北師大版初中數(shù)學八年級下冊全冊導學案（2024年3月修訂）

第一章三角形的證明1.1等腰三角形第1課時等腰三角形的性質(zhì)學習目標：1.回顧全等三角形的判定和性質(zhì);2.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論，能運用其解決基本的幾何問題.自主學習自主學習一、情境導入圖中有你熟悉的圖形嗎?它們有什么共同特點?問題1在八上的“平行線的證明”這一章中，我們學了哪8條基本事實？合作探究合作探究要點探究知識點一：全等三角形的判定和性質(zhì)定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(AAS).問題2：你能用基本事實及已經(jīng)學過的定理證明上面的推論嗎？已知：求證：總結：知識點二：等腰三角形的性質(zhì)及其推論問題3：你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?問題4：你能利用基本事實或已知的定理證明這些結論嗎?議一議：在七下學習軸對稱時，我們利用折疊的方法說明了等腰三角形是軸對稱圖形，且兩個底角相等，如下圖，實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等的三角形.由此，你得到了解題什么的啟發(fā)？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.還有其他的證法嗎？想一想：由△BAD≌△CAD，圖中線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么論？總結：練一練1.已知，如圖，△ABC≌△ADE，∠BED=20°，則∠AED的度數(shù)為()A.60°B.90°C.80°D.20°典例精析例1已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，求證：AF⊥BC.二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.如圖，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，還需添加一個條件，這個條件可以是________________________．2.(1)等腰三角形一個底角為75°，它的另外兩個角為__________；(2)等腰三角形一個角為36°，它的另外兩個角為_____________；(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為________.參考答案創(chuàng)設情境，導入新知問題1在八上的“平行線的證明”這一章中，我們學了哪8條基本事實？1.兩點確定一條直線.2.兩點之間線段最短..3.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.4.同位角相等，兩直線平行.5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.8.三邊分別相等的兩個三角形全等.小組合作，探究概念和性質(zhì)知識點一：全等三角形的判定和性質(zhì)問題2：你能用基本事實及已經(jīng)學過的定理證明上面的推論嗎？已知：如圖，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D，∠B=∠E(已知)，∴∠C=∠F(等量代換).∵BC=EF(已知)，∴△ABC≌△DEF(ASA).根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：全等三角形的對應邊相等，對應角相等.知識點二：等腰三角形的性質(zhì)及其推論問題3：你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?定理：等腰三角形的兩個底角相等.推論：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合(三線合一).問題4：你能利用基本事實或已知的定理證明這些結論嗎?議一議：在七下學習軸對稱時，我們利用折疊的方法說明了等腰三角形是軸對稱圖形，且兩個底角相等，如下圖，實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等的三角形.由此，你得到了解題什么的啟發(fā)？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.方法一：作底邊上的中線證明：如圖，取BC的中點D，連接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等).方法二：作頂角的平分線證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等).想一想：由△BAD≌△CAD，圖中線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么論？由△BAD≌△CAD，可得BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.故AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的平分線、底邊BC上的高線.定理：等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).幾何語言：如圖，在△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等邊對等角).推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.練一練1.已知，如圖，△ABC≌△ADE，∠BED=20°，則∠AED的度數(shù)為(C)A.60°B.90°C.80°D.20°典例精析例1已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，求證：AF⊥BC.證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG，即BD＝CE.∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.當堂檢測∠C＝∠D(答案不唯一)（1）75°，30°；（2）72°，72°，或36°，108°（3）30°，30°

第一章三角形的證明1.1等腰三角形第2課時等邊三角形的性質(zhì)學習目標：1.進一步學習等腰三角形的相關性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質(zhì)；2.學習等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運用其解決問題.自主學習自主學習一、情境導入思考：在上一節(jié)課我們證明了等腰三角形的兩底角相等，那等邊三角形的各角之間有什么關系呢？合作探究合作探究要點探究知識點一：等腰三角形的重要線段的性質(zhì)在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?能證明你的結論嗎?猜想：例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：求證：例2證明：等腰三角形兩腰上的中線相等．已知：求證：例3證明：等腰三角形兩腰上的高相等．已知：求證：議一議：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點DE分別在邊AC和AB上.如果∠ABD=eq\f(1,3)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,3)∠ACB，那么BD=CE嗎？如果∠ABD=eq\f(1,4)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,4)∠ACB呢？(3)如果∠ABD=eq\f(1,n)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,n)∠ACB，那么BD=CE嗎?由此你能得到一個什么結論?結論：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點DE分別在邊AC和AB上.如果AD=eq\f(1,3)AC，AE=eq\f(1,3)AB，那么BD=CE嗎？為什么？(2)如果AD=eq\f(1,4)AC，AE=eq\f(1,4)AB，那么BD=CE嗎？為什么？(3)如果AD=eq\f(1,n)AC，AE=eq\f(1,n)AB，那么BD=CE嗎？為什么？由此你能得到一個什么結論?結論：知識點二：等邊三角形的性質(zhì)想一想：等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么特征呢？提問1：怎樣證明這一定理呢？已知：求證：典例精析例4如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，BD=BE，求∠EDA的度數(shù).二、課堂小結當堂檢測當堂檢測如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，若△ABC的周長為18cm，EC=2cm，則△ADE的周長是cm.2.如圖所示，△ACM和△BCN都為等邊三角形，連接AN、BM，求證：AN=BM.3.如圖，A、O、D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.變式：如圖，若把“兩個全等的等邊三角形”換成“不全等的兩個等邊三角形”，其余條件不變，你還能求出∠AEB的大小嗎？參考答案小組合作，探究概念和性質(zhì)在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?能證明你的結論嗎?猜想1：底角的兩條平分線相等猜想2：兩條腰上的中線相等猜想3：兩條腰上的高線相等例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是角平分線．求證：BD=CE.證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵∠1=eq\f(1,2)∠ABC，∠2=eq\f(1,2)∠ACB(已知)，∴∠1=∠2(等式性質(zhì))．在△BDC與△CEB中，∵∠DCB=∠EBC，BC=CB，∠1=∠2，∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)．例2證明：等腰三角形兩腰上的中線相等．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BM，CN兩腰上的中線．求證：BM=CN．證明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.又∵CM=eq\f(1,2)AC，BN=eq\f(1,2)AB，∴CM=BN.在△BMC與△CNB中，∵BC=CB，∠MCB=∠NBC，CM=BN，∴△BMC≌△CNB(SAS)．∴BM=CN.例3證明：等腰三角形兩腰上的高相等．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BP，CQ是△ABC兩腰上的高．求證：BP=CQ．證明：∵AB=AC(已知)，∴∠QBC=∠PCB.在△BQC與△CPB中，∵∠BQC=∠CPB，∠QBC=∠PCB，BC=CB，∴△BQC≌△CPB(AAS).∴BP=CQ.議一議：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點DE分別在邊AC和AB上.（1）如果∠ABD=eq\f(1,3)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,3)∠ACB，那么BD=CE嗎？BD=CE(2)如果∠ABD=eq\f(1,4)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,4)∠ACB呢？BD=CE(3)如果∠ABD=eq\f(1,n)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,n)∠ACB，那么BD=CE嗎?BD=CE由此你能得到一個什么結論?結論：如圖，在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.師生活動：以上證明都由特殊結論猜想出了一般結論.請同學們把一般結論的證明過程完整地書寫出來.(教師可巡視指導)下面我們來討論第(2)問，請小組代表發(fā)言.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點DE分別在邊AC和AB上.如果AD=eq\f(1,3)AC，AE=eq\f(1,3)AB，那么BD=CE嗎？為什么？BD=CE如果AD=eq\f(1,4)AC，AE=eq\f(1,4)AB，那么BD=CE嗎？為什么？BD=CE(3)如果AD=eq\f(1,n)AC，AE=eq\f(1,n)AB，那么BD=CE嗎？為什么？BD=CE由此你能得到一個什么結論?結論：如圖，在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.知識點二：等邊三角形的性質(zhì)想一想：等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么特征呢？定理：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.提問1：怎樣證明這一定理呢？預設：可以利用等腰三角形的性質(zhì)進行證明.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=BC.求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等邊對等角).同理∠A=∠B．又∵∠A+∠B+∠C=180°，(三角形的內(nèi)角和等于180°)，∴∠A=∠B=∠C=60°．典例精析例4如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，BD=BE，求∠EDA的度數(shù).解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CBA=60°.∵BD是AC邊上的中線，∴∠BDA=90°，∠DBA=30°.∵BD=BE，∴∠BDE=(180°－∠DBA)÷2=(180°－30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°.當堂檢測1.122.證明：∵△ACM和△BCN都為等邊三角形，∴∠1＝∠3＝60°.∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠ACN＝∠MCB.∵CA＝CM，CB＝CN，∴△CAN≌△CMB(SAS).∴AN＝BM.3.解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三點共線，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設OB與EA相交于點F.∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.變式：方法與前面相同，∠AEB=60°.

第一章三角形的證明1.1等腰三角形第3課時等腰三角形的判定與反證法學習目標：1.掌握等腰三角形的判定定理及其運用；2.理解并掌握反證法的思想，能夠運用反證法進行證明；自主學習自主學習一、情境導入如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點(不考慮風浪因素)？復習回答：問題1：等腰三角形有哪些性質(zhì)定理及推論？合作探究合作探究要點探究知識點一：等腰三角形的判定前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩底角相等.反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?建立數(shù)學模型：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關系?等腰三角形的判定定理：應用格式：辨一辨：如圖，下列推理正確嗎?∵∠1=∠2，∴BD=DC(等角對等邊).∵∠1=∠2，∴DC=BC(等角對等邊).典例精析例1已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.知識點二：反證法想一想：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?總結：例2用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.已知：△ABC．求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角．二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.已知：如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，①∠1=°，∠2=°；②圖中有個等腰三角形；③若AD=4cm，則BC=cm；④若過點D作DE∥BC，交AB于點E，則圖中有個等腰三角形.2.已知：等腰三角形ABC的底角平分線BD，CE相交于點O.求證：△OBC為等腰三角形.3.求證：在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么和另一條也相交.已知：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)，且l1∥l2，l3與l1相交于點P.求證：l3與l2相交.證明：假設______________，那么.因為已知，所以過直線l2外一點P，有兩條直線和l2平行，這與“_________________________________________”矛盾.所以___________，即求證的命題正確.參考答案建立數(shù)學模型：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關系?證明：過A作AD平分∠BAC交BC于點D.在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(簡稱“等角對等邊”).應用格式：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC(等角對等邊).辨一辨：如圖，下列推理正確嗎?∵∠1=∠2，∴BD=DC(等角對等邊).∵∠1=∠2，∴DC=BC(等角對等邊).錯，因為都不是在同一個三角形中.典例精析例1已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應角相等).∴AE=DE(等角對等邊).∴△AED是等腰三角形.知識點二：反證法想一想：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認為這個結論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC.小明是這樣想的：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時，AB與AC要么相等，要么不相等.假設AB=AC，那么根據(jù)“等角對等邊”定理可得∠B=∠C，但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.反證法概念：在證明時，先假設命題的結論不成立，然后由此推導出與已知條件或基本事實或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法．用反證法證題的一般步驟：1.假設：先假設命題的結論不成立；2.歸謬：從這個假設出發(fā)，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果；3.結論：由矛盾的結果判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.例2用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.已知：△ABC．求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角．【分析】按反證法證明命題的步驟，首先要假定結論“∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角”成立，然后，從這個假定出發(fā)推下去，找出矛盾．證明：假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°，則∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故假設不成立．所以一個三角形中不能有兩個角是直角．當堂檢測72，36；3；4；5證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABD＝∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ACE＝∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB.∴∠DBC=∠ECB.∴△OBC是等腰三角形.l3與l2不相交；l3∥l2；l1∥l2；經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；假設不成立.

第一章三角形的證明1.1等腰三角形第4課時等邊三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質(zhì)學習目標：1.能用所學的知識證明等邊三角形的判定定理.2.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關問題.自主學習自主學習一、情境導入如圖，在一個池塘兩旁有一條筆直小路(BC為小路端點)和一棵小樹(A為小樹位置).測得的相關數(shù)據(jù)為：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，則AC長多少米？合作探究合作探究要點探究知識點一：等邊三角形的判定探究：一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形?一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形?請證明自已的結論，并與同伴交流.猜想：證明：歸納總結：典例精析例1如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC，求證：△ADE是等邊三角形.變式：上題中，若將條件DE∥BC改為AD＝AE，△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.已知：如圖，在等邊三角形ABC中，AD＝AE.求證：△ADE是等邊三角形.知識點二：等邊三角形的判定操作：用兩個含有30°角的三角板，你能拼成一個怎樣的三角形？想一想：在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？猜想：已知：求證：總結：例2求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，求證：CD＝eq\f(1,2)AB.例3已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D．求證：BD＝eq\f(AB,4)二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為_____cm.2.在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3，則AC=_____，BC=______．3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.參考答案探究：一個三角形滿足什么條件時是等邊三角形?一個等腰三角形滿足什么條件時是等邊三角形?請證明自已的結論，并與同伴交流.定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.已知：如圖，∠A=∠B=∠C.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B，∴AC=BC.∵∠B=∠C，∴AB=AC.∴AB=AC=BC.∴△ABC是等邊三角形.定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.已知：若AB＝AC，∠A＝60°.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB=AC，∠A=60°，∴∠B=∠C=eq\f(1,2)(180°－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.∴△ABC是等邊三角形.【驗證】第二種情況：有一個底角是60°.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB=AC，∠B=60°(已知)，∴∠C=∠B=60°(等邊對等角).∴∠A=60°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠A=∠B=∠C=60°.∴△ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).歸納總結：典例精析例1如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC，求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.變式：上題中，若將條件DE∥BC改為AD＝AE，△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.已知：如圖，在等邊三角形ABC中，AD＝AE.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形.又∵∠A＝60°.∴△ADE是等邊三角形.知識點二：等邊三角形的判定操作：用兩個含有30°角的三角板，你能拼成一個怎樣的三角形？想一想：在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？猜想：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求證：BC=eq\f(1,2)AB.證明：延長BC至點D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的對應邊相等).∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形).∴BC＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)AB.定理：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．幾何語言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．∴BC＝eq\f(1,2)AB．(在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)拓展推論：BC∶AC∶AB＝例2求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，求證：CD＝eq\f(1,2)AB.證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對等角).∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝eq\f(1,2)AC(在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).∴CD＝eq\f(1,2)AB.例3已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于D．求證：BD＝eq\f(AB,4).證明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°，∴BC=eq\f(AB,2)，∠B=60°．∴∠BCD=30°．∴BD=eq\f(CB,2).∴BD=eq\f(AB,4).當堂檢測1.92.6，3.證明：∵AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，又∵∠CDE＝120°，DF平分∠CDE，∴∠EDF＝∠FDC＝60°.又∵DF∥BA，∴∠FDC＝∠ABC＝60°.∴△ABC是等邊三角形.

第一章三角形的證明1.2直角三角形第1課時直角三角形的性質(zhì)與判定學習目標：1．復習直角三角形的相關知識，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；2．學習并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運用其解決問題．(重點，難點)自主學習自主學習一、情境導入問題：前面我們探究過直角三角形的哪些性質(zhì)？合作探究合作探究要點探究知識點一：直角三角形的性質(zhì)與判定問題1：直角三角形的兩個銳角有怎樣的關系？為什么？問題2：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎?為什么?總結：定理1定理2上面兩個定理的條件和結論有什么關系？知識點二：勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理.證明欣賞證法1畢達哥拉斯證法證法2趙爽弦圖大正方形的面積可以表示為；也可以表示為．勾股定理反過來，怎么敘述呢？這個命題是真命題嗎？為什么？例1證明此命題：已知：求證：歸納總結：勾股定理：定理：知識點三：互逆命題與互逆定理合作探究：觀察上面第一個定理和第二個定理，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？第三個定理和第四個定理呢？與同伴交流.說出下列命題的條件和結論：如果兩個角是對頂角，那么它們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等.觀察上面三組命題，你發(fā)現(xiàn)了什么?歸納總結：想一想：你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？練一練：1.說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等.歸納總結：二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為()A.4cm B.5cmC.6cmD.10cm2.在你學過的定理中，有哪些定理的逆命題是真命題？試舉出幾個例子說明.(1)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形.

參考答案二、要點探究知識點一：直角三角形的性質(zhì)與判定問題1：直角三角形的兩個銳角有怎樣的關系？為什么？證明：△ABC是直角三角形，∵∠A+∠B+∠C=180°，又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.問題2：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎?為什么?∵∠A+∠B+∠C=180°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°.∴△ABC是直角三角形.總結：定理1直角三角形的兩個銳角互余.定理2有兩個角互余的三角形是直角三角形.知識點二：勾股定理及其逆定理證法1畢達哥拉斯證法證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab，S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×eq\f(1,2)ab+c2=c2+2ab，∴a2+b2+2ab=c2+2ab.∴a2+b2=c2.證法2趙爽弦圖大正方形的面積可以表示為c2；也可以表示為4×eq\f(1,2)ab+(b-a)2．∵c2=4×eq\f(1,2)ab+(b-a)2c2=2ab+b2-2ab+a2，c2=a2+b2，∴a2+b2=c2.勾股定理反過來，怎么敘述呢？如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．這個命題是真命題嗎？為什么？例1證明此命題：已知：如圖，在△ABC中，AC2+BC2=AB2.求證：△ABC是直角三角形．分析：構造一個直角三角形與△ABC全等，你能自己寫出證明過程嗎？證明：作Rt△DEF，使∠E=90°，DE=AC，F(xiàn)E=BC，則DE2+EF2=DF2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知)，DE=AC，F(xiàn)E=BC(作圖)，∴AB2=DF2.∴AB=DF.∴△ABC≌△DFE(SSS).∴∠C=∠E=90°.∴△ABC是直角三角形．歸納總結：勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．(定理3)定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．(定理4)知識點三：互逆命題與互逆定理想一想：你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎?逆命題：如果兩個有理數(shù)的平方相等，那么這兩個有理數(shù)相等.舉特例：原命題：2=2，22=22；逆命題：(2)2=(-2)2，2≠-2.此原命題是真命題；逆命題是假命題.練一練：1.說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.成立如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等.不成立歸納總結：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.如：“定理1與定理2”“定理3與定理4”都為互逆定理.注意：(1)命題有真有假，而定理都是真命題；(2)每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理；(3)原命題的真假與其逆命題的真假沒有關系.當堂檢測1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為(B)A.4cm B.5cmC.6cmD.10cm2.在你學過的定理中，有哪些定理的逆命題是真命題？試舉出幾個例子說明.(1)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形.答案：逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.真命題逆命題：如果一個三角形是等腰三角形，那么它有兩個角相等.真命題

第一章三角形的證明1.2直角三角形第1課時直角三角形的性質(zhì)與判定學習目標：1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．自主學習自主學習一、情境導入問題1：我們學過哪些判定三角形全等的方法？問題2：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形全等嗎?如果其中一組等邊所對的角是直角呢?合作探究合作探究要點探究知識點一：全等三角形的判定和性質(zhì)問題：如果這兩個三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？做一做：已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形.已知：如圖，線段a，c(a＜c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.驗證結論：已知：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′歸納總結：典例精析例1如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.求證BC=AD.變式1：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應的括號內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?(1)()(2)()(3)()(4)()例2如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？練一練1.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE，求證：BC＝BE.二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有()A.兩條直角邊對應相等B.斜邊和一銳角對應相等C.斜邊和一條直角邊對應相等D.兩個銳角對應相等如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC(填“全等”或“不全等”)，依據(jù)是(用簡寫法).3.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.能力拓展4.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？參考答案小組合作，探究概念和性質(zhì)知識點一：全等三角形的判定和性質(zhì)問題：如果這兩個三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？做一做：已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形.已知：如圖，線段a，c(a＜c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.(1)先畫∠MCN＝∠α＝90°.(2)在射線CM上截取CB＝a.(3)以點B為圓心，線段c的長為半徑作弧，交射線CN于點A.(4)連接AB，得到Rt△ABC.驗證結論：已知：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′證明：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理).同理，B'C'2＝A'B'2－A'C'2.∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，∴BC＝B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).歸納總結；“斜邊、直角邊”判定方法文字語言：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).幾何語言：典例精析例1如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.求證BC=AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C與∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD.∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.變式1：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應的括號內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?(1)AD＝BC(HL)(2)BD＝AC(HL)(3)∠DAB＝∠CBA(AAS)(4)∠DBA＝∠CAB(AAS)例2如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？解：根據(jù)題意，可知∠ABC=∠DEF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形的對應角相等).∵∠DEF+∠F=90°(直角三角形的兩銳角互余)，∴∠B+∠F=90°.練一練1.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE，求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.方法總結：當堂檢測1.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有(D)A.兩條直角邊對應相等B.斜邊和一銳角對應相等C.斜邊和一條直角邊對應相等D.兩個銳角對應相等如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC全等(填“全等”或“不全等”)，依據(jù)是HL(用簡寫法).3.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中，CE=BD，BC=CB，∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).能力拓展4.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？解：(1)當P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL).∴AP＝BC＝5cm.(2)當P運動到與C點重合時，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm.∴當AP＝5cm或10cm時，△ABC才能和△APQ全等.【方法總結】判定三角形全等的關鍵是找對應邊和對應角，由于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．

第一章三角形的證明1.3線段的垂直平分線第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定學習目標：1.理解線段垂直平分線的概念；2.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；3.能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算.自主學習自主學習一、情境導入如圖，畫一條線段AB，然后對折AB，使A，B兩點重合，設折痕與AB的交點為O.你發(fā)現(xiàn)了什么?合作探究合作探究要點探究知識點一：線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，點P是線段AB垂直平分線上的一點，AB和PC相等嗎?改變點P的位置，結論還成立嗎?猜想：已知：求證：總結：典例精析例1如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為()A.6B.5C.4D.32.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm，邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長是.知識點二：線段垂直平分線的判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?想一想：如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？總結：例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.試一試：已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.如圖所示，AC=AD，BC=BD，則下列說法正確的是()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB與CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB2.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，F(xiàn)A＝FB，這樣的點的組合共有種.3.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，AB+BC=16cm，則△BCE的周長是cm.4.已知：如圖，點C，D是線段AB外的兩點，且AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點O.求證：AO=BO.參考答案知識點一：線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，點P是線段AB垂直平分線上的一點，AB和PC相等嗎?改變點P的位置，結論還成立嗎?已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上.求證：PA=PB．證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA=PB．線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.典例精析例1如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.方法歸納：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為(B)6B.5C.4D.32.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm，邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長是10cm.知識點二：線段垂直平分線的判定逆命題：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.想一想：如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？總結：線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.應用格式：∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：∵AB=AC，∴A在線段BC的垂直平分線上(到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上).同理，點O在線段BC的垂直平分線.∴直線AO是線段BC的垂直平分線(兩點確定一條直線).方法二：證明：延長AO交BC于點D.∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO(SSS).∴∠BAO＝∠CAO.∵AB＝AC，∴AO⊥BC.∵OB＝OC，OD＝OD，∴Rt△DBO≌Rt△DCO(HL).∴BD＝CD.∴直線AO垂直平分線段BC.試一試：已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE=CE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等).∴OE是CD的垂直平分線.當堂檢測1.A2.無數(shù)3.164.證明：∵AC=BC，AD=BD，∴點C和點D在線段AB的垂直平分線上.∴CD為線段AB的垂直平分線.又∵AB與CD相交于點O，∴AO=BO.

第一章三角形的證明1.3線段的垂直平分線第2課時三角形三邊的垂直平分線與作圖學習目標：理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)，能夠運用其解決實際問題.2.能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線.自主學習自主學習一、情境導入某學校為了方便學生生活，計劃在三個宿舍樓A、B、C之間修建一個食堂，試問該食堂應建于何處，才能使得它到宿舍樓的距離相等？合作探究合作探究小組合作，探究概念和性質(zhì)知識點一：三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)合作探究：求證三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三角形三個頂點的距離相等已知：求證：總結：試一試：1.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.知識點二：尺規(guī)作圖做一做：(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?已知等腰三角形的底及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個？想一想：如何作出一個已知底及底邊上的高的等腰三角形呢？例已知：線段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.2.已知直線l和線外一點P，利用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P.回顧導入：食堂應建在三個宿舍樓A、B、C的垂直平分線上，才能使得它到宿舍樓的距離相等.請畫出這個位置.二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于()A．80°B．70°C．60°D．50°2.如圖所示，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線交BC于點D，DF⊥AC于點F，并與BC邊上的高AE交于G.求證：EG＝EC.3.已知：線段a.求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.

參考答案知識點一：三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)合作探究：已知：如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點P.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過點P，且PA=PB=PC.證明：連接PA，PB，PC.∵點P在AB，AC的垂直平分線上，∴PA=PB，PA=PC(線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等).∴PB=PC.∴點P在BC的垂直平分線上(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上).定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.應用格式：∵點P為△ABC三邊垂直平分線的交點，∴PA=PB=PC．試一試：1.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊中點處；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外.知識點二：尺規(guī)作圖做一做：(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎?已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h.求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h.提示：能作出無數(shù)個這樣的三角形，它們并不全等.已知等腰三角形的底及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個？這樣的等腰三角形只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側．想一想：如何作出一個已知底及底邊上的高的等腰三角形呢？例已知：線段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.作法：1.作線段BC=a；2.作線段BC的垂直平分線l交BC于點D；3.在l上作線段DA，使DA＝h.4.連接AB，AC.則△ABC為所求的等腰三角形.2.已知直線l和線外一點P，利用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P.作法：先以P為圓心，大于點P到直線l的垂直距離R為半徑作圓，交直線l于A，B.分別以A、B為圓心，大于R的長為半徑作圓，相交于C、D兩點.(3)過兩交點作直線l'，此直線為l過P的垂線.回顧導入：食堂應建在三個宿舍樓A、B、C的垂直平分線上，才能使得它到宿舍樓的距離相等.請畫出這個位置.如圖所示，連接AB、BC、AC，分別作三條線段的垂直平分線，即點P為所求.并完成作圖當堂檢測1.C2.3.

第一章三角形的證明1.1等腰三角形第1課時等腰三角形的性質(zhì)學習目標：1.會敘述角平分線的性質(zhì)及判定;2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題.自主學習自主學習一、情境導入如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設計．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)合作探究合作探究要點探究知識點一：角平分線的性質(zhì)合作探究：在∠AOB的角平分線上任意取一點C，分別折出過點C且與∠AOB的兩邊垂直的直線，垂足分別為D，E，將∠AOB再次對折，線段CD與CE能重合嗎?改變點C的位置，線段CD和CE還相等嗎?已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.總結：典例精析例1如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.知識點二：角平分線的判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?已知：如圖，點P為是∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.總結：例2如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.例3如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F.求證：點F在∠DAE的平分線上．歸納總結：二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=°，BE=.題1題22.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點D到AB的距離是.3.(西安期中)如圖，若∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACD的平分線相交于點P，若∠BAC=62°，∠PAC等于_______°.

參考答案在∠AOB的角平分線上任意取一點C，分別折出過點C且與∠AOB的兩邊垂直的直線，垂足分別為D，E，將∠AOB再次對折，線段CD與CE能重合嗎?改變點C的位置，線段CD和CE還相等嗎?結論：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵OC是∠AOB的平分線，∴∠1=∠2.∵OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對應邊相等).性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點在該平分線上；(3)垂直距離.定理的作用：證明線段相等.應用格式：∵OP是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).典例精析例1如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=__4____cm.知識點二：角平分線的判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?預設1：已知：如圖，點P為是∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，且PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對應角相等).∴OP平分∠AOB.角的平分線判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線上.例2如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.例3如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F.求證：點F在∠DAE的平分線上．回顧導入：根據(jù)以上的知識，則可解決導入中的問題.方法總結：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.歸納總結：當堂檢測1.60；BF2.33.59

第一章三角形的證明1.4角平分線第2課時三角形三條內(nèi)角的平分線學習目標：會證明和運用“三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等”.2.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運用.自主學習自主學習一、情境導入活動1分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？活動2分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？合作探究合作探究要點探究知識點一：三角形的內(nèi)角平分線已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過點P，且PD=PE=PF.總結：典例精析例1如圖，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.如果CD=4cm，求AC的長；求證：AB＝AC＋CD.例2如圖，在直角△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4，(1)點O到△ABC三邊的距離和為.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.例3如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°二、課堂小結當堂檢測當堂檢測1.如圖，已知△ABC，求作一點P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點的方法正確的是()A.P為∠A，∠B兩角平分線的交點B.P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點C.P為AC，AB兩邊上的高的交點D.P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠CBE=∠ABE，且AC=6cm，那么AE+DE=cm.3.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在()A.△ABC的三條中線的交點B.△ABC三邊的垂直平分線的交點C.△ABC三條角平分線的交點D.△ABC三條高所在直線的交點4.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF.求證：CF=EB.5.如圖，直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.參考答案創(chuàng)設情境，導入新知活動1分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？猜想結論：三角形的三條角平分線相交于一點.活動2分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？猜想結論：過交點作三角形三邊的垂線段相等.小組合作，探究概念和性質(zhì)知識點一：三角形的內(nèi)角平分線已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過點P，且PD=PE=PF.結論：三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等.典例精析例1如圖，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.如果CD=4cm，求AC的長；求證：AB＝AC＋CD.證明：由(1)的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.例2如圖，在直角△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4，(1)點O到△ABC三邊的距離和為12.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.解：如圖，過點O作OE⊥AB于點E，ON⊥BC于點N，連接OC.例3如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(A)A．110°B．120°C．130°D．140°當堂檢測1.如圖，已知△ABC，求作一點P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點的方法正確的是(B)A.P為∠A，∠B兩角平分線的交點B.P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點C.P為AC，AB兩邊上的高的交點D.P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠CBE=∠ABE，且AC=6cm，那么AE+DE=6cm.3.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在(C)A.△ABC的三條中線的交點B.△ABC三邊的垂直平分線的交點C.△ABC三條角平分線的交點D.△ABC三條高所在直線的交點4.已知：如圖，△ABC中