2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)02相似圖形壓軸題（解析版）

考點(diǎn)02相似圖形壓軸題匯總

一、單選題（共15小題）

1.（2021?黃埔區(qū)模擬）如圖，在四邊形/BCD中，ZBAC=90°,AB=6,4C=8,E是3c的中點(diǎn),

AD//BC,AE//DC,EFLCD于點(diǎn)F.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.四邊形NECD的周長(zhǎng)是20B.AABCS^FEC

C.NB+NACD=90°D.E尸的長(zhǎng)為普

5

【解答】解：；N8/C=90°,AB=6,AC=S,

/.SC=^AB2+AC2=10,

'：AD//BC,AE//DC,

四邊形是平行四邊形，

：NA4c=90°,E是8C的中點(diǎn),

：.AE=CE=—BC=5,

四邊形＜EC￡＞是菱形，

；.菱形的周長(zhǎng)是20,

故/選項(xiàng)正確，不吻合題意；

?.?四邊形XECD是菱形，

,ZACB=ZACD,

VZB+ZACB=90°,

；.NB+NACD=90°,

故C選項(xiàng)正確，不吻合題意；

如圖，過/作/H_L8c于點(diǎn)”，

:SAABC=/BCMH=》B.AC,

105

:點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，8c=10,四邊形/EC￡＞是菱形,

：.CD=CE=5,

?/S國AECD=CE*AH=CD?EF,

24

：.EF=AH=—.

5

故。選項(xiàng)正確，不吻合題意；

在RtZXEFC中，EF=告,EC=5,

5

---------7

????C=.EC2_EF2=E，

在RtZ\C48中，AB=6,ZC=8,8c=10,

?匹=2AC1AB30

.而F麗一=于而一=〒

...△/8C與△EC'C不相似，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤，吻合題意.

故選：B.

【常識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線、相似三角形的判斷

2.（2021?葉縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊/B、AC±,則在卜列四個(gè)前提中:①

NAED=NB；②DE〃BC；③感④AD?BC=DE,AC,能滿足的前提有（）

【解答】解:①/8=NZE。，ZA=ZA,則可判斷△/￡）?-△4C8,故①吻合題意；

?DE//BC,則故②不吻合題意，

③絲d，且夾角//=//,能確定民故③吻合題意；

'ACAB

④由尸4C可得空，此時(shí)不確定N/QE=/4C8,故不能確定△NDEsa

ACBC

ACB,故④不吻合題意，

故選:B.

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷

3.（2021?武漢模擬）已知。。的半徑為4,1為圓內(nèi)必然點(diǎn)，/O=2.M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，以/初為邊

作等腰△NA/N,AM=MN,ZAMN=\08Q,ON的最大值為（）

N

o

M

A.4+2旄B.2?+2泥C.&+2泥D.1+2加

【解答】解：如圖，將線段。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)108°得到線段07,毗令NT,OW.耽誤NO到

K,使得/K=/7,則/。=。7=2,

.?.NO/7=/O0=36°,

4KOT=NOAT+N4To=72°,

ZK=ZATK=―—jKAT=72。,

,ZK=ZKOT,

:.KT=OT=2,

'：ZKOT=ZKTA=12°,NK=/K,

:AKOTsAKTA,

.KTOKHn2OK

KATKOK+22

AOK=V5-1,__

.?.AT=AK=AOOK=2+75-l=V5+l,

,:XAOT,都是頂角為108°的等腰三角形,

：.ZOAT=ZMAN=36°,ZAOT=ZAMN=\0S0,

：.叢AOTs叢AMN,

.AOAT

AM=AN'

VZOAT+ATAM=ZOAM,ZMAN+ZTAM=ZTAN,

：.NOAM=NT4N,

：./\0AMS&TAN,

.AO_0MI，,,2_4

"AT-TN''V5+I=TN'

77V=2旄+2,

*：ONWOT+NT,

，ONW2泥+4,

；.ON的最大值為2逐+4,

故選:4

【常識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判斷與性質(zhì)、三角形

三邊關(guān)系

4.（2021?錫山區(qū)校級(jí)模擬）在矩形/BCD中，AB=4,BC=2,E為8c中點(diǎn)，H,G分別為邊/B,

CD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終連結(jié)G4，/瓦則E//+4G最小值為（）

【解答】解：如圖所示，過G作GML/8于N,則N4NG=90°,GN=AD=2,

'JGHLAE,

:.NANG=NAFG=90°,

，NBAE=ZNGH,

...△ABES^GNH,

?AE^AB

,,而"GN'

...RtZk/BE中，花=加2+BE2="+12=后

""CH"2，

2_

如圖所示，以AG,AE為鄰邊作平行四邊形AEMG,貝I」AG=ME,GM=AE=〃,Z

HGM=NAFG=9Q0,

:?AG+HE=ME+HE,

當(dāng)H,E,M在同一向線上時(shí)，4G+//E的最小值等于的長(zhǎng),

此吐RtZXGW中，加加2招M=J(*2+布2哼.

：.EH+AG的最小值為返￡,

2

故選:艮

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理

5.（2021?銅仁市）如圖，正方形NBCZ）的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊力8上，BE=l,ZDAM=45°,點(diǎn)、F

在射線AM上,且/尸=、用，過點(diǎn)尸作“。的平行線交BA的耽誤線于點(diǎn)H,CF與ZO訂交于點(diǎn)

G,毗令REC、EG、下列結(jié)論:①AEG戶的面積為與;②△AE'G的周長(zhǎng)為8；③以^二以^+屆2：

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【解答】解：如圖，在正方形Z88中，AD//BC,AB=BC=AD=4,NB=NBAD=90°,

:.NHAD=90；

'JHF//AD,

:.NH=90：

"：ZHAF=900-ZDAM=45°,

ZAFH=ZHAF.

?：AF=?

：.AH=HF=\=BE.

:.EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC,

:./XEHFmACBECSAS),

EF=EC,NHEF=NBCE,

?：NBCE+NBEC=90",

：.HEF+ZBEC=90°,

/.ZFEC=90°,

.?.△CE尸是等腰直角三角形，

在RtZXCBE中，BE=1,BC=4,

:.E—BP+BOm,

S^ECF=~2^^*=-^~,故①正確；

過點(diǎn)F作FQLBC于Q,交于P,

；.N4PF=90°=NH=NHAD,

，四邊形/丹陽是矩形，

'：AH=HF,

，矩形4HF尸是正方形，

:.AP=PF=AH=1,

同理：四邊形4S0尸是矩形，

：.PQ=AB=4,BQ=AP=\,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC-BQ=3,

■：AD//BC,

:ZPGS^FQC,

.FP_PG

*'FQW

.1PG

:.PG=W，

b

o

:?AG=AP+PG=2,

5

________17

=22=

在RtAE/G中，根據(jù)勾股定理得，^VAG+AE5

△/EG的周長(zhǎng)為AG+EG+AE=-^-+-^-+3=8,故②正確;

55

/。=4,

12

DG=AD-AG=—,

5

DG^BE2=星M1

25；25

289^169

EG』(―):2

52525

EG^DG^BE2,故③錯(cuò)誤，

對(duì)的有①②，

【常識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判斷與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)

6.（2021?梁溪區(qū)一模）如圖，△/BC中，/8=8,AC=6,ZJ=90°,點(diǎn)。在△/8C內(nèi)，且。8平分

ZABC,0c平分N/C8,過點(diǎn)。作直線P。，分別交/8、ZC于點(diǎn)P、Q,若△/P。與A4BC相似,

則線段P0的長(zhǎng)為（）

D

B

35C.5或?qū)W

A.5D.6

To

【解答】解：當(dāng)P0〃8c時(shí)，/\APQs4ABC,如圖1,

<DB平分N4BC,

???4PBD=NCBD,

■:PD〃BC,

：./PDB=/DBC,

:?/PBD=/PDB,

:.PB=PD,

同理，DQ=CQ.

*/NAPQ=NABC,

/.tanN/PQ=tanNZ8C="^="^-=&,

，設(shè)力尸=4x,AQ=3x,

:?PQ=5x,

?：PB=PD=8-4x,PQ=CQ=6-3x,

A8-4x+6-3x=5x,

._7

??x一'

0

???MPQ=u5x=3-5^-；

當(dāng)N4PQ=N4CB時(shí)，△APQS/XACB,

???/B=8,JC=6,ZA=90°,

：.BC=\0,

過。作DELAB于E,DFLAC于F,DGLBC于G,

?:DB平分N/8C,。。平分N4C8,

：.DE=DF=DG,

*：SMBC*DECAB+AC+BQ=^AB-AC,

.?.￡)"6+8”=2,四邊形ZED尸是正方形，

J.DF//AP,

：.ZEPD^ZFDQ,

同理NEOP=N尸02

叢PEDs叢DFQs叢CAB、

.PE^DF=AC=3.

??瓦一而一屈一工，

OO

FQ=^,

D0=22=22

；?PDNPE2+DE22+22=pVDF+FQ^2+(-1)=-y

：.PQ=PD+DQ=^+I。-35

36

綜上所述，若△/P。與△/8C相似，則線段。。的長(zhǎng)為畢,

6

故選:B.

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)

7.（2021?溫州）如圖，在Rtz\/8C中，/ACB=90：以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作

FG于點(diǎn)R,再過點(diǎn)C作PQA.CR分別交邊DE,BH于點(diǎn)P,Q.若QH=2PE,PQ=\5,則CR的長(zhǎng)

A.14B.15D.6^5

（解答］解：如圖，毗鄰EC,CH.設(shè)力B交CR于J.

D,H

■：四邊形ACDE,四邊形BCIH都是正方形，

：.N4CE=NBCH=45：

VZACB=90°,ZBC/=90°,

AZACE+ZACB+ZBCH=\SOQ,ZACB+ZBC1=1SO°

：.B,C,。共線，A,C,/共線，E、C,H共線，

^DE/ZAIZ/BH,

：.NCEP=ZCHQ,

,：NECP=NQCH,

：.MECPsXHCQ*

.PC=CE=EP=2

??貢一麗一麗一2

"2=15,

：.PC=5,C0=1O,

?；EC:CH=k2,

：.AC:BC=l:2,設(shè)/C=a,BC=2a,

'JPQYCR,CRLAB,

J.CQ//AB,

\'AC//BQ,CQ//AB,

四邊形/80C是平行四邊形，

：.AB=CQ=\Q,

,.ZO+BGfBj

A5a2=100,

??.“=2加（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

:.AC=2瓜BC=4娓、

22

....=2.*小二=4,

10

；JR=AF=4B=IQ,

：.CR=CJ+JR=14,

故選:兒

【常識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判斷與性質(zhì)

8.（2021?中山市校級(jí)一模）如圖，正方形/8C。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，毗鄰ZE與對(duì)角線

8。交于點(diǎn)G,毗鄰CG并耽誤，交AB于點(diǎn)、F,毗鄰。E交CF于點(diǎn)〃，毗鄰力，.以下結(jié)論:①/DEC

=N4EB；②CFLDE；③4F=BF；④累=g,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：???四邊形/8CD是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，

：.AB=AD=BC=CD=6,BE=CE=3,ZDCE=ZABE=90°,ZABD=ZCBD=45°,

:."BE妾ADCE(SAS)

：.ZDEC=ZAEB,ZBAE^ZCDE,DE^AE,故①正確，

,:AB=BC,/ABG=NCBG,BG=BG,

：./\ABG^^CBG{SAS)

：.NBAE=NBCF,

：.ZBCF=ZCDE,且/8E+NCEQ=90°,

:.NBCF+NCED=90°,

：.ZCHE=90°,

：.CF1DE,故②正確，

VZCDE=ZBCF,DC=BC,ZDCE=ZCBF=90°,

：./\DCE^/\CBF(ASA),

：.CE=BF,

VCE^BC^—AB,

22

:.BF=/AB,

：.AF=FB,故③正確，

VZ)C=6,CE=3,

^=7CD24CE2=62+32=3遙,

:SWE=微義CDXCE=￡XDEXCH,

5

,?NCHE=NCBF,ZBCF=ZECH,

：.△ECHs^FCB,

.CH=CE

??而一而’

.r/z6X3,r-

5_

:.HF=CF-C7/=2ZI,

5

，噂?='，故④正確，

nro

故選:D

【常識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判斷與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判斷與性質(zhì)

9.（2021?南崗區(qū)校級(jí)三模）如圖，AABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE〃BC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)

E作EF〃AB交BC于點(diǎn)F,毗鄰CD,交EF于點(diǎn)G,則下列說法不對(duì)的是（）

AD_AEBF二如

AB=ACBC=AB

【解答】解:A、；EF〃AB,

/.△CGF^ACDB,

二理=絲力萼，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)吻合題意;

FGFCFC

B、?.?DE〃BC,

.?.△ADE^AABC,

察怨，正確，故本選項(xiàng)不吻合題意；

BCAC

C、VDE/7BC,

.?.△ADE^AABC,

.?.空二日.正確，故本選項(xiàng)不吻合題意；

ABAC

D、VEF/7AB,

.BF_AE

，*BC-AC，

VDE/7BC,

.AE=AD

,?而而，

...罌=黑，正確，故本選項(xiàng)不吻合題意；

BCAB

故選:A.

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷與性質(zhì)

10.（2021?江陰市期中）如圖，點(diǎn)/在線段8。上，在8。的同側(cè)作等腰RtAMC和等腰RtZ\4）E,其

中N4BC=NAED=90°,CD與BE、NE分別交于點(diǎn)尸、M.對(duì)于下列結(jié)論：

①dCAMsMEM；②CD=2BE；③MP?MD=MA?ME；@2CB2^CP-CM.

其中對(duì)的是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【解答】解：:?在8。的同側(cè)作等腰RtZ\/8C和等腰RtZ\/O瓦ZABC=ZAED=90a,

：.ZBAC^45°,ZEAD=45Q,

/.ZCJE=180°-45--45°=90°,

即/。A/=/O￡M=90°,

'：ZCMA=ZDME,

：.△C/A/sADEM,故①正確；

由已知:ZC=亞N8,AD=^f2AE,

.AC=AD

"AB"AE'

■:NBAC=NEAD

NBAE=NCAD

：.ABAESACAD,

.BABE

■"AC-CD'

即典■=.p

CD近BA

即CO="歷8旦故②錯(cuò)誤；

ABAESACAD

NBEA=/CDA

'：ZPME=ZAMD

:APMEs叢AMD

?MP_ME

??瓦一而

:.MP?MD=MA,ME,故③正確；

由②?ME

NPMA=NDME

：./\PMAs/\EMD

:./APD=NAED=90°

?：ZCAE=\80°-ABAC-ZEAD=90°

.SPs^CMA

:.A0=CP?CM

,:AC=gAB、

：.2CB2=CP'CM,故④正確；

即對(duì)的為：①③④，

故選:C.

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷與性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)、等腰直角三角形

11.（2021?織金縣期末）如圖，在正方形N8CD中，E是5c的中點(diǎn)，F(xiàn)是CDI.一點(diǎn)，AELEF,下

列結(jié)論：①NB4E=30。；②@CF=-^-C￡＞；④S△上=453.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

O

C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：：四邊形N8C。是正方形，

.?./8=/C=90°,AB=BC=CD,

,：AEVEF,

；./AEF=NB=90°,

:.NBAE+/AEB=90°,NAEB+FEC=9G：

：.ZBAE=ZCEF,

：.ABAEsACEF,

.AB=BE

??而一

,:BE=CE*BC,

S

AAABE(AB2=4

^SAECFEC

**?S^ABE=4sAECF,故④正確；

：.CF=^EC=^CD,故③錯(cuò)誤；

CF1

/.tan/BAE==一,

AB2

.?./8/EW30°,故①錯(cuò)誤；

設(shè)Ck=。，則8￡=CE=2o,4B=CD=4D=4a,DF=3a,

.,.AE—2y/Sa,EF—y/^a,AF=5a,

.AE2^5a2-75BE_2a=2厭

AF5a5EF5

?AE^BE

,,市EF-

二AABEsAAEF,故②正確.

,②與④正確.

,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有2個(gè).

故選:B.

【常識(shí)點(diǎn)】相似形綜合題

12.（2021?岳麓區(qū)校級(jí)三模）如圖，在矩形48CA中，AB=6,8c=10,P是工。邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含

端點(diǎn)4D）,毗鄰PC,￡是48邊上一點(diǎn)，設(shè)8E=a,若存在獨(dú)一點(diǎn)P,使NEPC=90°,則〃

的值是（）

【解答】解：,:PELPC,

：.ZAPE+ZDPC^^,

VZD=90°,

；.NDCP+NDPC=90°,

:.NAPE=/DCP,又N4=ND=90°,

△APEs/XDCP,

.AP^AE

，，'DCDP-

設(shè)AP—x,AE—y,

可得x(10-x)=6y,

.'.x2-10x+6_v=0,

由題意△=(),

A100-24y=0,

2511

,:BE=AB-AE=f>--,

66

故選:艮

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)

13.（2021?玄武區(qū)期末）如圖，在團(tuán)438中，E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AE、4F分別交5。

于點(diǎn)G、H,則圖中陰影部分圖形的面積與忸/2CZ）的面積之比為（）

C.13:36D.13:72

【解答】解：-JBE//AD,￡1是8的中點(diǎn)，

：.4BEGs叢DAG,

.?.史_=些=工，即8G=工8￡）,

DGDA23

同理可得，DH=—BD,

3

：.GH=—BD,

3

S/\AGH=—S/\ABD=—S四邊形ABCD,

36

?:E、產(chǎn)分別為邊BC、。的中點(diǎn),

J.EF//BD,EF=^BD,

:.△CEFsMBD'

S^CEF

2=工

S/kCBD4'

:?S4CEF=[SdBCD=!s四邊形/SCO,

48

117

???圖中陰影部分圖形的面積=（―S四邊形/8CZ）=777S四邊形力88,

6824

即圖中陰影部分圖形的面積與團(tuán)488的面積之比為=7:24,

故選:B.

D

H

【常識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判斷與性質(zhì)

14.（2021?永州期末）如圖，平行四邊形45co的對(duì)角線4C,8。交于點(diǎn)O,CE平分NBCD交4B于點(diǎn)

E,交BD于點(diǎn)、F,且N%3C=60°,AB=2BC,毗鄰OE.下列結(jié)論：

?EO±AC；②SAAOD=4SMCF;③4C：80=?。?；@FB2=OF-DF.其中對(duì)的是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①③

【解答】解：???四邊形488是平行四邊形，

:.CD〃AB,OD=OB,OA=OC,

???NOC8+NZ8C=180°,

VZABC=60°,

AZDCB=120°,

,:EC平分4DCB、

：.ZECB=^ZDCB=60°,

工NEBC=NBCE=NCEB=60°,

:.XECB是等邊三角形，

:?EB=BC,

?；AB=2BC,

：.EA=EB=EC,

：.ZACB=90°,

U

:OA=OC9EA=EB,

：.OE//BQ

：.ZAOE=ZACB=90°,

：.EOLACy故①正確，

、：OE〃BC,

:?△OEFsXBCF,

?.?—O―E--_OF_—1,

BCFB2

**?SAAOD=SABOC=35AOCF,故②錯(cuò)誤,

22

設(shè)BC=BE=EC=a,則/8=2凡AC=42a,O￡)=<9B=^a+(^a)a,

.'.BD—yfja,

：.AC:BD=43a-.V7a=V21：7,故③正確，

：0/=］。8=且“，

:.BP=OF?DF,故④正確,

故選:B.

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)

15.（2021?歷城區(qū)期末）如圖，在矩形N8CD中，/。=2?月&將矩形N8CO對(duì)折，得到折痕沿

著C/W折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為瓦M(jìn)E與8c的交點(diǎn)為尸;再沿著九很折疊，使得//與重合，折

痕為MP,此時(shí)點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G.下列結(jié)論，其中對(duì)的個(gè)數(shù)為（）

①△CMP是直角三角形

②AB=?BP

@PN=PG

@PM=PF

⑤若毗鄰PE,則△PEGs/\CMD

【解答】解：：沿著CM折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,

：.ZDMC=ZEMC,

,：再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP、

：.ZAMP=ZEMP,

VZAMD=\SO°,

：.ZPME+ZCME=—X180°=90°,

...△CMP是直角三角形；故①吻合題意；

,:AD=2?AB,

，設(shè)AB=x,則AD=2>/2x,

,將矩形N88對(duì)折，得到折痕MN；

?.AM=DM=^AD^V2r=BN=NC,

CA/=VMD2+CD2=5^A

VZPMC=900=NCNM,NMCP=NMCN,

：.AMCNSXPMC、

.?.C"=CN?CP,

.—&XXCP,

...Cp=2?Zlx,

2

：.BP=J^x

2

:.AB=42HP,故②吻合題意：

YPN=CP-CN=&x,

2

,/沿著MP折疊，使得AM與EM重合，

:.BP=PG=&x、

2

:.PN=PG,故③吻合題意；

■:AD//BC,

：.NAMP=NMPC,

,/沿著MP折疊，使得AM與EM重合，

/./4MP=NPMF,

：.ZPMF=NFPM,

：.PF=FM,故④不吻合題意，

如圖，

?.?沿著MP折疊，使得AM與EM重合，

：.AB=GE=x,BP=PG=^-x,NB=NG=90°

.星=返

"GE2，_

??CD__x_

MD2

嘴喘且

，MPEGsXCMD,故⑤吻合題意,

故選:8.

【常識(shí)點(diǎn)】相似形綜合題

二、填空題（共7小題）

16.（2021?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知四邊形48cNB=N0=9O°,ZBAC+3ZDAC=90°,BC

=5,40=15,則線段8長(zhǎng)為.

【解答】解：如圖，取4。的中點(diǎn)T,毗鄰。7,耽誤。7交45于G,作CR〃Z）G交Z6于R.設(shè)

VZADC=90°,AT=TC,

：.DT=TA=TC9

：.ZTAD=ZTDA,

：.ZDTC=ZTAD+ZTDA=2/DAC,

\UCR//DG,

：.NACR=NDTC=2NCAD,

VZ5=90°,

/.ZA+ZACB=90°,

；?N4=2NC4A/BCR=90°,

ZBAC+3ZCAD=90°,

JNBCR=/CAD、

,//ADC=NB,

\△ADCs^CBR,

?AD=CD=AC

,BC_BR-CR,

'~5~一"r-CR)

?.CD=3x,AC=3CR=3,^52+X2,

:AT=CT,TG//CR,

\AG=GR,

：ZCDG=90°-ZADT=9Q°-ZCAD,NRGD=/DAG+NADG=NBAC+2NCAD=90°

-ACAD,

，.4CDG=NRGD,

：CR//DG,

?.四邊形CQGR是等腰梯形，

\CD=GR=AG=3x,AB=AG+GR+RB=7x,

在RtAJCS,：ACi=AB2+BC1,

???（3^7）2=(7x)2+52,

：/=遙或-A/5(舍棄)，

:.CD=3?

故答案為3旄.

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理

17.（2021?松江區(qū)月考）如圖，△/8C中，ZC=90°Z5=30°,NC=2,點(diǎn)P是邊Z8上一點(diǎn)，將

△Z8C沿經(jīng)由點(diǎn)P的直線折疊,使得點(diǎn)/落在邊8c上的H處，若△尸8H恰好和△/BC相似,

則此時(shí)ZP的長(zhǎng)為

【解答】解:①如圖1中，當(dāng)/刈'3=ZC=90°時(shí)，設(shè)以=以'=X

B

在RtZ\/8C中，VZC=90°,NC=2,/8=30°,

：.AB=2AC^4,BC=MAC=2M，

,:NB=NB,ZBA'P=ZC=90°,

/\BPA1s^BAC,

?PB_PA?

"BA―"AC-)

.4-x_x

?'-45

：.x=—.

②如圖2中，當(dāng)/P8c=90°時(shí)，4BPA'

圖2

.BP_PA7

"BC--AC-

：.x=2?-2,

綜上所述，滿足前提的AP的值為等或2遙-2.

【常識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、翻折變換（折疊問題）、相似三角形的判斷

18.（2021?江陰市月考）如圖，在△NBC紙板中，/C=8,8c=4,>15=10,P是NC上一點(diǎn)，過點(diǎn)

P沿直線剪下一個(gè)與△ZBC相似的小三角形紙板，參加有4種差別的剪法，那么AP長(zhǎng)的取值范疇

是

【解答】解：如圖所示，過尸作電)〃/18交8c于?；騊E〃8c交48于E,則△PC￡>sA4C8或△/2￡1

s/\ACB,

此時(shí)0VZP<8；

如圖所示，過P作NAPF=NB交4B于F,則△/P/S/^BC,

此時(shí)0V/PW8；

如圖所示，過P作/CPG=NCA4交8。于G,則△CPGs/\C84

此時(shí)，/XCPGsXCBA、

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)8重合時(shí)，CB2=CPXCA,即42=CPX8,

:.CP=2,4P=6,

，此時(shí)，6W/PV8；

C

綜上所述，要有4種差別的剪法，使得過點(diǎn)P沿直線剪卜.一個(gè)與八48。相似，則/P長(zhǎng)的

取值范疇是6W力尸V8.

故答案為：6W/PV8.

【常識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判斷

19.(2021?雨花區(qū)校級(jí)月考)已知點(diǎn)A(a,b)是反比例函數(shù)尸區(qū)(x>0)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，AB//x

X

軸，/C〃了軸，分別交反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象于點(diǎn)8、C,交坐標(biāo)軸于。、E,且/C=

X

3c2毗鄰8c.現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論:①人=2；②在點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)過程中，△/8C的面積始終不變；③毗

鄰。瓦IJIIJBC//DE；④不存在點(diǎn)N,使得AABCs/xOED.其中對(duì)的結(jié)論的序號(hào)是.

,且力在反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象上，

【解答】解：*(a,h)

X

：.b=—,

a

?：AC//y^,且c在反比例函數(shù)^=區(qū)(x>o)的圖象上，

x

k

???C(a,—).

a

又?.ZC=3CD,

：.AD=4CD,即@=4?K,

aa

:.k=2,故①正確.

o9

9?A(67,—),C(6Z,—)

aa

?.78〃x軸,

.?.8點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

a

?.?點(diǎn)在反比例函數(shù)的

8y=2函數(shù)圖象上，

X

:建上，解得

ax

.?.點(diǎn)3(1,3

a

a3a2_A

.".AB—a-AC^--=

aaa

：.S=—/1B'AC=1.3a.A=2

224a4'

二在點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)過程中,△48C面積不變，始終等于?，故②正確,

4

毗鄰。瓦如圖所示.

?.?由已知可知：NBAC=NDOE=90",

3_6_

a

..AB_7_3AC=Z3,

'AE-4AD8?

7

"AE^AD)

J.BC//DE,故③正確,

若八ABCSAOED.

ABAC

則有

OEOD

:.a=2?,_

...在點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)。=2圾時(shí)，XABCsXOED,故④錯(cuò)誤,

故答案為①②③.

【常識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、相似三角形的判斷

20.（2021?呼蘭區(qū)期末）在△/8C中，AB=AC,點(diǎn)。在直線BC上，DC=3DB,點(diǎn)E為48邊的中

點(diǎn)，毗鄰AD,射線CE交AD于點(diǎn)M,則罌的值為____.

MD

【解答】解：當(dāng)。點(diǎn)在8點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖:

過。作DN//EC,交AB于點(diǎn)N,

則NDNB=NCEB,ZBDN=ZBCE,

：.叢DBNsACBE,

.BNBD

"BE"BC'

,:DC=3DB,

.也」

,,而I'

.BNJ,

,,瓦N

,:E為NB的中點(diǎn)，

：.AE=BE,

.AE_A

"AN"7'

,JDN//EC,

，NAEM=ZAND,N4ME=ZADN,

：.AAEMsAAND,

.AM_AE

,*AD=AN'

.四工

**AD

?AM4

**DI=>3：

當(dāng)。點(diǎn)在8點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖：

過D作DN〃EC,交的耽誤線于點(diǎn)N,

則NDNB=NCEB,ZBDN=ZBCE,

：.△DBNsMBE、

.BN_BD

*'BE'BC'

,:DC=3DB,

.BDJ,

'.而巧，

.BNJ,

"BE

,:E為的