2020-2021學(xué)年濟南市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2020-2021年山東省濟南市高二（上）期末數(shù)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）直線x-也y+l=0的斜率為（）

A.也B.-73C.—D.--

33

【分析】把直線的方程化為斜截式，從而求得直線的斜率.

【解答】解:由了-6丁+1=0，

汨石工百

將：y=——x-\-----，

33

故直線的斜率k=更，

3

故選：C.

【點評】本題主要考查直線的斜截式，求直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）已知向量4=（2,3,1）,6=（1,2,0）,則|a+b|等于（）

A.73B.3C.s/35D.9

【分析】利用向量坐標運算法則求出a+6,由此能求出

【解答】解：向量。=（2,3,1）,6=（1,2,0）,

a+b=（3,5,1），

/.Ia+b\=09+25+1=A/35.

故選：C.

【點評】本題考查向量的模的求法，考查向量坐標運算法則等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

3.（5分）如圖，在三棱柱ABC-A4cl中，"為AG的中點，若8A=a,BC=b,BB1=c,

則下列向量與相等的是（）

/X//

B■■■??

A

A11,-ILc11711

A.—CL—bcD.—ci~\—b—cC.—aH—u-\-cD.—dH—bz+c

22222222

【分析】利用空間向量加法法則直接求解.

【解答】解：在三棱柱ABC-A4G中，M為AG的中點，若5A=a，BC=b,BBx=c,

BM=BA+AAi+AiM

=a+cH—AC

2

=Q+c+g(BC—BA)

=Q+C+—(Z?-Cl)

117

=—a+—b+c.

22

故選：D.

【點評】本題考查向量的表示法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,

是基礎(chǔ)題.

4.（5分）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文和數(shù)著作，書中提到冬至、小寒、大寒、立春、

雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)

列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日

影子長為（）

A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，再求出結(jié)果.

【解答】解：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種

這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.

冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，

設(shè)冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種

這十二個節(jié)氣的日影子長分別為%（〃=1,2,3,…，12）,

則e⑥是口心等4差g數(shù)1列'.f七a.++(a1,*+42d.5)+(a.+Ad)=40.5'解得Q65.

則冬至的日影子長為15.5（尺）.

故選：D.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）在正方體ABCO-ABIGA中，M.N分別為棱A片和B耳的中點，那么異面直

線AM和QV所成角的余弦值是（）

A.小B.巫C.2D.二

2255

【分析】由AM-CN=（懼+AM）.（C8+BN）求出A"?CN的值，利用兩個向量的數(shù)量積的

定義求出AMCN,

由此解出cos<AM,CN>=二，結(jié)論可得.

5

【解答】解：由題意可得AM=懼+4",CN=CB+BN.

AM-CN=(AAl+AlMy(CB+BN)=AAl-CB+AAl-BN+AlM-CB+^M-BN

=0+lx-+0+0=-.

22

x+；cos<AM,

又AM.CN=CN>=-cos<AM,CN>,

4

512

—cosvAMfCN〉二一，「.cosvAA/,CN>=—，

425

故選：c.

【點評】本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式，兩條異面直線所成的角的定義，

求出cos<AM,CN>,

是解題的關(guān)鍵.

6.（5分）歷時23天嫦娥五號成功攜帶月球樣品返回地球，標志著中國航天向前邁出一大

步.其中2020年11月28日晚，嫦娥五號成功進行首次近月制動，進入一個大橢圓軌道.該

橢圓形軌道以月球球心為一個焦點片，若其近月點A（離月球表面最近的點）與月球表面

距離為4公里，遠月點3（離月球表面最遠的點）與月球表面距離為4公里，并且"，A,

3在同一直線上已知月球的半徑為R公里，則該橢圓形軌道的離心率為（）

A.…B.…

2H+/+G2R+4+0

C.D..

R+4+qR+耳+2

【分析】由已知可得衛(wèi)星的近地點,遠地點離地心的距離分別為尺+（,h+4，則0-。=尺+4，

a+c=R+r2,進而可以求解.

【解答】解：由已知可得衛(wèi)星的近地點，遠地點離地心的距離分別為尺+個R+r2,

22

設(shè)軌道的標準方程為二+4=1,

a2b2

a-c=R+i\,a+c=R+r,角軍得)，。=((一)，

所以1a=((2H+q+0G4

所以橢圓形軌道的離心率為e=g

a2R+q+&

故選：B.

【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，涉及到近地點和遠地點的知識，考查了生的理解能力，屬

于基礎(chǔ)題.

7.（5分）已知動點P在直線4:3x-4y+l=0上運動，動點Q在直線4:6x+〃?y+4=0上運

動，且則|尸。|的最小值為（）

A.。BD

5A-:

【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)求得機的值，再利用兩條平行直線間的距離公式,

計算求得結(jié)果.

【解答】解：動點P在直線4：3x-4y+l=O,即6x-8y+2=0上運動，

動點Q在直線4:6x+〃?y+4=0上運動，旦IJ/%,;.m=—8,

則|PQI的最小值即為兩平行直線間的距離，為21

736+645

故選：C.

【點評】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，兩條平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）若等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為，首項°1>0,%）20+%）21>0，。2020,“2021<。，

則滿足s“>o成立的最大正整數(shù)〃是（）

A.4039B.4040C.4041D.4042

［分析］等差數(shù)列｛氏｝滿足，首項%>0,a2020+a2czi>0,a2020-a2021<0,可得等差數(shù)列｛an｝

單調(diào)遞減，a2020>0,a2021<0,再利用求和公式及其性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：:等差數(shù)列｛4"｝滿足，首項%>0,a2020+a2021>0,a2020-a2021<0,

.?.等差數(shù)列｛a“｝單調(diào)遞減，a2020>0,a2021<0,

)

^40404040(%+44040

=2020(〃2020+々2021)>0，

2

4041(4+44041)

S4041==4041%02i<0，

2

則滿足S”>0成立的最大正整數(shù)〃是4040.

故選：B.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合要求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分.

9.（5分）關(guān)于雙曲線G：高-；=1與雙曲線下列說法正確的是（）

A.它們的實軸長相等B.它們的漸近線相同

C.它們的離心率相等D.它們的焦距相等

【分析】由雙曲線的方程可得實軸長，焦距，漸近線的方程，進而選出結(jié)果.

【解答】解：雙曲線G的/=3，b2=2,C2=5,

漸近線的方程為y=±半x,

實軸長為2〃=24，離心率e=￡=巫；

a3

C?中的"=2,段=3,c2=5,

漸近線方程為：y=土心，離心率e=￡=史，

3a3

所以焦距相同，漸近線的方程相同，

故選：BD.

【點評】本題考查雙曲線的離心率，漸近線，焦距的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.（5分）已知圓C|：f+y2=i和圓C2：f+y2-4x=o的公共點為A,B,則（）

A.|C[C2|=2B.直線AB的方程是x=:

C.Aq±AC2D.\AB\=^~

【分析】求出圓的圓心與半徑，然后求解圓心距，判斷A；求出相交弦所在的準線方程判

斷3；利用距離公式判斷CV；通過點到直線的距離判斷。；

【解答】解：圓￡:%2+y=1的圓心（0,0）,半徑為1,

圓孰：一+/-4x=0,圓心（2,0）,半徑為2,

圓心距為：2,所以A正確；

公共弦所在的準線方程為：-4x^-1,即尤=工，所以3正確；

4

|AG|=1,|AC?|=2,IC。?|=2,所以AG與AG不垂直.所以。不正確.

|叫=2/一夕=半,所以。正確；

故選：ABD.

【點評】本題考查圓的方程的應(yīng)用，兩個圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，

是中檔題.

11.（5分）若數(shù)列｛《,｝滿足q=1,a2=l,an=an_x+an_2（n..3,neN+）,則稱數(shù)列｛風(fēng)｝為斐

波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有

直接的應(yīng)用則下列結(jié)論成立的是（）

A.Cbj—13B.%+々3+6/5+......+々2019=々2020

C?Sj—54D.4+。4+。6+......+々2020=々2021

【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義求出前7項，從而可判定選項A和C,然后根據(jù)遞推關(guān)

系求出a“+2=S“+l,從而可判斷選項3和。.

【解答】解：因為4=1,4=1,an=an_x+an_2(n..3,neN+),

所以織=。2+4=2,%=。3+%=3,%=。4+。3=5,。6=。5+。4=8，%=%+%=13,

所以A正確；

57=1+1+2+3+5+8+13=33,所以C不正確；

I+^^5+??????I^^2019dyId?II^^4I^^3+??????I^^2018+^^201720181+^^2018，

又為+2=q+1+q=4+4-i+〃〃T+q-2=凡+q-1+q-2+%-3+q-3+?-4=……=S〃+1，

所以々2020=§2018+1=/+。3+“5+......+”2019，所以B正確；

。2+&+〃6+.....+4020=々2+/+%+%+〃4+......+々2019+外018=%+%+/+/+。5+......+々2019=52019

但S2019+1=￡?20211所以里+“4+a6+......+4020豐°2021'所以D不正確.

故選：AB.

【點評】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，以及關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下

的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)背景中，同時考查了生的推理能力.

12.（5分）已知正方體ABC。-ABC的棱長為2,點E,E在平面44GA內(nèi)，若|AE|=6,

ACrDF,貝l]()

B

A.點E的軌跡是一個圓

B.點廠的軌跡是一個圓

C.|E尸|的最小值為應(yīng)-1

D.Afi與平面所成角的正弦值的最大值為坐針畫

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理得到利用勾股定理得到4片=1，由圓的定義

即可判斷選項A；利用線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷選項3,轉(zhuǎn)化成線段上的點到圓上點

距離的最值進行分析求解，即可判斷選項c,建立合適的空間直角坐標系，利用圓的參數(shù)

方程設(shè)出點E的坐標，然后求出直線的方向向量和平面的法向量，然后利用線面角的求解

公式求出線面角的正弦值的表達式，再利用三角函數(shù)求最值求解，即可判斷選項。.

【解答】解：對于選項A,在正方體ABCD-A4a，中，9，平面A耳CQ|，AEu平

面ABGR,

所以e_LAE，

故AE2=W+\E2,

則有AE=1,

所以點E的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，

故選項A正確；

對于選項3,在正方體中，AC_L平面耳

因為AC_L￡?b,

則以'u平面用BOQ,

故尸在用A上，

所以F的軌跡是線段4R,

故選項3錯誤；

對于選項c,IEFI的最小值即為求線段用2上的點到以A為圓心，1為半徑的圓的最小距

離，

又圓心A到線段BR的距離為d=叵,

所以|即|的最小值為0-1,

故選項C正確；

建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為點石的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，

故設(shè)E(cos(9,sin，，2),6>e[0,-],

2

則4(0,0,0),4(0,0,2),BQ,0,0),0(0,2,0),

所以AE=(cos3,sin夕2),\B=(2,0,-2),BD=(-2,2,0),

設(shè)平面\BD的法向量為n=(尤,y,z),

\B-n=2x-2z=0

則有

BD?n=—2x+2y=0

令x=l,則y=l,z=l,

故”=(1,1,1)，

設(shè)AE與平面ABD所成的角為a,

行sin(6+三)+2

則sina=|cos<AE,n\=9包="si吃+2|_________4

\AE\\n\V5xV3715

當。=工時，sina有最大值1^=2屈+聞,

471515

故AE與平面\BD所成角的正弦值的最大值為2綜

故選項。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面關(guān)系的判斷和應(yīng)用、動點軌跡的求解、

線面角的求解、三角函數(shù)求最值問題，在求解空間角時，經(jīng)常會選用空間向量法進行研究,

屬于中檔題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若直線%-丁+1=0與直線mx+3y-l=0互相垂直，則實數(shù)加的值為3.

【分析】利用直線與直線垂直的性質(zhì)直接求解.

【解答】解：「直線％-y+l=。與直線mx+3y-1=0互相垂直，

/.lxm+(-l)x3=0,

解得實數(shù)m=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查直線與直線垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

22

14.(5分)若雙曲線C:=-2=l(a>0,6>0)的漸近線為'=±瓜，則雙曲線。的離心率

ab

為2.

【分析】先利用雙曲線的幾何性質(zhì)，焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為〉=±2工，得

a

-=A/3,在兩邊平方，利用雙曲線離心率的定義求其離心率即可

a

22

【解答】解：?雙曲線C:1-與=1(。>08>0)的漸近線為y=±氐，

ab

a

即/-1=3

e=2

故答案為2

【點評】本題主要考查了雙曲線的標準方程、雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線定義及其

應(yīng)用，雙曲線的離心率定義及求法，屬基礎(chǔ)題

15.(5分)已知四面體ABCD的頂點分別為A(2,3,1),B(1,0,2),C(4,3,-1),￡>(0,

3,-3),則點。到平面ABC的距離_3夜_.

【分析】求出AB，AC,然后求出平面ABC的一個法向量，通過法向量與AD的數(shù)量積即

可求出頂點。到平面ABC的距離.

【解答】解：因為四面體四個頂點分別為A(2,3,1)、5(1,0,2),C(4,3,-1),0(0,

3,-3),

所以AB=(—1,-3,1),AC=(2,0,-2),AD=(-2,0,-4).

設(shè)平面ABC的法向量為〃=(a,b,c)

所以「""+c=°,不妨令。=3,貝ljc=3,解得6=0.

[2〃-2c=0

平面ABC的法向量為〃=(3,0,3).

所以頂點。到平面ABC的距離，就是AD在平面ABC的法向量投影的長度，即：

\n-AD\|-6-12|；

\n\―"

故答案為：30.

【點評】本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，平面法向量的求法，考查空間想象能力以及計

算能力.

16.(5分)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，過點(有，0)的直線/與圓

C:f+y2-4瓜+8=0交于A,3兩點，則四邊形O4CB面積的最大值為4.

【分析】由已知可得，直線與圓相交，分直線的斜率存在與不存在討論，當直線的斜率不存

在時，直接求出四邊形的面積；當直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與圓的方程聯(lián)立，利

用弦長公式求|AB|,再由點到直線的距離公式求C,O到直線AB的距離，寫出四邊形的

面積，換元后利用二次函數(shù)求最值.

【解答】解：,,點(百，0)在圓/+/一4瓜+8=0內(nèi)部，，直線/一定圓圓C有兩個交點.

當直線的斜率不存在時，直線方程為x=石，

圓C為0-26)2+丁=4,|明=2"2-函＞=2,

則Ss=gx2x2G=25

當直線I的斜率存在時,設(shè)直線方程為y=k(x-6)(k豐0),

點CQ6，0)至【JAB的總巨離&=產(chǎn)?，

在一告=2.V+4

k2+l

O至UAB的距離4==4，

4

1

4k2+l=r(r>l),

則S°ACB=2也■卜*=2^/3.+1,

則當;=g,即r=3時，品皿取得最大值為4.

綜上，四邊形。4cB面積的最大值為4.

故答案為：4.

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的

數(shù)思想，考查運算求解能力，是中檔題.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在①圓C與y軸相切，且與x軸正半軸相交所得弦長為28；

②圓C經(jīng)過點A(4,l)和3(2,3)；

③圓C與直線x-2y-l=0相切，且與圓Q:V+(y—2)2=1相外切.

這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的圓C存在，求出圓C的方程；

若問題中的圓C不存在，說明理由.

問題：是否存在圓C,,且圓心C在直線y=上.

2

【分析】若選條件①，設(shè)圓心為(2a,①，可得/'=2141，再由垂徑定理列式求得。值，則圓。

的方程可求；若選擇條件②，求出4?的垂直平分線方程，與已知直線方程聯(lián)立，求得圓心

坐標，再求出半徑，則圓C方程可求；若選擇條件③，設(shè)圓心為(2a,°),由半徑相等可得關(guān)

于。的方程，由判別式小于0,可知方程無解，即圓C不存在.

【解答】解：若選條件①，

由圓C的圓心在直線y=g無上，可設(shè)圓心為(2a,a).

圓。與y軸相切，，半徑r=2|o|.

又：該圓截x軸正半軸所得弦的長為2—，可得a>0.

a2+(6了=(2a)2,解得a=l.

因此，圓心為(2,1),半徑r=2.

.?.圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)?=4；

若選擇條件②，

鉆的中點坐標為(3,2),k=—=-1,

AB2—4

則AB的垂直平分線方程為y-2=lx(尤-3),即y=x-l,

>=xTrx=2

聯(lián)立，1,解得《，則圓心坐標為(2,1),

y[y=l

半徑廠=4-2=2.

.?.圓C的方程為(X-2)2+(y-=4；

若選擇條件3,

設(shè)圓心為(2a,a),則囚宅-"=J(2a)、+(°-2)?-1,

BP4==-J5a2-4(7+4-1,整理得25/一20。+16-2遙=0.

A/5

△(-20)2-4x25x(16-2^)=200(6-4)<0,方程無解.

故圓C不存在.

【點評】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力，是

中檔題.

18.(12分)已知等比數(shù)列｛%｝中，g=4，a5=256.

(1)求數(shù)列｛°」的通項公式；

(2)令。“=log2a“，求數(shù)列｛〃,｝的前"項和S".

【分析】(1)先設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列出關(guān)于首項“

與公比4的方程組，解出色與q的值，即可計算出數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果及對數(shù)的運算計算出數(shù)列｛2｝的通項公式，然后依據(jù)等差數(shù)列

的求和公式即可計算出數(shù)列｛〃,｝的前n項和S,,.

【解答】解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,則

axq=4，解叱二

a”，=256

nl

：.an=l-4=4"-',n&N*,

(2)由(1),可得

bn=log2an=log24=log22w—l2(〃-1),

.'-Sn=bl+b2+...+bn

—2x0+2xl+...+2x—1）

=2x[l+2+...+（n-l）]

（n-l）.（l+n-l）

=Zx---------------------

2

=n2-n.

【點評】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運算，以及數(shù)列求和.考查了方程思

想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，定義法，對數(shù)的運算，以及邏輯推理能力和數(shù)運算能力，是中檔題.

19.（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線V=2px的準線方程為尤=-g.

（1）求Q的值；

（2）直線/:y=x+?rwO）交拋物線于A,3兩點，O為坐標原點，且。求線段AB

的長度.

【分析】（1）直接由拋物線準線方程列式求解。值；

（2）由（1）求得拋物線方程，聯(lián)立準線方程與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程,

利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合數(shù)量積為。求得f,再由弦長公式求弦長.

【解答】解：（1）由已知得，一即p=l.

22

（2）由（1）得，拋物線方程為丁=2尤，

設(shè)A（玉,%）,B（X2,%），

聯(lián)立得y2—2y+2f=0.

△=4-8r>0,BPr<l.

2

%+%=2，X%=2/，

由OA-OB=xlx2+yly2=(*)+%%=0,

可得,

%%=2t,/.2t――4，可得t——2.

則%+必=2，必％=-4-

|明=/々(4+%)2_4%%=而同=2回.

【點評】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查弦長公式的應(yīng)用,考查運算求解能力，

是中檔題.

20.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,nan+1=3(n+I)an.

(1)設(shè)I=",求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列;

n

(2)求數(shù)列｛4｝的前"項和S”.

【分析】(1)將遞推公式進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)么=%即可判斷出數(shù)列｛4｝是以1為首項，3

n

為公比的等比數(shù)列，從而證明結(jié)論成立；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出數(shù)列g(shù)“｝的通項公式，然后進一步計算出數(shù)列｛4｝的通

項公式，再運用錯位相減法即可計算出前”項和S“.

【解答】(1)證明：依題意，由〃4+i=3(〃+1)%,可得

七=3&，即%=3*

n+1n

￡>1=-=1,

11

，數(shù)列｛〃,｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

(2)解：由(1),可得

bn=L3"T=3'T,

即”=,

n

an=〃?3〃T,neN*,

Sn=q+4+/+???+a/=1?3°+2?31+3?32+_+〃,3〃,

12n-1n

3Sn=l-3+2-3+...+(n-l)-3+n-3,

兩式相減，可得

—2S〃=l+3]+32+…+3〃T—小3〃

1—3〃

-n^n

-1-3

=-(n--)-y

22

.?_(2n-l).3w1

??3”二-------------------------?

n44

【點評】本題主要考查數(shù)列由遞推公式推導(dǎo)出通項公式，以及運用錯位相減法求前〃項和問

題.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，整體思想，定義法，以及邏輯推理能力和數(shù)運算能力，是中檔

題.

21.（12分）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，ABCD為矩形，AD=PA=PB=2叵,PAYPB,

平面上_L平面ABCD.

（1）證明：平面B4T）_L平面PBC；

（2）若M為PC中點，求平面4如與平面的夾角的余弦值.

【分析】（1）推導(dǎo)出A￡>_LAB,從而M）_L平面上鉆，進而AD_LP3,由9_LPB,得PB_L

平面F4D,由此證明平面E4D_L平面FfiC.

（2）取至中點O,分別以O(shè)P,08所在直線為x,y軸建立空間直角坐標系，利用向量

法能求出二面角3的余弦值.

【解答】解：（1）證明：ABCD為矩形，

?.?平面B4B_L平面ABCD,平面上4BC平面ABCD=AB,

，平面

則AD_L尸5,又A4_LP3,PA''AD=A,

,網(wǎng),平面加)，而PBu平面PBC,

平面B4D_L平面PBC.

(2)取AB中點O,分別以O(shè)P,08所在直線為x,y軸建立空間直角坐標系，

則尸(2,0,0),A(0,-2,0),8(0,2,0),0(0,-2,2四)，M(1,1,及),

則0A=(0,0,-2坨,DM=(1,3,-也)，DB=(0,4,-20),

設(shè)平面42暇的法向量為n=(x,y,z),

,n-DA=z=0

則n彳_,廣，

加DM=x+3y-J2z=0

令y=-l