八年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的集中程度

第六章數(shù)據(jù)的集中程度

一、知識(shí)點(diǎn)：

1、平均數(shù)：

一般地，對(duì)于n個(gè)數(shù)xi,X2,…，xn我們把.=±+±+…+▲叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均

n

數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)，

平均數(shù)，它是顯示出一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)字，也就是說(shuō)這組數(shù)據(jù)都“接近”哪個(gè)數(shù)。

補(bǔ)充公式：⑴如果在n個(gè)數(shù)中,X1出現(xiàn)f1次，X2出現(xiàn)f2次,X3出現(xiàn)f3次,....Xn出現(xiàn)fn次,（其

中fi+f2+f3+……+fFn）,這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可表示為：

X,f,+xf+xf---+xf

X-2233nn

n

⑵如果一組數(shù)據(jù)X”X2,X3,……，X”的平均數(shù)為x',則一組新數(shù)據(jù)：

Xi+a,x2+a,x3+a,....，x?+a的平均數(shù)為：

x=x'+a

舉例說(shuō)明:某班第一小組的同學(xué)的身高如下：（單位：cm）：158,160,160,170,158,170,168,

158,160,160,168,170.計(jì)算這組同學(xué)的平均身高。（精確到1cm）

…八、-158x3+160x4+168x2+170x3…

方法（Dx----------------------------------?163

3+4+2+3

方法⑵將各個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去160,得到2,0,0,10,2,10,8,2,0,0,8,8

再計(jì)算這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得

—1

xz=—（-2+0+0+10-2+10+8-2+0+0+8+8）=3.2

x=x7+160=163.2?163

2、加權(quán)平均數(shù)：

在實(shí)際問(wèn)題中，一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度并平總是相同的，有時(shí)有些數(shù)據(jù)比其它數(shù)據(jù)更重

要。所以，我們?cè)谟?jì)算這組數(shù)據(jù)時(shí)，往往給每個(gè)數(shù)據(jù)一個(gè)“權(quán)”。

加權(quán)平均數(shù)：如果在n個(gè)數(shù)中，Xi出現(xiàn)fi次，X2出現(xiàn)f2次，X3出現(xiàn)fs次，...Xk出

現(xiàn)fk次，（其中fi+fz+f3+……+fk=n）,則+X20+X3f3…+Xkfk

n

其中儲(chǔ)、f2,七、……f卜叫做權(quán)。（看例1）

3、中位數(shù)和眾數(shù)：

一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

一般地，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

中位數(shù)、眾數(shù)都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是惟一的；一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)

可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有。

二、舉例：

例1：一家公司對(duì)A、B、C三名應(yīng)聘者進(jìn)行了創(chuàng)新、綜合知識(shí)和語(yǔ)言三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試，他們的成績(jī)?nèi)缦?/p>

表所示：

測(cè)試項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)

ABC

創(chuàng)新728567

綜合知識(shí)507470

語(yǔ)言884567

(1)如果根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī)確定錄用人選，你選誰(shuí)？

(2)根據(jù)實(shí)際需要，廣告公司給出了選人標(biāo)準(zhǔn)：將創(chuàng)新、綜合知識(shí)和語(yǔ)言三項(xiàng)測(cè)試得分按4：3：1

的比例確定各人的測(cè)試成績(jī)。你選誰(shuí)？

例2：⑴設(shè)有甲、乙、丙三種可混合包裝的食品，它們的單價(jià)分別是元，元，元，現(xiàn)取甲種食品50

公斤，乙種食品40公斤，丙種食品10公斤，把這三種食品混合后每公斤的單價(jià)是多少？

⑵江同學(xué)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?8分，期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?2分，如果計(jì)算學(xué)期總評(píng)分時(shí)，只考慮這

兩次成績(jī)，且期中與期末分?jǐn)?shù)之比是4：6,求江同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)期總評(píng)分。

⑶某校九年級(jí)在一次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中，一班40個(gè)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為72.6,二班42個(gè)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為

80,三班43個(gè)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為75.20求全年級(jí)這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)的平均分。

例3：（1）5個(gè)數(shù)據(jù)的和是400,其中兩個(gè)數(shù)據(jù)的和是157,則另外三個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：

⑵已知4,8,2,。四個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5。而13,4,2,a,b的平均數(shù)為6,則匕=；

⑶初二年級(jí)兩個(gè)班一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)?nèi)缦拢憾虐鄊人，平均成績(jī)?yōu)椤?，二⑵班〃人，平均成?jī)?yōu)?/p>

b,則這兩個(gè)班的平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

⑷一組數(shù)據(jù)：1、2、4、3、2、4、2、5、6、1,它們的平均數(shù)為,眾數(shù)為,中位數(shù)為：

⑸一個(gè)射手連續(xù)打靶20次，其中2次射中10環(huán)，7次射中9環(huán)，8次射中8環(huán)，3次射中7環(huán)，這

個(gè)射手每次射中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是，中位數(shù)是:

⑹某校10名初中畢業(yè)生的中考體育考試成績(jī)?nèi)缦拢?5262626262728292930,這些成績(jī)的

中位數(shù)是（）A、25B、26C、26.5D、30

⑺小明期未語(yǔ)、數(shù)、英三科的平均分為92分，她記得語(yǔ)文是88分，英語(yǔ)是95分，但她把數(shù)學(xué)成績(jī)

忘記了，你知道小明數(shù)學(xué)多少分嗎（）

（A）93分⑻95分（C）分（D）94分

⑻某超市購(gòu)進(jìn)了一批不同價(jià)格的皮鞋，下表是該超市在近幾年統(tǒng)計(jì)的平均數(shù)據(jù)。

皮鞋價(jià)（元）160140120100

銷(xiāo)售百分率60%75%83%95%

要使該超市銷(xiāo)售皮鞋收入最大，該超市應(yīng)多購(gòu)（）的皮鞋。

A、160元B、140元C、120元D、100元

⑼某銷(xiāo)售部門(mén)有7名員工，所有員工的月工資情況如下表所示（單位：元）。

人員經(jīng)理會(huì)計(jì)職工⑴職工（2）職工（3）職工⑷職工（5）

工資500020001000800800800780

則比較合理反映該部門(mén)員工工資的一般水平的數(shù)據(jù)是（)

A、平均數(shù)B、平均數(shù)和眾數(shù)C、中位數(shù)和眾數(shù)D、平均數(shù)和中位數(shù)

⑩我校男子足球隊(duì)22名隊(duì)員的年齡如下表所示:

年齡/歲141516171819

人數(shù)213673

這些隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A、18,17B、17,18C、18,17.5D、17.5,18

例4：三五三七鞋廠為了了解初中學(xué)生穿鞋的鞋號(hào)情況，對(duì)紅華中學(xué)初二（1）班的20名男生所穿鞋

號(hào)統(tǒng)計(jì)如下表：

鞋號(hào)23.52424.52525.526

人數(shù)344711

（1）寫(xiě)出男生鞋號(hào)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；

（2）在平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中，鞋廠最感興趣的是什么？

例5：甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績(jī)情況如圖所示:

⑴請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表:

平均數(shù)中位數(shù)命中9環(huán)以上的次數(shù)

甲

乙

甲乙---------

⑵請(qǐng)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析：

①?gòu)钠骄鶖?shù)和中位數(shù)結(jié)合看（誰(shuí)的成績(jī)好些）；

②從平均數(shù)和9環(huán)以上的次數(shù)看（誰(shuí)的成績(jī)好些）；

③從折線圖上兩人射擊環(huán)數(shù)的走勢(shì)看（分析誰(shuí)更有潛力）.

例6：為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)組織了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，初中三個(gè)年級(jí)根據(jù)初賽

成績(jī)分別選出了10名同學(xué)參加決賽，這些選手的決賽成績(jī)（滿分為100分）如下表所示：

決賽成績(jī)（單位：分）

初808688808899807491

一年級(jí)89

初858587978576887787

二年級(jí)88

初828078788196978889

三年級(jí)86

（1）請(qǐng)你填寫(xiě)下表:

平均分眾數(shù)中位數(shù)

初一年級(jí)87

初二年級(jí)85

初三年級(jí)84

（2）請(qǐng)從以下兩個(gè)不同的角度對(duì)三個(gè)年級(jí)的決賽成績(jī)進(jìn)行分析：

①?gòu)谋姅?shù)和平均數(shù)相結(jié)合看（分析哪個(gè)年級(jí)成績(jī)好些）：

②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析哪個(gè)年級(jí)成績(jī)好些）。

（3）如果在每個(gè)年級(jí)參加決賽的選手中分別選出3人參加總決賽，你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)的實(shí)力更強(qiáng)

些？并說(shuō)明理由。

例7：為了解某班學(xué)生每周做家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間，某綜合實(shí)踐活動(dòng)活動(dòng)小組對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)

查。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

每周做家務(wù)的時(shí)間（小時(shí)）01234

人數(shù)（人）2268121343

根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題：

（1）該班學(xué)生每周做家務(wù)勞動(dòng)的平均時(shí)間是多少小時(shí)？

（2）這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是多少？

請(qǐng)你根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，用一句話談?wù)勛约旱母惺堋?/p>

例8：某校要從小王和小李兩名同學(xué)中挑選一人參加全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，在最近的五次選拔測(cè)試中，他倆

的成績(jī)分別如下表:

12345

姓名、魯（分）

小王60751009075

小李7090808080

根據(jù)上表解答下列問(wèn)題:

（1）完成下表：（5分）

姓名平均成績(jī)中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）

（分）

小王

小李

（2）在這五次測(cè)試中，成績(jī)比較穩(wěn)定的同學(xué)是誰(shuí)？若將80分以上（含80分）的成績(jī)視為優(yōu)秀,

則小王、小李在這五次測(cè)試中的優(yōu)秀率各是多少？（3分）

（3）歷屆比賽表明，成績(jī)達(dá)到80分以上（含80分）就很可能獲獎(jiǎng)，成績(jī)達(dá)到90分以上（含90分）

就很可能獲得一等獎(jiǎng)，那么你認(rèn)為應(yīng)選誰(shuí)參加比賽比較合適？說(shuō)明你的理由（2分）

例9：我國(guó)淡水資源短缺問(wèn)題十分突出，已成為我國(guó)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)可持續(xù)發(fā)展的重要制約因素，節(jié)約用

水是各地的一件大事.某校初三學(xué)生為了調(diào)查居民用水情況，隨機(jī)抽查了某小區(qū)20戶(hù)家庭的月用水量，

結(jié)果如下表所示：

月用水量（噸）34578910

戶(hù)數(shù)4236311

（1）求這20戶(hù)家庭月用水量的平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)；

（2）政府為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，擬試行水價(jià)浮動(dòng)政策.即設(shè)定每個(gè)家庭月基本用水量。（噸），家

庭月用水量不超過(guò)4（噸）的部分按原價(jià)收費(fèi)，超過(guò)a（噸）的部分加倍收費(fèi).

①你認(rèn)為以平均數(shù)作為該小區(qū)的家庭月基本用水量。（噸）合理嗎？為什么（簡(jiǎn)述理由）？

②你認(rèn)為該小區(qū)的家庭月基本用水量。（噸）為多少時(shí)較為合理？為什么（簡(jiǎn)述理由）？

例10：某校為了了解全校400名學(xué)生參加課外鍛煉的情況,隨機(jī)對(duì)40名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課

外鍛煉的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果如下：（單位:分）

4021352440382352356236155145404240324336

3453384039324540504540402645404535404245

（1）補(bǔ)全頻率分布表和頻率分布直方圖.

分組頻頻

數(shù)率tffi

2

3—

---

1時(shí)間（分）

第22題圖

0

1—

9

5

1

合計(jì)4

0

(2)填空:在這個(gè)問(wèn)題中，總體是，樣本是

由統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析的(分)，眾數(shù)是，中位數(shù)是o

(3)如果描述該校400名學(xué)生一周內(nèi)平均每天參加課外鍛煉時(shí)間的總體情況，你認(rèn)為用平均數(shù)、眾數(shù)、

中位

數(shù)中的哪一個(gè)量比較合適？

三、作業(yè)：

1、某班10位同學(xué)為支援“希望工程”，將平時(shí)積攢的零花錢(qián)捐獻(xiàn)給貧困地區(qū)的失學(xué)兒童，捐款金額

如下(單位：元)：18.52021.52022.517.519221821這10位同學(xué)平均捐款多少元？

2、某校規(guī)定學(xué)生的體育成績(jī)由三部分組成，早鍛煉及體育課外活動(dòng)表現(xiàn)占成績(jī)的20%體育理論測(cè)試

占30%,體育技能測(cè)試占50%,小穎的上述三項(xiàng)成績(jī)依次是92分,80分，84分，則小穎這學(xué)期的體育成績(jī)

是多少？

3、小穎和小明一學(xué)期的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:

考核項(xiàng)目考核成績(jī)

小穎小明

上課、作業(yè)及問(wèn)問(wèn)題情況9285

平時(shí)學(xué)習(xí)成果9089

期末基礎(chǔ)性學(xué)力檢測(cè)91100

(1)如按三項(xiàng)成績(jī)的平均成績(jī)來(lái)考核，那么誰(shuí)的成績(jī)高？

(2)假如將上課,作業(yè)及問(wèn)問(wèn)題情況,平時(shí)學(xué)習(xí)成果和期末考試成績(jī)按4:3:3來(lái)確定期末成績(jī),那么此

時(shí)誰(shuí)的成績(jī)高？

4、某市舉行一次少年滑冰比賽，各年齡組的參賽人數(shù)如下表所示:

年齡組13歲14歲15歲