2022年二輪復習高考導數(shù)解答題四（構造函數(shù)證明不等式）

高考導數(shù)解答題專練四(構造函數(shù)證明不等式)

在解題中常用的有關結論(需要熟記)：

(1)曲線y=f\x)在x=x0處的切線的斜率等于:(見)，切線方程為y=/'(x0)(x-%)+/(%)

(2)若可導函數(shù)y=/(x)在％=不處取得極值，則/'(/)=0。反之，不成立。

(3)對于可導函數(shù)/(x),不等式:(幻>0(<0)的解集決定函數(shù)/(對的遞增(減)區(qū)間。

(4)函數(shù)/(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：VXG//'(x)2()(40)恒成立

(5)函數(shù)/(x)在區(qū)間I上不單調等價于f(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價轉化為方程/'(x)=0在區(qū)間

I上有實根且為非二重根。(若/'(X)為二次函數(shù)且I=R,則有A〉。)。

(6)/(x)在區(qū)間I上無極值等價于/(x)在區(qū)間在上是單調函數(shù)，進而得到了'(x)20或r(x)40在I

上恒成立

(7)若Vxe/,/(x)>0恒成立，則/")1nm>0；若Vxe/,/*)<()恒成立，則穴02<0

(8)若三天6/，使得/(尤0)>0,則/(X)max〉0；若三玉)6/，使得/(朝)<0,貝U/(X)min<0.

(9)

⑼設/(龍)與g(x)的定義域的交集為D若DxeD/(%)>g(尤)恒成立則有"(x)_g(x)h“>0

(10)若對V%]€/]、X2EI2,/(%,)>g(、)恒成立，則/(X)min>g(X)max-

若對V玉e/1,3x2e/2,使得/(x,)>g(x2),則f(x)min>g(x)min.

若對V.G/1,3X2e/2,使得/(%,)<g?)，則/(■1rax<g(X)max-

(11)已知/(x)在區(qū)間乙上的值域為A,,g(x)在區(qū)間上值域為B,

若對V演e/1,m%2e4，使得/(X1)=g(無2)成立，則4=B。

(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程/'(x)=0有兩個不等實根玉、%，且極大值大于0,極小值

小于0.

(13)證題中常用的不等式：

①山％<無一1(%>0)②In(x+1)<x(x>-1)③ex>l+x

1.已知函數(shù)f(x)=alnx+x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當4=1時，證明：xf(x)<e\

2.已知函數(shù)f(x)=x-alnx?

(I)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(II)求/(力的單調區(qū)間；

(ID)若關于x的方程x-H依=0有兩個不相等的實數(shù)根，記較小的實數(shù)根為.％,

求證：(a-l)xu>a.

3.已知函數(shù)f(x)=a/nr+x,函數(shù)g(x)=e*+加，

(1)記〃(X)=/(X)+X2,試討論函數(shù)/?)的單調性，并求出函數(shù)力(X)的極值點；

(2)若已知曲線y=/(x)和曲線y=g(x)在x=l處的切線都過點(0,1).求證：當

x>0時,xf(x)+g(x)-(e-l)x>1.

4.已知函數(shù)/(》)=?+/〃雙4€/?)在*=1處取得極值.

(I)若對Vxe(0,E),f(x)Wl—bx恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(II)設g(x)=/(x)+(x-2)e*,記函數(shù)y=g(x)在J,1］上的最大值為機，證明:

4

(m+4)(/??+3)<0.

5.已知函數(shù)/(x)=/-x-a,對于VxeR,f(x)20恒成立.

(1)求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)證明：當xe［0,生］時，cosx+tanx<ex.

x

6.已知函數(shù),f(x)=e9g(x)=ax+1?

(I)已知f(x)>g(x)恒成立，求。的值；

(II)若工￡(0,1),求證：1-加+彳2」V1.

fMX

7.已知函數(shù)f(x)=x(加Ll),r(x)的反函數(shù)為/?)(其中廣⑴為了⑴的導函數(shù),

功2ao.69).

(1)判斷函數(shù)g(x)=尸(x)+f-3工+2在(0,+co)上零點的個數(shù)；

(2)當xe(0,l),求證：&!>當一x—l.

〃(x)

8.已知函數(shù)/(x)=a(x2x(neR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調性；

(2)證明：當x>l時，『之爭.

Inxxz-x

9.已知函數(shù)f(x)=W.

(1)求，(x)在x=-2處的切線方程；

(2)已知關于x的方程=“有兩個實根不，x,,當」<八—4■時，求證:

ee

2

\xi-x2\<(e+1)。+4.

10.已知函數(shù)f(x)=(1+x)e<'與尸(x)=5-3x+2xcosx+1.(e=2.71828…是自然對數(shù)

的底數(shù)，歷2°0.69)

(1)討論關于x的方程I歷r|=/(x)根的個數(shù)；

(2)當xw[O,1]時，證明：f(x)21-X2F(x).

11.已知.f(x)=/nr+(〃7-l)x+〃7.

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)g(x)=f\x)-nix,若g(x)有兩個零點a,b,且a<A.求證：

m

h+l<2e-'<a+-.(左邊和右邊兩個不等式可只選一個證即可)

ba

12.已知函數(shù)f(x)=lruc-x,g(x)=x+-f且函數(shù)/(x)與g(x)有相同的極值點.

X

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若對74七￡[±3],不等式等伴Ml恒成立，求實數(shù)4的取值范圍;

ek+i

/.、4、H-、/、e"+cosx

(3)求證：J(x)+g(x)<-------------?

x

13.已知函數(shù)f(x)=e-lax-b-v\(a,bG/?).

(1)討論/(X)的極值情況；

(2)若a20時，f(x)>0,求證：b-4a2<-.

高考導數(shù)解答題專練四(構造函數(shù)證明不等式)解析

在解題中常用的有關結論(需要熟記)：

(1)曲線y=f\x)在x=x0處的切線的斜率等于:(見)，切線方程為y=/'(x0)(x-%)+/(%)

(2)若可導函數(shù)y=/(x)在％=不處取得極值，則/'(/)=0。反之，不成立。

(3)對于可導函數(shù)/(x),不等式:(幻>0(<0)的解集決定函數(shù)/(對的遞增(減)區(qū)間。

(4)函數(shù)/(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：VXG//'(x)2()(40)恒成立

(5)函數(shù)/(x)在區(qū)間I上不單調等價于f(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價轉化為方程/'(x)=0在區(qū)間

I上有實根且為非二重根。(若/'(X)為二次函數(shù)且I=R,則有A〉。)。

(6)/(x)在區(qū)間I上無極值等價于/(x)在區(qū)間在上是單調函數(shù)，進而得到了'(x)20或r(x)40在I

上恒成立

(7)若Vxe/,/(x)>0恒成立，則/")1nm>0；若Vxe/,/*)<()恒成立，則穴02<0

(10)若m/e/，使得/(/)〉0，則/(X)max>0;若三%e/,使得f(xQ)<0,則/(x)min<0.

(11)

⑼設/(無)與g(x)的定義域的交集為D若DxeD/(%)>g(尤)恒成立則有［〃x)_g(x)h“>o

(10)若對V%］€/］、X2EI2,/(%,)>g(、)恒成立，則/(X)min>g(X)max-

若對V玉e/1,3x2e/2,使得/(x,)>g(x2),則f(x)min>g(x)min.

若對V.G/1,3X2e/2,使得/(%,)<g?)，則/(■1rax<g(X)max-

(11)已知/(x)在區(qū)間乙上的值域為A,,g(x)在區(qū)間上值域為B,

若對V演e/1,m%2e4，使得/(X1)=g(無2)成立，則4=B。

(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程/'(x)=0有兩個不等實根玉、%，且極大值大于0,極小值

小于0.

(13)證題中常用的不等式:

①(%>0)②In(x+1)<x(x>-1)③ex>\+x

1.已知函數(shù)/(x)=+

(1)討論f(x)的單調性;

(2)當4=1時，證明：xf(x)<ex.

解：(1)f(x)=alnx+x9XG(0,-HX)).f\x)=—+1,

X

22。時，小)>。，函數(shù)行)在三。,口上單調遞增.

”0時，令/(尤)=0,解得x=-4>0,函數(shù)/(X)在XW(0,-〃)上單調遞減，在

上單調遞增.

(2)證明：當a=l時，要證明：xf(x)<e\即證明也+1<冬,

Xx~

人,、Inx.“、\-lnx

令g(x)=—+1，g'(%)=——

XX

令g'(x)>o，解得Ovxve;令g，(x)<0,解得e<%.

函數(shù)g(x)在(0,e)上單調遞增，在3,位)上單調遞減.

，x=e時，函數(shù)g(x)取得極大值即最大值，g(e)=1+1.

e

令力(x)

(X—2)/

”*)=

令〃(幻<0,解得0vxv2;令”(%)>0,解得2Vx.

???函數(shù)”(x)在(0,e)上單調遞減，在(2,y0)上單調遞增.

；.x=e時，函數(shù)九(x)取得極小值即最小值，h(2)=巨

4

4e42.5

g(x)“w<Mx).,

艮［］處+］<二，也艮|J<ex.

XX"

2.已知函數(shù)/(x)=x-alnx?

(I)求曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(II)求/(x)的單調區(qū)間；

(ID)若關于x的方程x-a加=0有兩個不相等的實數(shù)根，記較小的實數(shù)根為二,

求證：(a-1)x0>a.

(I)解：由/(x)=x-alnx，可得f\x)=1--,

x

則r(1)=i-6/,又/(1)=1,

所以曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=(1-a)(x-l),

艮|Jy=(\-a)x+a.

(II)解:=的定義域為(0,+oo),f\x)=1--=-―-,

xx

當6,0時,f(x)>0,/(x)在(0,+oo)上單調遞增；

當a>0時，令八x)>0,可得無令r(x)v0,可得Ovxva,

所以f(x)在(0M)上單調遞減，在(q”)上單調遞增.

(IH)證明：由(H)可知，當心0時，f(x)=x-Hnr=0才有兩個不相等的實根,

且%>0,

則要證3-1次>〃，即證即證

a元0ax0

而升)-。/啄=0,則a=3-(x()wl,否則方程不成立)，

I叫

所以即證1_她>2_,化簡得巾_/叫_1>0,

令ga))=x()-則g'a))=i

%與

當0</<1時，g\xQ)<0,g($)單調遞減，

當工0>1時，g</)>0,g5)單調遞增，

所以g(Xo)Ng(l)=0,而"1,

所以g(X)>o，

所以(〃-1)工0>〃，得證.

3.已知函數(shù)/(x)=Hnx+%,函數(shù)g(x)=e，+加，

(1)記力(x)=/(x)+f,試討論函數(shù)/?)的單調性，并求出函數(shù)〃⑺的極值點；

(2)若已知曲線y=/(x)和曲線y=g(x)在、=1處的切線都過點(0,1).求證：當

x>0時,xf(x)+g(x)-(e-l)x>1.

解：(1)/z(x)=alnx+x+x2,hr(x)=+a(x>0),

X

記(p{x)=2x2+x+a(x>0),

當口.0時，6(x)>0,A(x)在(0,+oo)單調遞增，無極值點，

當a<0時,△=1-8a>0,(p(x)有異號的兩根^=—―~(<0),

-1+J1-8〃

/=-----------(>0),

”3士正足)，夕⑶<0,力,(/<0,九⑴在?士正電)單調遞減，

44

X￡("’18",4-co),(p(x)>0,hr(x)>0,h(x)在(1+阻,+oo)單調遞減，

44

力(X)有極小值點X=心此死；

4

(2)證明：*.?ff(x)=X+a(x>0)?gr(x)=ex+2bx,

x

fr(1)=a+l,f(x)在x=l處的切線方程為y-1=3+1)(%-1),過點(0,1)得：a=-1,

,(1)=e+2b,g(x)在x=l處的切線方程為y-e-/?=(e+2/?)(x-l),過點(0,1)得：

b=—l9

/./(x)=-lux+x,g(x)=ex-x2,

要證:xf(x)+g(x)一(e-l)x>1,

即ijE:---Inx—(e-1)..0，

xx

構造函數(shù)K(x)=C-/nx-1(e-l),則K，(x)=區(qū)二里二?,

XXX

,.?%>()時，-1>0,

.?.X€((M)時，K(x)<0,K(x)在(0,1)單調遞減,

.,.xw(l,y)時，K'(x)>0,K(x)在(1,期)單調遞增，

K(x)..K(1)=0,故原不等式成立.

4.已知函數(shù)/(》)=奴+。W(4€/?)在》=1處取得極值.

(I)若對Vxe(0,E),f(x)Wl—bx恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；

(II)設g(x)=/(x)+(x-2)/,記函數(shù)y=g(x)在己，1］上的最大值為機，證明:

4

("7+4)(〃z+3)v0?

(I)解：/(x)=ax+lnx{aeR),則fr(x)=a+—

x

又/(x)在X=1處取得極值，則有:(1)=4+1=0,解得4=-1,

止匕時r(x)=l-i,

X

當Ovxcl時,fr(x)>0,則f(x)單調遞增，

當x>l時,f'(x)<0,則/(x)單調遞減,

所以/(X)確實在x=1處取得極值，

故a=-l,

設/?(%)=/?%+(/?-l)x-l,

則f(X)<1-bx在(0,+<?)上恒成立，即/z(x),0在(0,4-00)上恒成立，

因為“(%)=1+6-1,

X

當b-l..O,即h.l時,版x)>0在(0,+oo)上恒成立，不符合題意；

當〃<1時，令〃(x)=0,解得x=」_,

\-b

當0<x<」一時，h'(x)>0,則。x)單調遞增,

\-h

當時，h'(x)<0,則〃(x)單調遞減，

\-b

所以當x=——時，h(x)取得最大值/?(——)=ln―-——F----1=-ln(l-/?)-2,

\-h\-h\-b\-b

要使得h(x)?0在(0,+?)上恒成立,

則有一出(—,0,解得h?1-e-,

綜上所述，實數(shù)6的取值范圍為(-co,l-e-2］；

(II)證明：要證(利+4)(加+3)<0,即證明T</<-3即可,

因為g(x)=f(x)+(x-2)ex=lnx-x+(x-2)ex,

貝！Jg'(x)=——1+e*+(x-2)ex--~-+^(%-1)=(ex--)(x-1),

XXX

因為xeg,1］時，x-L,0恒成立,

設M(x)=e，-工，1],則M(x)為單調遞增函數(shù)，

L11-203-5

又M(一)="o——<0也(_)=〃―>0,

201153

則存在天￡(”,3),使得M(X())=O,即*=上，

205x()

則當時，M(x)<0,(x-l)<0,則g<x)>0,故g(x)單調遞增,

4

當xwX，1］時,M(x)..O,0且不同時為0,則g，(x),,0,故g(x)單調遞減,

Xn

所以g(x)在』,1]上的最大值為mugOoX/nro-與+*0-2)1=lnxQ-xQ+xoe^-2e,

4

1O11Q

又e"=一,貝U〃2=/"一/+1---,x0G(一,一)，

x0x()205

設&(x)=/MT-X+1-2,XG(―,-)，

x205

則敏X)=［1+蛾>0對于X喝*恒成立,

故小)在xe號令上單調遞增

痂7/、//I、,1111,40,119404

fixk(x)>k(—)=In------+1----=In---F------>-4

20202011202011

333103

As(x)<k(~)=In-----F1---~In—2.933<—3,

55535

于是-4vm<—3,

故(〃2+4)(/7?4-3)<0.

5.已知函數(shù)-對于VxeR,f(x)20恒成立.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：當xc[O,勺時，cosx+tanx<ex.

4

解：(1)由f(x)NO恒成立，得對VxwR恒成立，

a<ex_x

令g(x)=ex-x,gf(x)=ex-1,

當x>0,gXx)>0,g(x)單調遞增,

當xvO,g\x)<0,g(x)單調減，g(x)的=g(O)=l，

故所求實數(shù)。的取值范圍為(-QO,1];

(2)證明：由⑴得elx+l.

欲證cosx+tanj;,ex,只需證cosx+tan&x+1即可，

令〃(x)=cosx+lanx-x-1,

,,/、1,sinx(sinx-cos2x)sinx(sinx+sin2x-1)

h(x)=-smx+——-——1=-----------------=----------；--------,

cosxcosxcos-x

令b(xXsinx+si/x-l,則易知/(x)在[0,勺單調遞增，且尸(0)<0,F(-)>0,

44

故存在為€(0二)，使得F(x0)=0;

4

當工￡[0,玉))時，F(xiàn)(x)<0,h\x\,0,力(幻單調遞減，

當今時，F(xiàn)(x)>0,h\x)>0,/z(x)單調遞增，

又/1(0)=0,〃(7)=#一7<0,h(x)lfiax=〃(0)=0,

故當工￡。勺時，cosx+tanex.

4

6.已知函數(shù)/(?=/,g(X)=O￥+l.

(I)已知f(x)2g(X)恒成立，求。的值；

(II)若xw(0,l),求證：1-^,1X+x2--<1.

f(x)X

解：(1)已知f(x)上g(X)恒成立,

令h[x)=J'(x)-^(x)=ex-ax,貝！]有h'(x)=ex-a，

當a<0時,則恒有〃(x)>0,此時函數(shù)以x)單調遞增,并且當xf-8時，〃(x)

不滿足題意；

a>0,此時令“(%)=0=>x=bza;

：.h\x)>Q^>x>Ina;h\x)<0=>x<Ina,即函數(shù)〃(x)在(-oo,歷a)上單調遞減，在

(Z/7Z7,+OO)上單調遞增，

/.h(x)mjn=h(lna)=a-alna-1,

若要滿足題意，則需使a/w-L.0,恒成立，

令F(a)-a-alna-1(a>0),則有Z7'(a)=lna,

由此可得，當Ovavl時，F(xiàn)f(a)<0；當a>l時，F(xiàn)'(a)>0.

:.F(a)=F(1)=0,即得尸(a)..0,

,.ci—\?

(2)令G(x)=e，-x-l(xw(0,l)),則有G，(x)=e，-1>0恒成立,故可得G(x)在(0,1)上

單調遞增，

即有G(x)>G(0)=0恒成立,故有/-x-1>0o爐>x+1在(0,1)上恒成立;

根據(jù)題意，要證匕媽+即證明匕媽+x__L<i,

/(x)Xx+1X

即證1-履+%2<X+1,

X

即證Inx-x2+1+—>0,

X

2

H(x)^lnx-x+X+-,則有H'(x)=--2x一一r=^(x-l)-2x,

XXXX

XG(0,1),

x—1v0,—2xv0,

"(x)<0在(0,1)上恒成立，即得函數(shù)H(x)在(0,1)上單調遞減，

H(x)>H(1)=1>0,由此得證當xe(0,l)時，原不等式成立.

7.已知函數(shù),f(x)=x(/n?l),.「(X)的反函數(shù)為//(x)(其中r(x)為/(x)的導函數(shù),

M2=0.69).

(1)判斷函數(shù)g(x)=/"(x)+f_3x+2在(0,+00)上零點的個數(shù);

(2)當xe(0,l),求證：包

〃(x)

解：(1)由題意得g(x)=/'(x)+x2-3x+2=+f-3x+2,

則g，(x)O-l)(D,

X

由g?)=0得x或x=l,

由g，(x)>0,得0<x<；或%>1,

由/(“)<0,得g<x<1,

當x在(0,+oo)上變化時，g，(x),g(x)變化情況如下表：

X(*)(;,1)1

2

g'(x)+0—0+

g(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

根據(jù)上表知g(x)極大值=g[g)=；-/〃2>0,g(x)極小值=g(1)=0,

g(；)="-21n2<0,

根據(jù)零點的存在性定理，函數(shù)g(x)在(0,g)上存在唯一零點，又因為g(1)=0,

所以根據(jù)g(x)的單調性可知，函數(shù)g(x)=尸(x)+爐-3x+2在(0,+oo)上零點的個數(shù)為

2.

(2)證明：因為尸(幻=而，其反函數(shù)為〃(x)=e',

所以不等式為x(1nx-1)>x3-X-1?x(lnx-l)>(x3-x-\)e',

ex

當xw(0,1)時,f\x)<0，

所以f(x)在(0,1)上單調遞減，

所以/(x)>f(1)=-1,

設函數(shù)G(x)=(d-x-l)e',

貝UG\x)=(x3+3x2-x-2)ex，

設函數(shù)MX)=Y+3X2_X-2,貝lj“(X)=3X2+6X-1,

所以“(x)在(0,1)上單調遞增，

因為“(()).“(1)=-8<0,

所以存在X。€(()」)，使得"5)=0,

所以函數(shù)p(x)在(0,%)上單調遞減，在(%,1)上單調遞增,

當xe(O,Xo)時，p(x0)<p(0)=-2,

當xe(xo，1)時，p(x0)<0,p(1)>0,

所以存在為€(0,1),使得G(xJ=0,

所以當xe(0,xJ時，G,(x)<0,

當X€(X「1)時，G(x)>0,

所以函數(shù)G(x)在(0,*)上單調遞減，在小，1)上單調遞增,

因為G(0)=—1,G(1)=—e，

所以當xw(0,l)時,G(x)<G(0)=-l,

所以x(lnx-l)>(x3-X-l)e',

所以/Udr-l.

g(x)

8.已知函數(shù)/(》)=心2-x)-加x(aeR).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;

2ex-1x2+l

(2)證明:當x>l時,>

Inxx2-x

解：(1)函數(shù)的定義域為(0,+oo),f\x)=a(2x-1)--=—――-

xx

令g(x)=lax1-ax-\,

⑴當4=0時，g(x)=-l<0,/(%)=里^<0,此時/⑺在(0,y)上單調遞減;

x

(萬)當〃工0時，g(x)為二次函數(shù)，△="+8〃，

①若△,,(),即時，g(x)的圖象為開口向下的拋物線且g(x)?O,則

尸(幻=皿,,0,此時f(x)在(0,+oo)上5單調遞減；

X

②當△>(),即"―8或a>0時，令g(x)=0,解得用=佇近運小=色土五三，

4a4a

當。<-8時，g(x)的圖象為開口向下的拋物線，0<%<為，

.,.當xe(0,々)，》€(wěn)(為，+oo)時，g(x),,0,則f(x)單調遞減,當xe?,

為)時,g(x)>0,則r(x)>0,f(x)單調遞增;

當a>0時，g(x)的圖象為開口向上的拋物線，x,<0<x2,

當xe(0,9),g(x\,0,則r(x)<0,/(x)單調遞減，當xe?,+8),g(x)>0,則

r(x)>o,〃x)單調遞增；

綜上，當"-8時，"X)在(0,史西云),("五且)上單調遞減，在

4。4a

("J"'+'」—“2+8。)上單調遞增；

4a4a

當a>0時，/(x)在(0,空叵近)上單調遞減，在(竺叵芹)上單調遞增；

4。4。

當-8融0時，/1)在(0,鈣)上單調遞減.

(2)證明：由(1)知，當a=l時，/(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,-)上單調遞

增，

因此對任意x>l恒有(1),即x2-x>/nr,

又Oc/nrcx?-x,要證必一…當里，只需證紜工./+1,

Inxx-x

令tn(x)=er~l--1(x2+1),x..1,則加(x)=ex~'-x,m\x)=ex~l-1,

?/x.A9

:.nf(x)..O,則W(x)在［1,+8)上單調遞增，又ni(1)=0,

.,.當X..1時，W(x)..O恒成立，則"2(X)在［1,+00)上單調遞增，又加(1)=0,

對任意x>l恒有皿x)>桃(1),即2e任.f+l,即得證.

9.已知函數(shù)f(x)=x".

(1)求f(x)在x=-2處的切線方程；

(2)已知關于x的方程f(x)=“有兩個實根玉，x,,當■時，求證:

ee"

2

\xx-x21<(e+1)。+4?

n

解：(1)■.-f(x)=xe',/(-2)=-p-

f(x)=(x+l)et,/(_2)=-占，

e

故x=-2時的切線方程是y=-1(x+2)_/,

ee

(2)證明：由(1)知：f(x)在(TO,-1)遞減，在(T+oo)遞增,

*?*/(-1)=一1，f(-2)="y，

ee

當-」vav―%時,方程/(%)=〃有2個實根石,x29則不，x2e(-2,0),

ee

,i4

4*g(x)=/(x)+—x+—(-2<x<0)，

ee

貝！Jg'(x)=(x+l)e'+二，

e

令h(x)=g\x)，貝ljhr(x)=(x+2)ex>0,

故g\x)在(-2,0)遞增,故gf(x)>g<-2)=0,

故g(?在(-2,0)遞增，故g(x)>g(-2)=0,故g(5)>0,

責1414

取Q=/(%])=g(X])_/X|，

故-(fa+4)<X],

x

故不￡(一2,0)時，xe>x9故〃=/(%)>出，

故|百一九2K〃+?2a+4=(f+1)。+4.

10.已知函數(shù)/?(x)=(l+x)e-2,與尸(x)=r--3x+2xcosx+l.(e=2.71828…是自然對數(shù)

2

的底數(shù)，/〃2。0.69)

(1)討論關于x的方程|愿|=/&)根的個數(shù)；

(2)當1］時，證明：f(x)21-X2F(x).

解：(1)令g(x)=||-f(x),=|阮xe(0,+oo),

e2x

當x=l時,不滿足g(x)=0

當xe(0,1)時，lnx<0,

...x+1，/、12x+1!4x

g(x)=-lnx———,g(x)=——十—；-,g"(x)=?一萬>0，

exe

因此/(?在區(qū)間上單調遞增，

g，M<g,(1)=±-一1<0,g(x)在(0,1)區(qū)間上單調遞減,

e

3

g^)=ln2-j>0,g(l)=f<0,根據(jù)零點定理，g(x)在(0,1)上存在唯一零點.

當xe(l,+oo),g{x}=lnx-^-,gf(x)=e~2x(—+2x+1),

ex

-i、

2x+l>0,—>0,；>0,g'(x)>0,g(x)在(l,+oo)上單調遞增，

xe

g(1)<0,g(e)>0,

根據(jù)零點定理，g(x)在(0,1)上存在唯一零點,

因此，I加|=/3根的個數(shù)為2個.

(2)1-x-F(x)=-x(-2+2cosx+—)

2

2

設A/(x)=±+2cosx-2,A/'(x)=x-2sinx,M\x)=1-2cosx<0,

2

M(x)在［0,1］上單調遞減“(x)v”(0)=0,M(x)在［0,1］上單調遞減,M(x\,M(0),

所以，l-%-F(x)..O,

要證明(1+x)e'2\.\-x,僅需要證明(1+x)e'\.(1-x)e',

設“(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex,

HXx)=(ex-e-x)x,

當X€(O,1),H\x)>0,

”(x)在該區(qū)間上單調遞增，

所以，W(x)..H(O)=O,

所以，y(x)..i-x,

綜上所述，當xe[O,1]時，/(x)隔-x尸(x).

11.已知/(x)=/nx+(/w-l)x+/w.

(1)求/(X)的單調區(qū)間；

(2)g(x)=f(x)-mx,若g(x)有兩個零點a,b,且求證：

b+L<2e-'-'<a+-.(左邊和右邊兩個不等式可只選一個證即可)

ba

解：(1)f\x)=—+/??-l(x>0),

x

當機.1時，f(x)>0,f(x)在(0,+00)單調遞增；

當機<1時，令/(了)<(),解得x>—!—，令r(%)>o,解得o<x<―!—，

1—m\—m

.../(X)在(o,_L)單調遞增，在(-L.+OO)單調遞減；

\—m1—m

綜上，當機.1時，/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,E);當機<1時，的單調遞增區(qū)

間為(0,—匚)，單調遞減區(qū)間為(二一,”)；

1—m\—m

(2)證明：g(x)=lnx-x+m,令g(x)=0,則〃2=x-/nx,

設/i(x)=x-bvc(x>0),貝！J1(x)=1——=:---，

XX

易知函數(shù)力(x)在(0,1)單調遞減，在(1,+co)單調遞增，且x-?0時，h(x)->-KX),當

x->+oo時，/?(x)—>+oo,h(1)=],

又a<b,則0vav1vZ?,

①若證所證不等式的左邊，即2e"i<足,即證歷2+加一1</〃匕1=歷(〃+1)-/油，

hb

又g(b)=0,則tn=b-lnb,故即證ln2+b—bib—T<bi(b?+1)—1nb,即證

ln2-1<ln(b2+1)—Z?,

設f(b)=ln(b2+l)-b,b>\,貝h'(b)=^--]=<o,

Zr+1廳+1

.-./(b)在(1,+oo)上單調遞減，

：.t(b)<t(1)=ln2-l,即得證；

②若證所證不等式的右邊，即2d+L即證/〃2+〃L1>/〃上丑，即證

aa

ln2+-1>ln(a2+1)-Ina,

又g(a)=0,B|Jm=a-lna,故即證妨2+a—加a—1>ln(a2+1)-Ina,艮|J證

In2—1>l〃(cT+1)-a,

設0(a)=ln(a2+1)-?,Ovavl,貝ll9'(a)=^^——]=_(",“<0,

a-FlU+1

:.(p(a)在(0,1)單調遞減，故9(a)>(p(1)=/n2-l,即得證.

12.已知函數(shù)f(x)=Inx-x,g(x)=x+—9且函數(shù)/(x)與g(x)有相同的極值點.

x

(1)求實數(shù)〃的值；

(2)若對“田€[上3],不等式編等W1恒成立，求實數(shù)”的取值范圍；

e化+1

x

/.、.、T”、/、e+cosx

(3)求證：f(x)+g(x)<---------

x

解：(1)令/"(x)='一1=0,解得x=l,

x

易知函數(shù)/⑺在(0,1)單調遞增，在(1,+8)單調遞減，故函數(shù)/⑴的極大值點為x=l,

令g'(x)=1-二=0,則由題意有，gr(1)=1—a=0,解得a=l,經驗證符合題意，

故實數(shù)。的值為1;

(2)由(1)知，函數(shù)/(X)在d,l)單調遞增，在(1,3)單調遞減，

e

X/(l)=-l-l,/(l)=-l,/(3)=/n3-3,且/〃,

eee

???當xe[1,3]時，f(x)nmx=f(1)=T，/(3)=/?3-3，

①當《+1>0,即左>-1時，對內,々€[1,引，不等式、[)一'*2),,1恒成立,即為

ek+1

&+1../(芭)-/(Xj)恒成立,

則k+1../UU-/(%)?,?=T一(歷3—3)=2一加3，

/.k.A-lrii9

Xl-/n3>-l,

此時人的取值范圍為k.l-歷3；

②當4+1<0,