《向量的數(shù)乘運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊(cè)》（人教A版）第六章《平面向

量及其應(yīng)用》，本節(jié)課是第4課時(shí)，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)平面向量的線性運(yùn)算——數(shù)乘向量，共

線向量定理。

實(shí)數(shù)與向量的積及它們的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算,也叫向量的初等運(yùn)算,是進(jìn)一

步學(xué)習(xí)向量知識(shí)和運(yùn)用向量知識(shí)解決問題的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)與向量的積的結(jié)果是向量,要按大小

和方向這兩個(gè)要素去理解。向量平行定理實(shí)際上是由實(shí)數(shù)與向量的積的定義得到的,定理為

解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問題又提供了一種方法。特別注意的是向量的平行要與平面中直

線的平行區(qū)別開來。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義以及實(shí)數(shù)與向量積的1.數(shù)學(xué)抽象：實(shí)數(shù)與向量的積的定

三條運(yùn)算律，會(huì)利用實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)的義；

計(jì)算；2.邏輯推理：利用共線向量定理證

B.理解兩個(gè)向量平行的充要條件，能根據(jù)條件兩個(gè)明三點(diǎn)共線、兩線平行；

向量是否平行；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用實(shí)數(shù)與向量積的

C.通過對(duì)實(shí)數(shù)與向量的積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；

分析、歸納、抽象的思維能力。4.直觀想象：共線向量定理。

【教學(xué)重點(diǎn)】：實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量平行的充要條件;

【教學(xué)難點(diǎn)】：理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件。

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新

1.向量的三角形法則

通過復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)知

識(shí)，引入本節(jié)新課。

aB建立知識(shí)間的聯(lián)系，

提高學(xué)生類比推理的

AB+BC=AC.

能力。

特點(diǎn):首尾相接，連首尾。

2.向量的平行四邊形法則

OA+OB=OC

,C

aA

特點(diǎn)：同一起點(diǎn),對(duì)角線。

3.向量減法的三角形法則

a—b=0A—OB=BA。

特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量。

B

二、探索新知通過探究，推出數(shù)乘

向量的定義，提高學(xué)

探究1：己知非零向量〃，作出和一a+(-a)+(-a),它們的

生分析問題、歸納問

長(zhǎng)度與方向分別是怎樣的？

題的能力。

Q一

■r■___

0ABC

一(t,.ai-■

NMQP

OC=OA+AB+BC=a-\-a+a,記作3。。即0C=3a。3〃的方向

與。的方向相同，|3。|=3|。|。

類似地，麗=-32，其方向與力的方向相反，|-3力|=3|"|。

1.定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)4與向量［的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算

叫做向量的數(shù)乘，記作它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

⑴?九7nxl⑷；

(2)當(dāng);1>0時(shí)，丸。的方向與a的方向相同；當(dāng)；1<0時(shí)，4a的方

向與］的方向相反。

說明：(1)當(dāng)；l=OB寸，=(2)(-l)a=-a?

2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律

探究2：求作向量3(2%)和無，(2+3)房口2工+3￡,2(3+3)和工+公

(■為非零向量)，并進(jìn)行比較。

通過探究，得到幾個(gè)

向量之間的關(guān)系，進(jìn)

一步歸納出數(shù)乘向量

的運(yùn)算律，提高學(xué)生

的分析問題、歸納問

題的能力。

設(shè)"、B為任意向量，4、〃為任意實(shí)數(shù)，則有：.

(1)=(沏)。

(2)(A+—Xa+］Lta

(3)A.(a+b)=hi+}J)

特別地，有(―2而=—(2力=/1(—7)

A(a—b)=A,a—M)

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱.為向量?的線形運(yùn)算。

注：向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量。

對(duì)于任意向量々、3及任意實(shí)數(shù)4、〃，恒有

—>—>—?-?

幾(4a±4與=2Ma-九&b。

例1：計(jì)算

(1)(-3)x4a

(2)3(6/+b)—2(a—b)—a

(3)(2a+3h-c)—(3a-2Z?+c)

解：(1)原式=(-3X4)Q-一12as通過特例進(jìn)一步理解

(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=58；

數(shù)乘向量的運(yùn)算律，

(3)原式=2。+3b—c—3o+2b-c

=—<i+5b-2c.提高學(xué)生解決問題的

注：向量與實(shí)數(shù)之間可以象多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算。

能力。

例2.如圖，平行四邊形ABCZ)的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)瓶且M

AD=b,用向量a,3表示

解：在Q4BCD中.“"

AC=AB+/W=fl+6.

DB=AB—AD=a—b.

由平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，得

通過例題進(jìn)一步熟悉

MA—-4-AC?-T(a+b)=^-Ja-Jb.

數(shù)乘向量的運(yùn)算律，

MI3=^DB=^(a-b)—^a—-^b,

提高學(xué)生利用知識(shí)解

就=；前斗+打決問題的能力、運(yùn)算

素養(yǎng)。

MD=--^DB=—

探究3：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間

的位置關(guān)系嗎？

【答案】當(dāng)4>0時(shí)，與々的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)，與2的方向

相反。

3.共線向量定理：

向量6)與3共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使

通過例題進(jìn)一步熟悉

b-Aa

數(shù)乘向量的運(yùn)算律與

思考：「為什么要是非零向量？B可以是非零向量嗎？向量的運(yùn)算，提高學(xué)

生利用所學(xué)知識(shí)解決

【答案】若3=6,則九々=6。2可以是6。

問題的能力、運(yùn)算素

牛刀小試：

養(yǎng)。

判斷下列各小題的向量Z與否是否共線。

(1)a=-2e,b=2e',

(2)a=et—e2,b=-2e]+2e2;

(3)a=et-e2,b=e]+2e2?

【答案】(1)共線(2)共線(3)不共線

通過探究，推出共線

例3.如圖，已知任意兩個(gè)非零向量。與Z,試作Q4=a+&向量定理，提高學(xué)生

歸納能力，概括能力。

0B=a+2b,0C=a+3b,你能判斷4、B、。三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，

并證明你的猜想。

心

通過思考，進(jìn)一步理

解共線向量定理。

%分別作向量就OB.0C.過點(diǎn)A,C作1?讖/f大

62”).觀察發(fā)現(xiàn),不愴向RaJ怎樣變化,點(diǎn)B始終在直線\辱

AC上?睹顯人，B.c三點(diǎn)共線.通過練習(xí)，鞏固所學(xué)

事實(shí)上4為一.\也

知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用

Ac=OC-=a+3b—(a+b)=2A>?\

所以AC^2AB.所學(xué)知識(shí)解決問題的

因此.4,小C三點(diǎn)收出62；

能力。

結(jié)論：證明(判斷)A、B、C三點(diǎn)共線的方法：

贏=4前且有公共點(diǎn)以=A、B、C三點(diǎn)共線.

—?—?——*1~＞3f

例4.己知a與人是兩個(gè)不共線的向量，向量b-fa,上。-巳6共線，求實(shí)

22

數(shù)t的值。

通過例題的講解，讓

解、由*6不共統(tǒng)，臥知向網(wǎng)；。-]8為非零向量?由向費(fèi)b-m,?|?一,b共線，

學(xué)生進(jìn)一步理解共線

可知存在實(shí)數(shù)a.使得

向量定理，提高學(xué)生

ca^A（-a-2?）?

HP解決與分析問題的能

a一上）＜!=（京+]）瓦力。

[31fA+1

由a」不共練必?。?京=也+1=0.否制不妨設(shè)/多會(huì)才0,則。=一二機(jī)由

22什?

兩個(gè)向量共線的充要條件知，a,b共線，與巳知矛構(gòu).

f+5-0?

由《解得，■看

|A+1=0.3

因此，當(dāng)向量加一如共線時(shí)■東

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.下列各式中不表示向量的是（）

A.0,aB.a+3b

C.|3aD.e（x,HR,且xWy）通過練習(xí)鞏固本節(jié)所

x—y

學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解

【解析】向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果仍為向量，顯然只有13al不是向量.

決問題的能力，感悟

【答案】C

其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思

2.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是（）

①（-3）?2a——6a；②2（a~\~物一（2b一心=3a；③（a+如）一（為+a）想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用

=0.意識(shí)。

A.0B.1C.2D.3

【解析】因?yàn)椋?3）?2a=-6a故①正確；②^左=2a+2b—2b+a

=3a成立，故②正確；③^左=a+2b—2b—a=0W0,故?昔誤.

【答案】C

3.（3a+￡b+,—（2a+%—,等于（）

A.a~\b+2cB.^a~\b+2c

44

C.a+*+2cD.5a+-Z?

【解析】(2a+[b-,=(3a—2a),0+(。+。)

=a—：b+2c.故選A.

4

【答案】A

4.。為平行四邊形/次券的中心，崩=4&,無=6色，則30-2&=

【解析】設(shè)點(diǎn)七為平行四邊形1犯9的比'邊中點(diǎn)，點(diǎn)尸為四邊中點(diǎn)，

則36—28=雄+赤=質(zhì)=而

【答案】而(或的

5.在四邊形加(/中，AB=a+2b,^C=-\a~b,宓=—5a—36,證明：

直線AD//BC.

【證明】?.?礪=尼+而=油+應(yīng)'+而=(a+26)+(-4a—6)+(-5a

-36)=-8a-26=2(-4a-6)=2曲.?.詼與初線.

又49與回不重合，，直線比：

四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)

1.數(shù)乘向量的定義；一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)

2.數(shù)乘向量的運(yùn)算律；

容，提高概括能力，

3.共線向量定理。

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算

五、作業(yè)

能力和邏輯推理能

習(xí)題6.28.(2)(3)(4),9題

力。

【教學(xué)反思】

與好的問題設(shè)計(jì)相聯(lián)系,在課堂教學(xué)中還要考慮以問題為主要載體的教學(xué)內(nèi)容的選擇，

以及與問題的呈現(xiàn)時(shí)間、呈現(xiàn)空間和呈現(xiàn)方式相聯(lián)系的教學(xué)情境設(shè)計(jì)，使教學(xué)過程達(dá)到最優(yōu)。

1、本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生的角度出發(fā)，采用“教師設(shè)計(jì)問題與活動(dòng)引導(dǎo)”與“學(xué)生積

極主動(dòng)探究”相結(jié)合的方法分成四個(gè)步驟層次分明(1)引入定義(2)驗(yàn)證運(yùn)算律(3)探究共線

定理(4)共線定理的應(yīng)用。教學(xué)的知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。

2、在教學(xué)過程中，學(xué)生用于探究的時(shí)間相對(duì)較少了點(diǎn)，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)學(xué)生在向量的書寫和

計(jì)算上存在不少問題，花了較多的時(shí)間讓學(xué)生作過手訓(xùn)練,導(dǎo)致最后時(shí)間顯得過于緊張,因此

對(duì)于教學(xué)時(shí)間節(jié)奏的把握還不是特別的好，需要在以后的教字中多加打磨。

3、在教學(xué)中重基礎(chǔ)知識(shí),重基本方法,重基本技能,重教材,重應(yīng)用，重工具作用，不拔高,

不選偏題和難題,遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和按大綱要求進(jìn)行。

4、抓住向量的數(shù)形結(jié)合和具有幾何與代數(shù)的雙重屬性的特點(diǎn)，提高“向量法”的運(yùn)用能

力,充分發(fā)揮工具作用在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解向量怎樣用有向線段來表示,掌握向量的數(shù)乘

運(yùn)算,理解向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系和區(qū)別,強(qiáng)化本章基礎(chǔ)。

《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義以及實(shí)數(shù)與向量積的三條運(yùn)算律，會(huì)利用實(shí)數(shù)與向量積的

運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；

2.理解兩個(gè)向量平行的充要條件，能根據(jù)條件兩個(gè)向量是否平行；

【教學(xué)重點(diǎn)】：實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量平行的充要條件；

【教學(xué)難點(diǎn)】：理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行的充要條件。

【知識(shí)梳理】

1.定義:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)4與向量a的積是一個(gè)，這種運(yùn)算叫做,

記作.

2.規(guī)定：①|(zhì)/la=,②當(dāng)時(shí)，Aa的方向與a的方向；當(dāng)A<0

時(shí)，4a的方向與a的方向；當(dāng)/=0時(shí)，la=.

3.運(yùn)算律：

設(shè)4,〃為實(shí)數(shù)，則

(1)4("a)=：

⑵(/+口)a=；

(3)才(a+6)=.

特別地，我們有(-4)a==,A.

4.共線向量定理

向量a(a#O)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)A,使得.

5.向量的線性運(yùn)算

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量a、b,以及任意實(shí)數(shù)

兒、小、恒有入(uu小)=。

【學(xué)習(xí)過程】

一、探索新知

探究1：己知非零向量a力，作出;a;+a；；+a；；和-a+(—(j)4-(-i-z)、，它們的長(zhǎng)度與方向分別

是怎樣的？

1.定義:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)X與向量々的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，

記作/iZ,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

(3)|二|=；

(4)當(dāng);1>0時(shí)，4。的方向與a的方向；當(dāng)；1<()時(shí)，九。的方向與a的方

向。

說明：(1)當(dāng)x=o時(shí)，九々=6。(2)(一1)3=-3。

2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律

探究2：求作向量3(2))和，(2+3)房口2々+322&+1)和21+dG為非零向量)，

并進(jìn)行比較。

向量數(shù)乘的運(yùn)算律：

設(shè)1、3為任意向量，4、〃為任意實(shí)數(shù)，則有：，

(1)/l(〃a)=

(2)(之+〃)〃=

(3)"〃+$)=。

特別土也，有(_/)；=_(4^)=/(—￡)

A(a-b)=_____________________o

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱.為向量.的線形運(yùn)算。

注：向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量.

對(duì)于任意向量Z、3及任意實(shí)數(shù)；I、〃，恒有幾(41a±42芯)=

例1：計(jì)算

(1)(—3)x4a

(2)3(〃+b)—2(tz—/?)—a

(3)(2a+3b—c)—(3a—2Z?+c)

注：向量與實(shí)數(shù)之間可以象多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算。

例2.如圖，平行四邊形ABC。的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)且而=2而=3,用向

量3,3表示而，礪前和赤

區(qū)

探究3：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？

3.共線向量定理：

向量3(3H6)與3共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使。

思考：「為什么要是非零向量？B可以是非零向量嗎？

牛刀小試：

判斷下列各小題的向量「與否是否共線。

(4)a=-2e,1)=2e;

(5)a=ex—e2,h=-2e]+2e2;

(6)a-et-e2,t>-eI+2e2?

例3.如圖，已知任意兩個(gè)非零向量）與九試作豆=Z+3,

0B=a+2b,0C=a+3h,你能判斷從B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并證明你的猜

想。

結(jié)論：證明（判斷）A、B、C三點(diǎn)共線的方法：

AB=ABC且有公共點(diǎn)B,nA、B、C三點(diǎn).

例4.已知。與人是兩個(gè)不共線的向量，向量力一。，上二人共線，求實(shí)數(shù)1的值。

22

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.下列各式中不表示向量的是（）

A.0,aB.a+3b

C.13aiD.--—e（x,y￡R,且x/y）

x—y

2.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是（）

①（-3）?2a=-6a；②2（a~\~b）—（2b—^）=3a；③（a+%）一（26+a）=〃

A.0B.1C.2D.3

3.（3a+/+c）_（2a+5_,等于（）

A.a—2cB.5a—；6+2cC.a+^b+2cI）.5a

4.。為平行四邊形的中心，AB=4ei,BC=6e?,貝！|3金-28=_____.

5.在四邊形力版中，AB=a+2b,~BC=-\a-b,而=-5a-3b,證明：直線"〃必

參考答案:

AB

-a

NMQP

探究1.

OC=OA+AB+BC=a+。+。，記作3a。即OC=3a。3。的方向與。的方向相同,

13。|=31。|。

類似地，麗=-32，其方向與〉的方向相反，|-3l|=3|Z|。

探究2.

例1.

解：(1)原式=(-3X4)a-一12as

(2)原式=3a+3b—勿+2b-a=5b1

(3)原式=2a+3b—c—3。+28一c

=-a」5b—2c.

例2.

解：在OABCD中，

而=肉+而=a+b.

DB—AB—AD=a—b.

由平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分.得

MA__JAC——+b)=_J<>_Jb.

Z4L￡1

探究3.當(dāng)2〉0時(shí)，九7與a的方向相同；當(dāng);1＜（）時(shí)，4a與a的方向相反。

思考：若［=6,則；1々=6。3可以是6。

牛刀小試：（1）共線（2）共線（3）不共線。

例3.

解：分別作向量就OB.OC,過點(diǎn)A,C作直線AC”

&2-17）.觀察發(fā)現(xiàn),不給向京aJ怎柞交化,點(diǎn)B始終在直線

"上.附想A,B.CM報(bào)8.

事實(shí)上為—

前工麗一百一。+2?—（。+6）=人

入C=OC—=a+3b—（o~^b）=2b?

所以於-2S3.

為此?八.B,C三點(diǎn)共線.

m6.2-17

例4.

解，由a.b不共虬易知向嗎0_名為非零向量?由向量1°，5―%共線，

可知存在實(shí)數(shù)A.使得

即

（?+1A）?=?（-1A+I）＞.

131fA+1

由a.&不共線，必南,+裊=冉+1=0,刮％不妨設(shè)，+會(huì)力），則。=—廠機(jī)由

22z,+夕

兩個(gè)向量共線的充要條件知.a,b共線，與已知矛盾.

L+|A-O,1

由L斛得/?w?

171

因此,當(dāng)向量la.仙一會(huì)共線時(shí)，，吟.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【解析】向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果仍為向量，顯然只有13a不是向量.

【答案】C

2.【解析】因?yàn)椋?3）?2a=-6a故Q）正確；②左=2a+2b—2b+a=3a成立,故

②正確；③^左=a+2b—2b—a=0W0,故③t昔誤.

【答案】C

(3a—2a)+Qz>—1z>j+(c+c)—a—^)+2c.

3.【解析】

故選A.

【答案】A

4?【解析】設(shè)點(diǎn)夕為平行四邊形四切的比?邊中點(diǎn)，點(diǎn)尸為四邊中點(diǎn)，則3a一2a

=BE+BF=B0=0b.

【答案】而(或的

5.【證明】：茄=必+質(zhì)=而+元+而=(a+26)+(-4a-6)+(—5a—3Z>)=-8a

-26=2(-4@-6)=2擊，筋與軟線.

又49與8c不重合，，直線/?！ū?.

《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》同步練習(xí)

一、選擇題

1.設(shè)￡是非零向量，2是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.￡的方向入Z的方向相反B.|-Xa|>|a|

C.a與入％方向相同D.卜4=?

2.設(shè),e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量帆=-q+■2(ZeR)與向量〃=02-Ze1共

線，則()

A.k=QB.k=\C.k=2D.k=二

2

3.已知向量A3=a+3B,BC=5a+3b,CD=—3a+3b,則()

A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、。三點(diǎn)共線

C.A、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

4.如圖所示，在ZvlBC中，點(diǎn)D是邊A3的中點(diǎn)，則向量反=()

BC

A.-BA+BCB.-BA-BC

22

C.--BA-BCD.--BA+BC

22

5.已知加〃是實(shí)數(shù)，a,6是向量，則下列命題中正確的為()

A.6)—ma—mbB.{in—n)a=ma—na

C.若ma=nib,則a=bD.若力a=〃a,則加=〃.

6.設(shè)點(diǎn)〃是"BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.若無而=」入不+,前，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)

22

B.訴=2麗-/若，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上

C.^AM=-BM-CM^則點(diǎn)M是ZvlBC的重心

D.若AM=x43+yAC,且x+y=女，則的面積是的八46。面積的萬

二、填空題

7.-(2a-3b)-3(a+b)—.

8.已知哈，或，若的=入福,貝I八等于

9.若蘇?用(tGR),。為平面上任意一點(diǎn)，則蘇=(用應(yīng)，赫示)

10.如圖，在平行四邊形4%為中，對(duì)角線/C與切交于點(diǎn)。，AB+AD=AAO,則A=

,BO=(用Q,而來表示)

三、解答題

11.計(jì)算：(1)8(2a—b+c)-6(a—2b+c)—2(2<z+c)；

(2)；^-(2a+86)-(4a-26)；(3)(/n+n)-(a-Z>)-(/n+n)-(a+Z>).

12.設(shè)a,6是兩個(gè)不共線的非零向量，記應(yīng)=a,OB=fZ>(t€R),應(yīng)‘=；(a+6),那么當(dāng)

實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，4、B、。三點(diǎn)共線？

《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析

一、選擇題

1.設(shè)3是非零向量，2是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.￡的方向入Z的方向相反B.|-Xa|>|a|

C.a與入2a方向相同D.卜4=?

【答案】C

【解析】對(duì)于A,￡與入[方向相同或相反，因此不正確；對(duì)于B,岡<1時(shí)，|-xa|<|a|,

因此不正確；對(duì)于C,因?yàn)橥?>0,所以公與爐公同向，正確；對(duì)于D,卜4是實(shí)數(shù)，囚Z

是向量，不可能相等.故選C.

2.設(shè)C1,e?是兩個(gè)不共線的向量，若向量帆=一弓+Ze2(ZeR)與向量〃=e2-2e1共

線，則()

A.Z=0B.k=1C.k=2D.k=一

2

【答案】D

+e

【解析】當(dāng)左=g時(shí)，m=—et^2>又〃=-2e1+e2，；.〃=2相，此時(shí)m、〃共

線，故選D.

3.已知向量A3=。+3分，BC-5a+?>b,CD--3a+3b,則()

A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、。三點(diǎn)共線

C.A、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

【答案】B

[M#rlVBD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b}=2AB,A>B、。三點(diǎn)共線.故

選B.

4.如圖所示，在/MBC中，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，則向量反=()

B

A.-BA+BCB.-BA-BC

22

C.--BA-BCD.--BA+BC

22

【答案】D

【解析】Q。為AB中點(diǎn):,DB=-TB=--BA

22

DC=DB+BC=--BA+BC

2

本題正確選項(xiàng)：

5.已知孫〃是實(shí)數(shù)，a,6是向量，則下列命題中正確的為（）

A.—ma—mbB.{m—n）a—ma—na

C.若ma=mb,貝ija=6D.若/na=na,則

【答案】AB

【解析】對(duì)于A和B屬于數(shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；對(duì)于C,若m=0,則不能

推出a=6,錯(cuò)誤；對(duì)于D,若a=0,則如〃沒有關(guān)系，錯(cuò)誤.故選A,B.

6.設(shè)點(diǎn)M是/MBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.若不而=,通+'前，則點(diǎn)〃是邊的中點(diǎn)

22

B.麗=2荏-/若，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上

C.若=—,則點(diǎn)〃是的重心

D.若布/=萬而+丁而，且x+y=/,則△MBC的面積是的人旬。面積的;

【答案】ACD

【解析】力中：AM=-AB+-AC,

22

^AM=-AB+-AC^-AM--AB^-AC--AM即：

222222

麗=祝，則點(diǎn)M是邊