2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.3-等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【課件】

第六章數(shù)列第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于________常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).1.等比數(shù)列的概念同一個(gè)(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2＝______.ab(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝__________；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式a1qn－1已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝____________.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為______.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為______.3.等比數(shù)列的性質(zhì)am·anqmqn常用結(jié)論××××解析(1)在等比數(shù)列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0滿足b2＝ac，但a，b，c不成等比數(shù)列.(3)當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，則S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比數(shù)列.C解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋b，當(dāng)n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，當(dāng)b＝－1時(shí)，a1＝2適合an＝2·3n－1，{an}為等比數(shù)列.當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合an＝2·3n－1，{an}不是等比數(shù)列.2.設(shè)b∈R，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋b，則(

) A.{an}是等比數(shù)列

B.{an}是等差數(shù)列 C.當(dāng)b＝－1時(shí)，{an}是等比數(shù)列 D.當(dāng)b≠－1時(shí)，{an}是等比數(shù)列解析易知S2，S4－S2，S6－S4構(gòu)成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.3.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2＝4，S4＝6，則S6＝(

) A.7

B.8 C.9 D.10A解析A，B顯然是正確的；4.(多選)若{an}是公比為q(q≠0)的等比數(shù)列，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則下列說法正確的是(

) A.若a1＞0，0＜q＜1，則{an}為遞減數(shù)列 B.若a1＜0，0＜q＜1，則{an}為遞增數(shù)列 C.若q＞0，則S4＋S6＞2S5ABD解析設(shè)公比為q，則an＝a1qn－1，5.已知在等比數(shù)列{an}中，a1a3a11＝8，則a2a8＝________.4解析當(dāng)q＝1時(shí)，a3＝7，S3＝21，符合題意；6.(易錯(cuò)題)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是____________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2D解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a1＞0，且q＞0，故A，B正確；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，ABD莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn.3.《九章算術(shù)》中有述：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍.”則當(dāng)莞長(zhǎng)高到長(zhǎng)度是蒲的5倍時(shí)，需要經(jīng)過的天數(shù)是________.(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.30，lg3＝0.48)(

) A.2.9天

B.3.9天

C.4.9天 D.5.9天C解

易知q≠1，由題意可得例1

Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn；(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解

假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，證明

∵an＋Sn＝n①，∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1②.②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，又a1＋a1＝1，訓(xùn)練1

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝n. (1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.角度1項(xiàng)與和的性質(zhì)解析log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5，故選B.例2(1)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a10＝9，則log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝(

)B(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝1，S30＝7，則S40＝________.解析∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S10＝1，S30＝7，∴S10、S20－S10、S30－S20、S40－S30成等比數(shù)列，即1、S20－1、7－S20、S40－7成等比數(shù)列，∴(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1、2、4、S40－7成等比數(shù)列，所以S40－7＝8，解得S40＝15.15(3)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝________.解析由題設(shè)，S偶＝S奇－80，S2n＝－240.2A.S2021＜S2022 B.a2021a2023－1＜0C.T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值

D.數(shù)列{Tn}無最大值角度2等比數(shù)列的最值A(chǔ)B故0＜q＜1，且a2021＞1，0＜a2022＜1，故S2022＞S2021，A正確；T2021是數(shù)列{Tn}中的最大值，CD錯(cuò)誤.故選AB.解析∵公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.訓(xùn)練2(1)公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，則m的值為(

) A.8

B.9

C.10 D.11B(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為(

)A.25

B.20

C.15 D.10解析在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，Sn>0，因?yàn)镾8－2S4＝5，則S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比數(shù)列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，B因?yàn)閍9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值為20.數(shù)列中的創(chuàng)新問題讀懂題意，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，根據(jù)條件可將其轉(zhuǎn)化為有規(guī)律等差或等比數(shù)列問題，解此類題的關(guān)鍵是找到其規(guī)律.A.54

B.18 C.9 D.6解析奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)陣，令2n－1＝2021，解得n＝1011，故2021是數(shù)陣中的第1011個(gè)數(shù)，A則第1行到第44行末一共有990個(gè)奇數(shù)，第1行到第45行末一共有1035個(gè)奇數(shù)，所以2021位于第45行，又第45行是從左到右依次遞增的，且共有45個(gè)奇數(shù)，所以2021位于第45行，從左到右第21列，所以i＝45，j＝21，解析對(duì)于A，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝0·20＋a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，所以ω(2n)＝0＋a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A正確；對(duì)于B，取n＝2，則2n＋3＝7＝1·20＋1·21＋1·22，∴ω(7)＝3，而2＝0·20＋1·21，則ω(2)＝1，即ω(7)≠ω(2)＋1，B錯(cuò)誤；(2)(多選)設(shè)正整數(shù)n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}(i＝0，1，…，k)，記ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，則(

)A.ω(2n)＝ω(n) B.ω(2n＋3)＝ω(n)＋1C.ω(8n＋5)＝ω(4n＋3) D.ω(2n－1)＝nACD對(duì)于C，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋0·21＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，所以ω(8n＋5)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2，所以ω(4n＋3)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，因此ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)，C正確；對(duì)于D，2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，故ω(2n－1)＝n，D正確.故選ACD.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升31.已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，則a7的值為(

)BC解析∵A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量剛好構(gòu)成一個(gè)公比為q的等比數(shù)列，C產(chǎn)品的數(shù)量為20，3.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量剛好構(gòu)成一個(gè)公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，現(xiàn)從全體產(chǎn)品中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本容量為260的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中C產(chǎn)品的數(shù)量為20，則抽取的A產(chǎn)品的數(shù)量為(

) A.100

B.140 C.180 D.120C解析當(dāng)a1＜0，q＞1時(shí)，an＝a1qn－1＜0，此時(shí)數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}遞增時(shí)，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，則qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，則qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要條件.綜上，甲是乙的必要條件但不是充分條件.4.等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則(

) A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件 C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B5.(多選)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且a5＝1，則下列選項(xiàng)正確的是(

) A.a3＋a7≥2 B.a4＋a6≥2 C.a7－2a6＋1≥0

D.a3－2a4－1≥0ACa7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正確；∵最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，∴a13＝2a1，即a1q12＝2a1，可得q12＝2，解析由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，又S6＝S3＋q3S3，得63＝7＋7q3.∴q3＝8，q＝2.7.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則a1＝________.1因?yàn)镾5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，∵x1＋x2＋…＋x100＝100，∴x101＋x102＋…＋x200＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100a100.9.設(shè)數(shù)列{xn}滿足logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，若x1＋x2＋…＋x100＝100，則x101＋x102＋…＋x200＝________.100a100證明

2Sn＝－an＋n，當(dāng)n≥2時(shí)2Sn－1＝－an－1＋n－1，兩式相減，得2an＝－an＋an－1＋1，(2)求數(shù)列{an－1}的前n項(xiàng)和Tn.解

設(shè){an}的公比為q(q>1)，且a2＋a4＝20，a3＝8.11.已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通項(xiàng)公式；因此q＝2，a1＝2，所以{an}的通項(xiàng)公式an＝2n.解

易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，則數(shù)列{(－1)n－122n＋1}公比為－4.故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.解析∵a1＝1，an·an＋1＝2n，∴a2＝2，a3＝2，a4＝4，由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，12.(多選)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝