2017-2018學年高二數(shù)學上冊基礎鞏固檢測試題8

高中同步測試卷(十)單元檢測基本不等式(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2abB．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥22．若a＞1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．0B．2C.eq\f(2\r(a),a－1)D．33．若x＞0，f(x)＝eq\f(12,x)＋3x的最小值為()A．12B．－12C．6D．－64．函數(shù)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)))(0＜x＜2)的最大值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．25．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件B．80件C．100件D．120件6．點(x，y)在直線x＋3y－2＝0上移動時，z＝3x＋27y＋3的最小值為()A.eq\f(11,3)B．3＋2eq\r(3)C．6D．97．某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則()A．x＝eq\f(a＋b,2)B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2)D．x≥eq\f(a＋b,2)8．已知正數(shù)a，b滿足4a＋b＝30，使得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值的實數(shù)對(a，b)是()A．(5，10)B．(6，6)C．(10，5)D．(7，2)9．不等式eq\f(（x＋y）（x＋ay）,xy)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()A．2B．4C．6D．810．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為()A．16B．25C．9D．3611．若x，y是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))eq\s\up12(2)的最小值是()A．2B.eq\f(7,2)C．4D.eq\f(9,2)12．給出下列語句：①若a，b為正實數(shù)，a≠b，則a3＋b3＞a2b＋ab2；②若a，b，m為正實數(shù)，a＜b，則eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b)；③若eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，則a＞b；④當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，sinx＋eq\f(2,sinx)的最小值為2eq\r(2)，其中結論正確的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3題號123456789101112答案二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，則z＝eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)的最小值為________．14．函數(shù)f(x)＝lgx＋eq\f(4,lgx)(0＜x＜1)的最大值是________，當且僅當x＝________時取等號．15．若對任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是________．16．已知a＞b＞0，則a2＋eq\f(64,b（a－b）)取最小值時b的值為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(1)已知x＞0，求y＝2－x－eq\f(4,x)的最大值；(2)已知x＞2，求y＝x＋eq\f(1,x－2)的最小值；(3)已知0＜x＜eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值．18．(本小題滿分12分)過點P(2，1)的直線l分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點，求△AOB的面積S的最小值．19.(本小題滿分12分)設x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0,8x－y－4≤0,x≥0，y≥0))，若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為8.(1)求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值；(2)求a2＋16b2－4ab的最小值．20．(本小題滿分12分)?；~塘是某地一種獨具地方特色的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個?；~塘項目，該項目準備購置一塊1800平方米的矩形地塊，中間挖出三個矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，池塘周圍的基圍寬均為2米，如圖，設池塘所占的總面積為S平方米．(1)試用x表示S；(2)當x取何值時，才能使得S最大？并求出S的最大值．21.(本小題滿分12分)是否存在常數(shù)c，使得不等式eq\f(x,2x＋y)＋eq\f(y,x＋2y)≤c≤eq\f(x,x＋2y)＋eq\f(y,2x＋y)對任意正實數(shù)x，y恒成立？證明你的結論．22．(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范圍．參考答案與解析1．【解析】選D.特值法：取a＝b＝－1可排除A、B、C選項．2．【解析】選D.因為a＞1，所以a－1＞0，a＋eq\f(1,a－1)＝(a－1)＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝3，當且僅當a－1＝eq\f(1,a－1)，即a＝2時，等號成立，故選D.3．【解析】選A.因為x＞0，所以f(x)＝eq\f(12,x)＋3x≥2eq\r(\f(12,x)×3x)＝12，當且僅當eq\f(12,x)＝3x，即x＝2時取等號．4．【解析】選B.因為0＜x＜2，所以0＜1－eq\f(x,2)＜1，所以y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)))＝2·eq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,2)))≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x,2)＋1－\f(x,2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，當且僅當eq\f(x,2)＝1－eq\f(x,2)，即x＝1時，等號成立，故選B.5．【解析】選B.因為生產(chǎn)x件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為800＋eq\f(x,8)·x，所以平均每件費用y＝eq\f(800＋\f(1,8)x2,x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(800,x)≥20，當且僅當eq\f(x,8)＝eq\f(800,x)，即當x＝80件時，ymin＝20.6．【解析】選D.因為x＋3y＝2，所以z＝3x＋33y＋3≥2×eq\r(3x＋3y)＋3＝2eq\r(32)＋3＝9.當且僅當x＝3y即x＝1，y＝eq\f(1,3)時取等號．7．【解析】選B.A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，從而(1＋x)2＝(1＋a)·(1＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以x≤eq\f(a＋b,2).8．【解析】選A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋1＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥eq\f(1,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(3,10)，當且僅當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4a,b)，,4a＋b＝30，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝10))時等號成立．故選A.9．【解析】選B.eq\f(（x＋y）（x＋ay）,xy)＝eq\f(x2＋（a＋1）xy＋ay2,xy)＝a＋1＋eq\f(x2＋ay2,xy)≥a＋1＋2eq\r(a)＝(eq\r(a)＋1)2，當且僅當x＝eq\r(a)y時等號成立，所以eq\f(（x＋y）（x＋ay）,xy)的最小值為(eq\r(a)＋1)2，于是(eq\r(a)＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故選B.10．【解析】選B.(1＋x)(1＋y)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（1＋x）＋（1＋y）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2＋（x＋y）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋8,2)))eq\s\up12(2)＝25，因此當且僅當1＋x＝1＋y即x＝y(tǒng)＝4時，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故選B.11．【解析】選C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))≥1＋1＋2＝4.當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(2),2)時，式子取得最小值4.12．【解析】選C.本題①中作差變形后可得：a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)2(a＋b)，由于a，b為正實數(shù)，a≠b，所以(a－b)2(a＋b)＞0，即①正確；對于②用賦值法很容易判斷其錯誤，如a＝1，b＝2，m＝1，符合條件但結論不正確；對于③，利用不等式的性質，在不等式兩邊同時乘c2，不等號的方向不改變，故正確；對于④，利用基本不等式成立的條件“一正，二定，三相等”的第三點不成立，取不到“＝”，故④錯誤．綜合得正確的有①，③兩個，從而選C.13．【解析】由已知條件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.則eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)≥2eq\r(\f(10,xy))＝2，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(5,y)))eq\s\do7(最小值)＝2，當且僅當2y＝5x時取等號．又xy＝10，即x＝2，y＝5時等號成立．【答案】214．【解析】因為0＜x＜1，所以lgx＜0，所以－lgx＞0，f(x)＝lgx＋eq\f(4,lgx)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－lgx）＋\f(4,－lgx)))≤－2eq\r(（－lgx）·\f(4,－lgx))＝－4.當且僅當－lgx＝eq\f(4,－lgx)，即lgx＝±2時，取“＝”．又因為lgx＜0，所以lgx＝－2，此時x＝eq\f(1,100).【答案】－4eq\f(1,100)15．【解析】因為x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2(當且僅當x＝1時，等號成立)，所以eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值為eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))16．【解析】因為a＞b＞0，所以0＜b(a－b)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(b＋（a－b）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,4)，當且僅當b＝a－b，即b＝eq\f(a,2)時等號成立，所以eq\f(64,b（a－b）)≥eq\f(64×4,a2)＝eq\f(256,a2)，所以a2＋eq\f(64,b（a－b）)≥a2＋eq\f(256,a2)≥2eq\r(a2·\f(256,a2))＝32，當且僅當a2＝eq\f(256,a2)，即a＝4時等號成立，此時b＝eq\f(a,2)＝2.【答案】217．【解】(1)因為x＞0，所以x＋eq\f(4,x)≥4，所以y＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≤2－4＝－2，所以當且僅當x＝eq\f(4,x)(x＞0)，即x＝2時，ymax＝－2.(2)因為x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(（x－2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－2))))＋2＝4.所以當且僅當x－2＝eq\f(1,x－2)(x＞2)，即x＝3時，ymin＝4.(3)因為0＜x＜eq\f(1,2)，所以1－2x＞0，所以y＝eq\f(1,4)×2x·(1－2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)，所以當且僅當2x＝1－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，即x＝eq\f(1,4)時，ymax＝eq\f(1,16).18．【解】設直線l的方程為y－1＝k(x－2)(顯然k存在，且k≠0)．令y＝0，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))；令x＝0，可得B(0，1－2k)．因為A，B都在正半軸上，所以2－eq\f(1,k)＞0且1－2k＞0，可得k＜0.所以S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))(1－2k)＝eq\f(－4k2＋4k－1,2k)＝－2k＋eq\f(1,－2k)＋2≥2eq\r(（－2k）·\f(1,（－2k）))＋2＝4，當且僅當k2＝eq\f(1,4)，即k＝－eq\f(1,2)時，S△AOB取得最小值4.19．【解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖，作直線l0：ax＋by＝0，平移l0，由圖可知，當直線經(jīng)過點A(1，4)時，zmax＝ax＋by＝a＋4b＝8.(1)因為a＞0，b＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,8)(a＋4b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4b,a)·\f(a,b))))＝eq\f(1,8)(5＋4)＝eq\f(9,8)，當且僅當eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)＝2，即a＝eq\f(8,3)，b＝eq\f(4,3)時取等號，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\f(9,8).(2)因為a＋4b＝8，a＞0，b＞0，所以a＋4b≥2eq\r(a·4b)＝4eq\r(ab)，所以ab≤4.又因為a2＋16b2≥eq\f(（a＋4b）2,2)＝32，所以a2＋16b2－4ab≥32－16＝16，當且僅當a＝4b＝4，即a＝4，b＝1時取等號，所以a2＋16b2－4ab的最小值為16.20．【解】(1)由題圖可知，3a＋6＝x，所以a＝eq\f(x－6,3).則總面積S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1800,x)－4))·a＋2aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1800,x)－6))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5400,x)－16))＝eq\f(x－6,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5400,x)－16))＝1832－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10800,x)＋\f(16x,3)))，即S＝1832－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10800,x)＋\f(16x,3)))(x>0)．(2)由S＝1832－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10800,x)＋\f(16x,3)))，得S≤1832－2eq\r(\f(10800,x)×\f(16x,3))＝1832－2×240＝1352.當且僅當eq\f(10800,x)＝eq\f(16x,3)，即x＝45時等號成立．即當x為45米時，S最大，且S的最大值為1352平方米．