《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第二章

第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識(shí)分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1.根式的概念及性質(zhì)根式2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝

；(ar)s＝

；(ab)r＝

，其中a>0，b>0，r，s∈R.(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)ar＋sarsarbra>10<a<1圖象定義域R值域性質(zhì)過定點(diǎn)

，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，

；當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，

；當(dāng)x>0時(shí)，在(－∞，＋∞)上是在(－∞，＋∞)上是(0，＋∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)××(3)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù). (

)(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞). (

)解析

(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯(cuò)誤.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)錯(cuò)誤.××C3.(多選題)下列函數(shù)中在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減的是 (

) A.y＝x

B.y＝21－x C.y＝ln(x＋1) D.y＝|1－x|

解析

A項(xiàng)，y＝x

在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，

C項(xiàng)，y＝ln(x＋1)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，BD4.(2021·日照檢測(cè))函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是 (

)

解析易知f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正確.A5.(2021·合肥沖刺)若0<b<a<1，則ab，ba，aa，bb中最大的是 (

) A.ab B.ba C.aa D.bb

解析∵0<b<a<1， ∴指數(shù)函數(shù)y＝ax和y＝bx均為減函數(shù)， ∴ab>aa，ba<bb， ∵冪函數(shù)y＝xb在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴ab>bb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab.A2考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦2解析原式＝1

考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算///////自主演練02.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，則f(2a)＝________.

解析∵f(a)＝2a＋2－a＝3. ∴f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝32－2＝7.73.(2021·滄州聯(lián)考)(a>0，b>0)＝________.6所以a2＝36，解得a＝±6，因?yàn)閍>0，所以a＝6.1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).感悟升華【例1】(1)(多選題)(2021·濟(jì)南調(diào)研)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2020a＝2021b，則下列關(guān)系式成立的是 (

) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.a＝b

解析如圖，觀察易知a，b的關(guān)系為a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用///////師生共研ABD【例1】

(2)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是 (

) A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0 C.2－a<2c D.2a＋2c<2

解析作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖， ∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)， 結(jié)合圖象知，

0<f(a)<1，a<0，c>0， ∴0<2a<1.D∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故選D.1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.感悟升華D【訓(xùn)練1】(2)如果函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________________.

解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|3x－1|與y＝－m的圖象，如圖所示.

由函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限， 則y＝|3x－1|與y＝－m在第二象限沒有交點(diǎn)， 由圖象知－m≥1，即m≤－1.(－∞，－1]c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所以b＞a＞c.故選D.考點(diǎn)三解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題///////多維探究D又函數(shù)f(x)＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，∴f(a)>f(b).f(a)>f(b)則2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，1).(－3，1)解析

(1)因?yàn)閤∈[－3，2]，當(dāng)t＝8時(shí)，ymax＝57.解析

(2)由題意知f(x)是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，則f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，即f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2).1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯(cuò)警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論.感悟升華故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，又y＝2x在定義域上單調(diào)遞增，y＝2－x在定義域上單調(diào)遞減，所以f(x)＝2x－2－x在定義域上單調(diào)遞增，由20.3>1，0<0.20.3<1，log0.32<0，可得f(20.3)>f(0.20.3)>f(log0.32)，則a>b>c.A(－∞，－1]∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，因此t＝x2＋2x＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1].課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3解析

y＝2x－2－x是定義域?yàn)镽的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù).y＝sinx不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；y＝log2x的定義域是(0，＋∞)，不符合題意；y＝x3是定義域?yàn)镽的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù)，符合題意.B

C3.(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則 (

) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a

解析由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a＝log20.2<log21＝0， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1， 所以a<c<b.故選B.B4.在我國(guó)大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長(zhǎng)10.4%，專家預(yù)測(cè)經(jīng)過x年可能增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為 (

)

解析設(shè)原有荒漠化土地面積為b，經(jīng)過x年后荒漠化面積為z， 其圖象應(yīng)為D.D∴a＞b.對(duì)于A，若c≤0，則不等式不成立；對(duì)于B，∵c2≥0，∴不等式成立；對(duì)于C，若a＞0，b＜0，則不等式不成立；∴不等式成立(或利用冪函數(shù)的性質(zhì)易得成立).故選BD.BD6.(2021·衡水檢測(cè))當(dāng)x∈(－∞，－1]時(shí)，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (

) A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)D二、填空題7.已知a>0，b>0，則

＝________.8.設(shè)偶函數(shù)g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則g(a)與g(b－1)的大小關(guān)系是______________________.

解析由于g(x)＝a|x＋b|是偶函數(shù)，知b＝0， 又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，得a>1.

則g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1).g(a)>g(b－1)解析

依題設(shè)f(x)＋f(－x)＝1，整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0.所以a－1＝0，則a＝1.由于1＋2x>1，∴0<f(x)<1.故f(x)的值域?yàn)?0，1).1(0，1)解

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)的定義域?yàn)镽；所以a＝－1(經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－1時(shí)f(x)為奇函數(shù)，滿足題意).證明如下：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，因?yàn)閤1<x2，所以3x1<3x2，所以3x1－3x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增.11.已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，6)，B(3，24). (1)求f(x)的表達(dá)式； 解

因?yàn)閒(x)的圖象過A(1，6)，B(3，24)， 所以a2＝4，又a>0， 所以a＝2，b＝3.

所以f(x)＝3·2x.ACD所以A正確；因?yàn)閥＝4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程f(x)＝x只有一個(gè)實(shí)根，所以B不正確，C正確；13.(多選題)(2021·武漢質(zhì)量評(píng)估)若實(shí)數(shù)a，b滿足2a＋3a＝3b＋2b，則下列關(guān)系式中可能成立的是 (

) A.0＜a＜b＜1 B.b＜a＜0 C.1＜a＜b D.a＝b

解析

設(shè)f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均為增函數(shù)，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1). x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＜g(x)；

x∈(0，1)時(shí)，f(x)＞g(x)；

x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＜g(x).

由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知， 若f(a)