)TWxWl時，|f(x)|Wl.則|f(O)|Wl.即|c|Wl.

且TWf(T)Wl即TWa-b+cWl①

即-IWa+b+cWl②

①+②式得：-2W2bW2即TWbW"===〉|b|W1

由①、②得：T-cWa-bWl-c,T+cWa+bWl+c,而TWcWl==>

-2WT-c,l+cW2故-2Wa-bW2,-2Wa+bW2===>

一4W2aW4,即|a|W2

(2)|f(2)=|4a+2b+c|=|2(a+b+c)+2a-c|W21f⑴|+2?+|c|W7

f(-2)=4a-2b+c=|2(a-b+c)+2a-c|<2|f(-1)+2|a+|c|<7

bbb4ac-b2b°

當(dāng)-2W-2"W2時,|2a|W2,此時|f(-2a)|=|4a|=|c-4al

b2b

<|c|+|4a|W|c|+|4a|W2W7,故當(dāng)|x|W2時，|f(x)<7

例5.若f(x)=ax?+bx+c(a、beR),在區(qū)間［0,1］上恒有|f(x)|Wl,

(1)對于所有這樣的f(x),求|a|+|b|+|c|的最大值

(2)試給出一個這樣的f(x),使得|a|+1b|+1c|確實取到最大值

j_j_j_

解：⑴由f(l)=a+b+c,f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,可解得

1

a=2f(l)-4f(2)+2f(0),

b=4f(2)-3f(0)-f(l),c=f(O),而|f(l)|Wl,|f(0)|Wl,|f(2)|^1

11

故|a|+|b|+|c|=|2f(l)-4f(2)+2f(0)|+14f(2)-3f(0)-f(1)+|f(0)|

W21f(1)+4f|(2)+2|f(0)+|4|f(2)|+3|f(0)|+|f(l)l+|f(0)1^17

所以|a|+|b|+|c|的最大值為17

由(1)知，上式取“=”的條件至少應(yīng)滿足：f(0)|=l,|f(Dl=l,|f(2)|=l

故x=2應(yīng)為函數(shù)y=f(x)的對稱軸，則可設(shè)f(x)=a(x-2)2±1再將

f(0)|=1,

|f(1)|=1代入檢驗得：f(x)=8x2-8x+l

例6.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+l=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，

求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍.

解：⑴拋物線f(x)=x2+2mx+2m+l與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(一1,0)和(1,

2)內(nèi)，畫出示意圖，得

1

m<----

"(0)=2m+1<0,2

mGR,

/(-I)=2>0,

〈=>1

/(l)=4m+2<0,m<----,

2

/(2)=6m+5>0551

m>——----<m<—

6/.62.

⑵據(jù)拋物線與X軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，列不等式組

1

m>----,

7(o)>o,2

1

m>----,

/(i)>o,=<2

<A>0,

m>1+或機(jī)<1—V2,

0<—m<1—1<m<0.

(這里0<-m<l是因為對稱軸x=-m應(yīng)在區(qū)間(0,1)內(nèi)通過)

例7設(shè)a,b,c是直角三角形的三邊長，且a<b<c,求最大常數(shù)k,使得

222

a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>kabc對所有直角三角形都成立，并確定等號成立的條

件.

解：設(shè)邊a隨隊的內(nèi)角為6,依題意a=csin^,b=ccos^,c>0,6^e(0,—]

4

Mffia2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

二|^sin29(cos6+1)+cos?。(1+sin6)+(sin0+cos6)]c3

=[1+(sin6+cos6)(sin0cos^+l)]c3

問題轉(zhuǎn)化為1+(sin0+cos6)(sin0cos6+1)Nksin6cos6(1)

對任何?！?0，與恒成立，求k的最大值.

4

當(dāng)即工時，得kV3行+2,從而猜想k的最大值為3亞+2,證明如下：

4

,sin^cos0=—sin2^G(0,—]

22

(1)21+2dsin9cos8(sin9cos8+1)>1+2A/2sin^cos6(sinSeos6+1)

>2sin0cos0+3A/2sin0cos0

.?.k的最大值為3亞+2,當(dāng)。二工即所給三角形為等腰直角三角形時

4

等號可以成立

例8設(shè)九>0,求最大常數(shù)C=C(入)，使得對任意非負(fù)實數(shù)x,y均有

x2+y2+Xxy>C(x+y)2

解：對九分兩種情況：

(1)當(dāng)222時，x2+y2+2xy>x2+y2+2xy=(x+y)2

當(dāng)xy=0時，等號成立.

(2)當(dāng)0<2<2時，x?+y2+2xy=(x+y)2+(2-2)xy

?(x+y)2+(X—2)［當(dāng)］=34(x+y)2.

當(dāng)x=y時，上述等號成立

最大的常數(shù)C(幻=｛《產(chǎn)

爭。<衣2)

例9設(shè)x+y=k,x、yGRO試求K的取值范圍，使不