2025高考數(shù)學一輪復習-第52講-隨機變量及其概率分布、期望與方差【課件】

第52講

隨機變量及其概率分布、期望與方差第十章

計數(shù)原理、概率及其分布1．若隨機變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)＝_____．激活思維【解析】0因為隨機變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.2．已知隨機變量X的分布列為【解析】E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4.X12345P0.10.30.40.10.1則E(X)＝_______；E(3X＋2)＝________．2.810.43．已知隨機變量X的分布列為【解析】X1234P0.20.30.40.1則D(X)＝________；σ(2X＋7)＝________．0.844．隨機變量X的分布列為P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，則a＝_______；b＝_______．0.6【解析】0.25．現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票可能中獎金額的均值是_______．【解析】所以X的分布列為【答案】2元X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.0005所以E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1000×0.0005＝2，即1張彩票可能中獎金額的均值是2元．1．離散型隨機變量的分布列的性質(1)pi______0(i＝1，2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝_____．2．離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為≥聚焦知識Xx1x2…xnPp1p2…pn1x1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平標準差偏離程度3．均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝____________；(2)D(aX＋b)＝__________(a，b為常數(shù))；(3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.aE(X)＋ba2D(X)(1)設X是一個離散型隨機變量，其分布列為則常數(shù)a的值為 (

)離散型隨機變量的分布列的性質舉題說法1A【解析】X01P9a2－a3－8a(2)設離散型隨機變量ξ的分布列如下表所示：則下列各式正確的是 (

)1【解析】C【解析】變式

(2)設隨機變量X的分布列為【解析】則P(|X－3|＝1)＝______．離散型隨機變量的分布列、期望與方差2【解答】2【解答】故隨機變量X的分布列為變式醫(yī)學上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會升高．記病毒侵入后人體的平均體溫為X

℃.醫(yī)學統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下．【解答】由題可得E(X)＝37×0.1＋38×0.5＋39×0.3＋40×0.1＝38.4，D(X)＝(37－38.4)2×0.1＋(38－38.4)2×0.5＋(39－38.4)2×0.3＋(40－38.4)2×0.1＝0.64.(1)求出E(X)，D(X)；X37383940P0.10.50.30.1(2)已知人體體溫為X

℃時，相當于Y＝1.8X＋32(℃)，求E(Y)，D(Y).【解答】由Y＝1.8X＋32可知，E(Y)＝1.8E(X)＋32＝1.8×38.4＋32＝101.12，D(Y)＝1.82×D(X)＝1.82×0.64＝2.0736.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列、均值和方差．期望與方差的決策應用3【解答】由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列為X020100P0.20.320.48E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，D(X)＝02×0.2＋202×0.32＋1002×0.48－54.42＝1968.64.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．3【解答】若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為54.4＜57.6，所以小明應選擇先回答B(yǎng)類問題．變式某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進行獎勵．規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標有面值的鬮的袋中一次性隨機摸出2個鬮，鬮上所標的面值之和為該員工獲得的獎勵金額．(1)若袋中所裝的4個鬮中有1個所標的面值為800元，其余3個均為200元，求：①員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率；②員工所獲得的獎勵金額的分布列及數(shù)學期望．【解答】設員工所獲得的獎勵金額為X.變式某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進行獎勵．規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標有面值的鬮的袋中一次性隨機摸出2個鬮，鬮上所標的面值之和為該員工獲得的獎勵金額．(2)公司對獎勵金額的預算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個鬮只能由標有面值200元和800元的兩種鬮或標有面值400元和600元的兩種鬮組成．為了使員工得到的獎勵總額盡可能符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個鬮的面值給出一個合適的設計，并說明理由．【解答】根據(jù)公司預算，每個員工的平均獎勵額為1000元，所以先尋找期望為1000元的可能方案．對于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇(200，200，200，800)的方案，因為1000元是面值之和的最大值，所以期望不可能為1000元；如果選擇(800，800，800，200)的方案，因為1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能為1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，記為方案1.對于面值由600元和400元組成的情況，同理排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，所以可能的方案是(400，400，600，600)，記為方案2.由于兩種方案的獎勵額都符合預算要求，但方案2的方差比方案1小，所以應選擇方案2.隨堂練習1．若隨機變量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，則n＝ (

)B【解析】依題意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4.ξ0123P0.1mn0.1A．－0.2 B．0.4C．0.2 D．02．已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))：【解析】因為0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A錯誤；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B錯誤；E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正確；D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D錯誤．X0123P0.20.30.4a則下列計算結果正確的是 (

)A．a(chǎn)＝0.2 B．P(X≥2)＝0.7C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝6.3C3．已知隨機變量X，Y滿足Y＝2X＋1，且隨機變量X的分布列為則隨機變量Y的方差D(Y)＝ (

)B【解析】4．設隨機變量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10.若隨機變量η＝2ξ－1，則P(η＜6)＝_______．0.3【解析】5．已知隨機變量X的分布列為【解析】若Y＝2X＋3，則E(Y)＝______，D(Y)＝______．配套精練A組夯基精練一、

單項選擇題1．若隨機變量X的分布列如下表，則P(|X－2|＝1)的值為 (

)A【解析】【解析】BX12Pmn3．口袋中裝有編號分別為1，2，3的三個大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個球，記取出的球的最大編號為X，則D(X)＝ (

)A【解析】【解析】B【解析】AC6．已知離散型隨機變量X的分布列如下，則 (

)X1234Pp23p21－2p＋p21－3p＋p2【解析】【答案】BCD三、

填空題7．若隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝_____．4【解析】8．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．設ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，則P(ξ＝2)＝______．【解析】9．一批產(chǎn)品分為四級，其中一級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的兩倍，三級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的一半，四級產(chǎn)品與三級產(chǎn)品相等．從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗質量，設其級別為隨機變量ξ，ξ＝1，2，3，4分別對應一級產(chǎn)品、二級產(chǎn)品、三級產(chǎn)品、四級產(chǎn)品，則P(ξ＞1)＝______．【解析】四、

解答題10．某公司專門生產(chǎn)體育賽事紀念品，為回饋體育迷，該公司推出了盲盒抽獎活動，每位成功下單金額達500元的顧客可抽獎1次.已知每次抽獎抽到一等獎的概率為10%，獎金100元；抽到二等獎的概率為30%，獎金50元；其余視為不中獎.假設每人每次抽獎是否中獎互不影響．(1)任選2名成功下單金額達500元的顧客，求這兩名顧客至少一人中獎的概率；【解答】任選一名成功下單金額達500元的顧客，記事件A＝“該顧客抽到一等獎”，事件B＝“該顧客抽到二等獎”，事件C＝“該顧客不中獎”，則P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.3＝0.6.任選2名成功下單金額達500元的顧客，這兩名顧客都不中獎的概率為0.6×0.6＝0.36，所以這兩名顧客至少一人中獎的概率為1－0.36＝0.64.10．某公司專門生產(chǎn)體育賽事紀念品，為回饋體育迷，該公司推出了盲盒抽獎活動，每位成功下單金額達500元的顧客可抽獎1次.已知每次抽獎抽到一等獎的概率為10%，獎金100元；抽到二等獎的概率為30%，獎金50元；其余視為不中獎.假設每人每次抽獎是否中獎互不影響．(2)任選2名成功下單金額達500元的顧客，記ξ為他們獲得的獎金總數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．【解答】ξ050100150200P0.360.360.210.060.01E(ξ)＝0×0.36＋50×0.36＋100×0.21＋150×0.06＋200×0.01＝50.11．某公司開發(fā)了一款可以供n(n＝3或n＝4)個人同時玩的跳棋游戲．每局游戲開始，擲兩枚質地均勻的骰子(