高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第3講平行關(guān)系知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE第3講平行關(guān)系1．(2016·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)已知空間直線l不在平面α內(nèi)，則“直線l上有兩個點(diǎn)到平面α的距離相等”是“l(fā)∥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.因?yàn)橹本€l不在平面α內(nèi)，且直線l上有兩個點(diǎn)到平面α的距離相等，所以直線l∥α或l與α相交．當(dāng)l與α平行時，此時存在兩點(diǎn)到平面α的距離相等．所以“直線l上有兩個點(diǎn)到平面α的距離相等”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件．2．設(shè)平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A，B分別在α，β內(nèi)運(yùn)動時，所有的點(diǎn)C()A．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B在兩條相交直線上移動時才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B在兩條給定的平行直線上移動時才共面D．不論A，B如何移動都共面解析：選D.根據(jù)平面平行的性質(zhì)，不論A，B如何運(yùn)動，動點(diǎn)C均在與α，β都平行的平面上．3．(2016·惠州模擬)已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是()A．lα，mα，且l∥β，m∥βB．lα，mβ，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：選C.借助正方體模型進(jìn)行判斷．易排除選項(xiàng)A，B，D，故選C.4．(2016·東莞模擬)已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，給出下列命題：①若n⊥α，n⊥β，則α∥β；②若平面α上有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β；③若m，n為異面直線，nα，n∥β，mβ，m∥α，則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是()A．3個 B．2個C．1個 D．0個解析：選B.①若n⊥α，n⊥β，則n為平面α與β的公垂線，則α∥β，故①正確；②若平面α上有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，三點(diǎn)可能在平面β的異側(cè)，此時α與β相交，故②錯誤；③若n，m為異面直線，nα，n∥β，mβ，m∥α，根據(jù)面面平行的判定定理，可得③正確．故選B.5．(2016·長沙模擬)用a，b，c表示空間中三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a∥b，a∥c，則b∥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．③C．①③ D．②解析：選D.若a⊥b，b⊥c，則a∥c或a與c相交或a與c異面，所以①是假命題；在空間中，平行于同一直線的兩條直線平行，所以②是真命題；若a∥γ，b∥γ，則a∥b或a與b相交或a與b異面，所以③是假命題，故選D.6.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq\f(1,5)BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG綊eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．7.如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是__________．解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD.又MN?平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.答案：平行8．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過C，M，D1作正方體的截面，解析：由面面平行的性質(zhì)知截面與平面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)9．設(shè)α，β，γ是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命題“α∩β＝a，bγ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(把所有正確條件的序號都填上)．解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b∥β，aγ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．故填入的條件為①或③.答案：①或③10．(2016·周口一模)已知平面α∥平面β，P是α，β外一點(diǎn)，過P點(diǎn)的兩條直線AC，BD分別交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長為________．解析：若P在α，β的同側(cè)，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，則eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,PA＋AC)＝eq\f(AB,CD)，可求得CD＝20；若P在α，β之間，則eq\f(AB,CD)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,AC－PA)可求得CD＝4.答案：20或411.如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解：(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1.連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)所以O(shè)D1∥BC1.又因?yàn)镺D1平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又因?yàn)閑q\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)P是棱AD上一點(diǎn)，且AP＝eq\f(a,3)，過B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________．解析：因?yàn)槠矫鍭1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥又因?yàn)锽1D1∥BD，所以BD∥PQ，設(shè)PQ∩AB＝M，因?yàn)锳B∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a2．(2016·山西省調(diào)研)如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD.(1)求證：AC⊥PD；(2)在線段PA上，是否存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD？若存在，求eq\f(PE,PA)的值；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，又AC⊥CD，所以AC⊥平面PCD，因?yàn)镻D平面PCD，所以AC⊥PD.(2)在線段PA上，存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD.因?yàn)锳D＝3，所以在△PAD中，存在EF∥AD(E，F(xiàn)分別在AP，PD上)，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC＝EF，且使EF＝1，所以四邊形BCFE是平行四邊形，所以BE∥CF，BE?平面PCD，CF平面PCD，所以BE∥平面PCD，因?yàn)镋F＝1，AD＝3，所以eq\f(EF,AD)＝eq\f(PE,PA)＝eq\f(1,3).3.(2016·阜陽月考)如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，BC＝eq\r(2)，D，E分別為AB，OB的中點(diǎn)．(1)求證：CO⊥平面AOB；(2)在線段CB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，試確定F的位置，并證明此點(diǎn)滿足要求；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：因?yàn)锳O⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO，即△AOC與△AOB為直角三角形．又因?yàn)椤螼AB＝∠OAC＝eq\f(π,6)，AB＝AC＝2，所以O(shè)B＝OC＝1.由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC為直角三角形．所以CO⊥BO，又因?yàn)锳O∩BO＝O，所以CO⊥平