高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料06 平面向量教學(xué)案

[2013考綱解讀】

1.理解平面向量的概念與幾何表示、兩個向量相等的含義;掌握向量加減與數(shù)乘運算及

其意義;理解兩個向量共線的含義e了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

2.了解平面向量的基本定理及其意義;掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會用坐

標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算;理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

3.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；了解平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;

掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾

角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

慨念

I正弦定理]-I

平

而

平行的先要條件I-]向

嵇

fi本t

定

線桂運算]理

T叮*

101你

向表

教最枳示

ht

般仃的無耍條件I」-1

幾何計算【測庇】

應(yīng)用

【重點知識整合】

1.平面向量的基本概念

2.共線向量定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)人使6=4?a.如果向量a

=(乂，71),b=(X?,㈤，則的充要條件是小理=矛2A或者小次一才2必=0,即用坐標(biāo)表

示的兩個向量平行的充要條件是它們坐標(biāo)的交叉之積相等?當(dāng)其中一個向量的坐標(biāo)都不是零

時，這個充要條件也可以寫為小=上，即對應(yīng)坐標(biāo)的比值相等.

Xiy\

3.平面向量基本定理

對于任意a,若以不共線的向量e“僉作為基底，則存在唯一的一組實數(shù)對八，P,使

a—4e>+〃ei.

4.向量的坐標(biāo)運算

a=(E,yi),b={x-i,yi),貝！]a+6=(xi+xz,yi+yz),a-b=(xi—x2,0一%),4a

=(久天,

5.數(shù)量積

(1)已知a,8的夾角為〈a,b)=P(PG[O,JT]),則它們的數(shù)量積為a，6=

Ia|?|引cos其中|引cos0叫做向量6在a方向上的投影，向量的數(shù)量積滿足交換律、

數(shù)乘結(jié)合律和分配律，但不滿足結(jié)合律，即a?(&?c)W(a-6)?c；

(2)若a=(M,必)，b=(回yi),則a?6=右及+%姓；

(3)兩非零向量a,6的夾角公式為cos0就捻"；

(4)\a\'-a,a.

(5)兩個向量垂直的充要條件就是它們的數(shù)量積等于零.

【高頻考點突破】

考點一向量的有關(guān)概念和迄算

(1)零向量模的大小為0,方向是任意的，它與任意向量都共線，記為0.

(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，與a同向的單位向量為臺.

(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量).

例1、已知關(guān)于x的方程：f+麗?2x+麗=0(x《R),其中點C為直線加上一點，

。是直線16外一點，則下列結(jié)論正確的是()

A.點。在線段上

B.點C在線段的延長線上且點8為線段4c的中點

C.點C在線段46的反向延長線上且點A為線段力的中點

D.以上情況均有可能

解析：據(jù)題意由于.4.5.C三點共統(tǒng)，故由而=-。加2x,可得一X：-2x=L

解得X=-1,即而=-aJ+:化面整理可得1OC—oi=oi-OA=?BC=AB,故點。在

然段AB的延長線上且點3小段AC的中點.

答案：C

'【方法技巧】解決向量的有關(guān)概念及運算問題要注意以下幾點

(1)正確理解向量的基本概念；

(2)正確理解平面向量的基本運算律，a+b=b+a,a-b=b-a,

4a?b=A(a?垃與a(b?c)W(a,t>)c；

(3)相等向量、相反向量、單位向量、零向量，在概念考查中

一定要重視，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤.

考點二平面向量的數(shù)量積

1.兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩個向量的模與兩向量夾角

的余弦的乘積，

其符號由夾角的余弦值確定.

a?b

2.求非零向量a,6的夾角一般利用公式cos(a,b)=以-先求出夾角的余弦值,

a?b

然后求夾角；向量a在向量。方向上的投影為e.

Ib\

例2、設(shè)向量a,匕滿足a=ii=l,a-t=-貝Ua+2^=()

AA/2B.V3

C班D.A/7

解析：依題意得ia+26)，=a：+46：+4a，3=5+4x(—2)=3,則a+22=M5.

答案：B

ti?h

【方法技巧】(1)準(zhǔn)確利用兩向量的夾角公式cos〈a,力=百百及向量模的公式|a|=

7a?a.

(2)在涉及數(shù)量積時，向量運算應(yīng)注意：

①a?6=0,未必有a=0,或6=0；

②|a?引W|a||引；

③?c)與(a?6)c不一定相等.

考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

通過對向量的運算把問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值、最值或研究三角函數(shù)的性質(zhì)等問題,

是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型.

例3.已知向量d=(cos。，sin。)，b=(cosP,sin￡),c=(—1,0).

(1)求向量6+c的長度的最大值；

⑵設(shè)?=亍,且a_L(6+c),求cos￡的值.

［解］(1)法一:由已知得力+c=(cos￡—Lsin￡),則

Ib+c\2=(cos￡—iT+sin?￡=2(1—cosB).

???一1WCOS￡W1,/.0<|Z?+C|2<4,即0W|6+C|W2.

當(dāng)cos￡=—1時，有|，+c|max=2,

所以向量b+c的長度的最大值為2.

法二：:|。|=1,|c|=1,|b+c\|Z?|+|c|=2.

當(dāng)cos￡=—1時，有b+c=(—2,0),即|Z?+c|=2,

所以向量的長度的最大值為2.

⑵法一：由已知可得6+c=(C。第一1,511必，

，)=cosacos^?+sinosin/5-cosa

=cos(久一月一cosa.

?.?aJ_3+c),.??a@+G=0，即cos(a—⑼=cos久

由a=：，得co嚀一⑶=co$

8P§—j=2fci±^tZ),

??,S=2反+3或1=2-kSZ,

于是co^$=0或co^5=l.

法二：若々=:,則a=(半，焉.

又由6=(cos^?sin^)>c=(-1:0),

得a(b+c)=(W，拳>(c。/一1，*皿

=奈。跖+^^一孚.

'/aJ_(J>+c),.,.tr@+c)=Q,即co^5+sin^=l.

sinfi=1—co邛，平方后代簡得cos/5(cos(5—1)=0>

解得cos)S=0或co甲=1.

經(jīng)檢驗，co第=0或co^J=l即為所求.

【難點探究】

難點一平面向量的概念及線.性運算

例1、(1)a,8是不共線的向量，若誦=九。+6,AC—a+A2Z)(!,A2GR),則/,B,

C三點共線的充要條件為()

A.1—42=-1B.1—42=1

C.4]?久2+1=0D.A1/l2—1=0

⑵設(shè)4,4,A,4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若斤%=AJi

=2(〃WR),且;+工=2,則稱A,4調(diào)和分割4,4,已知點C(c,0),〃(d0)(c，相R)

調(diào)和分割點加0,0),6(1,0),則下面說法正確的是()

A.C可能是線段46的中點

B.〃可能是線段4?的中點

C.a〃可能同時在線段45上

D.a〃不可能同時在線段的延長線上

【答案】(1)D(2)D

【解析】⑴只要正，球線即可，根據(jù)向量共線的條件即存在實數(shù):.使得.無=；一通，

即a+Ab="/.：a+辦由于ab不共線，根據(jù)平面向量基本定理得1=方.:且消掉二

得/.必=1.

(2)由新定義知，AC=；-AB,即匕0)="1:0),//=::同理工=￡6BPirf0)=^(LO),：.u

=d,又1+1=2,.??；+!=［若點C為線段.空中點，貝咕=2,與?+，=2矛盾，所以C不

為線段』5中點，同理D不為線段一45中點.若點C,。同在線段一43上，貝咕+%,...只

ca

能一個點在線段」5上，另一個點在線段XB的延長線上.

【點評】向量的共線定理和平面向量基本定理是平面向量中的兩個帶有根本意義的定理.平

面向量基本定理是平面內(nèi)任意一個向量都可以用兩個不共線的向量唯一線性表示，這個定理

的一個極為重要的導(dǎo)出結(jié)果是，如果a,。不共線，那么小a+小。=小a+的充要條件

是九=小且九=心.共線向量定理有一個直接的導(dǎo)出結(jié)論，即如果應(yīng)=x宓+y應(yīng)；則4

B,C三點共線的充要條件是x+y=l.

【變式探究】(1)如圖所示，在△力比■中，點。是正的中點，過點。的直線分別交直線

AB,4C于不同的兩點M,N,若AB=m4M,~AC—nAN^m,/?>0),則1+2的最小值為()

mn

⑵設(shè)向量a,b滿足|a|=24"=(2,1),且a與6的方向相反,則a的坐標(biāo)為—

【答案】(DC(2)(-4,-2)

【解析】⑴MO=AO-方/=礪"”-

同理AZ?=機0,川三點共線，故|

由于京，.五'不共線，根據(jù)平面向量基本定理!一￡一(=0且=-4+：=。，消掉；.即得泡

故;+：=%!+"吟+；=!5+京+乎$5+4)=2.正確選項為C.

(2)因為a與9的方向相反，根據(jù)共線向量定義有：a=/.&(z<0).

所以a=(2Z,i).

由胃=24，得:然+”=?\「今/.=一二或；.=)舍去)，

故a=(—4,—2).

難點二平面向量的數(shù)量積

例2如圖所示，夕為△406所在平面內(nèi)一點，向量應(yīng)=a,0B=b,且尸在線段45的垂

直平分線上，向量d=c.若|a|=3,16|=2,則c?(a—6)的值為()

【答案】C

【解析】設(shè)48中點為〃，c=~0P='0D+DP,所以c?{a-6)=(0D+DP)?瓦1=乃?瓦1+

DP*BA=0D9BA=~(a+b)?(a-6)=-(|a|2—|b\2)=-

【點評】平面向量問題的難點就是把平面向量的幾何運算與數(shù)量積運算的結(jié)合，這里

要充分利用平面向量的幾何運算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平

面向量數(shù)量積的運算法則，探究解題的思想.

【變式探究】(1)已知a與b均為單位向量，其夾角為。，有下列四個命題：

Pi：\a+b\>1<=>0e^O,答)；

R：|石+。|>1=。￡(竽，兀］;

A：\a-b\>1<=>^e^O,-yj；

P4：\a—b\>1=夕e(^-,n.

其中的真命題是()

A.Pi,PxB.R

C.R,PiD.pz,p［

(2)在△018中，設(shè)應(yīng)=a,7)8=b,則勿邊上的高等于.

：

【答案】(DA⑵.，1一一

【解析】(D因為>10⑶：+2ab+ab\cos5=cos5>一1

=昵0,y>

所以p：為真命題，門為假命題.

又因為a—5>lQa二一2“山+”>1=，力《=4p工，所以「為

真命題，p：為假命題.

(2)設(shè)NXO5=J,那么COS9=-HT，則sme=4-cos：e="「；；-OA邊上的高

等于03sm月5叵三=W三.

ab\a\

難點三平面向量的共線與垂直的綜合運用

22

例3已知橢圓2+￡=l(a>6>0)的左、右焦點分別為內(nèi)、B,左頂點為4,若用用=2,

aD

橢圓的離心率為e=*

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若尸是橢圓上的任意一點，求崩?為的取值范圍；

(3)已知直線7：y=〃x+/zz與橢圓相交于不同的兩點機A.(均不是長軸的端點)，AHIMN,

垂足為〃且花=而?加4求證：直線/恒過定點.

【解答】(1)由已知得c=l,a=2,6=鎘，.?.所求橢圓方程為J+《=L

(2)設(shè)尸(劉,㈤，又力(-2,0),一(一1,0),

'.PF\,PA—(―1—Ao)(―2—xo)+//+3施+5.

由于P(刖，%)在橢圓上，；.一2WxoW2,可知/'(加=］京+3崗+5在區(qū)間［―2,2］上單

調(diào)遞增，，當(dāng)劉=一2時，f(x0)取最小值為0；當(dāng)*。=2時，F(xiàn)(x。)取最大值為12,...西?蘇

的取值范圍是［0,12］.

y=kx-\-m,

(3)由2得(3+4/)f+8拓7匠+4/2-12=0,

—+~=1

[43

由4>0得4/+3>/.

、幾一一e.-8機力M2—12

設(shè)M'l，yi)?A(x：,力)，貝IJ為+、：=X1X=

；+,*：；+4，.-->

M：=(?田(?金+匯】=?/+?西房斗見九田+點/豆=0,/.(x:+2)(x:+2)

+yij,2=o,

BP(1+科g+(2+Am)(X]+應(yīng))+4+加=Q,

二代：一1651+7加=0,「/二事”或胃；》i,均適合.

當(dāng)kg”時，直線過工點，舍去.

7?/7'\

當(dāng)k=y?i時，直線y=h+學(xué):過定點一三，。\

【點評】本題是以考查解析幾何基本問題為主的試題，.但平面向量在其中起著關(guān)鍵作用.本

題的難點是第三問，即把已知的垂直關(guān)系和向量等式轉(zhuǎn)化為而?示-0,從而達到使用韋達

定理建立直線中參數(shù)4,小的方程，確定次，0的關(guān)系，把雙參數(shù)直線系方程化為單參數(shù)直線

系方程，實現(xiàn)了證明直線系過定點的目的.

4

【變式探究】已知雙曲線的井心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，一條漸近線方程為尸可必

右焦點網(wǎng)5,0),雙曲線的實軸為44,。為雙曲線上一點(不同于4,就，直線4只A十分

9

別與直線/：x=三交于以A'兩點.

(1)求雙曲線的方程；

(2)求證：方/?格為定值.

22

【解答.】⑴依題意可設(shè)雙曲線方程為「X一V方=1,則

ab

僅，

a3'fa=3,六/

〈口=,,???所求雙曲線方程為萬一￡=1.

c=5,[方=4,916

口=3+爐

(2)4(—3,0)、4(3,0)、尸(5,0),

設(shè)P(%%),A[P=(X+3,y),初/=停，%),

24

VA\A〃三點共線，.?.(x+3)%――y=0,

o

24y日n/9_24/,96y

..%=，即解葉同理得AH，

x—

.?加TT一（166y

I5x+'三,x—

222

256144??工_匕=]y16

2525x-y,916-'1?_廠9,

一一25614416256256

=0,即沏?方$0為定值.

92525

【歷屆。高考真題】

[2012年高考試題】

1.[2012高考真題重慶理6]設(shè)x,yeR,向量a=(x,l)?=(1/)c=(2,且

a±c,hllc,貝ija+b

(A)石（B）Vio(C)275(D)10

【答案】B

【解析】因為a_c力〃'c,所以有2x-4=0且2丁+4=0,解得x=2,y=~：

即a=(2』)：各=(1：—2),所以a+分=(3：—1),a+d=V10,選3

2.12012高考真題浙江理5】設(shè)a,b是兩個非零向量。

A.若|a+b|=|a|Tb|,則a_Lb

B.若a_Lb,則|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a1|b|,則存在實數(shù)A,使得b=Aa

D.若存在實數(shù)入，使得b=Aa,則|a+b|=|a|-|b

【答案】C

【解析】利用排除法可得選項C是正確的，a+6=4一方，則a,b共線，即存在實

數(shù)1,使得a=/.b.如選項Asa+5=a—5時，a,力可為異向的共線向量；選項3：若a±b,

由正方形得a+2=a-6不成立；選項D：若存在實數(shù);.，使得a=〃ha,9可為同向的共

線向量，此時顯然a+5=a-$不成立.

3.12012高考真題四川理7】設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使/-=2成立

\a\\b\

的充分條件是（

ABCDaaH'I

、a--b、a//b、ra=2b、〃"且|

【答案】C

【解析】A.可以推得二=-2>為既不充分也不必要條件；B.可以推得上-=2

\a\\b\|?|\b\

或3a=-3h為必要不充分條件；C.為充分不必要條件；D同B.

4.12012高考真題遼寧理3】已知兩個非零向量a,人滿足I>6|=|a-引，則下面結(jié)論

正確的是

(A)a//b(B)aLb

(0{0,1,3}砒b=a-b

【答案】B

【解析】根據(jù)向里加法、激法的幾何意義可知a-3與5分別為以向量72為鄰邊的

平行四邊形的兩條對角線的長，因為a-5=a-3所以該平行四邊形為矩形，所以alb,

故選B

5.12012高考真題江西理7】在直角三角形A3C中，點。是斜邊A3的中點，點P為線段

則囹三國

CO的中點,

|PCf

A.2B.4C.5D.10

【答案】I)

【解析】將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中，如圖,設(shè)

A(a,0),B(0,b),a,b>0,則嗎1)，嗚$，所以因「=/+守咪+g

\PB+乙4"+火噌嗚"+(然得+/所以

41616

2

\PA^+|PB「=—+—+—+^L=10(—+—)=10|PC|,所以附+［川=10,選

111116161616161611|PC|

D.

6.12012高考真題湖南理7】在aABC中，AB=2,AC=3,ABBC=1則BC=—.

A.V3B.V?C.2V2D.V23

【答案】A

【解析】由下圖知萬灰=p||Jc|cos(^-5)=2x|Jc|x(-cosB)=1.

cosB=.又由余弦定理知cosB=.夕+ELTL,解得=相

-2BC2ABBC

7.12012高考真題廣東理3】若向量8A=(2,3),C4=(4,7),則BC=

A.(-2,-4)B.(3,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

【答案】A

【解析】BC=BA-CA=(2,3)-(4,7)=(-2,-4).故選A.

8.［2012高考真題廣東理8］對任意兩個非零的平面向量a和B,定義

a?(3JT-?-?-?—*

a。0=.若平面向量a,b滿足|a|2|b|>0,a與b的夾角(0,—)，且〃?！ê?/p>

4

YI——

都在集合｛/|〃EZ｝中，貝必?！ǘ?/p>

135

A.—B.1C.-D.一

222

【答案】C

一「a?bIaI

【解析】因為a°b=-~~-=-^r-cc

b?b\b\2

-b?a\b\八.

br。a=三—zr=^-cos0<cos^<l,

a^a|a\

一---n--Ibl1\h\1

且〃。力和〃。。都在集合｛—|〃￡Z｝中，所以人。。=歲COS6=2,萼=——

2\a\2\a\2cos。

所以1。5=回?05夕=2<：0526<2,因為。€(0,江)，所以1<1。％<2,故有7。3=』.故

I加42

選C.

9.【2012高考真題安徽理8】在平面直角坐標(biāo)系中，0(0,0),P(6,8),將向量0P按逆

時針旋轉(zhuǎn)3二4后，得向量OQ,則點。的坐標(biāo)是()

4

(A)(-772,-V2)(B)(-772,72)

(C)(-476,-2)(D)(-476,2)

【答案】A

—34

【解析】【方法一］設(shè)。尸=(10cos810sin6)=cos8=—：sin8=—,

55

----37r3/Tr—r—

則。。=(10cos9+y)J0sin(8+y))=(-772,-72).

【方法二】將向里方=(68)按逆時針旋轉(zhuǎn)=后得而=(8-6),則

OQ=-^(OP+OSI)=(--0).

10.[2012高考真題天津理7]已知A46C為等邊三角形，AB=2,設(shè)點P,Q滿足AP=AAB,

3

AQ=(1—%)AC,A&R,若BQ?CP則X=

2

一

i±Vio(D)一3±2能

22

【答案】A

【解析】如圖

《得

又3。=RT+d0=-b+(l-2)c,CP=CA+AP=-c+Ab,由50?。產(chǎn)=

O1

4（z-l）-4z+2（z-z:+1）=—彳，整理4萬一42+1=0,即（22一1）2=0,解得幺=:

選A.

11.【2012高考真題新課標(biāo)理13】已知向量6夾角為45°,且"=1,|2。一0=>/而；則

\b\=——

【答案】372

【解析】因為2a-i|=710,所以（工一工=10,即4口「一￡”+網(wǎng)-=10,所

以4+印一4同cos45：=10,整理得印一20N一6=0,解得詞=3、6或朝=-山（舍

去）.

12.12012高考真題浙江理15】在△ABC中，M是BC的中點，AM=3,BC=10,則用石=.

【答案】-16

【解析】法一此題最適合的方法是特例法.

假設(shè)A4a1是以的等腰三角形，如圖,

4Q3,BC=1。,AB=AC=用.

/…34+34-1008…

cos/BAC=----------------=------.AB-ACAC|cosN8AC=-16

2x3417

法

—*—*1**1,1-1—2—21

4B?AC=(――BC+AM)?(-BC+AM)=——BC+AM=——xlO2+32=-16.

2244

IT

13.【2012高考真題上海理12】在平行四邊形ABCD中，NA=—,邊AB、AO的

3

IBMIICNI.■

長分別為2、1,若M、N分別是邊8C、CO上的點，且滿足則AM?AN

\BC\\CD\

的取值范圍是。

【答案】［2,5］.

【解析】設(shè),二、=卜q=2(0<z<1),

BCCZ)

則由7=幺前=2②:聲=(1一2)比=(1_幺)工

則布?刀=(W+BMXAD'+5^)=(萬+尤麗［同+(1—2)與］

=AB-AD-(1—z)-dJ3-zAD-(1—z)-￡D-AB.

又,."/ISj：lZ)=2xixcos二=1,-1S=4,-ID=1,

3

/.jj7j^=-z2-2x+5=-(z+l)2+6,

,.-0<z<l,即M7.刀的取值范圍是匕5］.

14.12012高考真題山東理16】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一單位圓的圓心的初始

位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動。當(dāng)圓滾動到圓心

位于(2,1)時，0P的坐標(biāo)為.

【答案】(2—sin2,1—cos2)

【解析】因為圓心移動的距離為2,所以劣弧24=2,即圓心角

7T

NPC4=2則ZPCA=2--,所以

2

PB=si2-R^=-ca,CB=cos(2-y)=sin2,所以勺=2—CB=2—sii2,

%=1+PB=1-cos2,所以麗=(2-sin2,l-cos2)。

15.12012高考真題北京理13】已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,

則朝的值為________,而?加的最大值為______。

【答案】1.1

【解析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式DE-DAcos61由圖可

知，DE\-cos6=(DA,因此應(yīng)-在"應(yīng)『=1,

DE-DC=|DEDCcosa=|DE|.cosa,而?DE|-cosa就是向量DE在。C邊

上的射影，要想讓瓦比最大，即讓射影最大，此時E點與3點重合，射葡為皮，所

以長度為1.

16.12012高考真題安徽理14】若平面向量a,b滿足：[2?！?43,則。〃的最小值是。

9

【答案】—

8

|2a-/?|<3<^>4a2+/?2<9+4ab

【解析】22,,,,_________9

4a+b>4H|/?|>9+4ab>-4aboab>——

17.【2012高考江蘇9](5分)如圖，在矩形ABCD中，AB=①，BC=2,1E為BC

的中點，點F在邊CD上，若ABAF=近,則AE8尸的值是▲

【答案】0

【解析】由與二刀=應(yīng)，得同口=W,由矩形的性質(zhì)，得

|Zr|zcosJLFAB-DF.

,:AB=W，???也ZD尸=6，：.DF=\.CF=V2-1.

記於和旃之間的夾角為6JlEB=aqBC=貝iJd=a-￡.

又；5C=2,點E為3c的中點，,5E=1.

亞二游=|亞計而p:os矢|正甘游|lcos（a:一￡|=|近口而卜cosacos/?-Wnasin￡]

=?s目珂）os尸一國Wn印7|sin￡=5￡Z3C-.夜CF=1x2-0;W-l；=￡

[2011年高考試題】

1.（2011年高考四川卷理科4）如圖，正六邊形ABCDEF中，BA+CD+EF=（）

AA

(A)0(B)BE(C)AD(D)CF

答案：D

解析：BA+CD+EF=DE+CD+EF^CD+DE+EF=CF.

2.(2011年高考全國卷理科12)設(shè)向量a"、c滿足Ia|=|81=1,

<a—c,b-c>=60°,則口的最大值等于

(△)2⑻石⑹血(D)l

E

【答案】A

【解析】如圖，構(gòu)造=AD=b,AC=c,

N5AO=120,N6CO=60,所以A,8,C,O四點共圓,

可知當(dāng)線段AC為直徑時，，最大，最大值為2.

二、填空題：

L,(2011年高考浙江卷理科14)若平面向量a,4滿足卜卜1,阿WL,且以向量a,

B為鄰邊的平行四邊形的面積為則a與夕的夾角0的取值范圍是。

【答案】一,一

66

【解析】2x；同網(wǎng)sin6?=g，又|?|=1,|^|<1,/.sin^>^,又

<9e[㈤:.0^空

OO

2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a,6清足(a+2Z>)(#b)=一6,月,卜，

=2,則a與力的夾角為.

【答案】i

【解析】|a+2i)-|a-i|=-6,則f+￡不-2獷=-6,即F+￡石-2x2：=-6,

ab=\,所以cos(￡⑤=甫3=所以〈0⑤一§.

H'H2

3.(2011年高考重慶卷理科12)已知單位向量q,c,的夾角為60,則|2q—c1=

解析百

%-R=42cLej=

-4qcj=,4+l-4xcos60=73

TT2

4.(2011年高考安徽卷江蘇10)已知是夾角為一萬的兩個單位向量,

一3

—>->—>—>—>—>—>

a=4-2%,b=ke2,若。?/?=(),則k的值為.

【答案】-

4

【解析】

TffT2T227r

a.b=(e[%?+(---=ek+(-k7—=。，解得

,5

k--.

4

【2010年高考試題】

iu

(2010全國卷2理數(shù))(8)VA8C中，點。在AB上，CD平方NACB.若CB=a,

UUUUU

CA=b,同=1,網(wǎng)=2,則CO=

12213443

(A)—a+—b(B)—Q+—。(C)—a+—b(D)—a+—b

33335555

【答案】3

【解析】因為CD平分Nzia，由角平分線定理得吧!=回=三，所以D為A3的

|DB||CB|1

三等分點，且AD=^AB=4(^-CA)，所以

———2-1—.2-1-

CD=CA-AD=-CB+-CA=-a+-b,故選3.

300c3Jo

6.(2010遼寧理數(shù))(8)平面上0,A,B三點不共線，設(shè)麗=a,而=b,則△OAB的面積等

于

(A)如2網(wǎng)2一3r)2⑻而「網(wǎng)2+3r)2

(0gjlafl.L(D)gjmFM+g與2

【答案】C

【解析】三角形的面積S=，|a||b|sin<a,b>,而

2

^y]\a|2|bI2-(ab)2=-5/la|2|b|2-(ah)2cos2<a,b>

------；----------1

；|a|聞7i一cos~<a,b>=—16/1|/?|sin<a,b>

7.(2010重慶理數(shù))⑵已知向量a,b滿足a2=O,同=1,例=2,,則以一可

A.0B.272C.4I）.8

解析：|2a