北京市平谷區(qū)2021-2022學(xué)年高一年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷及答案

2022北京平谷高一（上）期末

數(shù)學(xué)

一.選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡

上.）

1.設(shè)全集。={1,2,34,5,6,7,8,9},集合4={2,4,6,8},那么Q4=（）

A.{9}B.{135,7,9}C.{1,3,5}D.{2,4,6}

2.函數(shù)/'（x）=cos（-2x-的最小正周期是（

A.27rB.-7TC.7TD.y

4

3.下列各式化簡后的結(jié)果為cosx的是（）

A.sin（x+彳）B.sin（2兀+x）C.sin（%-D.sin（27r—%）

4.下列不等式成立的是（）

A.log31<log23<log25B.log31<log25<log23

C.log23<log3|<log25D.log23<log25<log3|

5.函數(shù)f（x）=lg（x+1）的圖象與函數(shù)g（x）=%2-2%4-1的圖象的交點個數(shù)為（）

A.OB.1C.2D.3

6.已知a,b,cWR,那么下列命題中正確是（）

A.若a>b,則ac?>be2B.若色>則a>b

cc

C.若a>b,ab<0,貝內(nèi)〉：D.若02>力2,ab>0,則工<：

abab

7.已知函數(shù)/'（x）=4sin（3X+0）（4>0,3>046R）.則”/（x）是偶函數(shù)"是"=，’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.某入圍一個面積為32m2矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其平面示意圖如下），墻高3m，新墻的

造價為1000元公2,則當(dāng)彳?。ǎr，總造價最低？（假設(shè)舊墻足夠長）

/J///////////////////，

<-----------x------------->

A.9B.8C.16D.64

9.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足下列條件：①/(%)是周期為2的周期函數(shù)；②當(dāng)％W(0,1)時，/(%)=2%-1.那

么f(log23)值為()

A*B.iC.-JD.2

10.某時鐘的秒針端點4到中心點。的距離為5cm,秒針繞點。勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間：t=0時，點4與鐘面上標(biāo)12的點

B重合,當(dāng)te[0,60],A,B兩點間的距離為d(單位：cm),貝展等于()

A.5sin；B.losingC.5si喘D.lOsi啜

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11.函數(shù)/(乃=；+但(％+1)定義域是.

12.已知奇函數(shù)f(x),當(dāng)％>0,/(%)=%24-3%,那么/'(-2)=.

13.已知tana=3,則sinacosa=.

14.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，設(shè)角a始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點P(g,|),將射線OP繞坐

標(biāo)原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)]后與單位圓交于點(?(%2，丫2)?那么tana=,x2=.

15.從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去幾年里快速發(fā)展，并在國民經(jīng)濟和日常生活中扮演著日益重

要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數(shù)的折線圖圖(圖中的數(shù)據(jù)均是每年12月31日的統(tǒng)計結(jié)果).

根據(jù)上述信息下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是一

①2015年這一年,高鐵運營里程數(shù)超過0.5萬公里；

②2013年到2016年高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率；

③從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)最多的一年是2014年；

④從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)逐年遞增;

20092010201120122013201420152016

年份

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

X

16.已知集合A={x|i<log8x<lj,B=(x\2<2<128},全集U=R.

(1)求4,B；

(2)求Cu(4CB)；

(3)如果C={X［%VQ},且Anew0,求Q的取值范圍.

17.已知a是第二象限角,且tana=一/

(1)求sina,COSQ的值;

(2)求sin(a-5TT)+COS(3TT—a)的值.

18.已知二次函數(shù)f(%)=ax2—(a+l)x+1.

(1)當(dāng)對稱軸為％=-1時，

(i)求實數(shù)。的值；

(ii)求/(x)在區(qū)間［-2,2］上的值域.

(2)解不等式/(%)>0.

19.己知函數(shù)/(￡)=sin(3X—§3>0)最小正周期是n.

(1)求3的值；

(2)求證：當(dāng)x6工］時/(x)>---

2”0n.z已tn知▼函物數(shù)〃八\幻=（一|//+2x武（一。W2<xxW<2）。）.

(1)求/(一I)，的值；

(2)作出函數(shù)的簡圖；

(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；

(4)由簡圖得出函數(shù)的奇偶性，并證明.

21.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+》-^<x<y.

(1)列表，描點，畫函數(shù)/。)的簡圖，并由圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值;

（2）若/（久1）=/（%2）>01豐x2）,求+x2）值.

2022北京平谷高一(上)期末數(shù)學(xué)

參考答案

一.選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡

上.)

1.設(shè)全集也={1,2,3,456,7,8,9},集合A={2,4,6,8},那么Q4=()

A.{9}B.{1,357,9}C.{1,3,5}D.{2,4,6}

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意，全集U={1,2,3,456,7,8,9},而4={2,4,6,8},

則CM={1,357,9},

故選：B.

2.函數(shù)/(x)=cos(—2x—￡)的最小正周期是()

A.27rB.-TTC,n片

【答案】C

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的周期公式7=普得，

函數(shù)f(x)=cos(-2%-勻的最小正周期是r=含=g=兀，

故選：u

3.下列各式化簡后的結(jié)果為cos%的是()

A.sin(x+/)B.sin(2/r+%)C.sin(x-D.sin(27i—%)

【答案】A

【詳解】解：A.sin(x+=cosx；

B.sin(27r+%)=sinx；

C.sinfx—|j=—cosx；

D.sin(27T—%)=—sinx.

故選：A

4.下列不等式成立的是()

A.log31<log23<log25B.log33<log25<log23

C.log23<log31<log25D.log23<log25<log31

【答案】A

【詳解】因為10g3;<10g31=0,

1=log22<log23<log24=2,

2=log24<log25<log28=3,所以log3?<log?3<log25,

故選：A.

5.函數(shù)f(x)=lg(x+1)的圖象與函數(shù)g(x)=x2-2%+1的圖象的交點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】解：在同一個坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，

則交點個數(shù)為為2.

故選：C

6.已知a,b,ceR,那么下列命題中正確的是（）

A.若a>b,貝ijac?>be?B.若烏>色,則a>b

cc

C.若ab<0,則工〉*D.若盧〉/^,ab>0,則三V《

abab

【答案】c

【詳解】A，若a>b,當(dāng)c=0時，ac2=be2,所以A不成立；

B.若當(dāng)c<0時，則a<b,所以B不成立；

U因為ab<0,將a>b兩邊同除以ab,則:>/所以c成立

D.若。2>人2且?guī)?gt;0,當(dāng)｛%:及時，則a<b，所以;>：，則D不成立.

故選：u

7.已知函數(shù)/(x)=4sin(3x+租)(4>0,to>0，weR).則”/(x)是偶函數(shù)"是"伊=”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】若0=],則/(x)=Asin(3x+])=Acossx,/(-x)=/lcos(-cox)=ACOSMX=/(x),所以/'(x)為偶函

數(shù)；

若/(X)=4sin(3X+9)為偶函數(shù)，則@=1兀+/,keZ,。不-?定等于*

所以“/(x)是偶函數(shù)"是“9=”的必要不充分條件.

故選：B

8.某人圍一個面積為32m2的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建(其平面示意圖如下)，墻高3m，新墻的

造價為1000元岫2,則當(dāng)工取()時，總造價最低？(假設(shè)舊墻足夠長)

【答案】B

【詳解】由題設(shè)，總造價y=1000x3x(x+2x§)=3000。+?)26000Jxq=48000,

當(dāng)且僅當(dāng)x=8時等號成立，即x=8時總造價最低.

故選：B.

9.已知定義在R上偶函數(shù)/'(久)滿足下列條件：①人x)是周期為2的周期函數(shù)；②當(dāng)xe(0,1)時，f(x)=2,-1.那

么/。og23)值為()

A三B，C.-AD.2

【答案】B

【詳解】因為f(x)是周期為2的周期函數(shù)，

所以/'Qog23)=/(log23-2)=/(log2J)=/(-log2§,

又函數(shù)/(x)定義在R上的偶函數(shù)，所以/'(Iog23)=f(-log20=f(log21)

又當(dāng)xe(0,1)時，fM=2x-l,所以/(Iog23=23g3-l=g—l=[.

所以f(log23)值為點

故選：B.

10.某時鐘的秒針端點4到中心點。的距離為5cm,秒針繞點。勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間：t=0時，點4與鐘面上標(biāo)12的點

B重合，當(dāng)t6[0,60],A,B兩點間的距離為d(單位：cm),則d等于()

A.5sin：B.lOs嗎C.5si喘D.10si啜

【答案】D

【詳解】由題知，圓心角為黑，過。作AB的垂線，則4B=2x5xsin筮=10sin巴

30260

故選：D

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11.函數(shù)/(x)=：+lg(x+1)的定義域是.

【答案】｛尤氏＞一1且X4。｝

【詳解】根據(jù)題意可得如下不等式組，

二"。解儆＞T且"。

答案：{x|久>一1且x芋0}.

12.已知奇函數(shù)/(x),當(dāng)x>0,/(x)=x2+3x,那么/'(-2)=.

【答案】-10

【詳解】由f(x)為奇函數(shù)，可知/(r)=—/⑺，則/(一2)=—〃2)

又當(dāng)其>0,/(x)=x2+3無，則/(2)=22+3x2=10

故"―2)=_/⑵=-10

故答案為：-10

13.已知tana=3,則sinacosa=

【答案】卷

sinacosatana3

【詳解】tana=3,sina*cosa=

sin2a+cos2atan2a+l10

故答案為泉

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點P弓,|),將射線OP繞

坐標(biāo)原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)券與單位圓交于點QI：%%?那么tana=,全=.

【答案】①*#0.75②.-瓢-0.6

45

【詳解】由三角函數(shù)的定義及已知可得:

34

sina=cosa=-

所以tana=—=

孫s4

又%2=cos(^+a)=-sina=—|.

故答案為：—|

45

15.從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去兒年里快速發(fā)展，并在國民經(jīng)濟和日常生活中扮演著日益重

要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數(shù)的折線圖圖(圖中的數(shù)據(jù)均是每年12月31日的統(tǒng)計結(jié)果).

根據(jù)上述信息下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是一

①2015年這一年,高鐵運營里程數(shù)超過0.5萬公里;

②2013年到2016年高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率;

③從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)最多的一年是2014年;

④從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)逐年遞增；

HH

<月4

咽

HH，

理

年份

【答案】②③

【詳解】①看2014,2015年對應(yīng)的縱坐標(biāo)之差小于2-1.5=0.5,故①錯誤;

②連線觀察2013年到2016年兩點連線斜率更大，故②正確；

③2013年到2014年兩點縱坐標(biāo)之差最大，故③正確：

④看相鄰縱坐標(biāo)之差是否逐年增加，顯然不是，有增有減，故④錯誤；

故答案為：②③.

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

X

16.已知集合4=|x||<log8x<lj,B={x\2<2<128},全集U=R.

(1)求4B；

(2)求Q(4CB)；

(3)如果C={x|x<a},且求a的取值范圍.

【答案】Q)4=[2,8],B=(1,7)

(2)QU(,AnB)=(-oo,2)U[7,+oo)

(3)(2,4-00)

【小問1詳解】

根據(jù)題意，可得：Iog88：Slog8XS1=log88，函數(shù)y=loggX在區(qū)間(0，+8)上單調(diào)遞增，則有：2sxs8

故有：/l={x|2<x<8}

函數(shù)y=2*在區(qū)間(-8,+8)上單調(diào)遞增，則有：e={x|l<x<7}

綜上，答案為：A=[2,8],B=(1,7)

【小問2詳解】

由(1)可知：A=[2,8],B=(1,7)

則有：AOB={%|2<%<7}

故有:CuOlnB)=(-8,2)37,+8)

故答案為：(-00,2)U[7,+°°)

【小問3詳解】

由于4={x\2<%<8},且AnC羊0,C={x\x<a]

則有：a>2,

故a的取值范圍為：(2,+8)

故答案為：(2,+8)

17.已知a是第二象限角，且tana='-卷

(1)求sina,cosa的值；

(2)求sin(a—5兀)+cos(3/r—a)的值.

【答案】⑴sina=V，cosa=一蘇

⑵套

【小問1詳解】

解：因為tana=一三，所以包吧=一三，Asina_--cosa

12cosa12-12

又siM^+cos2a=1,a是第二象限角，

所以sina=—,cosa=——.

1313

【小問2詳解】

解：sin(a-5TT)+COS(3TT—a)=sjn(a-TT)+COS(TT-a)—-sina-cosa

__5_12_7_

=13+13=13,

18.已知二次函數(shù)/<(%)=ax2—(a+l)x+1.

(1)當(dāng)對稱軸為％=-1時，

(i)求實數(shù)。的值；

(ii)求f(%)在區(qū)間［一2,2］上的值域.

(2)解不等式f(%)20.

【答案】(1)(i)—(ii)I-L

(2)答案見解析.

【小問1詳解】

解：(i)由題得一一9+1)=(°+1)=—1,,??a+1=-2a".a=一工；

2a2a3

(ii)/(x)=——|x4-1,對稱軸為x=-l,

所以當(dāng)Xe［-2,2］時，f(X)max=f(-1)=*+|+1=:

/(X)min=/(2)=W+1=T

所以f(x)在區(qū)間［—2,2］上的值域為［一I，J

【小問2詳解】

解：ax2—(a+l)x4-1>0,

當(dāng)a=0時，-%+1之0,，%W1；

當(dāng)a>0時，(ax—1)(%—1)N0,?,?/=(>0,%2=1，

當(dāng)0<a<l時，不等式解集為或xW1｝；

當(dāng)a=l時，不等式的解集為R；

當(dāng)a>1時，不等式的解集為｛x[x>1或生<》；

當(dāng)a<。時，(ax-1)(—x+1)<0,<0,x2=1,

所以不等式的解集為｛x|：WxW1｝.

綜上，當(dāng)a=0時，不等式的解集為產(chǎn)微31｝;

當(dāng)0<a<1時，不等式的解集為｛x|x>十或x<1｝；

當(dāng)a=l時，不等式的解集為R；

當(dāng)a>l時，不等式的解集為｛x|xN1或久工》：

當(dāng)a<0時，不等式的解集為1｝.

19.已知函數(shù)f(x)=sin(3%-(3>0)最小正周期是乃.

(1)求3的值；

(2)求證：當(dāng)Xe[o,時f(x)>-y.

【答案】(1)2；(2)證明見解析

(2)利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合不等式逐步求出函數(shù)的最值即得證.

【小問1詳解】

解:由題得7=兀=含,???3=±2,3>0,.,.3=2.

【小問2詳解】

證明：/'(x)=sin(2x-g),

因為OSx北兀,??.0W2xS*.??*W2x*W》-全

TT,r兀75

--3-2X~3-in，

--y<sin(2x-<1.

所以當(dāng)xe[0圖時f(x)N_當(dāng)

即得證.

—%2+2x(0<%<2)

20.已知函數(shù)f（%）=

.x2+2x(—2<%<0).

（1）求/（_|）,的值；

（2）作出函數(shù)的簡圖：

（3）由簡圖指出函數(shù)的值域；

（4）由簡圖得出函數(shù)的奇偶性，并證明.

【答案】⑴/（-|）=*，/（|）=|；

（2）作圖見解析；（3）[-1,1]；

（4）/（x）為奇函數(shù)，證明見解析.

【小問1詳解】

由解析式知:/（-|）=（一|）2+2x（-|）=*，爬）=_（》2+2X鴻.

【小問2詳解】

由解析式可得：

X-2-1012

r（x）0-1010

.寸⑴的圖象如下:

【小問4詳解】

由圖知：/(x)為奇函數(shù)，證明如下：

當(dāng)0<x<2,-2<-X<0時，/(-x)=(-X)2+2-(-x)=x2-2%=-/(x)：

當(dāng)-2<x<0,0<-%<2時，/(-%)=—(―x)2+2-(-%)=—x2—2%=-/(%)；

又了。)的定義域為[-2,2],則為奇函數(shù)，得證.

21.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+》