2015屆高三數(shù)學(xué)第一輪知識(shí)點(diǎn)課后強(qiáng)化訓(xùn)練題43

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1．若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D.eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)[答案]B[解析]在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．(2014·張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”“索”的“因”應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0[答案]C[解析]eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.3．(文)設(shè)t＝a＋2b，S＝a＋b2＋1，則下列關(guān)于t和S的大小關(guān)系中正確的是()A．t>S B．t≥SC．t<S D．t≤S[答案]D[解析]∵S－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0.∴S≥t.(理)下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[答案]C[解析]由均值不等式成立的條件知a，b同號(hào)，故①③④都可以．4．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)[答案]B[解析]“至少有一個(gè)”的否定是“都不是”．5．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：(1)a＋b>1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b>2；(4)a2＋b2>2；(5)ab>1.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是()A．(2)(3) B．(1)(2)(3)C．(3) D．(3)(4)(5)[答案]C[解析]若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b>1，但a<1，b<1，故(1)推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故(2)推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，ab>1，故(4)(5)推不出；對(duì)于(3)，若a＋b>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1.6．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定[答案]C[解析]∵要證P<Q，只要證P2<Q2，只要證：2a＋7＋2eq\r(aa＋7)<2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只要證：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要證：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．二、填空題7．設(shè)a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，則a、b的大小關(guān)系為________．[答案]a<b[解析]a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，明顯eq\r(6)<eq\r(7)，∴a<b.8．(2014·南昌模擬)已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖像上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖像上的點(diǎn)，其中n∈N＋，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________．[答案]cn＋1<cn[解析]由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，∴cn隨n的增大而減?。郼n＋1<cn.9．已知命題：“在等差數(shù)列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問題，括號(hào)處的數(shù)模糊不清，可推得括號(hào)內(nèi)的數(shù)為________．[答案]18[解析]S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6，由S11為定值，可知a6＝a1＋5d為定值．設(shè)4a2＋a10＋an＝24，整數(shù)得a1＋eq\f(n＋12,6)d＝4，可知n＝18.三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)求證：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)求證：方程f(x)＝0沒有負(fù)根．[證明](1)解法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x2－x1,x1＋1x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)>0，故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．解法2：f(x)＝ax＋1－eq\f(3,x＋1)(a>1)，求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝axlna＋eq\f(3,x＋12)，∵a>1，∴當(dāng)x>－1時(shí)，axlna>0，eq\f(3,x＋12)>0，∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)解法1：設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，且0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即eq\f(1,2)<x0<2，與假設(shè)x0<0矛盾，故方程f(x)＝0沒有負(fù)根．解法2：設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，①若－1<x0<0，則eq\f(x0－2,x0＋1)<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1與f(x0)＝0矛盾．②若x0<－1，則eq\f(x0－2,x0＋1)>1，ax0>0，∴f(x0)>1與f(x0)＝0矛盾．故方程f(x)＝0沒有負(fù)根.能力強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1．設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋eq\f(1,b)、b＋eq\f(1,c)、c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)大于2 D．至少有一個(gè)不小于2[答案]D[解析]∵a>0，b>0，c>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個(gè)不小于2.2．給出如下三個(gè)命題：①四個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b、c、d依次成等比數(shù)列的充要條件是ad＝bc；②設(shè)a，b∈R，且ab≠0，若eq\f(a,b)<1，則eq\f(b,a)>1；③若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)．其中不正確命題的序號(hào)是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③[答案]A[解析]①中，a，b，c，d成等比數(shù)列?ad＝bc，但ad＝bc?/dc＝cb＝ba.②中，若eq\f(a,b)<1，則eq\f(b,a)的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②錯(cuò)誤；③中，f(|x|)＝log2|x|的定義域是{x|x∈R且x≠0}，且f(|x|)＝f(|－x|)成立，故f(|x|)是偶函數(shù)，③正確，所以答案是A.二、填空題3．已知函數(shù)f(x)＝ax＋2a＋1，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)有正值也有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．[答案]－1＜a＜－eq\f(1,3)[解析]由題意得f(x)＝ax＋2a＋1為斜率不為0的直線，由單調(diào)性知f(1)·f(－1)＜0即可．∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.∴－1＜a＜－eq\f(1,3).4．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，現(xiàn)有下列命題：①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號(hào))[答案]①④[解析]本題考查了等式與不等式之間的邏輯關(guān)系對(duì)于①，由a2－b2＝1，則(a－b)(a＋b)＝1，則a－b>0故a>b，又a>0，b>0，則a＋b>a－b，若a－b≥1，則a＋b>1，則(a＋b)(a－b)>1這與已知條件(a－b)(a＋b)＝1矛盾，故①成立．對(duì)于②，不妨取a＝2，b＝eq\f(2,3)，則a－b＝2－eq\f(2,3)>1，故②不正確．對(duì)于③，不妨取a＝9，b＝4，則|a－b|＝5>1，故③不正確，對(duì)于④，由|a3－b3|＝1知a≠b，不妨設(shè)a>b，若|a－b|≥1，而a≥b＋1，又b>0，則a>1，∴a2＋ab＋b2>1，由|a3－b3|＝|a－b||a2＋ab＋b2|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)故|a3－b3|>1，這與已知條件矛盾，解決問題時(shí)直接去解不好處理的情況下可選擇間接解法例如反證法，對(duì)于不正確命題可舉一個(gè)反例即可．三、解答題5．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(eq\r(an)，an＋1)(n∈N＋)在函數(shù)y＝x2＋1的圖像上．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求證：bn·bn＋2<beq\o\al(2,n＋1).[解析](1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知：an＝n從而bn＋1－bn＝2n，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.因?yàn)閎nbn＋2－beq\o\al(2,n＋1)＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝22n＋2＝－2n＋2－2n＋1－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n－2n<0，所以bnbn＋2<beq\o\al(2,n＋1).6．(2013·北京高考)直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．[解析](1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．所以可設(shè)A(t，eq\f(1,2))，代入橢圓方程得eq\f(t2,4)＋eq\f(1,4)＝1，即t＝±eq\r(3).所以|AC|＝2eq\r(3).(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形．因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4,y＝kx＋m))消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,1＋4k2)，eq\f(y1＋y2,2)＝k·