高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版課件 7.3 可降階的高階微分方程

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7.3.1型的微分方程特點(diǎn):左端是未知函數(shù)

y的n階導(dǎo)數(shù),且不含未知函數(shù)

及其兩邊積分……連續(xù)積分n次,得到含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.右端是自變量x的一個(gè)已知函數(shù),各階導(dǎo)數(shù).再積分7.3可降階的高階微分方程解例1

求微分方程的通解.原方程通解為特點(diǎn):

方程中不顯含未知函數(shù)

y.解法:7.3.2型的微分方程

設(shè)代入原方程,化為一階微分方程即再積分一次,得原方程通解若求得其解為解例2

求方程的通解.這是以

p為未知函數(shù)的一階線(xiàn)性微分方程即代入原方程,得再次積分,得為原方程通解令求出通解后,再積分k次,即可求得原方程的通解.方程就可化為階方程推廣:例3

解方程

解令則方程變?yōu)橛煞蛛x變量法解得于是得原方程的通解再積分4次是可分離變量方程解法:分離變量,得7.3.3型的微分方程

特點(diǎn):

方程中不顯含自變量x

.設(shè)代入原方程,化為一階微分方程若求得其解為所以,原方程的通解為即解代入原方程得

原方程通解為設(shè)例4

求方程的通解.即例5設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),并且滿(mǎn)足:求

解已知方程可化為

方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù),有再求導(dǎo),有注意到:代入原方程得

于是原方程的求

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