高中數(shù)學(xué)求值域的10種方法

求函數(shù)值域的十種方法

一?直接法(觀察法):對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

例1.求函數(shù)y=J7+1的值域。

【解析】，&+1N1,，函數(shù)y=J7+l的值域?yàn)榭?+8)。

【練習(xí)】

1.求下列函數(shù)的值域：

①y=3x+2(—1<Ji<1)；(2)f(x)=2+J4-x；

?y=；④y=XG{-l,0,l,2}o

x+1

【參考答案】①[T,5]；②[2,+8)；③(f,DUa+8)；④{-1,0,3}。

二?配方法：適用于二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型。形如

F(x)^af2(x)+好'(x)+c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。

例2.求函數(shù)y=-f+4x+2(xe[-l,l])的值域。

【解析】y~-x2+4x+2--(x-2)2+6o

V-1<X<1,.,.-3<x-2<-l,/.l<(x-2)2<9,A-3<-(X-2)2+6<5,-3<<5?

函數(shù)y=-f+4x+2(xe[-l,l])的值域?yàn)閇—3,5]。

例3.求函數(shù)y=2—V-x2+4x(xe[0,4])的值域。

【解析】本題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計(jì)算不妨設(shè)：

/(x)=-x2+4x(/(x)N0)配方得：/(x)=—(X—2)2+4(xe[0,4])利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得

/(X)G[0,4],從而得出：ye[0,2]。

說明：在求解值域(最值)時(shí)，遇到分式、根式、對數(shù)式等類型時(shí)要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為:

/W>0o

例4.若x+2y=4,x>0,y>0,試求Igx+lgy的最大值。

【分析與解】本題可看成第一象限內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線X+2y=4上滑動(dòng)時(shí)函數(shù)1gx+1gy=\gxy的最大

值。利用兩點(diǎn)(4,0),(0,2)確定一條直線，作出圖象易得：

%€(0,4),丫€(0,2),而愴工+愴y=恒盯=愴[丁(4-2丁)]=愴[-2(丁一1)2+2],y=l時(shí)，Igx+lgy取最大

值lg2。

【練習(xí)】

2.求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：

?y=x2-4x+1；②y=x?-4x+l,xw[3,4]；(3)y=x2-4x+1,xe[0,1]；

@y=x2-4x+l,xe［0,5］；0=A-+2A+4,xeR,4］；（6）y=>/-x2-2x4-3-

x4-

73

【參考答案】①孫②印;③臼]；?、?。

[T+@[-3,6];⑤[62]

三?反函數(shù)法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的

值域。

適用類型：分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)

類型。

2r

例5.求函數(shù)>=一匕的值域。

x+1

分析與解：由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出X,從而便于求出反函數(shù)。

2rV

y=——反解得x=T2—,故函數(shù)的值域?yàn)?一刃,2)U(2,+8)。

x+i2-y

【練習(xí)】

1.求函數(shù)y=2乙X+一3的值域。

-3x-2

2.求函數(shù))=----；?,|CH0,XN—|的值域。

cx+a\c)

r\r\

【參考答案】1.(-8,大)UQ,+00)；I-00,—)U(—,+8)。

33cc

四.分離變量法：

適用類型1:分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。

1—Y

例6：求函數(shù))=—二的值域。

2x+5

177

An?—(2x+5)d—?—

解：?一1-X_22_1,2

V———十

-2x+52%+522x+5

7

11—Y

2??yw—...函數(shù)丁=一一的值域?yàn)椋鹹|yw——｝。

聲0-22x+52

2x+5

適用類型2：分式且分子、分母中有相似的項(xiàng)，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為y=k±/(x)(Z為常

數(shù))的形式。

例7：求函數(shù)y=—_二的值域。

X"—X+1

分析與解：觀察分子、分母中均含有/—X項(xiàng)，可利用分離變量法；則有…

x—x+1x~—X+1

1313

不妨令：/(幻=(龍-彳)2+：遙(幻=二77(/(幻7°)從而/(幻《不+8)。

24以X)[4

(41「1、

注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除/(x)=0,因?yàn)?(x)作為分母.所以g(x)e0,-故ye--,l)o

另解:觀察知道本題中分子較為簡單，可令”廠「"+1=1+一一,求出f的值域，進(jìn)而可得到y(tǒng)的

X"-x-X

值域。

【練習(xí)】

2r2+2X+3

1.求函數(shù)y=Z'+’x+J的值域。

x~+冗+1

【參考答案】L(2,與]

五、換元法：對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方

法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù)。其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根

式里是一次式時(shí)，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元。

例8：求函數(shù)y=2x+Jl-2x的值域。

_____------［一產(chǎn)--------------------------i5

解：令/=，l-2x(r>0).則％=，；.丁=一*+/+1=—?——)2+-,

224

135I_____5

???當(dāng)，=/,即%=g時(shí)，ymax無最小值。，函數(shù)y=2x+JTZ的值域?yàn)?-ooq］。

例9：求函數(shù)/=工+2+Ji-(x+i)2的值域。

解：因1-(%+1)220,即(X+I)2?lo

故可令x+1=cos/?,/?e［0,TT］,/.y=cosB+1+Jl-cos?B=sinp+cosp+l=V^sin(p+；)+l。

V0-^-；r4-^+7-|；r,<sin(/?+-)<l.-.0<V2sin(^+-)+l<l+V2

444244

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?,1+五］

例10.求函數(shù)V=X—的值域。

-X4+2X2+1

解：原函數(shù)可變形為：yJx2」J-Y

21+x21+x2

可令x=tan|3,則有

1+JT1+X

.二y二-gsin2/?xcos2〃二一;sin4〃

、|/ck/r7Crj_L1

當(dāng)￡=-------時(shí)，v=—

"28?max4

、14Z1k兀7CrJ_L1

當(dāng)B=—+—時(shí)，v.二-一

"28in4

而此時(shí)tanB有意義。

故所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

_44_

JTJT

例11.求函數(shù)y=(sinx+l)(cosx+l)，xe的值域。

解：y=(sinx+l)(cosx+1)

=sinxcosx+sinx+cosx+l

令sin%+cosx=力，則sinxcosx=；(r-1)

11

j=-(r9--l)+/+l=-(z+l)-?

由，=sinx+cosx=V2sin(x+—)

4

口7V7C

且----，一

L122j

可得：^L<t<4i

2

???當(dāng).=啦時(shí)，ymm=^-+V2>當(dāng)"立時(shí),y=-+—

2242

故所求函數(shù)的值域?yàn)?+^1,-+V2。

422

例12.求函數(shù)y=%+4+行二，■的值域。

解：S5-%2>01可得|x區(qū)石

故可令x=石cosP，P&[0,^1

y=石cos/7+4+5/5sin/?=V10sin(夕+—)+4

4

,:金兀

兀，c萬」5%

.,.—<￡+一?—

444

當(dāng)尸=?時(shí)，-=4+而

當(dāng)夕=7?■時(shí)，9=4-右

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋海?-6,4+

六、判另|J式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于X的二次方程尸(x,y)=°；通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式

A>0.從而求得原函數(shù)的值域，形如+q(4、%不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域，常用此方

a2x+&X+C2

法求解。

例13：求函數(shù)y=\。的值域。

x~-X+1

丫？_Y-4-q

解：由變形得(y_l)x2_(y_l)x+y_3=0,

X—X+1

當(dāng)y=l時(shí)，此方程無解;

當(dāng)ywl時(shí)，?:xeR,???△=(,—1)2_4(y_］)(y_3)N0,

解得1<y<—,又ywl,，1〈》工—

二函數(shù)y=的值域?yàn)閧y|l<y〈U}

x-x+l3

七、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)

的值域。

例14：求函數(shù)口=%-\/1-2犬的值域。

解：?.?當(dāng)x增大時(shí)，l—2x隨x的增大而減少，-JiF隨x的增大而增大，

.,.函數(shù)y=x-=^在定義域(一8,自上是增函數(shù)。

，函數(shù)y=x-Vl-2x的值域?yàn)?-co,1］。

例15.求函數(shù)y=4TT—GT的值域。

2

解：原函數(shù)可化為：y=1—

令弘=JTR,%=GT，顯然力,丫2在［1,+W上為無上界的增函數(shù)

所以y=y+匕在口，+8］上也為無上界的增函數(shù)

2=6

所以當(dāng)X=1時(shí)，y=x+%有最小值收原函數(shù)有最大值雙

顯然y>（），故原函數(shù)的值域?yàn)椋?,&]

適用類型2：用于求復(fù)合函數(shù)的值域或最值。（原理：同增異減〉

例16：求函數(shù)y=i°g[（4x-x2）的值域。

2

分析與解：由于函數(shù)本身是由一個(gè)對數(shù)函數(shù)（外層函數(shù)）和二次函數(shù)（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令:

f（x）=-X2+4x（/（%）>0）配方得：Q）=—（X—2）2+4所以“X）e（0,4）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同增異減）

知：ye[-2,+oo)o

八、利用有界性：?般用于三角函數(shù)型，即利用sinxe[-

例17：求函數(shù)y=c°sx的值域。

sinx-3

解：由原函數(shù)式可得：ysinx—cosx=3y，可化為:

yjy2+1sinx(x+J3)=3y

3y

即sin+p)——]:

3+1

■:xeR

：?sinx(x+/?)

13y[

即一14一F^=<1

解得：一也《VW也

4-4

故函數(shù)的值域?yàn)橐蛔?史

44

注：該題還可以使用數(shù)形結(jié)合法。y=/os七=cos±0,利用直線的斜率解題。

sinx-3sinx-3

1_2V

例如求函數(shù)>=記的值域。

1_7'21-y

解：由〉=^^_解得2、=「，

1+2'1+y

\-y?

?.*2x>0，???丁—>0,A-l<y<l

i+y

.?.函數(shù)y=的值域?yàn)閥G(-1,1)。

九、圖像法(數(shù)形結(jié)合法)：其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的

距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡單，一目了然，賞心悅目。

例19：求函數(shù)y=|x+3|+|x—5|的值域。y/卜

—2.x+2(x<—3)|

解：：y=|x+3|+|x—5|=<8(-3<x<5),、

2x-2(x>5)

-30-5手

：.y=|x+3|+|x-5|的圖像如圖所示，

由圖像知：函數(shù)丁=|%+3|+|左一5|的值域?yàn)閇8,+8)

例20.求函數(shù)y=2)2+J(X+8)2的值域。

BPA

I__________|__________|__________|______>

-802

解：原函數(shù)可化簡得：y=|x-2|+|x+8|

上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P(x)到定點(diǎn)A(2),3(-8)間的距離之和。

由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y=|^-2|+|^+8HAB|=10

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|〉|48=1()

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬10,+8]

例21.求函數(shù)y=-6x+13+[x2+4x+5的值域。

解：原函數(shù)可變形為：

y=Jd)2+(0-2)2+?x+2)2+(0+1)2

上式可看成x軸上的點(diǎn)P(X,O)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(-2,-l)的距離之和,

由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與X軸的交點(diǎn)時(shí)，為訕=|AB|=J(3+2)2+(2+1)2=J萬，

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?、?+ooj

例22.求函數(shù)7=，%2一6%+13一J6+4X+5的值域。

解：將函數(shù)變形為：y=J(x_3)2+(0_2)2_J(x+2)2+(0_1)2

上式可看成定點(diǎn)A(3,2)到點(diǎn)P(x,0)的距離與定點(diǎn)B(-2,1)到點(diǎn)P(x,0)的距離之差。

即：y=\AP\-\BP\

由圖可知：(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)p,則構(gòu)成MBP，根據(jù)三角

形兩邊之差小于第三邊，有||A尸||BP'||<|AB|=7(3+2)2+(2-1)2=726

即：-V26<y<V26

(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有||AP|_|5P|HA8|=J記

分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式％=三二息,將原

函數(shù)視為定點(diǎn)⑵3)到動(dòng)點(diǎn)(cosx,sinx)的斜率，又知?jiǎng)狱c(diǎn)(cosx,sinx)滿足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)

化為求點(diǎn)(2,3)到單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)

取得，從而解得：

6-2736+2丘

"-；-，-；—

33

點(diǎn)評：本題從函數(shù)本身的形式入手，引入直線的斜率，結(jié)合圖形，從而使問題得到巧解。

例24.求函數(shù)y=Jl+x+Jl-x的值域。

分析與解答：令〃=Jl+x,v=y/l-x>則"20,u20，,J+u?=2，w+v=y,

原問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)直線〃+與圓“2+/=2在直角坐標(biāo)系〃?？诘牡谝幌笙抻泄颤c(diǎn)時(shí)，求直線

的截距的取值范圍.

由圖1知：當(dāng)〃+u=y經(jīng)過點(diǎn)（0,0）時(shí)，ymin=V2；

當(dāng)直線與圓相切時(shí),=。。=&C=(⑸=2。

所以：值域?yàn)楹?曠42

十：不等式法：利用基本不等式a+bN2疝,a+0+c23”無（a,）,ceR+），求函數(shù)的最

值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添

項(xiàng)和兩邊平方等技巧。

例25.求函數(shù)y=（sinxd--—）2+（COSXH——）2-4的值域。

sinxcosx

解：原函數(shù)變形為:

11

y=(/sm?2x+cos~2x)\+———+-------

sinxcosx

=l+ces2x+sec?x

=3+tan2x+cot2x

>3+27^1?xcot2X

-5

當(dāng)且僅當(dāng)tanx=cotx

即當(dāng)》=%左士工時(shí)(攵wz)，等號(hào)成立

4

故原函數(shù)的值域?yàn)椋篬5,+8)

例26.求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域。

解：y=4sinxsinxcosx

=4sin2xcosx

y=16sin4xcos2x

=8sin2xsin2x(2-2sin2x)

<8[(sin2x+sin2