機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析(第1講)輔助用

建議：課前要預(yù)習(xí)課后要復(fù)習(xí)上課積極思考并答復(fù)以下問題線性系統(tǒng)的時域分析法動態(tài)性能指標(biāo)一階系統(tǒng)的時域分析第1講

證明：上講回憶

信號流圖特征式，它是信號流圖所表示的方組的系數(shù)矩陣的行列式。在同一個信號流圖中不管求圖中任何一對節(jié)點之間的增益，其分母總是，變化的只是其分子。式中

系統(tǒng)總增益〔總傳遞函數(shù)〕

前向通路數(shù)

第k條前向通路總增益：―所有不同回路增益乘積之和；―所有任意兩個互不接觸回路增益乘積之和；―所有任意m個不接觸回路增益乘積之和。為不與第k條前向通路相接觸的那一局部信號流圖的值，稱為第k條前向通路特征式的余因子。上講回憶

控制系統(tǒng)的分析方法

分析控制系統(tǒng)第一步建立模型第二步分析控制性能，

分析方法包括時域分析法頻域分析法根軌跡法(自學(xué))第三章線性系統(tǒng)的時域分析法線性系統(tǒng)的時域分析法引言一階系統(tǒng)時域分析二階系統(tǒng)時域分析高階系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算第三章線性系統(tǒng)的時域分析法

3.1引言分析控制系統(tǒng)的第一步是建立模型，數(shù)學(xué)模型一旦建立，第二步分析控制性能，分析有多種方法，主要有時域分析法，頻域分析法，根軌跡法等。每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對象。本章先討論時域法。實際上，控制系統(tǒng)的輸入信號常常是不知的，而是隨機(jī)的。很難用解析的方法表示。只有在一些特殊的情況下是預(yù)先知道的，可以用解析的方法或者曲線表示。例如，切削機(jī)床的自動控制的例子。在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，對各種控制系統(tǒng)性能得有評判、比較的依據(jù)。這個依據(jù)也許可以通過對這些系統(tǒng)加上各種輸入信號，比較它們對特定的輸入信號的響應(yīng)來建立。許多設(shè)計準(zhǔn)那么就建立在這些信號的根底上，或者建立在系統(tǒng)對初始條件變化〔無任何試驗信號〕的根底上，因為系統(tǒng)對典型試驗信號的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對實際輸入信號的響應(yīng)特性之間，存在著一定的關(guān)系；所以采用試驗信號來評價系統(tǒng)性能是合理的。時間響應(yīng)分析在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型〔包括微分方程與傳遞函數(shù)〕之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性。時間響應(yīng)分析是重要的方法之一。本章內(nèi)容1.概括地討論系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其組成。因為這是正確進(jìn)行時間響應(yīng)分析的根底；所謂系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其組成就是指描述系統(tǒng)的微分方程的解與其組成，它們完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程；

2.典型的輸入信號;及一階、二階系統(tǒng)的典型時間響應(yīng)。

典型輸入信號便于進(jìn)行時間響應(yīng)分析；任何高階系統(tǒng)均可化為零階、一階、二階系統(tǒng)等的組合；任何輸入產(chǎn)生的時間響應(yīng)均可由典型輸入信號產(chǎn)生的典型時間響應(yīng)而求得；3.1.1時間響應(yīng)及其組成轉(zhuǎn)ppt3.1.2典型試驗(輸入)信號Typicaltestsignals(1)實際系統(tǒng)的輸入信號不可知性(2)典型試驗信號的響應(yīng)與系統(tǒng)的實際響應(yīng)，存在某種關(guān)系(3)電壓試驗信號是時間的簡單函數(shù)，便于分析。確定性信號和非確定性信號:確定性信號：變量和自變量之間的關(guān)系能夠用一確定性函數(shù)描述。非確定性信號那么反之，變量與自變量之間的關(guān)系是隨機(jī)的，只服從某些統(tǒng)計規(guī)律。分析和設(shè)計系統(tǒng):采用典型輸入信號，比較其時間響應(yīng)。任意輸入信號的時間響應(yīng):利用系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)，由關(guān)系式或〔*表卷積〕，就能求出?！矄挝弧畴A躍函數(shù)〔Stepfunction〕室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)〔單位〕斜坡函數(shù)〔Rampfunction〕速度〔單位〕加速度函數(shù)〔Accelerationfunction〕拋物線〔單位〕脈沖函數(shù)〔Impulsefunction〕正弦函數(shù)〔Simusoidalfunction〕Asinut，當(dāng)輸入作用具有周期性變化時。通常運(yùn)用階躍函數(shù)作為典型輸入作用信號，這樣可在一個統(tǒng)一的根底上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。本章討論系統(tǒng)對非周期信號〔Step、Ramp、對正弦試驗信號相應(yīng)，將在第五章頻域分析法，第六章校正方法中討論〕

常用輸入信號：正常工作輸入信號；外加測試信號;單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位拋物線函數(shù)、正弦函數(shù)和某些隨機(jī)函數(shù)。突然受到恒定輸入作用或突然的擾動。如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間逐步變化的函數(shù)，那么斜坡時間函數(shù)是比較適宜的。單位階躍函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為零，對控制系統(tǒng)只給出了位置，故稱位置輸入信號；單位斜坡函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，一般稱為恒速輸入信號或速度輸入信號；單位拋物線函數(shù):其二次導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，稱為加速度輸入信號。

下面主要分析一階與二階系統(tǒng)對單位脈沖與單位階躍函數(shù)的時間響應(yīng)3.1.3動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程

瞬時響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)TransientResponse&Steady_stateResponse在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)。1瞬態(tài)響應(yīng)指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)t趨近于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸入量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。3.1.3絕對穩(wěn)定性，相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差A(yù)bsoluteStability,RelativeStability,Steady_stateError在設(shè)計控制系統(tǒng)時，我們能夠根據(jù)元件的性能，估算出系統(tǒng)的動態(tài)特性?？刂葡到y(tǒng)動態(tài)特性中，最重要的是絕對穩(wěn)定性，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的。如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動，或輸入信號的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于平衡狀態(tài)。如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動量的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果線性定常控制系統(tǒng)受到擾動量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過程或輸出量無限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的后果實際上，物理系統(tǒng)輸出量只能增加到一定的范圍，此后或者受到機(jī)械止動裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，也可能當(dāng)輸出量超過一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線性的，而使線性微分方程不再適用。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在第七章。

穩(wěn)態(tài)誤差：如果在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，就認(rèn)為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個誤差表示系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。穩(wěn)態(tài)特性：穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。相對穩(wěn)定性：因為物理控制系統(tǒng)包含有一些貯能元件，所以當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)過程。對于實際控制系統(tǒng)，在到達(dá)穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應(yīng)，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程?！Q動態(tài)過程。在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如到達(dá)新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間，同時也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對輸入信號跟蹤的誤差大小。動態(tài)性能指標(biāo)：在許多實際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系統(tǒng)在初使條件為零〔靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為0〕，對〔單位〕階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)。實際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在到達(dá)穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)特性，通常采用以下一些性能指標(biāo)。動態(tài)性能指標(biāo)延遲時間：〔DelayTime〕響應(yīng)曲線第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。上升時間〔RiseTime〕響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快峰值時間〔PeakTime〕：響應(yīng)曲線到達(dá)過調(diào)量的第一個峰值所需要的時間。動態(tài)性能指標(biāo)調(diào)節(jié)時間：〔SettlingTime〕響應(yīng)曲線到達(dá)并永遠(yuǎn)保持在一個允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)〔通常取5%或2%〕作，超調(diào)量〔MaximumOvershoot〕：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即

或評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。評價系統(tǒng)的阻尼程度。3.2一階系統(tǒng)的時域分析

用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖3-3〔a〕所示的RC電路，其微分方程為

其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。當(dāng)初使條件為零時，其傳遞函數(shù)為

這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。

下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems當(dāng)輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，Xi(s)＝1，輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即

這時相同的輸出稱為脈沖響應(yīng)記作w(t):

只有瞬態(tài)項，而B〔t〕為零。由式〔〕可得表

t

0T2T4T00一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一個單調(diào)下降的指數(shù)曲線。過渡過程：將指數(shù)曲衰減到初值的2%之前的過程定義為過渡過程，相應(yīng)的時間為4T。稱此時間為過渡過程時間或調(diào)整時間，記為。系統(tǒng)的時間常數(shù)T愈小,愈短,系統(tǒng)的慣性愈小，反響的快速性能愈好。脈沖響應(yīng)形式類似與零輸入響應(yīng)。

實際脈沖信號:具有一定的脈沖寬度和有限的幅度的來代替理想的脈沖信號,脈沖寬度與系統(tǒng)的時間常數(shù)T相比足夠小，一般為:輸入信號為單位階躍函數(shù)時，即響應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為：

其時間響應(yīng)函數(shù)[記為]為：由式〔〕和式〔〕可知，中是瞬態(tài)項，1是穩(wěn)態(tài)項B〔t〕〔〕單位階躍響應(yīng)

Unit-StepResponseofFirst-orderSystem

注**：R(s)的極點形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個結(jié)論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。響應(yīng)曲線在時的斜率為，如果系統(tǒng)輸出響應(yīng)的速度恒為，那么只要t＝T時，輸出c(t)就能到達(dá)其終值。由于c(t)的終值為1，因而系統(tǒng)階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

動態(tài)性能指標(biāo)：t

00T0.6322T0.8654T0.98210由式〔〕可得表和圖如以以下圖，式〔〕表示的一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條單調(diào)上升指數(shù)曲線，穩(wěn)態(tài)值為。曲線有兩個重要的特征點。A點：其對應(yīng)的時間t=T時，系統(tǒng)的響應(yīng)到達(dá)了穩(wěn)態(tài)值的63.2%；零點：其對應(yīng)的t=0時，的切線斜率〔響應(yīng)速度〕等于1/T。指數(shù)曲線的斜率，即速率是隨時間t的增大而單調(diào)減小的，當(dāng)t為時，其響應(yīng)速度為零；當(dāng)時，響應(yīng)已到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的98%以上，過渡過程時間時間常數(shù)T反映了固有特性，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的響應(yīng)也就愈快。實驗方法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

1.輸入單位階躍信號，并測出它的響應(yīng)曲線，及穩(wěn)態(tài)值；2.從響應(yīng)曲線上找出0.632〔即特征點A〕所對應(yīng)的時間t,或t=0點的切線斜率3.參考式〔〕求出，或者，由單位階躍響應(yīng)，根據(jù)關(guān)系；求得；4．由求得。3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

Unit-rampResponseoffirst-orderSystems

當(dāng)對上式求拉氏反變換，得：因為所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為上式說明：①一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號。穩(wěn)態(tài)時，輸入和輸出信號的變化率完全相同

②由于系統(tǒng)存在慣性，從0上升到1時，對應(yīng)的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入信號一個常量T，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。

③減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。

3.2.4一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

上式說明，跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。表3-1一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)輸入信號時域輸入信號頻域輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)11(t)t微分

微分

等價關(guān)系：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。3.3二階系統(tǒng)的時域分析

Transient-ResponseAnalysisandSteady-StateErrorAnalysisofSecond-orderSystems二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運(yùn)動方程的控制系統(tǒng)。3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型隨動系統(tǒng)AServoSystem〔位置控制系統(tǒng)〕如圖3-6所示。⑴該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機(jī)械負(fù)載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。⑵工作原理：用一對電位計作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號。輸入電位計電刷臂的角位置，由控制輸入信號確定，角位置就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計電刷臂的角位置，由輸出軸的位置確定。

電位差就是誤差信號。

橋式電位器的傳遞函數(shù)該信號被增益常數(shù)為的放大器放大，〔應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗〕放大器的輸出電壓作用到直流電動機(jī)的電樞電路上。電動機(jī)激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號，電動機(jī)就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動輸出負(fù)載，并使誤差信號減少到零。

(3)當(dāng)激磁電流固定時，電動機(jī)產(chǎn)生的力矩〔電磁轉(zhuǎn)距〕為：

〔3-10〕電動機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為電樞電流對于電樞電路〔3-11〕電動機(jī)電樞繞組的電感和電阻。電動機(jī)的反電勢常數(shù)，電動機(jī)的軸的角位移。電動機(jī)的力矩平衡方程為：〔3-12〕J:為電動機(jī)負(fù)載和齒輪傳動裝置，折合到電動機(jī)軸上的組合轉(zhuǎn)動慣量。f:為電動機(jī)負(fù)載和齒輪傳動裝置，折合到電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。

〔3-13〕開環(huán)傳遞函數(shù)〔即前向通路傳遞函數(shù)〕因為反響回路傳遞函數(shù)為1〔3-14〕如果略去電樞電感〔3-15〕增益阻尼系數(shù)，由于電動機(jī)反電勢的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。開環(huán)增益機(jī)電時間常數(shù)不考慮負(fù)載力矩，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為：〔3-16〕不考慮負(fù)載力矩，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為：〔3-16〕相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

〔3-17〕為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，可將式〔3-17〕表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式〔3-18〕

－自然頻率〔或無阻尼振蕩頻率〕－阻尼比〔相對阻尼系數(shù)〕二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，相應(yīng)的方塊圖如圖3-8所示〔3-18〕－自然頻率〔或無阻尼振蕩頻率〕－阻尼比〔相對阻尼系數(shù)〕二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用和加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程：〔3-19〕〔3-20〕

由此得兩個特征根為:由式〔3-20〕可見，隨著阻尼比ξ取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不同?！?〕當(dāng)時，特征根為共軛復(fù)數(shù)一對位于復(fù)數(shù)[s]平面的左半平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)。〔2〕當(dāng)時，兩特征根為共軛純虛根，即系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)?！?〕當(dāng)時，特征方程有兩個相等的負(fù)實根，即系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)?！?〕當(dāng)時，特征方程有兩個不等的負(fù)實根系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)。

過阻尼二階系統(tǒng):傳遞函數(shù)可分解為兩個一階慣性環(huán)節(jié)相加或相乘,因此可視為兩個一階環(huán)節(jié)的并聯(lián)，也可視為兩個一階環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

臨界阻尼的二階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)可分解為兩個相同的一階慣性環(huán)節(jié)相乘,但考慮負(fù)載效應(yīng),是不能等價為兩個相同的一階慣性環(huán)節(jié)串、并聯(lián)。特殊情況下，有可能等價為兩個不同的一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。一．二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)輸入信號是理想的單位脈沖函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，特別記為。對于二階系統(tǒng)，因為而所以同樣有：記，稱為二階系