高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修1第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)-05基本初等函數(shù)（Ⅰ）

對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題的類型與解法

對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就必有一個(gè)對(duì)數(shù)和對(duì)

數(shù)函數(shù)問(wèn)題的5分小題。從題型上看是選擇題或填空題，難度為中，低檔?？v觀各種考試試卷，歸結(jié)起來(lái)對(duì)數(shù)和

對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題主要包括：①對(duì)數(shù)的運(yùn)算；②對(duì)數(shù)函數(shù)概念的理解與運(yùn)用；③對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的理解與運(yùn)用；④對(duì)數(shù)

函數(shù)性質(zhì)的理解與運(yùn)用；⑤對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題；⑥對(duì)數(shù)方程或不等式的解法等幾種類型?各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上

具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題

的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)典型例題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。

【典例1］解答下列問(wèn)題：

1、若a>0,aHl,x>0,y>0,x>y,則下列式子中正確的個(gè)數(shù)是()?log(,log(,=log?(x+y)；②

10g(,x-10g,,y=10gfl(x-y)；③10g“(一)=logax4-logny；@log(,(xy)=log(,log,,?

y

A0BIC2D3

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各等式進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

Y

【詳細(xì)解答】對(duì)①，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可知①錯(cuò)誤；對(duì)②，log/—)=log〃x-log.y,.?.②錯(cuò)誤；對(duì)③,

y

X

log"(-)=log“X-10g“y#10g“x+10g“y,.?.③錯(cuò)誤；對(duì)④，log,,(xy)

y

=k)g?x+log"Hlog“l(fā)og”，.?.④錯(cuò)誤，=>A正確，.?.選A。

2、計(jì)算log225.Iog320.Iogs9的結(jié)果為()

A3B4C5D6

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)換底公式及運(yùn)用。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，結(jié)合問(wèn)題條件通過(guò)運(yùn)算求出10g225.Iog320.10gs9的值就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】log,25.=些=21皎，10832近=暨也=送2,log,9=^

1g2lg2lg321g3lg5

=2史，log,25.logjJLlog59=&皎x強(qiáng)亙"=6,nD正確，.?.選D。

Ig5235lg221g3lg5

32

3、2log32-log3—+log38>3()

11

A-B2C3D-

23

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件通過(guò)運(yùn)算求出210g32-log3二32+10g38的值就可得出選項(xiàng)。

9

3232

【詳細(xì)解答】log?j-=log332-k>g39=5k>g32-2,log,8=3log32,：.2log32-log3

+log,8=2log32-5log32+2+3log32-2,nB正確，.?.選B。

4、若lg2=a,lg3=b,則=；

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件通過(guò)運(yùn)算就可求出的值。

182x9182x9

【詳細(xì)解答】=----=----，lg2=a,lg3=b，=1g----=lg=----=lg2+lg9-lgl00=lg2+2lg3-2=a+2b-2

100100100100o

5、己知log“2=m,log“3=n,貝！I；

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②指數(shù)的定義與性質(zhì)；③指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的基本方法；④指數(shù)運(yùn)算的法則和基

本方法。

【解題思路】運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的基本方法把己知的對(duì)數(shù)化為指數(shù)，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的法則和基本方法通過(guò)運(yùn)算

就可求出/g"的值。

2m+n2mn2n

【詳細(xì)解答】loga2=m,log.3=n,=2,優(yōu)=3,=>aa.a(a'").a

=22x3=4x3=12。

6計(jì)算：(1-1(咻3)2+'2.喘18.；

iog64

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件通過(guò)運(yùn)算就可求出的值。

222

【詳細(xì)解答1(l-log63)=(log66-log63)=(log61)=(log62>,log62.1ogft18

=log62(log63+log66)=log62(log63+1),log64=2log62,

.(1-Iog63)2+log62-log,18_(1嗚2)2+1陶2(1隔3+1)

log64210g62

logs2(log62+log63+D=Iog62(log62x3+1)=喝2(1。866+1)=log62(1+1)

210g6221og62210g$221og62

=2嗨2

21og62°

7、求下列各式的值：

75

(1)log2(4x2);(2)IgVlOOo

(3)計(jì)算2(1gJ5)2+1gJ5lg5+J(lg揚(yáng)2Tg2+1.

(4)計(jì)算log志(J6+40+，6-4內(nèi)；

(5)已知log23=a,log37=b,求log入行

仲,x》4,

(6)已知函數(shù)f(x)=[f(x+l),x<4,求f(2+log23)的值；

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用；③換底公式及運(yùn)用；④分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；⑤求

分段函數(shù)函數(shù)值的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，換底公式和求分段函數(shù)函數(shù)值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各小題通過(guò)運(yùn)算就

可分別求出各小題的值。

7*62762X76|4+6207520

【詳細(xì)解答】(1)4x2=(2)x2=2x2=2=2,Alog2(4x2)=log22

,2,2222

=201og22=20x1=20；(2)^/100=10^,/.IgVl00=lglO^=ylglO=yx\=—；(3)

lg&=lg2；=；Ig2,2(lgV2)2+1g0lg5+7dgV2)2-lg2+l=2(g1g2)2+；

+J(|lg2>-lg2+1=；lg2(2x1Ig2+.lg5)+J1lg22-lg2+l=1Ig2(lg2+.lg5)+

J(—lg2—1)2=~lg2.Ig2x5+|-lg2-11=-lg2+1-—lg2=1；(4)6+4及=J(2+0)2

V22222

=2+>/2,\[6—4y/2=^(2—V2)2=2—V2,log(J6++\/6—45/2)=log5(2

2

+V2+2—A/2)=log,s4=log12=2x—log,2=2x2x1=4；(5)3V7=j9x7=V63

i____12

22

=63，,2-^T=-\/4x21=>/§4=84,log23=a,log37=b,log,=logL84

632

log?84log24+log23+log,7_2+log23+log23log37_2+a+ab

=log6384=

log263log27+log,9log231og37+21og23ab+2a

(6)2<3<4,Klog23<2,=>3<2+log23<4,4<3+log23<5,/.f(2+log23)=f(1+2+log,3)

=f(3+log,3)=d)3+啕3=(3夠8+1%3=(2-1產(chǎn)例*3=2T密24=2座石=-Lo

8、利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)下列各式：

(1)log29.log38.log425.log54；(2)log?b.log%a；

(3)(log45+log85)(log52+log252)o

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用；③換底公式及運(yùn)用。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，換底公式，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各小題通過(guò)運(yùn)算就可分別化簡(jiǎn)各小題。

【詳細(xì)解答】⑴皿嗡二簧，陶8嘿二爵喝25二詈嗡,

,lg421g2,21g331g2lg521g2

log,4=-2—=—log,9.log,8.log.25.log,4=—x—xx—^=12；

lg5lg56-63465lg2lg3lg2lg5

⑵既喝a嗡，—叱黑翳h⑶vlog45+log85

嘴+翳墨?箭:號(hào)泮二羊―臉2嘴+懸嘴+

1g2_21g2+lg2_31g251g531Q25

.(10g45+10g85)(10g52+10g252)=^xiI-i=-

21g521g521g5

「思考問(wèn)題1J

(1)【典例11是與對(duì)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題應(yīng)該掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)的換底公式和對(duì)數(shù)

恒等式；

(2)運(yùn)用對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)解答問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意：①對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)成立的條件；②靈活運(yùn)用公式，作為一個(gè)

公式既要能夠從左邊用到右邊，也要能夠從右邊用到左邊；

(3)對(duì)數(shù)的換底公式主要用來(lái)解決底數(shù)不同的對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，對(duì)數(shù)的恒等式通常用于指數(shù)和對(duì)數(shù)的混合式子的

運(yùn)算；

(4)面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，到底是從左邊用到右邊還是從右邊用到左邊，必須依據(jù)問(wèn)題給定的條件和需要解決的問(wèn)題

結(jié)合起來(lái)綜合考慮。

(練習(xí)2)解答下列各題：

1、log29.log34=()

ABC2D4

42

2、己知log32=a,3"=5,則log3V30用a,b表示為()

11a

A-(a+b+1)B-(a+b)+1C-(a+b+1)D—+b+l

222

3、設(shè)a,b,c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是()

Alog/.log(,b=logc.aBlog*.logca=logcb

Clog?bc=log?b.logflcDlog(,(b+c)=log(,b+logflc

4、若a=log43,則2"+2一嗔

5、若log34.k>g48.log8m=log416,則m等于.

6、IgG+lg我的值是.

7、利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)下列各式:

(1)log,3.log,4.log45.log52；(2)(log43+log83)(log32+log92)；(3)logac.logca.

8、計(jì)算下列各式的值：

(1)(1g5>+lg501g2：

(2)(10g32+10g92).(log43+log83)；

「、ig庖+ig8—igjn麗32

(3)----------------------------------------------------;(4)2log,2-log3--+log38-log5125；

lgl.29

⑸log?舊+噫12-；晦42-1；

(6)(1g2)2++lg25o

(7)愴2+,5―尼1(]g324g2)。

21g1+lg8

【典例2]解答下列問(wèn)題：

1、下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()

Ay-2log3xBy=logu(2x)(a>0,且a#l)Cy=21og“x(a>0,且a￥l)Dy=lnx

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

2

【詳細(xì)解答】對(duì)A,y=210g3x=10g3X,不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，.?.排除A；對(duì)B,y=log?(2x),

2

不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，.?.排除B；對(duì)C,y=21ogux=log,,X,不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，.?.排除C；

對(duì)D,y=lnx是以e為底的自然對(duì)數(shù)，；.D是對(duì)數(shù)函數(shù)，=D正確，.?.選D。

2、函數(shù)y=——]——的定義域是()

log2(x-2)

A(-oo,2)B(2,+oo)C(2,3)(3,+8)D(2,4)(4,+oo)

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)定義域的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)定義域的基本方法，得到關(guān)于x的不等式組，求解不等式組求出函數(shù)

y=——1——的定義域就可得出選項(xiàng)。

log,(x-2)

【詳細(xì)解答】函數(shù)y=————有意義，必有x-2>0①，且X-2R1②，聯(lián)立①②解得:

log2(x-2)

x>2,且xH3,.?.函數(shù)丫=-----------的定義域?yàn)?2,3)(3,+8),=>C正確，.?.選C。

log2(x-2)

3、設(shè)f(x)=lg—,則f(土)+f(￡)的定義域?yàn)?)

2-x2x

A(-4,0)(0,4)B(-4,-1)(1,4)

C(-2,-1)I.(1,2)D(-4,-2)(2,4)

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)定義域的基本方法；③已知函數(shù)f(x)的定義域，求函數(shù)f(g(x))

定義域的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)定義域的基本方法，得到關(guān)于X的不等式組，求解不等式組求出函數(shù)

f(x)=lg幺2+'的x定義域,利用己知函數(shù)f(x)的定義域,求函數(shù)f(g(x))定義域的基本方法求出函數(shù)f(x土)+f(W2)

2-x2x

的定義域就可得出選項(xiàng)。

94-Y2+Y

【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=lgt有意義，必有士工上〉0①，且2-xHO②，聯(lián)立①②解得：

2—x2—x

2+Yx2

?2<x<2,.?.函數(shù)f(x)=lg—^的定義域?yàn)?-2,2),=>.2<一<2③，且-2<—<2④，聯(lián)立③④解得：-4<xGl或

2-x2x

X2

l〈x<4,.??函數(shù)f(—)+f(—)的定義域?yàn)?-4,-1)J(1,4),=>B正確，選B。

2x

4、已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(8,-3),貝Uf(2&)=。

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)：②求函數(shù)解析式的基本方法；③已知函數(shù)解析式，求函數(shù)值的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)f(x)的解析式，利用已知

函數(shù)解析式，求函數(shù)值的基本方法就可求出f(2?)的值。

【詳細(xì)解答】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log"X(a>0,且a#l),對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(8,-3),-3=log“8,=a=；,

3

.,.對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log,X,=>f(2J^)=k>g]20=k>g|22=log1

2222

3

3

o

2

「思考問(wèn)題2J

(1)【典例2】是與對(duì)數(shù)函數(shù)定義相關(guān)的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題應(yīng)該理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)和

真數(shù)的條件限制，在對(duì)數(shù)的定義中，底數(shù)a必須滿足兩個(gè)條件：①大于0,②不等于1；真數(shù)N必須滿足大于0；

(2)【典例2】中2,3,兩題是求函數(shù)定義域的問(wèn)題，解答時(shí)需要理解函數(shù)定義域的定義，掌握求函數(shù)定義域的

基本求法；

(3)【典例2】中1,4兩題可直接運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求解，在理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義時(shí)一定要注意定義中函數(shù)

解析式的結(jié)構(gòu)特征。

(練習(xí)2)解答下列各題：

1、己知函數(shù)f(x)=?.J的定義域?yàn)镸,g(x)=ln(l+x)的定義域?yàn)镹,則MN=()

-Jl-x

A{x|x>l}B{x|x<l}C(x|-l<x<l)D0

2、若定義在(-1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)=log2“(x+l)>0,則a的取值范圍是()

A(0,一)B(0,—)C(―,+°°)D(0,+8)

222

3、求下列函數(shù)的定義域：

22

(1)y=log2(X-2X-3)；(2)y=log3X；(3)y=log5(1-x)；

1

⑹、(

(4)y=10g7(5)y--—y=Jlog3_x)?

1—3九I%%

【典例3]解答下列問(wèn)題:

1、函數(shù)y=logo(x+2)+l(a>0,且arl)的圖像過(guò)定點(diǎn)()

A(1,2)B(2,1)C(-2,1)D(-1,1)

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的特征，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)y圖像所過(guò)的定點(diǎn)就能得出選

項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】函數(shù)y=logax(a>0,且aWl)的圖像必過(guò)點(diǎn)(1,0),當(dāng)x=-l,即x+2=-1+2=1時(shí),函數(shù)y=log“(x+2)

+1=0+1=1,函數(shù)y=log?(x+2)+l(a>0,且aWl)的圖像必過(guò)點(diǎn)(-1,1),=>D正確，.?.選D。

2、函數(shù)y=lg(x+l)的圖像大致是()

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的特征，結(jié)合問(wèn)題條件可直接排除A,B,根據(jù)函數(shù)y=lg(x+l)

的圖像是函數(shù)y=lgx的圖像向左平移1個(gè)單位而得到，確定出函數(shù)y=lg(x+l)的大致圖像就能得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】10>1,.?.A,B都不正確，可以排除，函數(shù)y=lg(x+1)的圖像是函數(shù)y=lgx的圖像向左平移1個(gè)

單位而得到，函數(shù)y=lg(x+l)的大致圖像為C,=C正確，.?.選C。

3、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=log3X與y=log|x的圖像之間的關(guān)系是()

3

A關(guān)于Y軸對(duì)稱B關(guān)于X軸對(duì)稱C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D關(guān)于直線y=x對(duì)稱

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的特征，結(jié)合問(wèn)題條件確定函數(shù)y=10g3X與y=10glx的圖像

3

的對(duì)稱關(guān)系就能得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】3T=1,.?.函數(shù)y=log,x與y=10g,x的圖像關(guān)于X軸對(duì)稱，=>B正確，.?.選B。

3

y。4G?c?G

4、如圖是對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x的圖像，已知a的值為

廠431

V3,,則圖像G，C2,a，相應(yīng)

的a值依次是()

A百，自Cp百

35103105

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征。

【解題思路】如圖，作直線尸1與圖像G，G，。3，分別交于點(diǎn)A,B,C,D,運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)

合圖像確定出圖像q,C2,C3,C4相應(yīng)的a的值，就能得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】如圖，作直線y=l與圖像C2,C3,C4分別交于點(diǎn)A,B,C,D,由圖知，圖像q,C2,

G，C4相應(yīng)的a的大小關(guān)系為：圖像C1的底數(shù)〉G的底數(shù)>G的底數(shù)>。4的底數(shù)，，圖像G相應(yīng)的a=6,G

43-1

相應(yīng)的a=§,C3相應(yīng)的a=l，C4相應(yīng)的a=而，=>A正確，.?.選A。

2

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)f(x)的定義域，可排除A,B,根據(jù)2〉1得到函數(shù)f(x)

在(0,+8)單調(diào)遞增，從而得到函數(shù)f(x)大致圖像就能得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-00,0).(0,+oo),.?.圖像A,B不正確，可以排除A,B,2>1,

函數(shù)f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)大致圖］象是D,nD正確，.?.選D。

6、己知函數(shù)y=log"(x+c)(a,c為常數(shù)，其中a>0,a/l)

的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()-o|**

Aa>l,c>lBa>l,0<c<lC0<a<l,c>lD0<a<l,0<c<l

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的特征，結(jié)合圖像可知0<a<l,可排除A,B,根據(jù)x=0時(shí)，函

數(shù)y=log“(x+c)=y=log“c>0,得到0<c<l,從而得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】由圖像可知0<a<l,人,8不正確，可以排除人］，?當(dāng)*=0時(shí)，函數(shù)丫=108“6+0=丫=108小〉0,

0<c<l,=>D正確,.".選D。

7、當(dāng)OVxwgB寸，4v<log?x,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A(0,—)B(―,1)C(1,V2)D(夜，2)

22

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；③指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④指數(shù)函數(shù)圖像的

特征。

【解題思路】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=4)函數(shù)y=log“x的圖像，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)

數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)圖像的特征得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組求出a的取值范圍，從而得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=4*,函數(shù)y=log“x的圖像，

,當(dāng)0<xW；時(shí)，4'<logox,

11

2

log(,y>4=2②,聯(lián)立①②解得:

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4，1),

2

8、已知函數(shù)f(x)=|lgx|,OVaVb,且f(a)=f(b<則a+2b的取值范圍是()

A(2V2,+00)B[2V2,+00)C(3,+00)D[3,+8)

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；③基本不等式及運(yùn)用。

【解題思路】作出函數(shù)f(x)=llgx的圖像如圖所示，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的特征，結(jié)合圖像可

知O<a<l,b>l,從而得出ab=l,利用基本不等式求出a+2b的取值范圍就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】作出函數(shù)f(x)=|lgx|的圖像如圖所示,

?OVaVb,且f(a)=f(b),0<a<l,b>L=f(a)

=-Iga,f(b)=lgb,/.-lga=lgb,=>lga+lgb=lgab

=0,/.ab=1,=>a=—,—>0,2b>0,/.a+2b=—+

bbb

2b>2^x2/?>2A/2,nB正確,.?.選B。

9、已知函數(shù)g(x)的圖像沿x軸方向向左平移一個(gè)單位后，與函數(shù)f(x)=3,的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且g(19)=a+2,

則函數(shù)丫=3心(0<xWl)的值域?yàn)椋?/p>

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)：②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；③指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④指數(shù)函數(shù)圖像的

特征；⑤求函數(shù)解析式的基本方法；⑥求函數(shù)值域的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)圖像的特征，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)g(x)

的解析式，從而求出a的值得到函數(shù)y=3'"的解析式，利用求函數(shù)值域的基本方法就可求出函數(shù)y=36,當(dāng)0<x

W1的值域。

【詳細(xì)解答】?函數(shù)g(x)的圖像沿x軸方向向左平移一個(gè)單位后，與函數(shù)f(x)=3,的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

g(x+l)=log3x,=>g(x)=log3(x-1),g(19)=log3(19-1)=log318

1O832XX

=log32+2=a+2,a=log32,n函數(shù)y=3"'=(3)=2,OVxWl,2”W2,當(dāng)OVxWl時(shí)，函數(shù)

y=3奴的值域?yàn)?1,2]o

10>函數(shù)f(x)=log”(x+3)-1(a>0且的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+l=0上，其中mn

12

>0,則—?—的最小值為o

mn

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；③基本不等式及運(yùn)用。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的特征，結(jié)合問(wèn)題條件求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A在直線

12

mx+ny+l=O上，得到關(guān)于m,n的等式，利用基本不等式就可求出一+―的最小值。

mn

【詳細(xì)解答】函數(shù)f（x）=log“（x+3）（a>0且aWD,的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A,.?.點(diǎn)A

(-2,-I),點(diǎn)A在直線mx+ny+l=0上，mn>0,-2m-n+l=0>=>2m+n=l,且m>0,

12,12、4mn4mn14m~~~n12,,?,_M

n>0,—1--=(—I■—)(2m+n)=2++—+2=4+---+—>4+2.x->8,一+一的最小值為8。

mnmnnmnm\nmmn

「思考問(wèn)題3J

（1）【典例3】是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要熟悉對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，注意底數(shù)a的不同取值

對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的影響；

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱：解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)注意分辨底數(shù)a的取值，確

定問(wèn)題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)）圖像兩種基本類型的哪一種，再根據(jù)相關(guān)基本類型的特征去解答問(wèn)題。

（練習(xí)3）解答下列問(wèn)題：

3、已知f(x)=ax,g(x)=log“x,其中a>0,且a/l,若f(3).g⑶<0,則f(x),g(x)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的

1、若a=log23,b=log32,c=log46,則下列結(jié)論正確的是（）

Ab<a<cBa<b<cCc<b<aDb<c<a

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；②對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用；③比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題確定出a,b,c的大小關(guān)系就可得出選

項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】c=log46=—log26=log2>/6,2<V6<3,1<c=log2V6<a=log23,

0<b=log32<1,b<c<a,>=D正確，.■.選D。

2、已知0<log（,2<logA2,貝Ua,b的關(guān)系是（）

A0<a<b<lB0<b<a<lCl<a<bDl<b<a

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；②對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用；③比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件確定出a,b的大小關(guān)系就可得出

選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】0<log“2<log〃2,l<b<a,=D正確，.?.選D。

3、設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2"=log|a,=log]b,=log2c,則()

2

Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<a<c

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；②對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用；③指數(shù)函數(shù)的圖像與特征；④指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

及運(yùn)用；⑤比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。

【解題思路】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=21y=（1）\y=log2x,y=log,x的圖像，四個(gè)函數(shù)圖像的交

點(diǎn)分別為A,B,C,運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖像，根據(jù)比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，確定出a,b,

c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2,,

y=（；）"y=l°g2x,y=log：x的圖像，四個(gè)函數(shù)

圖像的交點(diǎn)分別為A,B,C,2'=log,a,（；）”

=log；b'(—),=log2C,.,.點(diǎn)A,B,C的橫坐標(biāo)分別為a,b,c,由圖知a〈b〈c,nA正確，，選A。

4、函數(shù)y=k）g2X在[1,2]上的值域是（）

ARB[0,+oo）C（-oo,1]D[0,1]

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與特征；②對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用；③求函數(shù)值域的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)值域的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)y=log?x在[1,2]上的值

域就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答]2>1,XG[1,2].-.0<log2x^l,=D正確，.?.選D。

22

5、設(shè)a=2°5,b=0.3,c=logv(x+0.3)(x>l),則a,b,c的大小關(guān)系是()

Aa<b<cBb<a<cCc<b<aDb<c<a

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與特征；②對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；③指數(shù)函數(shù)圖像與特征；④指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；

⑤比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件確定a,b,c的大小關(guān)

系就可得出選項(xiàng)。

a5222

【詳細(xì)解答】Ka=2=V2<,0<b=0.3<l,c=log/x+0.3)(x>l)>logvx(x>l)

=2,b<a<c,nB正確，.?.選B。

6、己知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)="互為反函數(shù)，則()

Af(x)=lgx(xSR)Bf(x)=lgx(x>0)Cf(x)=lnx(x6R)Df(x)=lnx(x>0)

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；②指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；③指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)f(x)的解

析式就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)=e，互為反函數(shù)，.??函數(shù)f(x)=lnx(x>0),=D正

確，.?.選D。

7、若函數(shù)f(x)=10g?(x3-ax)(a>0且aWl)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

1399

A1)B1)C(-,+oo)D(1,-)

4444

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則與基本方法；④導(dǎo)

函數(shù)的定義與性質(zhì)；⑤運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則與基本方法，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本

方法，結(jié)合問(wèn)題條件，根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間0)內(nèi)單調(diào)遞增得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組求出

2

實(shí)數(shù)a的取值范圍就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=x3-ax,①當(dāng)a>l時(shí)，gr(x)=3x2>a,函數(shù)f(x)=log.(丁-ax)(a>0且aW1)在區(qū)

間(一，0)內(nèi)單調(diào)遞增，???g(x)>0,g'(x)N0在區(qū)間(-一，0)上恒成立，=>g(x)>0,且在區(qū)間(一，

222

0)上恒成立，a<0,與題設(shè)不符合；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)=log。(T’-ax)(a>0且aWl)在區(qū)間(?；，

0)內(nèi)單調(diào)遞增，g(x)>0,g'(x)K0在區(qū)間(,，0)上恒成立，=g(x)>0,且aN3尤2在區(qū)間(1,0)

22

31

3

上恒成立，；.一Wa<l,.?.綜上所述，若函數(shù)f(x)=10ga(x-ax)(a>0且aWl)在區(qū)間(--0)內(nèi)單調(diào)遞

402

3

增，則a的取值范圍是[一，1),=>B正確，.?.選B。

4

8、已知X,y為正實(shí)數(shù)，則()

A2lgJC+lg>,=2lgJt+2'gvB2lg(x+y)=2lg\2lg

C2lgA''gv-2lgJt+2lgvD2lg<J5)=2lgx.2l￡

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)；②指數(shù)的定義與性質(zhì)；③指數(shù)的運(yùn)算法則和基本方法；④對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和基

本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各選項(xiàng)式子的正確性

解析判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】對(duì)A,2?+陋>=2-2電92*+2忸1錯(cuò)誤：對(duì)B,lg(x+y)Llgx+lgy,

2lg(x+>，)*2lgJt+，8>'=2ISA'.2lg-v,=B錯(cuò)誤；對(duì)C,2*」g>=(2igx”，w2g+2恒\，C錯(cuò)誤;對(duì)D,

2聯(lián)加=2lgx+lgy=2lgx.2lgv，D正確，選D。

9、如果函數(shù)f(x)=］logix,x>1,那么f(x)的值域?yàn)椋?/p>

【解析】\2\x<l,

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；③分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；④求分段函數(shù)值域

的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)求分段函數(shù)值域的基本方法就可求出函數(shù)f(x)

的值域。

【詳細(xì)解答】當(dāng)x21時(shí)，函數(shù)f(x)=log1X的值域?yàn)?-8,0］,當(dāng)xVl時(shí)，函數(shù)f(x)=2'的值域?yàn)?0,

2

1),；.函數(shù)f(x)的值域(-00,1)?

v

10、已知函數(shù)f(x)=a+log(Jx(a>0且2彳1)在［1,2］上的最大值與最小值之和為log02+6,則a的值為；

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用；②指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用；③函數(shù)最值的定義與性質(zhì)；④求函數(shù)最值的基

本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)求函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的方程，

求解方程就可求出實(shí)數(shù)a的值。

【詳細(xì)解答】①當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)f(x)=優(yōu)+log“x(a>0且a￥l)在［1,2］上單調(diào)遞增，

2

???/U)max=f(2)=?+loga2,f(l)=a+logfll=a,fMmax+fMmin=/+

log〃2+a=log〃2+6,/+a-6=0,=>a=2；②當(dāng)0〈a<l時(shí)，函數(shù)f(x)=優(yōu)+log“x(a>0且a#l)在［1,2］

上單調(diào)遞減，.../(X)max=f(D=a+log“l(fā)=a，/(X)min=f⑵=+logfl2,/(-?)max+/(^)min=

2

a+loga2+a=loga2+6,a，a-6=0,=>a=2紀(jì)(0,1).綜上所述，若函數(shù)f(x)=a*+log“x(a>0且a#l)

在［1,2］上的最大值與最小值之和為log“2+6,則a的值為2。

11、求函數(shù)f(x)=log“(2x2_5x+3)的單調(diào)區(qū)間；

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及運(yùn)用；②復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；③判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則與基本方法。

【解題思路】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則與基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出函數(shù)f(x)=

log,,(2V-5x+3)的單調(diào)區(qū)間。

【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=2/-5x+3,作出函數(shù)g(x)的圖像,圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的產(chǎn)義域?yàn)?-00,,)(3,

+8),函數(shù)g(x)y\II/

在(-8,-；)上單調(diào)遞減，在(3,+co)上\/

單調(diào)遞增，①當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)f(g(x))在(-8,-1ol12y3x*

-；),(3,+oo)上單調(diào)遞增，.?.函數(shù)f(x)在(-I']

8,1)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增；②當(dāng)0<a〈l時(shí)，.函數(shù)f(g(x))在(-oo,

2

-1),(3,+00)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(3,+8)上單調(diào)遞減，二?綜上

22

所述，當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)f(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在