高中數(shù)學(xué) 3.1.2 類比推理同步練習(xí) 北師大版選修1-2

§1歸納與類比1．2類比推理eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘)1．下列平面圖形中可作為空間平行六面體類比對象的是 ()． A．三角形 B．梯形 C．平行四邊形 D．矩形 答案C2．下面幾種推理是類比推理的是 ()． A．因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°×(3－2)，四邊形的內(nèi)角和是180°×(4 －2)，…，所以n邊形的內(nèi)角和是180°×(n－2) B．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì) C．某校高二年級有20個班，1班有51位團(tuán)員，2班有53位團(tuán)員，3班 有52位團(tuán)員，由此可以推測各班都超過50位團(tuán)員 D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶數(shù)能被2整除 答案B3．如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36 顆珠子應(yīng)是什么顏色 ()． A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析由圖知，三白兩黑周而復(fù)始相繼排列，∵36÷5＝7余1，∴第36 顆珠子的顏色與第1顆珠子的顏色相同，即白色． 答案A4．對于平面幾何中的命題“夾在兩平行線之間的平行線段相等”，在立體 幾何中，類比上述命題，可以得到命題_____________________________ _____________________________________________________________. 答案夾在兩平行平面間的平行線段相等5．平面內(nèi)正三角形有很多性質(zhì)，如三條邊相等．類似地寫出空間正四面體 的兩條性質(zhì)： ①__________________________________________________________； ②__________________________________________________________. 答案①三個側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等 ②四個面都全等(答案不唯一)6．就任一等差數(shù)列{an}，計算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你發(fā) 現(xiàn)了什么一般規(guī)律？能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？從等差數(shù)列 和函數(shù)之間的聯(lián)系角度分析這個問題．在等比數(shù)列中會有怎樣的類似的 結(jié)論？ 解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則 an＝a1＋(n－1)d， 從而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d. 所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15 可得a7＋a10＝a8＋a9. 同理a10＋a40＝a20＋a30. 由此猜想，任一等差數(shù)列{an}， 若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q， 則有am＋an＝ap＋aq成立． 類比等差數(shù)列，可得等比數(shù)列{an}的性質(zhì)： 若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q， 則有am·an＝ap·aq成立．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可 推知扇形面積公式S扇等于 ()． A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2) C.eq\f(lr,2) D．不可類比 解析我們將扇形的弧類比為三角形的底邊，則高為扇形的半徑r，∴S 扇＝eq\f(1,2)lr. 答案C8．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形 內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為 ()． A．V＝eq\f(1,3)abc B．V＝eq\f(1,3)Sh C．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑) D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h，(h為四面體的高) 解析△ABC的內(nèi)心為O，連結(jié)OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小 三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c；類比：設(shè) 四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O，連結(jié)OA、OB、OC、OD，將四面 體分割為四個以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來面為底面的四面體，高都為r，所以 有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r. 答案C9．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝eq\f(2S,a＋b＋c).將此結(jié)論類比到空間四面體：設(shè)四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內(nèi)切球半徑為r＝________. 答案eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)10．類比“等差數(shù)列”的定義，寫出“等和數(shù)列”的定義，并解答下列問題： 已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，那么a18＝________，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為________． 解析定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，從第二項起每一項與它前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和． 由上述定義，得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,3，n為偶數(shù)，))故a18＝3. 從而Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù),\f(5,2)n，n為偶數(shù).)) 答案3Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n－\f(1,2)，n為奇數(shù),\f(5,2)n，n為偶數(shù)))11．觀察：①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1， ②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1，由以上兩式成立能得到一個從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣． 解觀察得到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，猜測推廣式子為：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ均不為kπ＋eq\f(π,2)，(k∈Z)，則 tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1. 證明：由α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，得α＋β＝eq\f(π,2)－γ， ∵tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－γ))＝cotγ， tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)， ∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ) ＝cotγ(1－tanαtanβ) ∴tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα ＝tanγ(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ ＝tanγ(1－tanαtanβ)cotγ＋tanαtanβ ＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝1.12．(創(chuàng)新拓展)定義一種“”運(yùn)算，對于n∈N*滿足下列運(yùn)算性質(zhì)： ①22010＝1，②(2n＋2)2010＝3·[(2n)2010]． 試求20102010的值． 解由已知得：(2×1)2010＝1， (2×2)2010＝(2×1＋2)2010 ＝3[(2×