《概率的基本性質》教學設計、導學案、同步練習

《10.1.4概率的基本性質》教學設計

【教材分析】

本節(jié)《普通高中課程標準數學教科書-必修二(人教A版)第十章《10.1.4概率的基本

性質》，本節(jié)課主要從定義出發(fā)研究概率的性質，例如：概率的取值范圍；特殊事件的概率；

事件有某些特殊關系時，它們的概率之家的關系等等，注意對概率思想方法的理解.發(fā)展學

生的直觀想象、邏輯推理、數學建模的核心素養(yǎng)。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

A.理解兩個事件互斥、互為對立的含義.1.數學建模：事件關系于概率性質

B.理解概率的6條基本性質,重點掌握性2.邏輯推理：事件互斥、互為對立的含義

質3、性質4、性質6及其公式的應用條件.3.數學運算：運用概率性質計算概率

C.能靈活運用這幾條重要性質解決相關的實際4.數據抽象：運用集合的觀點分析事件關系

問題，培養(yǎng)數學建模和數學化歸能力.

【教學重點】：掌握性質3、性質4、性質6及其公式的應用條件.

【教學難點】：理解兩個事件互斥、互為對立的含義.

【教學過程】

教學過程教學設計意圖

一、探究新知

一般而言，給出了一個數學對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個

數學對象的性質，例如，在給出指數函數的定義后，我們從定義出發(fā)

研究了指數函數的定義域、值域、單調性、特殊點的函數值等性質，

這些性質在解決問題時可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率

的定義后，我們來研究概率的基本性質.由知識回顧，類比提

我們從定義出發(fā)研究概率的性質，出問題。發(fā)展學生數

(1)概率的取值范圍；學抽象、直觀想象和

(2)特殊事件的概率；邏輯推理的核心素

(3)事件有某些特殊關系時，它們的概率之間的關系；等等。養(yǎng)。

1.概率P(A)的取值范圍

由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負的；在每次試驗中，必

然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生，一般地，概率有如下性

質：

性質1對任意的事件A,都有P(A)20.

性質2必然事件的概率為1,

不可能事件的概率為0,

即P(Q)=1,P(①)=0.

2.概率的加法公式(互斥事件時有一個發(fā)生的概率)

性質3.如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

在擲骰子實驗中，事件，A=｛出現1點｝;B=｛出現2點卜

C=｛出現的點數小于3｝；

P(C)=p(AUB)=p(A)+p(B)=l/6+l/6=l/3

因為事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以n(AU

B)=n(A)+n(B),這等價于P(AUB)=P(A)+P(B),即兩個互斥事件的和事

件的概率等于這兩個事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法

公式：

［破疑點］①事件Z與事件8互斥，如果沒有這一條件，加法公式

將不能應用.

②如果事件4,Ai,…，4彼此互斥，那么尸(4U4U…U4)=P(4)

+尸(4)+…+尸(4),即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和.

③在求某些稍復雜的事件的概率時，可將其分解成一些概率較易求

的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易.

性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，

那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

G=｛出現的點數為偶數｝;

H=｛出現的點數為奇數｝;

如在擲骰子實驗中，事件.

［破疑點］①公式使用的前提必須是對立事件，否則不能使用此公

式.②當一事件的概率不易直接求，但其對立事件的概率易求時，可

運用此公式，即使用間接法求概率.

3.對立事件有一個發(fā)生的概率

例1.某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率

分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計算這個射手在一次射擊中：

(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率：(2)不夠7環(huán)的概率.通過具體問題的事

［解析］⑴設“射中10環(huán)”為事件4“射中7環(huán)”為事件6,由件分析，歸納出概率

于在一次射擊中，4與占不可能同時發(fā)生，故4與6是互斥事件.“射性質。發(fā)展學生數學

中10環(huán)或7環(huán)”的事件為4U區(qū)抽象、邏輯推理的核

故尸故0歷=尸(4)+P(面=0.21+0.28=0.49.心素養(yǎng)。

射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.

(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3

環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、。環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，

可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、

9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個發(fā)生，另一個不發(fā)生，故是對立

事件，可用對立事件的方法處理.

設“不夠7環(huán)”為事件E,則事件下為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或

10環(huán)”，由⑴可知“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中9環(huán)”、

“射中10環(huán)”是彼此互斥的事件，

：.PCE)=Q.21+0.23+0.25+0.28=0.97,

從而產(皮=1一/(2)=1—0.97=0.03.

...不夠7環(huán)的概率為0.03.

一般地，對于事件A與事件B,如果ACB,即事件A發(fā)生，則事件B-

定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件B的概率。于是我們有概率的

單調性：

在古典概型中，對于事件A與事件B,如果ACB,那么n(A)Wn(B).于

是

”(A)”(B)

即P(A)WP(B)

n(Q)n(Q)

性質5.如果A￡B,那么P(A)WP(B)

由性質5可得,對于任意事件A,因為①UAUC,所以OWP(A)Wl.

一個袋子中有大小和質地相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1

和2),2個綠色球(標號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個

球.設事件R="第一次摸到紅球"，R="第二次摸到紅球"，R="兩

12

次都摸到紅球”，

“兩個球中有紅球”=RUR,那么P(RUR)和P(R)+P(R)相等嗎?

121212

如果不相等，請你說明原因，并思考如何計算P(RUR).

12

因為n(Q)=12,n(R)=n(R)=6,n(RUR)=10,

I212

所以P(R)=P(R)=6/12,P(RUR)=10/12.因此P(RU

12121

R)WP(R)+P(R).

212

這是因為RPIR={(1,2),(2,1)}W①，即事件R,R不是互斥的，

1212

容易得到P(RUR)=P(R)+P(R)—P(RDR).

121212

一般地，我們有如下的性質：

通過實例分析，讓學

性質6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有

生掌握概率性質，提

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AAB)

升推理論證能力，提

由性質5可得,對于任意事件A,因為①UAUQ,所以0<P(A)Wl.

高學生的數學抽象、

性質1對任意的事件4都有依⑷三0數學建模及邏輯推

必然事件的概率為3不可能事件的概率為0.

性質2理的核心素養(yǎng)。

即P(0)=1,尸(0)=2

如果事件N與事48互斥，那么

性質3

如果事件A與事件B互為對立事件，那么

性質4

尸(8)+尸(4)=1,P(8)=1-P(A)尸儀尸1-P(B}

性質5如果NU8,那么尸(4)三尸(5)

設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，則有

性質6

P(ZU8)寸(/)+尸(8)-2型地

(1)對于P(AUB)=P(A)+P(B)應用的前提是A,B互斥,并且該公式可以

推廣到多個事件的情況.如果事件A,A,A兩兩互斥,那么事件A

12m

UAU-UA發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即

2m

P(AUAU-UA)=P(A)+P(A)+-+P(A).

12m12m

該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.

(2)若A與B互為對立,則有P(A)+P(互=1;

若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對立.

(3)對于概率加法的一般公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AAB),

當ACB=4時，就是性質3.

例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件

A=“抽到紅心”,事件B="抽到方片”,

P(A)=P(B)=O.25.那么

(1)C="抽到紅花色”，求P(C);

(2)D="抽到黑花色”，求P(D).

解：⑴因為C=AUB,且A與B不會同時發(fā)生，

所以A與B是互斥事件.根據互斥事件的概率加法公式，

得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5

(2)因為C與D互斥，又因為CUD是必然事件，

所以C與D互為對立事件.

因此P(D)=l-P(C)=l—0.5=0.5.

例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業(yè)開展了有獎促銷活動：

將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料.若從一

箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？

分析：“中獎”包括第一罐中獎但第二罐不中獎、第一罐不中獎但第

二罐中獎、兩罐都中獎三種情況。如果設A=“中獎”，A="第一罐

I

中獎"，A="第二罐中獎”，那么就可以通過事件的運算構建相應

2

事件，并利用概率的性質解決問題.

解：設事件A=“中獎”，事件A="第一罐中獎"，事件A="第二

I2

A

A

AAAAA

罐中獎”，那么事件AA="兩罐都中獎”，A="第一罐中獎，

1212

第二罐不中獎"，A="第一罐不中獎，第二罐中獎”，且人=八八

1212

UAUA.因為AA,A,A兩兩互斥，所以根據互斥事

1212121212

件的概率加法公式，可得P(A)=P(AA)+P(A)+P(A).

121212

我們借助樹狀圖來求相應事件的樣本點數.

第一雄區(qū)*可傕結果數

....2x1-2

分……2x4=8

4X2=8

可以得到，樣本空間包含的樣本點個數為n(Q)=6X5=30,且每個樣

本點都是等可能的.

因為n(AA)=2,n(A*8,n(矽=8,所以

121t12

…、288183

P(A)=---1----1---=—=一

303030305

將復雜事件用簡單事件的運算結果表示，利用概率運算

法則求概率，是一種重要的思想方法.例12中的事件“中獎”

等價于“至少一罐有獎"，利用樹狀圖把“中獎”表示為兩

兩互斥的3個事件的和事件，請同學們體會解決這類問題時

樹狀圖的作用.

由于月“2UXi石=Ni(/hU瓦)=A\Q=Ai,

可以簡化計算產⑷=P(At)+P(A,A2)=J+^=J.

法2:注意到事件A的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，

由于44="兩罐都不中獎”,而

n(A4)=4X3=12,

所以陶4)44

___23

因此，尸(A)=I-P(4&)=I—M=M

三、達標檢測

1.給出以下結論：①互斥事件一定對立；②對立事件一定互斥；③互斥通過練習鞏固本節(jié)

事件不一定對立;④事件A與6的和事件的概率一定大于事件/的概所學知識，通過學生

率;⑤事件A與B互斥,則有。(4)=1-。(而.其中正確命題的個數為解決問題，發(fā)展學生

()的數學抽象、邏輯推

A.0B.1C.2D.3理、數學運算、數學

答案:C建模的核心素養(yǎng)。

解析:對立必互斥,互斥不一定對立,故②③正確，①又當力U6=4

時,。(4口而可(心，故端；只有事件A與6為對立事件時,才有

0(4)=1-尸㈤，故晚昔.

2.從集合｛a,&c,d,e｝的所有子集中任取一個,若這個子集不是集合

｛a,6,c｝的子集的概率是則該子集恰是集合(a,b,c｝的子集的概率

是()

A.-B.-C.-D.i

5548

答案:C

解析:該子集恰是｛a",c｝的子集的概率為P=\9="

44

3.若事件A,6滿足4(1戶0,11_)8=0,且P(A)O.3,則P⑦=_______.

答案：0.7

4.盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球，從中摸出一

個球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球

是白球的概率是_______，摸出的球不是黃球的概率是________，摸

出的球或者是黃球或者是黑球的概率是_______.

答案:0.400.820.60

5.一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷

的概率為0.74,兩根同時熔斷的概率為0.63,問至少有一根熔斷的概

率是多少？

解:設上“甲熔絲熔斷”，廬“乙熔絲熔斷”，則“甲、乙兩根熔絲至

少有一根熔斷”為事件力U6.

P(AU0=P(Q+P⑦-PkAn的

-0.85^.74-0.63-0.96.

6.據統(tǒng)計,某儲蓄所一個窗口排隊等候的人數及相應概率如下表:

(1)求至多2人排隊等候的概率；

(2)求至少2人排隊等候的概率.

5人及5

排隊等候的人數01234

人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

解:記在窗口排隊等候的人數為0,1,2分別為事件4區(qū)C,則/，氏。兩

兩互斥.

(1)至多2人排隊等候的概率是。儲U8U

。=#儲)+P⑦+P9-0.1@164.34).56.

(2)至少2人排隊等候的對立事件是“排隊等候人數為0或1”，

而排隊等候人數為0或1的概率為A/IU

m=P(A)鏟㈤=0.1X).16=0.26,

故至少2人排隊等候的概率為1-0.26-0.74.

四、小結

概通過總結，讓學生進

率

的一步鞏固本節(jié)所學

基

本

性內容，提高概括能

質

力。

1.概率加法公式是對互斥事件而言的，一般地，P(AUB)WP(A)+

P(B).

2.在求解復雜的事件的概率時,通常有兩種方法，一是將所求事件的

概率轉化成彼此互斥的概率之和.

二是先求此事件的對立事件的概率，特別是在涉及“至多”或“至

少”問題時，常常用此思維模式.再利用P(A)=1-P(彳)來得出原

問題的解.這種處理問題的方法稱為逆向思維,有時能使問題的解決

事半功倍.

五、課時練

【教學反思】

本節(jié)課主要學習概率的基本性質，注意運用集合運算的觀點分析學習。概率的性質主要

是用于求復雜事件的概率，(1)將所求事件轉化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對立

事件的概率，再求所求事件的概率等等。教學中要注重學生的主體地位，調動學生積極性,

使數學教學成為數學活動的教學。從而發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數學建模的核心素

養(yǎng)。

《10.1.4概率的基本性質》導學案

【學習目標】

1.理解兩個事件互斥、互為對立的含義.

2.理解概率的6條基本性質，重點掌握性質3、性質4、性質6及其公式的應用條件.

3.能靈活運用這幾條重要性質解決相關的實際問題，培養(yǎng)數學建模和數學化歸能力.

【教學重點】：掌握性質3、性質4、性質6及其公式的應用條件.

【教學難點】：理解兩個事件互斥、互為對立的含義.

【知識梳理】

一、新知自學

概率的基本性質

1.思考

在拋擲質地均勻的骰子試驗中，我們定義如下事件：C="出現1點”，"出現2

12

點”，C=“出現3點”，“出現4點”，C=“出現5點”，C=“出現6點”，〃=”出現的點

34561

數不大于1"，〃=“出現的點數大于4"，。=“出現的點數小于6”，爐“出現的點數小于

23

7"，尸="出現的點數大于6"，6=”出現的點數為偶數”，為“出現的點數為奇數”，等等.

(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件？

提示￡■是必然事件;b是不可能事件.

(2)如果事件C發(fā)生,那么一定有哪些事件發(fā)生?反之,成立嗎?在集合中,集合C與這些

I1

集合之間的關系怎樣描述？

提示如果事件C發(fā)生,那么一定發(fā)生的事件有〃反之,如果事件D,D,E,〃分別

成立,那么能推出事件C發(fā)生的只有D.所以從集合的觀點看,事件C是事件D,E,〃的子集,

1113

集合。與集合〃相等.

11

(3)如果事件A與事件E互斥,則事件/U6發(fā)生的頻數與事件A發(fā)生、事件8發(fā)生的頻

數有什么關系?f(4U0與f(⑷，f(而有什么關系?進一步得到尸G4U而與P(A),P⑦有什么

nnn

關系？

提示若事件A與事件B互斥,則/U6發(fā)生的頻數等于事件A發(fā)生的頻數與事件8發(fā)生的

頻數之和,從而有f(AU孫=f(A)+f(6),由此得到P(AU助=P(Q+P(心,這就是概率的加法公

nnn

式.

(4)如果事件A與事件8互為對立事件,P(AUB)與P(A),P(①又有什么關系？

提示因為事件A與事件6互為對立事件,所以4U6為必然事件,所以。(4U合=1.由P(A

Um=P(A)+P出,得1=P(Q+P,從而得出P(B)=1-P(4),。儲)A-P(4.

2.填空

性質1對任意的事件A,都有以⑷三0

必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.

性質2

即p(a)p(。)=o

性質3如果事件A與事件8互斥,那么P(AU吩=P(6+P(B)

如果事件A與事件8互為對立事件,那么

性質4

P(而+P(A)乜,=1上⑷,P(A)=1-P{B)

性質5如果AQB,那么至P出

性質6設A,6是一個隨機試驗中的兩個事件，則有P(AUS)=P(A)+P(朋-P(AC協(xié)

歸納提升(1)對于P(AUm=P(A)步(公應用的前提是A,6互斥,并且該公式可以推廣到

多個事件的情況.如果事件A,A,-,A兩兩互斥,那么事件AUAU-UA發(fā)生的概率等于這

12m12nt

皿個事件別發(fā)生的概率之和,即P(AIMU???U)=P(A)+P{A)+P{A).

I2a12ar

該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.

⑵若［與8互為對立,則有尸(⑷+P(B)=1;若PG4)"(而＞\,并不能得出A與8互為對立.

(3)對于概率加法的一般公式P(AU協(xié)=P(A)+P⑦-P(AC明,當4C6土時,就是性質3.

3.做一做

(1)從裝有20個紅球和30個白球的罐子里任取兩個球，下列情況中是互斥而不是對立的

兩個事件是()

A.至少有一個紅球與至少有一個白球

B.恰有一個紅球與都是白球

C.至少有一個紅球與都是白球

D.至多有一個紅球與都是紅球

(2)擲一枚均勻的正六面體骰子,設/="出現3點”，爐“出現偶數點”，則一(4U面等

于.

(3)甲、乙兩人各射擊一次,命中率分別為0.8和0.5,兩人同時命中的概率為0.4,則甲、

乙兩人至少有一人命中的概率為.

(4)判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內打“J”，錯誤的打“X”.

⑦互斥事件不一定是對立事件,但對立事件一定是互斥事件.()

麟同一試驗中的兩個事件力與用一定有。G4U歷守(心一戶㈤.()

8若事件46滿足P(⑷步⑻=1,則46是對立事件.()

【學習過程】

一、探究新知

一般而言，給出了一個數學對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個數學對象的性質，

例如，在給出指數函數的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數函數的定義域、值域、單調性、

特殊點的函數值等性質，這些性質在解決問題時可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概

率的定義后，我們來研究概率的基本性質.

我們從定義出發(fā)研究概率的性質，

(1)概率的取值范圍；

(2)特殊事件的概率；

(3)事件有某些特殊關系時，它們的概率之間的關系；等等。

1.概率P(A)的取值范圍

由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負的；在每次試驗中，必然事件一

定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生，一般地，概率有如下性質：

性質1對任意的事件A,都有P(A)>0.

性質2必然事件的概率為1,

不可能事件的概率為0,

即P(Q)=1,P(中)=0.

2.概率的加法公式(互斥事件時有一個發(fā)生的概率)

性質3.如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

在擲骰子實驗中，事件，A=｛出現1點｝;B=｛出現2點｝;

C=｛出現的點數小于3｝；

P(C)=p(AUB)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3

因為事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以n(AUB)=n(A)+n(B),

這等價于P(AUB)=P(A)+P(B),即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和，所

以我們有互斥事件的概率加法公式：

［破疑點］①事件Z與事件8互斥，如果沒有這一條件，加法公式將不能應用.

②如果事件4,4,…,4彼此互斥，那么P(4U4U…U4)=P(4)+2(4)+…+尸(4)，

即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和.

③在求某些稍復雜的事件的概率時，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，

化整為零，化難為易.

性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，

那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

G=｛出現的點數為偶數｝;

H=｛出現的點數為奇數｝;

如在擲骰子實驗中，事件.

［破疑點］①公式使用的前提必須是對立事件，否則不能使用此公式.②當一事件的概

率不易直接求，但其對立事件的概率易求時，可運用此公式，即使用間接法求概率.

3.對立事件有一個發(fā)生的概率

例1.某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別

為0.21,0.23,0.25,0.28,計算這個射手在一次射擊中：

(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率.

一般地，對于事件A與事件B,如果AGB,即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那

么事件A的概率不超過事件B的概率。于是我們有概率的單調性：

在古典概型中，對于事件A與事件B,如果ACB,那么n(A)Wn(B).于是

〃(A)工n(B)

即P(A)WP(B)

”(C)n(Q)

性質5.如果ACB,那么P(A)WP(B)

由性質5可得,對于任意事件A,因為①UAUC,所以0WP(A)WL

一個袋子中有大小和質地相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1和2),2

個綠色球(標號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R="第一次摸到紅

1

球"，R="第二次摸到紅球"，R="兩次都摸到紅球”，

2

“兩個球中有紅球”=RUR,那么P(RUR)和P(R)+P(R)相等嗎？如果不相等，請你

121212

說明原因，并思考如何計算P(RUR).

12

因為n(Q)=12,n(R)=n(R)=6,n(RUR)=10,

I212

所以P(R)=P(R)=6/12,P(RUR)=10/12.因此P(RUR)所以R)+P(R).

12I21212

這是因為RDR={(1,2),(2,1)}W①，即事件R,R不是互斥的，

1212

容易得到P(RUR)=P(R)+P(R)-P(RDR).

1212I2

一般地，我們有如下的性質：

性質6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ADB)

由性質5可得,對于任意事件A,因為①UA￡Q,所以0&P(A)Wl.

性質1對任意的事件4都有P(⑷三0

必然事件的概率為L不可能事件的概率為0.

性質2

B|J尸(。)=1，尸(。)=°

如果事件力與事件8互斥，那么

性質3

P(ZUB)=尸(,4)+P(8)

如果事件月與事件3互為對立事件，那么

性質4

P(5)+PC4)=1,P(B)=1-P(A^(A)^1-P(B\

性質5如果月那么P(Z)MP(B)

設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，則有

性質6

P(A尸(⑻孑64n8)

(1)對于P(AUB)=P(A)+P(B)應用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個事件的

情況.如果事件A,A,…,A兩兩互斥，那么事件AUAU-UA發(fā)生的概率等于這m個事件分

別發(fā)生的概率之和，即P(AUAU-UA)=P(A)+P(A)+-+P(A).

12m12m

該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.

(2)若A與B互為對立,則有P(A)+P(B)=l;

若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對立.

(3)對于概率加法的一般公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ADB),

當ACB=<&時，就是性質3.

例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，

設事件A=“抽到紅心”,事件B="抽到方片"，P(A)=P(B)=0.25.那么

(DC="抽到紅花色”，求P(C);

(2)D="抽到黑花色”，求P(D).

例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝

一箱,每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料.若從一箱中隨機抽出2罐,能中獎的概率為多少？

【達標檢測】

1.給出以下結論:⑦互斥事件一定對立；縱立事件一定互斥；③互斥事件不一定對立；

@事件力與6的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A與6互斥,則有P(A)="P⑵.

其中正確命題的個數為()

A.0B.1C.2D.3

2.從集合｛a,b,c,d,e｝的所有子集中任取一個,若這個子集不是集合｛a",c｝的子集的概

率是；則該子集恰是集合E6,d的子集的概率是()

4

A.-B.-C.-D.i

5548

3.若事件A,8滿足/n戶0,/U/a,且P(A)=0.3,則P(B)=.

4.盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球，從中摸出一個球,摸出黑球的概

率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球是白球的概率是,摸出的球不是黃

球的概率是，摸出的球或者是黃球或者是黑球的概率是.

5.一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,兩根

同時熔斷的概率為0.63,問至少有一根熔斷的概率是多少?

6.據統(tǒng)計,某儲蓄所一個窗口排隊等候的人數及相應概率如下表:

(1)求至多2人排隊等候的概率；

(2)求至少2人排隊等候的概率.

排隊等候的人數012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

【課堂小結】

概T互斥事件、互為對立事存

率

的

基T6條基本性質及其推導、使用前提

本

性

質概率基本性質的實際應前

1.概率加法公式是對互斥事件而言的，一般地，P(AUB)WP(A)+P(B).

2.在求解復雜的事件的概率時,通常有兩種方法，一是將所求事件的概率轉化成彼此互

斥的概率之和.

二是先求此事件的對立事件的概率，特別是在涉及“至多”或“至少”問題時,常常用

此思維模式.再利用P(A)=1-P(A)來得出原問題的解.這種處理問題的方法稱為逆向思

維,有時能使問題的解決事半功倍.

參考答案：

知識梳理

答案：(1)B(2)|(3)0.9⑷①J②X@X

解析：(D由題意所有的基本事件可分為三類:兩個紅球，一紅一白，兩個白球.易知A選

項的事件不互斥;C、D兩個選項中的事件為對立事件;而B項中的事件是互斥，同時還有“兩

個紅球”的事件,故不對立.故選B.

(3)設事件4=“甲命中"，事件8=“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件

AUB,

.,.P(AU助+P⑵-必力。面R.8珀.50.4-0.9.

(2)P(AU3)=P(A)+P(B)上+三=2

663

學習過程

例1.［解析］(1)設''射中10環(huán)”為事件4“射中7環(huán)”為事件5,由于在一次射

擊中，/與6不可能同時發(fā)生，故4與6是互斥事件.“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為/U8

故一(/U面=尸(心+?(而=0.21+0.28=0.49.

???射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.

(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0

環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于

等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個發(fā)生，另一個不發(fā)生，故是

對立事件，可用對立事件的方法處理.

設“不夠7環(huán)”為事件E,則事件不為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由⑴可知

“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中10環(huán)”是彼此互斥的事件，

.(2)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,

從而以皮=1一。(下)=1-0.97=0.03.

不夠7環(huán)的概率為0.03.

例2.解：(1)因為C=AUB,且A與B不會同時發(fā)生，

所以A與B是互斥事件.根據互斥事件的概率加法公式，

得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5

(2)因為C與D互斥，又因為CUD是必然事件，

所以C與D互為對立事件.

因此P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例3.分析：“中獎”包括第一罐中獎但第二罐不中獎、第一罐不中獎但第二罐中獎、

兩罐都中獎三種情況。如果設A=“中獎”，A="第一罐中獎”，A="第二罐中獎”，那么

12

就可以通過事件的運算構建相應事件，并利用概率的性質解決問題.

解：設事件A=“中獎”，事件A="第一罐中獎"，事件A="第二罐中獎”，那么事

12

件AA="兩罐都中獎”，1W="第一罐中獎，第二罐不中獎”，彳A="第一罐不中獎，

121212

第二罐中獎"，且A=AAUAX0彳人.因為人人，人彳"無兩兩互斥，所以根據互斥事件

121212121212

的概率加法公式，可得P(加=P(AA)+P(AA)+P(AA).

121212

我們借助樹狀圖來求相應事件的樣本點數.

第一筆第二程可能結果數

2x1=2

4x2=8

4x3=12

可以得到，樣本空間包含的樣本點個數為n(Q)=6X5=30,且每個樣本點都是等可能的.

因為n(AA)=2,n(AT)=8,n(AA)=8,所以

1212八12

…、288183

尸(A)=--1----1---=—=-

303030305

將復雜事件用簡單事件的運算結果表示，利用概率運算

法則求概率，是一種重要的思想方法.例12中的事件“中獎”

等價于“至少一罐有獎"，利用樹狀圖把“中獎”表示為兩

兩互斥的3個事件的和事件，請同學們體會解決這類問題時

樹狀圖的作用.

由于A\AiUAtA2=At(J2UA2)=AtQ=Ai,

+

可以簡化計算尸(4)=P(At)+P(A,A2)=J^=J.

法2:注意到事件A的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，

由于4&="兩罐都不中獎”，而

n(AH)=4X3=12,

所以尸(內卷卷

因此，尸(A)=l-P(AW)=1—g=g

達標檢測

1.答案:C

解析:對立必互斥,互斥不一定對立,故②③正確，可;又當1u%4時，尸G4U而十儲)，

故磔昔;只有事件A與6為對立事件時,才有尸(4A-P出,故⑤惜.

2.答案:C

解析:該子集恰是｛a,b,c｝的子集的概率為P=\9=；.

44

3.答案:0.7

4.答案:0.400.820.60

5.解:設4="甲熔絲熔斷”，廬“乙熔絲熔斷”，則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”

為事件4U6.

P(AU助=P(⑷+P⑦-PkAn而

=0.854).74-0.630.96.

6.解:記在窗口排隊等候的人數為0,1,2分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩互斥.

⑴至多2人排隊等候的概率是-(/U6U0=尸(4+?(而+P9-0.IX).16^0.3R.56.

(2)至少2人排隊等候的對立事件是“排隊等候人數為0或1”，

而排隊等候人數為0或1的概率為0(4U而步㈤1尬16=0.26,

故至少2人排隊等候的概率為1-0.26-0.74.

U0.1.4概率的基本性質》同步練習

一、選擇題

1.下列命題：

①對立事件一定是互斥事件；②若A,B為兩個隨機事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)；

③若事件A,B,C彼此互斥，則P(A)+P⑻+P(C)=1；④若事件A,B滿足P(A)+P⑻=1,

則A與B是對立事件.其中正確命題的個數是()

A.1B.2C.3D.4

2.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是,，甲獲勝的概率是工，則甲不輸的概率

23

為()

5211

A.-B.-C.一D.-

6563

3.若力，6為對立事件，則下列式子中成立的是()

A.P(A)+P(8)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(8)=0

1).P(4)+P(B)=1

4.在一個袋子中裝有分別標注數字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數字外

完全相同.現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是()

IC.21

A.B.-D.

1051012

5.(多選題)10.黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:

血型ABAB0

該血型的人所占比例0.280.290.080.35

己知同種血型的人可以輸血，。型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可

以給A6血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血，下列結論正確的是（）

A.任找一個人，其血可以輸給8型血的人的概率是0.64

B.任找一個人，6型血的人能為其輸血的概率是0.29

C.任找一個人，其血可以輸給。型血的人的概率為1

D.任找一個人，其血可以輸給A3型血的人的概率為1

6.（多選題）在一個試驗模型中，設/表示一個隨機事件，無表示/的對立事件.以下

結論正確的是（）

A.P(4)=P(A)B.P(A+A)=1

C.若P(A)=1,則P(A)=OD.P(A4)=0

二、填空題

7.在10000張有獎明信片中，設有一等獎5個，二等獎10個，三等獎100個，從中隨

意買1張.

（DP（獲一等獎）=,p（獲二等獎）=,p（獲三等獎）=