專題03-隱圓(輔助圓)最值模型

11/11專題03隱圓類最值問題題型一滑梯類1．如圖，中，，，，線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在邊，上滑動(dòng)，且，若點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．32．如圖，矩形，，，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上．當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之在軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為．3．已知邊長(zhǎng)為的正方形，兩頂點(diǎn)、分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)為正方形的對(duì)稱中心，連接，則的長(zhǎng)的最大值是．4．已知邊長(zhǎng)為的正三角形，兩頂點(diǎn)、分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在第一象限，連接，則的長(zhǎng)的最大值是．5．如圖，矩形中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為．題型二定點(diǎn)定長(zhǎng)6．如圖，在矩形中，，，是邊的中點(diǎn)，是線段邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到△，連接，則的最小值是．7．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到△，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值是．8．如圖，四邊形中，，若，則度．9．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到邊距離的最小值是A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對(duì)10．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到△，連接，則長(zhǎng)度的最小值是．題型三直角所對(duì)的是直徑11．如圖，在圓中，半徑，弦，點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作，垂足為．在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，線段的最小值是A．6 B．7 C．8 D．912．如圖，在中，，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，線段的最小值是A．3 B．4 C．5 D．613．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接，則線段長(zhǎng)的最小值為．14．如圖，已知的半徑為3，圓外一定點(diǎn)滿足，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線上有兩點(diǎn)、，且，，不經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為．15．如圖，、是正方形的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接交于，連接交于點(diǎn)，若正方形的邊長(zhǎng)為3，則線段長(zhǎng)度的最小值是．題型四定邊對(duì)定角16．如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為． 第16題 第19題17．在銳角三角形中，，，設(shè)邊上的高為，則的取值范圍是．18．在中，，，．點(diǎn)為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段長(zhǎng)度的最小值為．19．如圖，為等邊三角形，．若為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)度的最小值為．20．【問題情境】（1）點(diǎn)是外一點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)．若的半徑為2，且，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為．【直接運(yùn)用】（2）如圖1，在中，，，以為直徑的半圓交于，是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．【構(gòu)造運(yùn)用】（3）如圖2，已知正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿邊、方向向終點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)，連接和交于點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離，并說明理由．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，的半徑為4，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則的面積最大值是．21．（1）如圖1，已知中，，，則．（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，且，求面積的最大值．（3）如圖3，的半徑為2，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，請(qǐng)問，的周長(zhǎng)存在最大值還是最小值？若存在，求出相應(yīng)的最值；若不存在，說明理由．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知、，且拋物線的對(duì)稱軸是直線．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）連接、，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)．24．如圖，頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，過作軸于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心為，試求的最小值．題型五定角定高25．如圖，在矩形中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，、為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度最大值為．26．輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段，以為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，在中，，為邊上的高，若，試判斷是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，若保持，那么四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

27．問題研究（1）若等邊邊長(zhǎng)為4，則的面積為；（2）如圖1，在中，，為邊上的高，若，試判斷的面積是否存在最小值．若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決（3）如圖2，四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值．28．（1）如圖1，已知、為的兩條弦，點(diǎn)為外一點(diǎn)，則（請(qǐng)用“”“”或“”填空）（2）①如圖2，若等邊內(nèi)接于，，為的切線，則的面積為．②如圖3，在中，，為邊上的高．若，試判斷的面積是否存在最小值，若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖4，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值．29．問題探究（1）如圖1．在中，，為上一點(diǎn)，．則面積的最大值是．（2）如圖2，在中，，為邊上的高，為的外接圓，若，試判斷是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決：如圖3，王老先生有一塊矩形地，，，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個(gè)四邊形魚塘，且滿足點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，這個(gè)四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

30．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上．的兩條外角平分線交于點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上．的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，連接．（1）求的度數(shù)及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．1/45專題03隱圓（輔助圓）最值模型題型一滑梯類模型1．如圖，中，，，，線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在邊，上滑動(dòng)，且，若點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．3【解答】解：中，，，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最小值，的最小值為：，故選：．2．如圖，矩形，，，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上．當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之在軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為．【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，矩形，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在中，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，的最大值為，故答案為：．3．已知邊長(zhǎng)為的正方形，兩頂點(diǎn)、分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)為正方形的對(duì)稱中心，連接，則的長(zhǎng)的最大值是．【解答】解：取中點(diǎn)，連，，有，當(dāng)、、共線時(shí)，有最大值，最大值是．四邊形為正方形，，且為中點(diǎn)，，的最大值為，故答案為：．4．已知邊長(zhǎng)為的正三角形，兩頂點(diǎn)、分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在第一象限，連接，則的長(zhǎng)的最大值是．【解答】解：取中點(diǎn)，連，，有，當(dāng)、、共線時(shí)，有最大值，最大值是．為等邊三角形，，根據(jù)三角形的性質(zhì)可知：，．故答案為：．5．如圖，矩形中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為45．【解答】解：由已知，點(diǎn)在以圓心，5為半徑的圓在與長(zhǎng)方形重合的弧上運(yùn)動(dòng)．作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，交以為圓心，以5為半徑的圓于由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)的值最小最小值為，則的最小值，故答案為：45．題型二定點(diǎn)定長(zhǎng)模型6．如圖，在矩形中，，，是邊的中點(diǎn)，是線段邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到△，連接，則的最小值是．【解答】解：如圖所示點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、共線時(shí)，此時(shí)的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，．7．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到△，連接，則線段長(zhǎng)度的最小值是．【解答】解：如圖所示：在的運(yùn)動(dòng)過程中在以為圓心，的長(zhǎng)為半徑的圓上，是定值，長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即在上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，為中點(diǎn)，，，，，，，．故答案為：．8．如圖，四邊形中，，若，則38度．【解答】解：，點(diǎn)，，可以看成是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的三個(gè)點(diǎn)，是弧對(duì)的圓周角，是弧對(duì)的圓心角；，．9．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到邊距離的最小值是A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對(duì)【解答】解：以為圓心，為半徑作，過點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離的最小值．由翻折的性質(zhì)可知，，點(diǎn)在上，，，，由，，，，點(diǎn)到的距離的最小值．故選：．10．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到△，連接，則長(zhǎng)度的最小值是5．【解答】解：如圖，連接；過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；四邊形為平行四邊形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，由勾股定理得：，；由翻折變換的性質(zhì)得：，顯然，當(dāng)折線與線段重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，此時(shí)，故答案為5．題型三直角所對(duì)的是直徑11．如圖，在圓中，半徑，弦，點(diǎn)是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作，垂足為．在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，線段的最小值是A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，是直徑，，，，，，，，，的最小值為8．故選：．12．如圖，在中，，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，線段的最小值是A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，，，，的最小值為4，故選：．13．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接，則線段長(zhǎng)的最小值為4．【解答】解：，，，，，點(diǎn)在以為直徑的上，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，在中，，，，，．最小值為4．故答案為：4．14．如圖，已知的半徑為3，圓外一定點(diǎn)滿足，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線上有兩點(diǎn)、，且，，不經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為4．【解答】解：如圖，連接，，，，，，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最短，如圖，，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，，，，故答案為：4．15．如圖，、是正方形的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接交于，連接交于點(diǎn)，若正方形的邊長(zhǎng)為3，則線段長(zhǎng)度的最小值是．【解答】解：在正方形中，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，取的中點(diǎn)，連接、，則，在中，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，最小值．故答案為：．題型四定邊對(duì)定角模型16．如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為．【解答】解：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，如圖，過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)作，連接，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，，，，，，，，，，垂直平分，，，，，，在中，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值，的最小值，故答案為．17．在銳角三角形中，，，設(shè)邊上的高為，則的取值范圍是．【解答】解：如圖，為的弦，，，，為等邊三角形，，，作直徑、，連接、，則，當(dāng)點(diǎn)在上（不含、點(diǎn)）時(shí)，為銳角三角形，在中，，，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大，即最大，延長(zhǎng)交于，如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，的范圍為．故答案為．18．在中，，，．點(diǎn)為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段長(zhǎng)度的最小值為．【解答】解：如圖所示．，，作的外接圓（因求最小值，故圓心在的右側(cè)），連接，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。?，，為等腰直角三角形，．，，，作于點(diǎn)，為等腰直角三角形．，，在中，．當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小為．故答案為：．19．如圖，為等邊三角形，．若為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)度的最小值為．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，當(dāng)、、共線時(shí)，長(zhǎng)度最小，設(shè)交于，如圖所示：此時(shí)，，則，，，，，．故答案為：．20．【問題情境】（1）點(diǎn)是外一點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)．若的半徑為2，且，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為3．【直接運(yùn)用】（2）如圖1，在中，，，以為直徑的半圓交于，是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．【構(gòu)造運(yùn)用】（3）如圖2，已知正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿邊、方向向終點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)，連接和交于點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離，并說明理由．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，的半徑為4，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則的面積最大值是．【解答】解：（1）連接、，如圖4所示：的半徑為2，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最短，最小值為3，故答案為：3；（2）連接，交半圓于，連接，如圖1所示：，為半圓的直徑，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最短，最小值為，故答案為：；（3）點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為，理由如下：取中點(diǎn)，連接、、，如圖2所示：點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿邊、方向向終點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，點(diǎn)在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，，，又，，的最小值為；（4）連接、，如圖3所示：，是等邊三角形，，，，，點(diǎn)在以的上，，最大，則點(diǎn)到的距離最大，當(dāng)時(shí)點(diǎn)到的距離最大，是等邊三角形，，故答案為：．21．（1）如圖1，已知中，，，則．（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，且，求面積的最大值．（3）如圖3，的半徑為2，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，請(qǐng)問，的周長(zhǎng)存在最大值還是最小值？若存在，求出相應(yīng)的最值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）如圖1中，作于．，，，，，，，．故答案為．（2）如圖2中，取的中點(diǎn)，連接，作于．，，，，，即，的最大值為2，的面積的最大值．（3）如圖3中，連接，，作于．，，，，，，，，，，如圖中，中，，，的周長(zhǎng)存在最大值，理由如下；作的外接圓，取優(yōu)弧的中點(diǎn)，連接，，以為圓心，為半徑作，延長(zhǎng)交于，連接．，，，，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大，此時(shí)的周長(zhǎng)最大，延長(zhǎng)交于，連接交的外接圓于，連接，．易知：，，，，，，，，，，當(dāng)與重合時(shí)，的值最大，的最大值為，的周長(zhǎng)的最大值為．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把代入得，解得，所以拋物線的解析式為．令得：，解得：，，，．（2）分兩種情況：①如圖2，以為直徑作，交拋物線的對(duì)稱軸于的下方）．，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．由圓周角定理得，，，．．．②如圖3所示：以為直徑作，交拋物線的對(duì)稱軸于，過點(diǎn)作，垂足為，連接．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，．，．，．．，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知、，且拋物線的對(duì)稱軸是直線．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）連接、，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）將，點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，及對(duì)稱軸，得，解得，拋物線的解析式為，（2）以為邊作等邊，作的外接圓，交軸負(fù)半軸于，作于，連接，．設(shè)．易知：，，，或（舍棄），，根據(jù)對(duì)稱性可知也符合條件．24．如圖，頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，過作軸于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心為，試求的最小值．【解答】解：（1）拋物線過點(diǎn)，，解得：，這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解法一：如圖，連接，，，是的內(nèi)心，平分，平分，，．，，．在和中，，．．為定線段，恒等于，點(diǎn)在以為弦，所含的圓周角等于的圓弧上，設(shè)該圓的圓心為，連接，，，．，為等腰直角三角形．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．．圓心的坐標(biāo)為，，的半徑為．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的值最小，的最小值．題型五定角定高模型25．如圖，在矩形中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，、為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度最大值為．【解答】解：如圖，作的外接圓，連接，，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，連接．四邊形是矩形，，，，，，，，，，當(dāng)最大，且最小時(shí)，的值最大，則的值最大，，當(dāng)點(diǎn)與重合，與重合時(shí)，“”號(hào)成立，，的最大值．故答案為．26．輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段，以為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，在中，，為邊上的高，若，試判斷是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，若保持，那么四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）如圖①中，即為所求．（2）如圖②中，作的外接圓，連接，，，作于．設(shè)．，，，，，，，，，，的最小值為，，的最小值為．（3）如圖③中，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作的外接圓．，，，，，，，，，，，，由（2）可知，當(dāng)?shù)耐饨訄A的圓心在線段上時(shí)，的面積最小，此時(shí)四邊形的面積最大，設(shè)，易知，，，，四邊形的面積的最大值．27．問題研究（1）若等邊邊長(zhǎng)為4，則的面積為；（2）如圖1，在中，，為邊上的高，若，試判斷的面積是否存在最小值．若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決（3）如圖2，四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值．【解答】解：（1）過點(diǎn)作于，等邊邊長(zhǎng)為4，，在中，由勾股定理得，即，解得：，，故答案為：；（2）為邊上的高，若，設(shè)，，，過作于，，，又，，，在中，由勾股定理得，即，，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即為等邊三角形時(shí)，，，；（3），，，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，在和中，，，，，當(dāng)最小時(shí)，最大，過作于，，，，，，由（2）知時(shí)，面積最小，由點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，達(dá)不到是等邊三角形，當(dāng)向運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積逐漸減小，點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)，面積最小，此時(shí)，，，，在上取點(diǎn)使，，，，設(shè)，，由勾股定理，，，，，，，，，．四邊形面積的最大值為．28．（1）如圖1，已知、為的兩條弦，點(diǎn)為外一點(diǎn)，則（請(qǐng)用“”“”或“”填空）（2）①如圖2，若等邊內(nèi)接于，，為的切線，則的面積為．②如圖3，在中，，為邊上的高．若，試判斷的面積是否存在最小值，若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖4，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)與交于，連接，則，，；故答案為：；（2）①如圖2，連接并延長(zhǎng)交于，是等