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第十二章曲線積分與曲面積分12.1
第一型曲線積分12.1.1第一型曲線積分的概念與性質(zhì)問(wèn)題1:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量密度均勻分布曲線形構(gòu)件的質(zhì)量現(xiàn)求線密度是變化的曲線形構(gòu)件的質(zhì)量分割求和取極限精確值近似值近似線L,設(shè)曲線形構(gòu)件占有平面曲它在點(diǎn)(x,y)處的線密度是定義1L曲線形構(gòu)件的質(zhì)量被積函數(shù)
弧元素積分弧段推廣注:第一型曲線積分又稱對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(1)線性性質(zhì):(2)可加性:
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分具有下列性質(zhì):
(3)保序性:特別地,有定理1則曲線上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),注意:1.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求定積分的下限一定要小于上限!12.1.2第一型曲線積分的計(jì)算L的參數(shù)方程為積分存在,且曲線方程的其他情形(3)
曲線的方程為極坐標(biāo)方程
推廣則的參數(shù)方程為解解例1計(jì)算其中L為上自原點(diǎn)到的一段弧.例2計(jì)算其中的一段弧.例3計(jì)算圓周曲線的質(zhì)量.解曲線L的質(zhì)量為其中線密度圓的極坐標(biāo)方程為圓的參數(shù)方程為所求質(zhì)量對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義:表示以
xOy面上曲線L為準(zhǔn)線、母線平行于z軸,的柱面面積.高為例4設(shè)橢圓柱面被z=y與z=0所截,求位解于第一、二卦限內(nèi)所截下部分的柱面的側(cè)面積A.xOy面上橢圓所求的柱面的側(cè)面為的參數(shù)方程為所求的柱面的側(cè)面為思考題
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