2.3函數(shù)的奇偶性周期性課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

§2.3函數(shù)的奇偶性、周期性1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且

，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且

，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱(chēng)f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)(1)定義法：流程如下二。判斷函數(shù)奇偶性的方法判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是否非奇非偶計(jì)算f(-x)判斷f(x)與f(-x)的關(guān)系相等互為相反數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)[例1]

判斷下列函數(shù)的奇偶性.偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)(2)圖像法

√基本初等函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)b≠0b=0b=0b≠0n為奇數(shù)n為偶數(shù)例1.奇函數(shù)偶函數(shù)y=b

(3）性質(zhì)法若f(x)，g(x)在其公共定義域上具有奇偶性，則：奇函數(shù)與奇函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)和奇函數(shù)

偶函數(shù)差奇函數(shù)

偶函數(shù)積偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)商偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)求導(dǎo)：1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(

)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(

)(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).(

)(4)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(

)√×××題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1

(1)(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是√√(2)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，則函數(shù)f(x)＋2為_(kāi)_______函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)奇跟蹤訓(xùn)練1

(2024·哈爾濱模擬)下列函數(shù)中不具有奇偶性的是√題型一函數(shù)奇偶性的判斷

√√√3.題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用命題點(diǎn)1利用奇偶性求值(解析式)例2(2)(2023·呂梁統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝e－x＋2x－1，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝____________.－ex＋2x＋1命題點(diǎn)3

已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

奇函數(shù)的中值模型題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用D例2

(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在區(qū)間[－2025,2025]上的最大值是M，最小值為m，則M＋m等于A.0 B.2 C.1 D.3√奇函數(shù)的中值模型題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用A例(2)B例(3)命題點(diǎn)2利用奇偶性解不等式例3

(2023·龍巖模擬)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(3)＝0，則滿(mǎn)足xf(x－2)<0的x的取值范圍為A.(－∞，－1)∪(2,5) B.(－∞，－1)∪(0,5)C.(－1,0)∪(2,5) D.(－1,0)∪(5，＋∞)√題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式

題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式

題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式

題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式

題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

抽象函數(shù)抽象函數(shù)主要研究賦值求值、證明函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等，一般通過(guò)代入特殊值求值、通過(guò)f(x1)－f(x2)的變換判定單調(diào)性、出現(xiàn)f(x)及f(－x)判定抽象函數(shù)的奇偶性、換x為x＋T確定周期性.(1)判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法①若給出的是“和型”抽象函數(shù)f(x＋y)＝…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；(2)常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型①正比例函數(shù)f(x)＝kx(k≠0)，對(duì)應(yīng)f(x±y)＝f(x)±f(y)；⑤正弦函數(shù)f(x)＝sinx，對(duì)應(yīng)f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，來(lái)源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；典例

(1)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，且滿(mǎn)足f(2)＝1，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)為奇函數(shù)B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－5，＋∞)D.f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023√√(2)已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿(mǎn)足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，則下列說(shuō)法正確的是A.f(0)＝1B.函數(shù)g(2x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)C.g(1)＋g(－1)＝0D.若f(1)＝1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝1√跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex＋x＋m，則f(－1)等于A.e B.－e C.e＋1 D.－e－1√(2)若f(x)＝sinx＋x3＋x，則不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是√√

題型三：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性

題型三：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

的正數(shù)，那么這個(gè)

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)2.關(guān)于函數(shù)周期性的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),則f(x)的周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是T=2|a|.推廣：若f(x+a)+f(x)=m,則的周期是T=2|a|(3)若f(x+a)=

,其中f(x)≠0,則f(x)的周期是T=2|a|.推廣：若f(x+a)f(x)=m,（m為非零常數(shù)）則的周期是T=2|a|.題型三函數(shù)的周期性√(2)(2023·瀘州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且周期為3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是A.2024 B.2023 C.1 D.0√跟蹤訓(xùn)練3

(多選)(2023·深圳模擬)已知非常數(shù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，則A.f(2)＝0B.f(x＋4)為偶函數(shù)C.f(x)為周期函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－4,0)對(duì)稱(chēng)√√√

題型十五：類(lèi)周期與倍增函數(shù)

題型十五：類(lèi)周期與倍增函數(shù)

題型十五：類(lèi)周期與倍增函數(shù)

題型十五：類(lèi)周期與倍增函數(shù)課時(shí)精練12345678910111213141516一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·寧波統(tǒng)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋2)＝f(x)，則f(2024)等于A.－1 B.0 C.1 D.2√因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以f(2024)＝f(0)＝0.12345678910111213141516123456789101112131415162.(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)＝

是偶函數(shù)，則a等于A.－2 B.－1 C.1 D.2√12345678910111213141516又因?yàn)閤≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.123456789101112131415163.(2023·長(zhǎng)沙模擬)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是A.f(－1)<f(0)<f(－6.5)B.f(－6.5)<f(0)<f(－1)C.f(－1)<f(－6.5)<f(0)D.f(0)<f(－6.5)<f(－1)√12345678910111213141516∵f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為2，∵偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1).123456789101112131415164.(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1√f(x)＝

＝－1，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x－1)＋1.123456789101112131415165.(2023·紹興統(tǒng)考)若f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝2x，則f(0)＋g(1)等于√12345678910111213141516f(x)＋g(x)＝2x，

①則f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，

②1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516所以f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閒(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，展開(kāi)可得3m2－2m－1>0，12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·松原模擬)下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是A.f(x)＝x－sinxB.f(x)＝x2cosxC.f(x)＝x＋x3D.f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)√√12345678910111213141516對(duì)于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然y＝x與y＝x3在R上既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，12345678910111213141516所以f(x)為(－2,2)上的奇函數(shù)，123456789101112131415168.定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，則函數(shù)f(x)滿(mǎn)足A.f(0)＝0B.y＝f(x)為奇函數(shù)C.f(x)在R上單調(diào)遞增D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集為{x|－2<x<1}√√√12345678910111213141516由題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，對(duì)于A，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正確；對(duì)于B，令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，因?yàn)閤1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；12345678910111213141516對(duì)于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以x－1<1－x2，解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集為{x|－2<x<1}，故D正確.12345678910111213141516三、填空題9.(2024·太原模擬)寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為3的偶函數(shù)___________________________.不唯一)12345678910111213141516由最小正周期為3的偶函數(shù)，可考慮三角函數(shù)中的余弦型函數(shù)f(x)＝Acosωx＋b(A≠0)，滿(mǎn)足f(－x)＝Acosωx＋b＝f(x)，即是偶函數(shù).12345678910111213141516＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函數(shù)為偶函數(shù)，∴a－2＝0，解得a＝2.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a＝2時(shí)滿(mǎn)足題意.21234567891011121314151611.奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(2023)＋f(2024)＝_______.－212345678910111213141516因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，又因?yàn)閒(x＋2)為偶函數(shù)，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)，對(duì)比以上兩式得f(x)＝－f(x＋4)，從而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，即函數(shù)f(x)是一個(gè)周期為8的周期函數(shù)，所以f(2023)＋f(2024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)，又因?yàn)閒(1)＝2，所以f(2023)＋f(2024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.1234567891011121314151612.(2023·南昌聯(lián)考)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(6－x)＝f(－x)，且當(dāng)0<x<3時(shí)，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，若f(2023)＝3，則

的最小值為_(kāi)_______.12345678910111213141516因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足f(6－x)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)的周期為6，又因?yàn)閒(2023)＝3，所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3，因?yàn)楫?dāng)0<x<3時(shí)，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，則有2a＋b＝3，12345678910111213141516四、解答題13.(2023·銀川模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝logax的圖象過(guò)點(diǎn)(3，－1).(1)求實(shí)數(shù)a的值；∵當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝logax的圖象過(guò)點(diǎn)(3，－1)，12345678910111213141516(2)求函數(shù)f(x)的解析式；設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝

，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝

.綜上所述，f(x)＝12345678910111213141516(3)求不等式f(x)<1的解集.∵f(x)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，1234567891011121314151614.(2023·濰坊模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.12345678910111213141516(2)當(dāng)－1≤x≤3時(shí)，求f(x)的解析式；12345678910111213141516若－1≤x≤0，則0≤－x≤1，則f(－x)＝－x，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，即f(x)＝x，－1≤x≤0，即當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝x；若1<x≤3，則－1<x－2≤1，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x，12345678910111213141516(3)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有實(shí)根之和.12345678910111213141516作出函數(shù)f(x)在[－4,4]上的圖象，如圖，則函數(shù)的最小值為－1，若m＝－1，則方程f(x)＝m在[－4,4]上的解為x＝－1或x＝3，則－1＋3＝2；若－1<m<0，則方程f(x)＝m在[－4,4]上共有4個(gè)解，則它們分別關(guān)于直線x＝－1和直線x＝3對(duì)稱(chēng)，設(shè)它們從小到大依次為a，b，c，d，則a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4.12345678910111213141516√12345678910111213141516當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以有f(x)＝f(－x)