2023-2024學(xué)年四川省成都市成華區(qū)高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省成都市成華區(qū)高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若z=(2?ai)(1+2i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a=(

)A.?2 B.2 C.?1 D.12.已知向量a=(2,?1)，b=(k,2)，且(a+b)/?/A.?4 B.4 C.0 D.?3.已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，則下列命題中正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ

C.若m⊥α，n⊥α，則m//n D.若m//α，m//β，則α//β4.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M，N分別為線段AC和線段A1A.60°B.45°C.30°D.755.已知cos2α=23，則cos(A.13 B.23 C.26.設(shè)a，b為單位向量，a在b方向上的投影向量為?12b，則|A.1 B.2 C.2 D.7.筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以水流作動力，取水灌田的工具，如圖是某公園的筒車，假設(shè)在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針方向勻速圓周運動.現(xiàn)有一半徑為2米的筒車，在勻速轉(zhuǎn)動過程中，筒車上一盛水筒M距離水面的高度H(單位：米，記水筒M在水面上方時高度為正值，在水面下方時高度為負(fù)值)與轉(zhuǎn)動時間t(單位：秒)滿足函數(shù)關(guān)系式H=2sin(π30t+φ)+54，φ∈(0,π2)，且t=0時，盛水筒M位于水面上方A.3.25 B.2.25 C.1.25 D.0.258.已知角α，β滿足cosα=13，cos(α+β)cosβ=A.112 B.18 C.16二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，則下列命題正確的是(

)A.z+z∈R B.z?z為純虛數(shù) C.|z|=|10.函數(shù)f(x)=23sinωxA.y=f(x)的最小正周期為π

B.y=f(x+π6)cosx的圖象關(guān)于直線x=π12對稱

C.y=f(2x+π3)11.設(shè)點D是△ABC所在平面內(nèi)一點，O是平面上一個定點，則下列說法正確的有(

)A.若AD=(23AB+13AC)，則D是BC邊上靠近B的三等分點

B.若AD=λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)，(λ∈R且λ≠0)，則直線AD經(jīng)過△ABC的垂心

C.若AD=xAB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a，b滿足|a|=1，b=(1,2)，a→⊥(a→?2b13.若x∈[0,4]時，曲線y=sin(πx)與y=2sin(2πx?π14.已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=π3.將△DAC沿著對角線AC折起至△D′AC，連結(jié)BD′.設(shè)二面角D′?AC?B的大小為θ，當(dāng)θ=2π3時，則四面體D′ABC四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)設(shè)向量a與b不共線．(1)若a=(1,2)，b=(?1,1)，若m=2a?kb，n(2)若OA=a?b，OB=5a+2b，OC16.(本小題12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)x∈(π4,5π17.(本小題12分)如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長度；(2)求cos∠CFD．18.(本小題12分)

如圖，正四棱錐S?ABCD，SA=SB=SC=SD=4，AB=22，P為側(cè)棱SD上的點，且SP=3PD，

(1)求正四棱錐S?ABCD的表面積;(2)求點S到平面PAC的距離;(3)側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE/?/平面PAC，若存在，求SEEC的值;若不存在，試說明理由．19.(本小題12分)如圖1，由射線PA、PB、PC構(gòu)成的三面角P?ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A?PC?B的大小為θ，類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：cosγ=(1)如圖2，在三棱錐P?ABC中，點M是點B在平面APC中的投影，BD⊥PC，連接MD，PA=4，∠APC=60°，∠BPC=45°，?①求平面APC與平面BPC所成的角的正弦值;?②求三棱錐P?ABC體積的最大值;(2)當(dāng)α、β、γ∈(0,π2)時，請在圖1參考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.ACD

10.BD

11.ABC

12.513.8

14.28π315.(1)解：由題意，2a?kb=?(2+k,4?k)，3a?5b=?(8,1)，

因為(2a?kb)⊥(3a?5b)，

所以(2a?kb)?(3a?5b)?=0，16.解：(1)f(x)=1+sin由2kπ?π2≤2x?π3則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π(2)由π4<x<5π6，則?則1?3<f(x)≤3，

即當(dāng)x∈(π4

17.解：(1)∵CE

⊥AB，

∴∠AEC=π2

，在Rt

?AEC

中，

AC=2,∠EAC=所以

CE=ACsin∠EAC=2∵AD

是中線，

∴AD=∴=1432∴CE=(2)∵AE=AC?cos?∴∴=∴cos∠CFD=另解：過D作

DG//CE

交

BE

于

G

，∵D

是

BC

的中點，

∴G

是

BE

的中點，∴AE=EG=GB=1,EF

是

?AGD

的中位線，

DG

是

△BCE

的中位線，∴EF=12cos∠CFD=cos

18.解：(1)因為SA=SB=SC=SD=4，AB=22，

則SG⊥AB，且SG=SA2?AG2=42?2=14，

所以，正四棱錐S?ABCD的表面積為

4S△SAB+S?ABCD=4×12×AB×SG+AB2=2×22×14+8=8+87，

(2)解：連接BD交AC于點O，連接SO、OP，如下圖所示：

因為四邊形ABCD是邊長為22的正方形，則BD=2×22=4=SB=SD，

故△SBD是邊長為4的等邊三角形，因為AC∩BD=O，則O為BD、AC的中點，所以SO⊥BD，

且SO=SBsin60°=4×32=23，∠OSD=12∠BSD=12×60°=30°，

因為SP=3PD，則SP=34SD=34×4=3，

由余弦定理可得OP2=SO2+SP2?2SO?SPcos30°=12+9?2×23×3×32=3，

所以，SP2+OP2=SO2，所以，SP⊥OP，

因為四邊形ABCD為正方形，則AC⊥BD，因為SA=SC，O為AC的中點，

則AC⊥SO，因為SO∩BD=O，SO、BD?平面SBD，

所以AC⊥平面SBD，因為SP?平面SBD，所以SP⊥AC，

因為OP∩AC=O，OP、AC?平面PAC，所以SP⊥平面PAC，

因此點S到平面PAC的距離為SP=3，

(3)解：在側(cè)棱SD上存在一點E，使BE/?/平面PAC，滿足SEEC=2，

19.解：(1)由題意得：①因為cosθ=cosγ?cos?α?cos?βsin?α?sin?β=0?12·2232