2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章弧度制學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

5.1.2弧度制

L課前自主預(yù)習(xí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解弧度制.

2.能進(jìn)行角度與弧度的互化.

3.能利用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式進(jìn)行求解.

要點(diǎn)梳理

1.角的單位制

(1)角度制

規(guī)定1度的角等于周角的焉，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

(2)弧度制

我們規(guī)定：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用

符號(hào)rad表示，讀作弧度.

在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為/的弧所對(duì)的圓心角為arad,那么|。1=(

一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正教，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)魚數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

2.角度與弧度的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=27rrad27rrad=360°

180°=兀radTTrad=180°

7T

1°=&rad^O.01745rad1rad=（中57.30°

1oU

度數(shù)乂高=弧度數(shù)弧度數(shù)X(岑)°=度數(shù)

loU

3.扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式

\公式

弧長(zhǎng)公式面積公式

度量/\

,7?兀廠

角度制

1=180360

弧度制1=a*rS=:/廠=}|a|/

溫馨提示：(1)運(yùn)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡(jiǎn)單

得多，但要注意它的前提是a為弧度制.

(2)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用：

1119C

①7=\a\?r,a=-,「=丁打；?S=~\a|/,a=—,

思考診斷

1.在大小不同的圓中，長(zhǎng)為1的弧所對(duì)的圓心角相等嗎？

［答案］不相等.這是因?yàn)殚L(zhǎng)為1的弧是指弧的長(zhǎng)度為1,在大小不同的圓中，由于半

徑不同，所以圓心角也不同

2.扇形的面積公式與哪個(gè)平面圖形的面積公式類似？對(duì)應(yīng)的圖形是否也類似？

［答案］扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實(shí)際上，扇形可看作是一個(gè)曲邊三

角形，弧是底，半徑是底上的高

3.判斷正誤(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)1弧度=1°.()

(2)不管是以弧度還是以度為單位的角的大小，都是一個(gè)與半徑的大小無關(guān)的定

值.()

(3)用弧度制度量角，與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān).()

(4)與45°終邊相同的角可以寫成a=2An+450,k-)

［答案］⑴X(2)J(3)X(4)X

課堂互動(dòng)探究

題型一角度與弧度的互化

【典例1】將下列角度與弧度進(jìn)行互化.

7TI11JI

(1)20°；(2)-15°；(3)—；(4)一--.

一JI180、

［思路導(dǎo)引］角度與弧度的互化關(guān)鍵抓住1°=訴rad和1rad=

loUJI

20兀JI

［解］(1)20°=［QC=石?

iouy

15兀_兀

(2)-15°180=一T?

7兀7

(3)—=—X180°=105°.

,、11"11

(4)--=-Tx180=-396-

角度制與弧度制互化的原則

Ji

牢記180°=兀rad,充分利用1°=痂rad和1rad=—0進(jìn)行換算.

loU\JL7

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.—630°化為弧度為.

JI7

［解析］—630°=-630X—=--n.

loUZ

7

［答案］-

2.。=-3rad,它是第象限角.

［解析］根據(jù)角度制與弧度制的換算，1rad=fgQ［°,貝!］a=-3rad=一(亨

—171.9。.分析可得，a是第三象限角.

［答案］三

題型二用弧度制表示終邊相同的角

【典例2】已知角a=2010°.

(1)將a改寫成￡+24五(4GZ,0W￡〈2n)的形式，并指出a是第幾象限的角;

(2)在區(qū)間［—5加，0)上找出與。終邊相同的角.

［思路導(dǎo)引］利用終邊相同的角的集合表示.

JI67兀7兀

［解］(1)2010°=2010X—=5X2Ji+—

lot)oo

▼7兀3兀

又?！炊弧炊?，

62

7Ji

:?a與*終邊相同，是第三象限的角.

⑵與。終邊相同的角可以寫成

7JI

y=-^-+24r(A￡Z),又一5兀W/<0,

29

???當(dāng)k=~3時(shí)，7=一石"兀；

17

當(dāng)A=-2時(shí)，y=---n；

0

5

當(dāng)《=-1時(shí)，r=-.

|名師提醒A

用弧度制表示終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的集合用弧度可表示為{￡|￡=2Am

+。，kGZ},這里a應(yīng)為弧度數(shù).

［針對(duì)訓(xùn)練］

3.已知。=一800°.

(1)把a(bǔ)改寫成(AdZ,0W￡〈2m)的形式，并指出a是第幾象限角；

⑵求Y，使尸與a的終邊相同，且2，vj-

14

［解］(1)V-8OO0=-3X360°+280°,280°=—n,

14Ji

???a=—800°+(-3)X2JI.

14JI

與角丁終邊相同，。是第四象限角.

14JI

⑵：與a終邊相同的角可寫為2"m+k，AGZ的形式，而尸與。的終邊相同,

y

,14兀

y

兀14兀兀

―—<2A兀+§keZ,

14JI4兀

解得“=-1,/.r=—2it+——=——.

yy

題型三扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式的應(yīng)用

【典例3】已知扇形的周長(zhǎng)為10,面積為4,求扇形的圓心角的弧度數(shù).

［思路導(dǎo)引］利用扇形的弧長(zhǎng)公式2=a|?r及面積公式S=j；r=||a/求解.

［解］設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為^(0<0<2n),弧長(zhǎng)為1,所在圓的半徑為工依題

7+2r=10,

意得<1消去/,得合一5r+4=0,

-7r=4,

解得r=l或r=4.

當(dāng)r=l時(shí)，1=8,止匕時(shí)。=8rad>2兀rad,故舍去；

21

當(dāng)r=4時(shí)，1=2,此時(shí)6>=-=-rad,滿足題意.

故夕=*|rad.

［變式］若本例條件改為：“已知扇形2利的周長(zhǎng)為10cm”，求該扇形的面積的最大

值及取得最大值時(shí)圓心角的大小及弧長(zhǎng).

［解］設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為夕(0<夕<2兀)，弧長(zhǎng)為/,半徑為八面積為S,

由J+2r=10得7=10—2r,

1l、<5\,25

S—-lr=-(z10—2^,r=5r—r2=—\r--r+—,

0X5.

當(dāng)下=抑，S取得最大值不

515

這時(shí)/=10—2XA=5,J。=一=1=2.

2r5

2

95

故該扇形的面積的最大值為7cHi1取得最大值時(shí)圓心角為2rad,弧長(zhǎng)為5cm.

|名師提醒A

弧度制下涉及扇形問題的攻略

（1）明確弧度制下扇形的面積公式是行（其中/是扇形的弧長(zhǎng)，r是扇形

的半徑，。是扇形的圓心角）.

（2）涉及扇形的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求

哪些量，然后靈活運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式直接求解或列方程（組）求解.

［針對(duì)訓(xùn)練］

4.已知扇形的圓心角為108°,半徑等于30cm,求扇形的弧長(zhǎng)和面積.

JI3兀

［解］V108°=108X—,

1805

3JI

所以扇形的弧長(zhǎng)為可Xl°=6"（cm）,

13兀

扇形的面積為3（）2=270兀（cm2）.

課堂歸納小結(jié)

1.角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：

每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯

一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng).

2.解答角度與弧度的互化問題的關(guān)鍵在于充分利用“180°

=Jtrad”這一關(guān)系式.

易知：度數(shù)X擊a€1=弧度數(shù)，弧度數(shù)X管）=度數(shù).

3.在弧度制下，扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式都得到了簡(jiǎn)化，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意角

的單位取弧度.

區(qū)隨堂鞏固驗(yàn)收

1.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位

B.1°的角是周角的白，1rad的角是周角的白~

00v乙JI

C.1rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)

［解析］“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確.1°的角是周

角的《5，1rad的角是周角的所以B正確.因?yàn)?rad=，?1°〉1°,所以C正確.用

角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無關(guān)，所以D錯(cuò)誤.

［答案］D

2.2100?；苫《仁牵ǎ?/p>

35Ji

A.—^―B.10n

28ii25JI

D.-F

JI35兀

［解析］2100°=2100X—=——.

loUo

［答案］A

9Q

3.角一的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9QIq1Q

［解析］一逐口=—4口+逐n,正it的，故選D.

［答案］D

4.在半徑為2的圓中，弧長(zhǎng)為4的弧所對(duì)的圓心角的大小是rad.

-4

［解析］根據(jù)弧度制的定義，知所求圓心角的大小為5=2rad.

［答案］2

5.已知扇形的周長(zhǎng)為8cm,圓心角為2,則扇形的面積為cm2.

［解析］設(shè)扇形的半徑為rem,弧長(zhǎng)為7cm,由圓心角為2rad,依據(jù)弧長(zhǎng)公式可得/

—2r,從而扇形的周長(zhǎng)為J+2r=4r=8,解得r=2,則7=4.

故扇形的面積S=5"=5X4X2=4cm~.

［答案］4

課后作業(yè)（三十八）

復(fù)習(xí)鞏固

、選擇題

1.—10乎n轉(zhuǎn)化為角度是（）

U

A.-300°B.-600°

C.-900°D.-1200°

［解析］由于一手=1一號(hào)乂當(dāng)。=-600°,所以選B.

OyOJI/

［答案］B

2.與30°角終邊相同的角的集合是（）

［JI

A.1aa—k,360°+—,?

B.{aIa—2kJi+30°,"ez}

C.{。|。=2人360°+30°，kG*

D.（aa=24n+豆，kGZ?

［解析］:與30°角終邊相同的角表示為。=公360°+30°,"GZ,化為弧度為a

n

=2"AeZ,...選D.

o

［答案］D

3.下列說法正確的是（）

A.在弧度制下，角的集合與正實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

B.每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng)

C.用角度制和弧度制度量任一角，單位不同，數(shù)量也不同

、,2JI

D.-120°的弧度數(shù)是丁

［解析］A項(xiàng)中，零角的弧度數(shù)為0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)是正確的；C項(xiàng)中，用角度制和

弧度制度量零角時(shí)，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；一120。對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)

2JI

是一亍，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.

［答案］B

4.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長(zhǎng)為（）

A.2B.4

C.6D.8

［解析］設(shè)扇形所在圓的半徑為尼則2=^X4X#,.?.發(fā)=1,；.斤=1..?.扇形的弧長(zhǎng)為

4X1=4,扇形的周長(zhǎng)為2+4=6.故選C.

［答案］C

5.集合《。4兀+了兀?。<4兀+丁兀，kRZ）中的角所表示的范一圍，（陰影部分、、）是，

7T乙

,JIJI,

［解析］當(dāng)k=2m,時(shí)，2mx+—^aW2mx+—,〃￡Z；當(dāng)k=2m~\~l,廬Z時(shí),

4ZJ

5JI3n.,,

2卬口+^-W。+-^~,0dz.故選C.

［答案］C

二、填空題

6.將一1485°表示成20+a（OWa<2n,AGZ）的形式是

7

［解析］V-14850=-5X360°+315°,而315°=彳"，

7

應(yīng)填一10n+］ji.

7

［答案］-Wit+-H

7.若扇形的半徑為1,圓心角為3弧度，則扇形的面積為.

1133

［解析］由于扇形面積3x12=5,故扇形的面積為萬.

［答案］2

8.已知兩角和為1弧度，且兩角差為1°,則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是

"x+y=l

［解析］設(shè)兩個(gè)角的弧度數(shù)分別為X,y.因?yàn)?°=而JIrad,所以1n解,

ioUY—v=

yiso,

’1JI

y=---

23601JI1JI

得〈所以所求兩角的弧度數(shù)分別為5+標(biāo),］一通.

_1兀

.尸5―麗'

1

墓1兀

-

-

23

23

60

解答題

三、

°.

=1690

知a

9.已

形式；

))的

［0,2m

￡e

AGZ,

+￡(

成

a寫

⑴把

).

,4m

4Ji

E(-

且0

同，

邊相

a終

。與

9,使

⑵求

+250°

0°

=144

690°

(1)1

［解］

25

JI.

I+—

X2J

=4

+250°

60°

=4X3

Io

25

).

(AeZ

二五

"m+

d=2

，；.

相同

a終邊

9與

(2),/

Io

25

〈4兀,

一兀

A兀+

4兀<2

),—

,4兀

—4

e(

又0

lo

47

97

1.

1,0,

2—

k=—

9

61

25

11

，

一二兀

值是

e的

-H

Ti’

Ti"'

18'

lo

2JI

、.

.求：

為亍

心角

2,圓

長(zhǎng)為

的弦

所對(duì)

心角

的圓

扇形

已知

10.

長(zhǎng)；

的弧

所對(duì)

心角

個(gè)圓

(1)這

積.

形的面

個(gè)扇

(2)這

」^

徑7=

以半

卓,所

角為

圓心

為2,

弦長(zhǎng)

對(duì)的

角所

圓心

形的

為扇

(1)因

［解］

兀

3

sin-

、歷兀

4

2兀

2\l3

A