北師版九下數(shù)學(xué)2.4.1二次函數(shù)的應(yīng)用（1）【導(dǎo)學(xué)案】

利用二次函數(shù)解決圖形問題導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1、學(xué)會用二次函數(shù)解決幾何圖形問題。2、在運(yùn)用知識解決問題時體會二次函數(shù)的應(yīng)用意義及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。學(xué)習(xí)策略結(jié)合所學(xué)過的二次函數(shù)的知識，理解最值的意義；能根據(jù)實(shí)踐問題解設(shè)二次函數(shù)解決幾何圖形問題.學(xué)習(xí)過程 復(fù)習(xí)回顧：1、下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的是（x為自變量）（）A．y=B．y=C．y=a2x2D．y=2、（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).（2）用畫出二次函數(shù)的圖象，可以從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)，確定二次函數(shù)的、開口方向和。二.新課學(xué)習(xí)：1.自學(xué)教材P46-47，回答以下問題在圖2-8中，四邊形ABCD是矩形；通過證明△EDC△EAF，而得到AD；矩形鐵皮的面積公式：。勾股定理公式：；例1中窗戶的面積公式：。2、自學(xué)課本P46-47思考下列問題：（1）你能指出例1中的變量跟常量嗎？（2）解決“面積最大”此類問題的基本思路是什么？三.嘗試應(yīng)用：1、如圖，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動．若P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時出發(fā)，在運(yùn)動過程中，△PBQ的最大面積是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2用一根長為32cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是cm2．3、如圖，有長為24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形的花圃，且花圃的長可借用一段墻體（墻體的最大可用長度10米）：如果AB的長為，面積為.（1）求面積與的函數(shù)關(guān)系（寫出的取值范圍）；（2）取何值時，面積最大？面積最大是多少？自主總結(jié)：解決“面積最大”問題的基本思路：第一步：審題理解問題；第二步：分析問題中的和常量，自變量；第三步：分析問題中的變量和常量之間的關(guān)系，建立函數(shù)的；第四步：確定的取值范圍；第五步：根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出最值或最值（在自變量的取值范圍內(nèi)）。五.達(dá)標(biāo)測試一、選擇題1．如圖，假設(shè)籬笆（虛線部分）的長度16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是（）.A．60B．63C．64D．662．如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側(cè)面積的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm23．如圖所示，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個長方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB=xm，長方形的面積為ym2，要使長方形的面積最大，其邊長x應(yīng)為（）A．mB．6mC．25mD．m二、填空題4.已知：如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S米2．則S與x的函數(shù)關(guān)系式；自變量的取值范圍．5．若直角三角形的兩條直角邊的和等于12，兩條直角邊分別為____，使此直角三角形的面積最大6．如圖，用總長度為12米的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成如圖所示的外觀為矩形的框架，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行，則矩形框架ABCD的最大面積為m2．三、解答題7．為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ鐖D）．若設(shè)綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大．8．如圖，把一張長15cm，寬12cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的小正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．設(shè)剪去的小正方形的邊長為xcm．（1）請用含x的代數(shù)式表示長方體盒子的底面積；（2）當(dāng)剪去的小正方形的邊長為多少時，其底面積是130cm2？（3）試判斷折合而成的長方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？若有，試求出最大值和此時剪去的小正方形的邊長；若沒有，試說明理由．9．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）在（1）中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=5，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿BC方向以2m/s的速度移動，點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向以1m/s的速度移動．（1）若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，△PCQ的面積等于4？（2）若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5？（3）△PCQ的面積何時最大，最大面積是多少？達(dá)標(biāo)測試答案一、選擇題1．【解析】設(shè)BC=xm，則AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面積為y，根據(jù)題意得：y=（16﹣x）x=+16x=+64，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)x=8m時，=64，則所圍成矩形ABCD的最大面積是64．故選：C．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．2．【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵箏形ADOK≌箏形BEPF≌箏形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折疊后是一個三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO都為矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．連結(jié)AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．設(shè)OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴紙盒側(cè)面積=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，紙盒側(cè)面積最大為．故選C．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質(zhì)．3．【解析】根據(jù)題意得：AD=BC=，上邊三角形的面積為：（5﹣x），右側(cè)三角形的面積為：x（12﹣），所以y=30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），整理得y=﹣x2+12x，=﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，=﹣（x﹣）2+15，∵﹣＜0∴長方形面積有最大值，此時邊長x應(yīng)為m．故要使長方形的面積最大，其邊長m．故選：D．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．二、填空題4．【解析】由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為（24-3x）米．這時面積S=x（24-3x）=-3x2+24x．∵0＜24-3x≤10得≤x＜8，故答案為：S=-3x2+24x．≤x＜8考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．5.【解析】設(shè)一條直角邊為x，三角形的面積為S，則，所以當(dāng)x=6時，S最大=18，此時12-x=6，所以當(dāng)兩條直角邊都是6時，此直角三角形的面積最大.考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.6．【解析】∵AB為x米，則AD==4﹣x，S長方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，當(dāng)x=2時，S取得最大值=4；∴長方形框架ABCD的面積S最大為4m2．故答案為：4．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．三、解答題7．【解析】試題分析：（1）BC=x，則AB=，然后根據(jù)面積=長×寬列出函數(shù)解析式，BC的長度不等大于墻的長度；（2）首先將函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式，然后進(jìn)行求最值．試題解析：（1）由題意得：自變量x的取值范圍是0＜x≤25（2）∵20＜25，∴當(dāng)x=20時，y有最大值200平方米即當(dāng)x=20時，滿足條件的綠化帶面積最大．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．8．【解析】試題分析：（1）由圖可知：長方體盒子的底面的長和寬分別是原矩形的長和寬減去兩個小正方形的邊長，根據(jù)矩形的面積=長×寬；（2）得出一個關(guān)于正方形邊長x的方程．從而求解；（2）長方體盒子的側(cè)面積是四個小矩形，都是以正方形的邊長為寬，以盒子的底面的長或?qū)挒殚L，根據(jù)這個關(guān)系，我們可列出關(guān)于側(cè)面積和正方形邊長x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求出這個最值．試題解析：（1）（15﹣2x）（12﹣2x）cm2；（2）依題意得：（15﹣2x）（12﹣2x）=130，即2x2﹣27x+25=0，解得x1=1，（不合題意，舍去），∴當(dāng)剪去的小正方形的邊長為1cm時，其底面積是130cm2；（3）設(shè)長方體盒子的側(cè)面積是S，則S=2[（15﹣2x）x+（12﹣2x）x]，即S=54x﹣8x2，S=﹣8（x﹣）2+，（0＜x＜6），當(dāng)x=時，，即當(dāng)剪去的小正方形的邊長為cm時，長方體盒子的側(cè)面積有最大值．考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用．9．【解析】試題分析：（1）由得，則拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）設(shè)D（t，﹣t2+2t+3），過點(diǎn)D作DH⊥x軸，則S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，∵﹣＜0，∴當(dāng)t=﹣=時，D點(diǎn)坐標(biāo)是（，），△BCD面積的最大值是；（3）設(shè)過點(diǎn)P與BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為Q，∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），直線BC的解析式為y=﹣x+3，∴過點(diǎn)P與BC平行的直線為y=﹣x+5，由得Q的坐標(biāo)為（2，3），∵PM的解析式為x=1，直線BC的解析式為y=﹣x+3，∴M的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)PM與x軸交于點(diǎn)E，∵PM=EM=2，∴過點(diǎn)E與BC平行的直線為y=﹣x+1，由得或，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣），（，﹣），∴使得△QMB與△PMB的面積相等的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3），（，﹣），（，﹣）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．10.【解析】試題分析：（1）分別表示出線段CP和線段CQ的長，利用三角形的面積公式列出方程求解即可；（2）表示出線段CP和CQ后利用勾股定理列出方程求解即可；（3）列出△PCQ的面積關(guān)于t的函數(shù)解析式，配方可得最大值．試題解析：（1）設(shè)t秒后△PCQ的面積等于4，根據(jù)題意得：CQ=t，BP=2t，則CP=7-2t，CQ×CP=×t（7-2t）=4，整理，得：t1=，t2=，故若P