直線與平面垂直課件

11.4.1直線與平面垂直

。常考題型目錄

題型1概念辨析題..................................................................................3

?類型1位置關(guān)系判斷..........................................................................3

?類型2概念辨析..............................................................................7

題型2線面垂直的證明..............................................................................9

題型3線面垂直證明線線平行......................................................................20

題型4線面垂直證明線線垂直......................................................................26

題型5勾股定理證明垂直...........................................................................35

題型6垂直小題...................................................................................37

題型7探索性問題.................................................................................43

Q知識梳理

知識點一.異面直線所成的角

/.定義：如果“，人是空間中的兩條異而直線，過空間中任意一點，分別作與?,b平行或重合的直線優(yōu),

b',則a馬，所成角的大小,稱為異面直線a與h所成角的大小.

2.異面直線所成的角9的取值范圍：0。V氏90。.

3.垂直：空間中兩條直線/,m所成角的大小為90。時，稱/與垂直，記作/，機

知識點二.直線與平面垂直

1.直線與平面垂直的定義

定義如果直線/與平面咕的任意一條直線都垂直,我們就說直線/與平面a互相垂直

記法11.a

有關(guān)概念直線/叫做平面如勺垂線，平面aflU做直線/的垂面.它們唯一的公共點。叫做垂足

1

圖示/叱

畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

2.直線與平面垂直的判定定理(簡稱線面垂直的判定定理)

文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直

符號語言/-La,/±.b,aua,Zx=a,aT\b-P=>/±a

圖形語言

3.線面垂直判定定理的推論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面.

符號語言：a\\b,=bl.a,

知識點三.直線與平面垂直的性質(zhì)

1.線面垂直的性質(zhì)

(1)如果兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線這個平面.也垂直于這個平面

(2)過空間中一點，有且只有一條直線與已知平面垂直.

2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線軌

as-a

符號語言0alib

bs.a

圖形語言

①線面垂直一線線平行

作用

②作平彳亍線

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理推論：

一條直線垂直于一個平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.

符號語言：_bca_

題型1概念辨析題

【方法總結(jié)】理解線面垂直的判定定理注意以下幾點：

(1)定理可表述為“線線垂直,則線面垂直"

(2)”兩條相交直線”是關(guān)鍵詞，一定不要忽視這個條件,否則將導(dǎo)致結(jié)論錯誤，即"線不在多，相交就行"

(3)要證明一條直線與一個平面垂直，只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相

交直線是否和已知直線有公共點無關(guān)緊要.

(4)線面垂直的判定定理與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復(fù)交替使用。

?類型1位置關(guān)系判斷

【例題11(2023?全國高一專題練習(xí))已知a是平面，/、機、〃是空間三條不同的直線，則下列命題中正

確的個數(shù)為()

匚若機Da,nUa,/Lm,/On,貝［|/LJa；

□若iQm,/□?,!01|m//n；

匚若三條直線/、"7、〃兩兩相交，則直線/、〃?、〃共面；

匚若,nQa,l//m,則〃/〃

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系逐項分析即得.

【詳解】根據(jù)題意，依次分析4命題,

對于口，當(dāng)m與“相交時，可得/a,匚錯誤；

對于U,垂直于同一直線的兩條直線可以平行、相交，也可以異面，錯誤；

對于口，當(dāng)3條直線交于一點時，直線/、〃?、〃可能異面，匚錯誤；

對于口,若mUa,na,則m//n,又由l//m,則l//n,□正確；

所以4個命題中，有/個正確；

古嫡：B.

【變式1-1]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)腹空間中的一個平面，口，口,。是三條不同的直線，

則（）

A.若口uU,￡7cLJ,￡71U,￡71U,則口

B.若。〃￡7,□"口,￡71U,則。1D

C.若,￡71口,D1￡7,則O_LU

D.若Oun,口＞a,a,則5/o

【答案】B

【分析】AD可舉出反例，B選項，由線面垂直的判定定理得O；C選項，可得到￡7〃。；

【詳解】A選項，a與m目交、平行或Ou口,

如圖1,當(dāng)小寸，匚芍m目交，故A錯誤；

B選項，因為。//O,,所以口〃口,

因為￡71O,則由線面垂直的判定定理得。，故B正確；

C選項，因為口,LJ1口,所以?！ā?,

因為切/0,所以，故C錯誤；

D選項，若￡7u口,O1口,￡71D,則〃與可交、平行或異面,

如圖2,滿足Ou口，￡71U,￡71口,而。與啰面，

圖2

故D錯誤.

故選：B.

【變式1-1]2.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）已知直線次口平面口，則"強直于。內(nèi)任意直線"是

?！模ǎ?

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì),結(jié)合題意，即可容易判斷和選擇.

【詳解】若。垂直于口內(nèi)任意直線，顯然有01口,故充分性成立；

巷口'□.則匚垂直于平面。內(nèi)任意直線，故必要性成立，

故垂直于o內(nèi)任意直線"是"□、?！某湟獥l件.

故選：C.

【變式1-1]3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知直線口，平面。，有以下幾個判斷：

①若U,則O//Z7；

②若O_L□,則夕/口；

③若￡7//￡7,則￡71O；

④若?！?，則。J_0；

上述判斷中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】B

【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系，線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)逐項分析即

得.

【詳解】對于①，當(dāng)Ou平面。也可以有Z7_L0，但m不平行于平面O,故①錯；

對于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知②正確；

對于③，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得存在。u￡7且Oil￡7.而直線平面O,故可根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)得出口工口,故口，5E確;

對于④，根據(jù)直線01平面可在平面。內(nèi)找到兩條相交直線p,n,且￡71口,□工□,又口”口,所

以□，口,□L□,故根據(jù)線面垂直的判定定理可知，￡71。正確.

即②③④正確.

故選：B.

【變式1-1]4.（多選）（2023?全國?高一專題練習(xí)）（多選）下列命題中，不正確的是（）

A.若直線I與平面a內(nèi)的一條直線垂直，則l，a

B.若直線I不垂直于平面a,貝！la內(nèi)沒有與I垂直的直線

C.若直線I不垂直于平面a,則a內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與I垂直

D.若直線I與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l，a

【答案】ABD

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進行判斷即可.

【詳解】當(dāng)I與a內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證I與平面a垂直，所以A不正確；

當(dāng)|與a不垂直時,I可能與a內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；

若I在a內(nèi),I也可以和a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故D錯誤.

故選：ABD

【變式1-1]5.（多選）（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知m、n是兩條不同的直線，口、。是兩個不重

合的平面，給定下列四個命題，其中是真命題的是（）

A.若口L口,Z7c口,則D

B.若口_L口,LJu口,則OJ.D

C.若￡71口,ZZ71D,則O〃￡7

D.若ZZ7u□,□u□,Z7//ZZ7,則?！ā?

【答案】BC

【分析】根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，以及面面平行的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】對于A,直線m垂直于平面O內(nèi)的一條直線n，則直線m與平面。不一定垂直，所以A不是真命

題；

對于B,因為。_LZ7uZ7,由直線與平面垂直的定義可知：Z71O,所以B是真命題；

對于C,因為OlL7,￡71￡7,由直線與平面垂直的性質(zhì)可知：口”口,所以C是真命題；

對于D,分別在兩個平行平面O,型的直線m,n平行或異面，所以D不是真命題.

故選：BC.

?類型2概念辨析

【例題1-2】下列說法正確的有_______（填序號）.

①垂直于同一條直線的兩條直線平行；

②如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直;

③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直；

④若/與平面壞垂直，則平面型）一定沒有直線與/垂直.

【答案】②【解析】因為空間內(nèi)與一條直線同時垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①

不正確.

由線面垂直的定義可得，故②正確.

因為這兩條直線可能是平行直線，故③不正確.

如圖，/與a不垂直，但aca,/_La,故④不正確.

【變式1-2]1.下面四個命題：

①過一點和一條直線垂直的直線有且只有一條；

②過一點和一個平面垂直的直線有且只有一條；

③過一點和一條直線垂直的平面有且只有一個；

④過一點和一個平面垂直的平面有且只有一個.

其中正確的是（）

A.①④B.②③C.①②D.③④

【答案】B【解析】過一點和一條直線垂直的直線有無數(shù)條，故①不正確；過一點和一個平面垂直的平面有

無數(shù)個，故④不正確；易知②③均正確.故選B.

【變式1-2]2.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于（）

A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC

【答案】C

【解析】-OAJ.OB,OAA.OC,OB^OC=O,OB,。氏平面。紀，平面08c

【變式1-1]3.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的:

①三角形的兩邊；

②梯形的兩邊；

③圓的兩條直徑；

④正五邊形的兩邊.

能保證該直線與平面垂直的是______（填序號）.

【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定

相交，能保證直線與平面垂直.而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件.故

填①③④.

【變式1-1】4.直線a□直線6,aU平面￡,則6與￡的位置關(guān)系是（）

A.b邙B.bQ/3

C.bD/iD.或阿3

【答案】D

【解析】以如圖所示的正方體小小為模型.

AIALW-^ABCD,A!A3AIBI,AA,QAB,4/8/匚平面平面/BCD,故選。.

題型2線面垂直的證明

【方法總結(jié)】

證明線面垂直的關(guān)鍵是分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂

直.三角形全等、等腰三角形底邊上的中線、梯形的高、菱形和正方形的對角線、三角形中的勾股定理

等都是找線垂直的方法.

【例題2]（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在棱長為2的正方體口?？诳?口口、口1口曲.求證：1

面口口1口;

|C,

A,

/D.................7c

AB

【答案】證明見解析

【分析】連接oa,證明口□1平面口□□，口口1平面￡7&口1可得口□工□、□,□]□].□、口,

再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證.

【詳解】如圖，連接oa則皿10,0,

□□、1平面口□□口,□□u平面口□□□,

所以1口口,且口口門口□[=口,口口,□□[U平面&□口,

所以￡70,平面4￡70,

由&Z7u平面&□口,所以S

因為/Z/i_L平面ZZZ(口,口、□u平面□,

所以&&y口,

又ZZ7i□[Q□=□、,□、□],□u平~百□口、,

所以aDI平面0aoi,

又□□、u平面Z74&,所以0Z71口、口,

因為Z7ZZ7C□、口=口,□□,□]□□□口,

所以平面

【變式2-1]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖所示，在正方體0￡700-4。1&&中，乃口口1的

中點，口□與□□SA點.口,求證：ZZ7IZZ7JL平面Z7Z7Z7.

【分析】要證明■□工平面口□口，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，只需證明直線4。垂直于平面

ZJOO中的兩條相交直線即可.

【詳解】【證明】?.四邊形OOO與正方形，

_L平面￡7￡7￡7O,￡7￡7u平面Z7Z7Z7O,

:,口口11口□.

又：口、□u平面。1口口,□□u平面&□口,且。1Uc□□=口,

:.□□_L平面□口,

而□u平面□口,

:\口、口,

令正方體的棱長為2,連接?？凇跞缦聢D所示

則有□]□=V6,口口=V3,□、口=3,

:.口14+舊=口面,

：.□、□上□□,

又□□u平面□□□,□□u平面口口口且□□=口,

:.口1Z7±平面□□□.

【變式2-1]2.（2023?高一課時練習(xí)）如圖所示,△口□加△所在平面互相垂直，且□□=口口=

口□=2,z□□□=z□□口=12?！泓c□,口,磔別為口□,。中]中點，求證:口□1平面□□口

【答案】證明見解析

【分析】分別利用三角形相似和等腰三角形性質(zhì)可得口口、□□、口□‘再由線面垂直的判定定理

可得1平面□□口,而由￡70/0。可得答案.

【詳解】由□□=UU=口□=2且乙□□口=乙□口口=120°,

可得△□□□.□□□,所以口口=□□,

又由a為。o的中點，所以。。1口口,

因為％。OB勺中點，可得口O1□口,

又因為口□=方口□,UUu鈣口□□,所以￡7。1平面?！?。，

因為￡7,2分別為￡7口。牛中點，麻以所以□□1平面□□□.

【變式2-1J3.(2023?全國?高一專題練習(xí))如圖，在三棱錐口-口口小，口□=□□=□□="□□=

2口口=4,□□LUU,班口怵中點.

(1)證明：□□1^^口口口;

(2)求點O到平面OO00勺距離.

【答案】Q)證明見解析

⑵苧

【分析】(1)證明口口,口□工□口,結(jié)合線面垂直的判定即可證；

(2)點0到平面PAC距離，即為三棱錐。-□□第PAC的高，計算出。小8屆么〃〃〃即可.

【詳解】(1)證明：因為。￡7=□□,0為。O0勺中點，所以0Z71

連接因為口口工口口,所以

又□□:口□,所以△□□□蘭2□□□,所以S_L

因為□□△口□=口,口口匚鈿□□□,LJLJu礴□□□,

所以￡701平面￡7￡7￡7.

(2)因為￡70=□□=□□=5,□□=2￡70=4,

所以口口=yJOLf-DLf=V21,□□=J口d-ULf=2V3.

口□口—\口△□□口=gxgx2x2>/3—V3,

□□-□□口~3□〉□□□，□□=-xV3xV2T=V7.

設(shè)點事|口中]距離為力,貝！MJ口廳-Q口雷=V52-12=2V6,則口口口=；=2V6.

12痣0

設(shè)點。到平面的距離為。，則口□一口口口3-5I=3

因為=□□_□□□，所以宇=V7,解得￡7=苧,

即點U到平面。。距離為苧.

【變式2-1]4.（2021春?陜西榆林?高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將如圖①所示的矩形OOOO3

。。翻折后構(gòu)成一個四棱錐口一OZ7￡7O（如圖②），若在四棱錐。一□□□￡□□=V3,連接口□.

（1）求證：平面OOO;

（2）求四棱錐口-O口OOB勺體積.

【答案】（1）證明見解析

(2*

【分析】（1）利用勾股定理證明線線垂直，根據(jù)線面垂直判定定理，可得答案；

（2）利用線面垂直判定定理以及三角形的性質(zhì)，結(jié)合棱錐的體積公式，可得答案.

【詳解】Q）證明：在4口□田，口口=心口口=1,口口=2,

cd-+U[3=□仃，:,DDL

又□口1口口,□□n□口=□,□□,□口u平面□□□,

：■OO1平面。。/7.

(2)如圖，取口世中點。,連接OO,

在4口口袋,口口=□口=V2,口□=2,AZ7行+口d=nd-,：.

由(1)可知平面OZZ7O，且AC在面MAC內(nèi)，:.□□1

又丁UEJc□□=D,ZZ7￡7u平面Z7ZZ7ZZ7,???

又??,□□u平面。ZZ7Z7,???□□】□□.

在4口口仔,口口=口□=1,□□=V2，:.□口工口口=y.

又???0/7n□口=D,CD、AC在面ABCD內(nèi)，;□□1^^口口口口

j□四邂皿口x￡7￡7=5x(lTx1)xf=T-

【變式2-1]5.(2023?全國?高一專題練習(xí))如圖，在四棱錐。-口口口徜，底面口口。2是矩形，。。1

強□□□□,□□=□□=',口、為勉是口口、。中)中點.

P

(1)證明：□□“曬口□□；

(2)【證明】平面□□□；

⑶若平面□□□,求四棱推。一色體積.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；

【分析】(1)取。。的中點為連接02證明四邊形000。為平行四邊形即可證明。O//。。,

進而根據(jù)判定定理即可證明；

(2)證明OZ71平面00/7,再結(jié)合OO〃Z7O即可證明結(jié)論；

(3)由題可求得OL7=L7￡7=V2,進而求得直角梯形ABCF的面積,然后利用棱錐的體積公式即求.

【詳解】(1)證明：如圖，取口木中點為￡7,霞口口，口口.

因為2口a分別是oa口口,口中中點，四邊形口?？?。是矩形，

即以□□=[口□,且口口1口□,口口=q口□,

而以口□=口口,

所以四邊形。oo孕平行四邊形，

而以

又□□u平面□□□,□□C平面□□□,

所以平面□□□.

(2)證明：因為口口=口口=1,。。勺中點為￡7,

所以O(shè)0J.口口,

因為ZZ7ZZ71平面□□口口,口口U平面口□口口,

所以0口1口口,

因為底面口。口。是矩形，

所以O(shè)0J.口□,

因為ZZ7ZZ7n□口=azz7a￡7。U平面Z7Z7ZZ7,

所以Z7Z7，平面Z7Z7Z7,

因為口1Ju平面□□□,

所以O(shè)0J.口口,

因為ZZ7ZZ7n□口=azz7a￡7。U平面Z7Z7ZZ7,

所以Z7Z7，平面Z7Z7Z7,

因為由（1）知口切/口口，

所以□□1平面□□□.

（3）解：因為□□L平面□□□□,□□、OOu平面ABCD,

所以0口1口□,口□1口口,

又口口=口口=1,所以口口=V2,

因為□□上平■面□□□,UUu平面口口口,

所以￡70,口□,

又E是PB的中點，

所以□口=口口=戲,

所以直角梯形OOOO的面積。=gx（掾+夜）=苧.

因為點O到平面?？诳趈勺距離。=；□□=》

所以□□-口□口口=gx苧X；=*.

【變式2-1]6.（2023?高一課時練習(xí)）已知圓錐的軸截面SAB是等腰直角三角形，20,Q是底

面圓0內(nèi)一點，且?？贘_S,C是AS中點，D是點。在SQ上的射影.

（2）求三棱錐。-OOO體積的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑵二

-12

【分析】（1）根據(jù)空間中線線垂直，線面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系即可證明.

（2）先通過空間中垂直關(guān)系證明￡701平面再根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合基本不等式，即可求

其體積的最大值

【詳解】（1）底面，￡7。在底面上

又：\,□□□口□=口,口口^■面口口口,口口^平面□□□,

:0/71平面。ZZ7O

□口U平面□□□,

:工□口

X.D是點。在SQ上的射影，即□口

且口口門口□二U,平面00227,口口三平面□□□,

/.□□_L平面□□口

(2廠.?圓錐的軸截面。心理等腰直角三角形，C是AS中點，。是AB中點，

:，□口

又由(1)知，□□母面□□口

旦口口門口□=口，勺平面Z7￡7￡7,￡7￡7U平面￡7/70,

:1平面□□口

又：□□=?□

:口己二號

當(dāng)且僅當(dāng)口□=□□號Z3時取等號，

所以三棱錐〃。中J體積最大值為1.

【變式2-1】7.如圖，Z6為O。的直徑，力垂直于。。所在的平面,例為圓周上任意一點，AN1.PM,

/V為垂足.

(1)求證://VJL平面PBM.(2)若AQ1.PB,垂足為Q,求證：NQ1.PB.

【證明】為。。的直徑，../4A<L8例又以_L平面/8例，以又?.勿0/例=力，二8/以1平

面PAM.又4Vu平面PAM,:.BM，AN.又ANYPM,且8例TlQA4="平面PBM.

⑵由⑴知力/V，平面PBM,28u平面PBM,：.ANLPB又:AQ'PB,AN（｝AQ=A,：.PBr^ANQ.

又/VR平面ANQ,:.PB1.NQ.

題型3線面垂直證明線線平行

【方法總結(jié)】

直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法。

【例題3】（2022?高一課時練習(xí)）如圖所示，在正方體口。55口、口］中,。是0O上一點，口是

口2勺中點，平面口口。.求證：□UHUU*

【答案】證明見解析

【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證。41平面&OD,又因為OO1平面&OD,利用線面垂直的性質(zhì)

定理，得到￡7011□口、.

【詳解】因為四邊形&為正方形，所以。41口、口.

又口口母面□□□、口［,u平面□□□、口、,

所以O(shè)OL

因為打￡7?！酢?U,

所以Z741平面

又□□_L平面□］口口,

所以口￡7II

【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，還考查了空間想象的能力，屬于基礎(chǔ)題.

【變式3-1]1.（2020?高一課時練習(xí)）如圖，正方悻口[□[□Ri-口口口小,□□與異面直線口口、

垂直相交.

求證：口口舊口1.

【答案】證明見詳解.

【分析】遍妾口口[，口、口，口口，口、口、,根據(jù)線面垂直的判定定理，證明OO_L平面,推出

□□L；同理得到O41&O,推出O&_L平面0￡74;再證明口￡71平面OZ7a;即可得出

結(jié)論成立.

【詳解】雌□□一口□

因為在正方體&&&&-口口口8,口□、1平面Z7E7OZZ7,口口匚蟀□□□□,

所以O(shè)&1口口,

又-L□□,□n□口=□,□u平■囿□□□]□、,□□u平■囪□□□】,

所以Z7/71平面ooaa,因此□□]；

同理可證：L□、口,

又ZZ7ZZ7n□、口=口,￡7￡7u平面ZZ7D&,口口匚平面□□□〕,

所以￡741平面OO0;

因為?！?與異面直線口。、a率垂直相交，

即口。1□口,,

又在正方體a&aa-口口口”,與行且相等，

所以四邊形a□、0位平行四邊形，因此&。/au,

所以口￡7,口、口,

因為ZZ7/17n□]□—□,□□u平面ZZ7/17/17i,□、□u平面□□□、,

所以平面OO0；

因此□□11口口、.

【點睛】本題主要考查證明線線平行，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于?？碱}型.

【變式3-1】2.（2020?高一課時練習(xí)）如圖所示，在長方體?？诳凇?口1口[口1口1中

□e平面口1口1口1口1,且Z7ZZ71平面Z7ZZ7ZZ7D求證：LJUH

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得OO/O4.

【詳解】由長方體?！?00-d5口、&可得：1□□[1

□□c□□=U,?-?1平面Z7/Z7Z7L7,

因為口口1平面□□□口,報口□11口口、.

【點睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)即垂直于同一平面的兩條直線是平行的，屬于容易題.

【變式3-1]3.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖（1），在梯形￡700。中,DDII口通口口，口口,

線段口入有一點E,滿足口口=□口=1,□□=口□=2,現(xiàn)將△□□□,△￡70儂別沿口口

折起，使V5,Z7/7=V3,得到如圖（2）所示的幾何體，求證：DUH□口

圖⑴圖⑵

【答案】證明見解析

【分析】在^口□話,求得V2,結(jié)合勾股定理證得口口，從而證得OO1平

面□□□，再在□□咖以□□□中,分別證得。￡71口相□□1口□，從而證得平面

□口□,即可證得￡70〃口□.

【詳解】【證明】枉□□田,=□□:1,

所以￡70=V2,乙□□口=z￡7￡7￡7=45°,

在^,口□—V2,口□—2,乙口□□—45°,

由余弦定理得Z7〃=J2+4-2XV2X2X^=V2,

所以0仔+Z7行=口存,所以Z7D1口□,

同理可得，在4口口袋，口口=戲,且Z7Z71,

在^□□集,D[3+□仃=皿,所以□□,

因為DOn□□=D,口□,ZZ7Ou平面所以。￡71平面?！?0,

在口口講,￡701□□,

在4口口供,口d+Z7ZJ2=口存,則口。1□□,

因為。On□口=口,口口,口口匚^^口口口,所以□□坪面口口□,

所以口□”

【變式3-1]4.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）已知空間幾何體口。。口。中，△UULJ.△口□□蜂

等的正三角形，平面?！?01平面￡700,平面OZ7ZZ71平面￡7?？?/p>

④若□□=短.口口=2V2,求證：\口□;

（2）【證明】

【答案】Q）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）由勾股定理逆定理得線線垂直，由面面垂直得線面垂直，再得線線垂直；

（2）分別取?！?,。。中點。，口,由面面垂直得線面垂直,再得線線平行，證得平行四邊形。

平行四邊形后可得證結(jié)論.

【詳解】（1）因為△口□□、△。?？谑侨鹊恼切?，所以口□=口□,

又因為。口=垃口□=2V2,所以O(shè)行=口己+g,故?！?1,

因為平面。?？谛∑矫妗酢酢?且平面OZ7/7n平面Z7O6Z7O,Z7Z7u平面Z7Z7Z7,

所以□□人平面□□□,又因為UUu平面□□□,

所以DO,口口；

（2）分別取oo,口伊氤口,n,連接口□

因為Aooa是等邊三角形，所以an,00=^00,

因為平面心〃D1平面。DO,口口U平面□□口,所以口01平面OZ7O,

同理。O，平面￡7￡7。,且口口=f口□=~□□,

而以且口口=口口,

所以四邊形是平行四邊形，

即以又,

即以□□//口□.

【變式3-1]5.（2023?高一課時練習(xí)）如圖，已知正方體A1C.

⑴求證:A1C±B1D1;

(2)M,N分別為B1D1與C1D上的點，且MN_LB1D1,MN±C1D,求證：MNllAlC.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）線線垂直的思路是證明直線垂直于另一直線所在的平面.

（2）直線與直線的平行，利用線面垂直的性質(zhì)垂直于同一平面的兩直線平行.

【詳解】（1）如下圖，連接A1C1.

因為CC1_L平面A1B1C1D1,B1D1U平面A1B1C1D1,

所以CC1_LB1D1.因為四邊形A1B1C1D1是正方形，

所以A1C1XB1D1.又因為CC1DA1C1=C1,

所以B1D1平面A1C1C.又因為AICu平面A1C1C,所以B1D1±A1C.

(2)如上圖,連接BIA,AD1.因為B1C1=AD,B1C1IIAD

所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1DIIAB1,因為MN±C1D,所以MN±AB1.

又因為MN±B1D1,ABinBlDl=Bl,所以MN_L平面AB1D1.由(1)知A1CJ_B1D1.

同理可得A1C_LAB1.又因為ABinBlDl=Bl,所以A1C_L平面AB1D1.所以AlCllMN.

故答案為：A1C±B1D1;MNIIA1C.

題型4線面垂直證明線線垂直

【方法總結(jié)】

性質(zhì)定理揭示了空間中"平行"與"垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了"垂直"與"平行"關(guān)系轉(zhuǎn)化的

轆。

【例題412023春?全國?高一專題練習(xí)卻圖直三棱柱口?？?口1口1口1口口1口。.證明:□□工口口

B

【答案】證明見解析

【分析】利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解即可.

【詳解】因為直三棱柱。。O-口1口口,

所以口口11平面并■旦UUu平面□□□

所以。O1,

又因為^^7二^X□,目□n□—□],□u平面ZZ7[□□,

所以DO1平面,

又因為。Ou平面&Z7Oa,

所以3_L□□.

【變式4-1】1?（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，已知四邊形￡700%口四邊形￡70。函是直角梯

形，口口，口口=5,口口=3，口口=1/口□□=4口□口=乙口口口=60*設(shè)口，口

分別為?？?的中點.證明：口□，□口.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)直角梯形中的垂直關(guān)系，由線面垂直的判定和性質(zhì)可證得?？凇?■根據(jù)長度關(guān)系證得△

ooa為等邊三角形，由此可得。。1由線面垂直的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論.

【詳解】：四邊形口四邊形口口口中是直角梯形，口□,/□□□=乙□□口=

60°

□□工,□□1,□□c□□=□.□口,□□□口.□□■面□□□,

又口ZZ7u平面【口口，

□□=5,口口=3,□口=1,乙口□口=乙口□口=4□□□=60°,

□口=V3(￡7ZZ7—口口=2V5,口口=V3(ZZ7￡7—口口=2V3,

002是等邊三角形，又中點，;□□工□□,

又￡7Z7n□口=U,口□，口□□□口.￡7￡7J_平面￡7￡7￡7￡7,

???UUu平面□□□□.：.\□□.

【變式4-1]2.(2023?全國?高一專題練習(xí))如圖所示，在三棱錐口-□□田，乙口口□=乙口口口=

乙口□口=90°,曰口口=□口=5,口口=5V5.

q

(1)證明：□□L□口;

(2)求三棱錐口-□皿口.

【答案】Q)證明見解析

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證得。。1平面0O。，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

(2)計算出OBJ長以及△ooa的面積，利用錐體的體積公式可求得三棱錐口一口口。的體積.

【詳解】(1)證明：因為4口口口=乙□□口=乙□□□=90°,則Z7Z71,□□L□□,

???ZZ7￡7n=￡7,□□、口口匚平苞□□□,：.ZZ7ZZ71平面。Z27ZZ7,

UUu平面□□口，：.□□1,

\.ULJc□□=口,□□、□□u平面□□□,：.口￡7_L平面口L7Z7,

ZZ7￡7u平面OZZ7Z7,□□工

(2)解：?:口口==5,□□L□□,則。￡7=0口口=5V2,

/面積為=；□□.□□吟,

???□□L□□,口口=5V5,口口=5V2,□□=J口^-口d=5V3,

因為□□L平面口口口,因此，□□_□□□=□□晨瑞乂5△=甯.

【變式4-1]3.(2023?高一課時練習(xí))如圖，在正方體口口門口一口[□]□[□內(nèi)，口口,□□],分

別為三條面對角線，為一條體對角線.求證：

⑴&￡7_L□□;

(2)口]口_L平面ZZ7￡7/17i.

【答案】Q)證明見解析

(2)證明見解析

【詳解】(1)在正方體-□、□、口1口1中，口、口L平面口□口口,

■:□□口□，:口□>口□,

又四邊形口口。。為正方形，.?.OO1口口,

又□□=U,aa平面￡7)￡7￡7,「.OOl平面a。。，

又ZZ7[Z17$平面ZZZfZZ7/Z7,二ZZ7[_L□

(2)與(1)中證明&O_LZ7/Z同理可證4O1,又UUc□□、=U,口口,□□19平面口口口1

:.口1□□□□].

【變式4-1]4.（2020春?北京?高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐口一口口口收,□□母面□□□□,

底面￡7002為正方形，F(xiàn)為對角線AC與BD的交點，E為棱PD的中點.

Q）證明：。口〃平面PBC;

（2）證明:口。1口口.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）證明￡7O〃OZ兩可；

（2）通過證明口口，口邱證明口O工平面即可證明OO1

【詳解】（1）???底面為正方形，F(xiàn)為對角線AC與BD的交點，

???四。中點，

.E為棱PD的中點，

I□□,

Z7〃u平面PBC,Z7Z7C平面PBC,

￡7切/平面PBC；

（2）?,?加□□□□,

UU1□□,

,底面。?？凇正方形，:口□工口口,

□口nLJU=□,

□□L平面□□□.

OOu平面。Z7ZZ7,\

【點睛】本題考查線面平行的證明，考查利用線面垂直證明線線垂直，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4-1】5（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖在三棱柱口。。一口1口1口1中=□□、=□□=

2,且0al□□,1底面OZ7O,E為O53點.

A

（1）求證：￡701口、口：

⑵求證：平面口口口

【答案】Q）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）先由線面垂直的判定定理證明口DI平面,,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明

線線垂直；

（2）利用面面平行的判定定理先證明平面4口口〃平面&OO,再由面面平行的性質(zhì)定理即可證明線面

平行.

【詳解】（1）???□口、1底面gaaoou平面

又,ZZ7￡7BOOn=U,u平面口￡7&&,

□□_L平面ZZ7ZZ7ZZ71□、,

又？□[nu平面□□□、口、,

□口工□、口

取&&的中點口，超妾口口，口口、,

因為a為別為□□,口、口的中點可知口口口1a,DD=□、a,

所以四邊形是平行四邊形，所以口,

因為Z7Z7C平面□、□□,□、□u平面□、□口,

所以平面口1口□,同理可得平面

又因為OiOn￡70=U,￡7￡7u平面aZ7。，

所以平面口￡7。//平面打□□,

又因為口au平面口】口口,

所以〃平面

【變式4-1]6.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖所示，已知OO1平面,D,2分別是OZ7,口口

的中點，

⑴求證：口切/平面口口口;

（2）求證：□□，口□;

【答案】（1）證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】1)根據(jù)中位線定理，可得口□”□□,即可由線面平行的判定定理證明。?！ㄆ矫?/p>

(2)由已知推導(dǎo)出￡7。_L□口,再由。OJL□□,得□□上平面口口口,由此能證明ZZ7￡7_L□□;

【詳解】(1)???D,儂別是口。,￡7綠中點，

:.I□口,

■■■■平面口口口,且ZZZOu平面ZZ7ZZ7Z7,

￡7切/平面。ZZ7Z7;

(2)?.?□口＞平面□□□,口,儂別是。O,勺中點，

:,DDL□口,

■■■\口口,UUc□口=口,口口,口口匚^^口口口,

￡701平面OZ7O,

???□□u平面□□□,：.□□工□□.

【變式4-1]7.(2023?高一課前預(yù)習(xí))如圖，四棱錐口一LJLJULJ^,底面?？?。。為矩形，□□L底

面口口□口，口口=□□，點、□是口12^而氤.

求證：

(1)001平面口。口;

(2)￡701

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理即可得證；

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論及線面垂直的判定定理證得?！?1平面?？贠,從而得證.

【詳解】(1強口口口改顆Z,工.

,.,￡7/71底面。。。/7,□□匚］^^口口口口，：.□□L,

文：□□=D,口□,ULJu礴□□□,

.?.￡7￡71平面￡7￡7￡7

(2),.,￡7/7u平面O/7Z7,□□工強□口口，:.□□工口□,

■:□口=口口,潑口牛中點，:.口口上口□,

又□□=口,oaOZZZu平面ZZ7ZZ7ZZ7,.,.ZZ7O1平面。Z7ZZ7,

【變式4-1】8(2023?高一課時練習(xí)如圖在四棱錐。-□□□集底面Z7Sa為菱形/0/7/7=60°,

又□□!&□□□□,%。木中點.

⑴求證：\□□:

⑵設(shè)。是0中點,求證：口□II平面O￡7￡7.

【答案】Q)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)由題意可得AE±BC,根據(jù)BCIIAD,推斷出AE±AD,又PA±AD,進而根據(jù)線面垂直的

判定定理證出AD_L平面PAE,最后利用線面垂直的性質(zhì)可得AD，PE;

（2）取AD的中點G,易得FGIIPA,CGllAE,即可證明平面CFGII平面PAE,進而可得CFII平面PAE.

【詳解】（1）因為底面?！?0。為菱形，4□□口=60°,且口為?？谥悬c，所以O(shè)D1口口.

又口□II□口,所以0口1口口.

又□□1讖□□□□,口口匚詢□□口口,所以□□.

因為ZZ7ZZ7U平面ooa平面ooa□□□□□=口,所以ooi平面ooo,

???[JUu平面口口□,所以￡7?！?

（2）取。。的中點。,連接。a口口,

"D,