2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第54講-正態(tài)分布【課件】

第54講正態(tài)分布第十章

計(jì)數(shù)原理、概率及其分布1．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，則X的密度函數(shù)為_(kāi)_____________，P(X≤0)＝_______，P(|X|≤1)≈___________，P(X＞1)≈___________.(精確到0.0001)激活思維【解析】0.50.68270.15872．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，22)，隨機(jī)變量Y～N(0，32)，則P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系是______________________．P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)【解析】如圖，X～N(0，22)，Y～N(0，32)的正態(tài)密度曲線(xiàn)都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1).因?yàn)棣以酱?，曲線(xiàn)越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1).3．某市高二年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170，52)，現(xiàn)隨機(jī)選擇一名本市高二年級(jí)的男生，則P(165≤X≤175)＝_________.0.6827【解析】由題可得，身高X作為變量符合均值為μ＝170，σ＝5的正態(tài)分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.4．若X～N(μ，σ2)，則X位于區(qū)域[μ，μ＋σ]內(nèi)的概率是____________．0.34135【解析】5．袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g，規(guī)定誤差的絕對(duì)值不超過(guò)4g就認(rèn)為合格．假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4，可估計(jì)這批袋裝食鹽的合格率為_(kāi)__________．95.45%【解析】設(shè)誤差為X，則X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率約為95.45%.聚焦知識(shí)X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ3．3σ原則：假設(shè)X～N(μ，σ2)，則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝_____，D(X)＝______．μσ2(多選)若X～N(μ，σ2)，則下列說(shuō)法正確的是 (

)A．P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)B．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)C．P(X＜μ＋σ)不隨μ，σ的變化而變化D．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)隨μ，σ的變化而變化正態(tài)分布的性質(zhì)舉題說(shuō)法1AC【解析】由題意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正確；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B錯(cuò)誤；P(X＜μ＋σ)為定值，不隨μ，σ的變化而變化，故C正確；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)為定值，也不隨μ，σ的變化而變化，故D錯(cuò)誤．A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．函數(shù)F(t)＝P(X＞t)在R上單調(diào)遞增D．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)【解析】【答案】D由正態(tài)密度曲線(xiàn)的性質(zhì)得X，Y的正態(tài)密度曲線(xiàn)分別關(guān)于直線(xiàn)x＝μ1，x＝μ2對(duì)稱(chēng)．對(duì)于A(yíng)，由圖象得μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A不正確；對(duì)于B，由圖象得X的正態(tài)密度曲線(xiàn)較Y的正態(tài)密度曲線(xiàn)“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B不正確；對(duì)于C，由正態(tài)密度曲線(xiàn)的性質(zhì)知，函數(shù)F(t)＝P(X＞t)在R上單調(diào)遞減，故C不正確；對(duì)于D，根據(jù)3σ原則，無(wú)論σ

取何值時(shí)，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.9545，故D正確．某種食鹽的袋裝質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(400，16)，隨機(jī)抽取

10000袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間(396，408)的約有_________袋(質(zhì)量單位：g)．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9973.正態(tài)分布下的概率計(jì)算28186【解析】1．某工廠(chǎng)生產(chǎn)的一批電子元件質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(4，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.4，若從這批電子原件中隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，則其質(zhì)量指標(biāo)小于2的概率為_(kāi)______．0.1【解析】由題知μ＝4，故P(X≤4)＝0.5，所以P(X＜2)＝P(X≤4)－P(2≤X≤4)＝0.1.2．某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試.經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(72，82)，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于[80，88]的人數(shù)約為(

)參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A．455 B．2718 C．6346 D．9545B【解析】3．新能源汽車(chē)具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來(lái)備受青睞．某新能源汽車(chē)制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號(hào)新能源汽車(chē)的耗電量(單位：kW·h/100km)情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，根據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號(hào)新能源汽車(chē)的耗電量ξ～N(13，σ2)，若P(12＜ξ＜14)＝0.7，則樣本中耗電量不小于14kW·h/100km的汽車(chē)大約有(

)A．180輛 B．360輛

C．600輛 D．840輛A【解析】3D打印技術(shù)在精密儀器制作中應(yīng)用越來(lái)越多，某企業(yè)向一家科技公司租用一臺(tái)3D打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件．已知這臺(tái)3D打印設(shè)備打印出的零件內(nèi)徑X(單位：μm)服從正態(tài)分布N(105，36).(1)若該臺(tái)3D打印設(shè)備打印了100件這種零件，記X表示這100件零件中內(nèi)徑指標(biāo)值位于區(qū)間(111，117)的產(chǎn)品件數(shù)，求E(X).正態(tài)分布的應(yīng)用3【解答】由題意知，μ＝105，σ＝6，則111＝μ＋σ，117＝μ＋2σ.一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(111，117)的概率即為P(μ＋σ＜X＜μ＋2σ).(2)該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺(tái)3D打印設(shè)備后，試打了5個(gè)零件，度量其內(nèi)徑分別為(單位：μm)：86，95，103，109，118，試問(wèn)此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974.3【解答】隨堂練習(xí)1．(多選)若隨機(jī)變量X～N(1，σ2)，且正態(tài)分布N(1，σ2)的正態(tài)密度曲線(xiàn)如圖所示，則下列選項(xiàng)可以表示圖中陰影部分面積的是 (

)【解析】【答案】ABC根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，P(X≤0)＝P(X≥2)，故B正確；【解析】【答案】

ACDX的密度曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；P(|X－μ|＞3σ)＝P(X＜μ－3σ)＋P(X＞μ＋3σ)＝2P(X＞μ＋3σ)，故C正確；3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝________．0.14【解析】因?yàn)閄～N(2，σ2)，所以P(X＞2)＝0.5，所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.4．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，則μ＝_____．3【解析】由于P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，可知正態(tài)分布曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝3對(duì)稱(chēng)，故μ＝3.5．某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高(單位：cm)服從正態(tài)分布N(100，102)，若測(cè)量10000株水稻，株高在(80，90)的約有_________株.(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)1359【解析】配套精練【解析】D2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，ξ的分布密度曲線(xiàn)如圖所示，若P(ξ＜0)＝p，則P(0＜ξ＜1)與D(ξ)分別為

(

)C【解析】3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，有下列四個(gè)命題：甲：P(X＞m＋1)＞P(X＜m－2)；乙：P(X＞m)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；?。篜(m－1＜X＜m)＜P(m＋1＜X＜m＋2).如果只有一個(gè)假命題，則該命題為

(

)A．甲 B．乙

C．丙 D．丁D【解析】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)假命題，且乙、丙只要有一個(gè)假，另一個(gè)一定假，不合題意，所以乙、丙一定都正確，則μ＝m.P(X＞m＋1)＝P(X＜m－1)＞P(X＜m－2)，故甲為真．根據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得P(m－1＜X＜m)＝P(m＜X＜m＋1)＞P(m＋1＜X＜m＋2)，故丁為假．4．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N(90，202)，考生共50000人，估計(jì)數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在130～150分的學(xué)生人數(shù)約為(

)(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973)A．1070 B．2140 C．4280 D．6795A【解析】【解析】根據(jù)正態(tài)分布的曲線(xiàn)可知x軸是漸近線(xiàn)，且曲線(xiàn)y＝f(x)與x軸之間的面積等于1，故C正確，D錯(cuò)誤．ABC6．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，4)，則下列說(shuō)法正確的有(

)【解析】【答案】AB三、

填空題7．已知某班高三模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)X～N(109.5，14.52)，若P(X≥124)＝0.16，則P(95≤X≤109.5)＝________．0.34【解析】因?yàn)镻(X≥124)＝0.16，所以P(95≤X≤109.5)＝P(109.5≤X≤124)＝0.5－P(X≥124)＝0.34.【解析】【解析】51四、

解答題10．鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度(單位：g/cm3)進(jìn)行測(cè)定，認(rèn)為密度不小于1.2的種子為優(yōu)種，小于1.2的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為0.8和0.6.【解答】種子密度的平均值為(0.7×0.5＋0.9×0.6＋1.1×0.9＋1.3×1.4＋1.5×1.1＋1.7×0.5)×0.2＝1.24(g/cm3).(1)若將這批種子的密度測(cè)定結(jié)果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計(jì)這批種子密度的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；10．鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度(單位：g/cm3)進(jìn)行測(cè)定，認(rèn)為密度不小于1.2的種子為優(yōu)種，小于1.2的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為0.8和0.6.(2)在(1)的條件下，用頻率估計(jì)概率，從這批種子(總數(shù)遠(yuǎn)大于2)中選取2粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望(各種子的萌發(fā)互相獨(dú)立)；【解答】由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為(1.4＋1.1＋0.5)×0.2＝0.6.所以X的分布列為X012P0.07840.40320.5184故E(X)＝2×0.72＝1.44.10．鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度(單位：g/cm3)進(jìn)行測(cè)定，認(rèn)為密度不小于1.2的種子為優(yōu)種，小于1.2的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為0.8和0.6.(3)若該品種種子的密度ρ～N(1.3，0.01)，任取該品種種子20000粒，估計(jì)其中優(yōu)種的數(shù)目．附：假設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.【解答】11．世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時(shí)的中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)．已知A社區(qū)有56%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，B社區(qū)有65%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，C社區(qū)有70%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，且A，B，C三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)之比為5∶6∶9.(1)從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的概率．【解答】因?yàn)锳，B，C三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)之比為5∶6∶9，設(shè)