2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(全卷滿分150分，考試用時120分鐘)

一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符

合題目要求的)

1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間上的平均變化率為()

A.-lB.lC.2D.3

2.下列求導(dǎo)運算正確的是()

A.fx+)=1+4

\X/久Z

1

B?°g2X)'F

xx

C.(5)'=5log5x

D.(X2COSx)'=-2xsinx

3.一質(zhì)點做直線運動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關(guān)系為s(t)=￥+l,設(shè)其在時間段［1,2］內(nèi)的平均

速度為VI,在仁2時的瞬時速度為V2,則￡=()

A.l*

4.函數(shù)f(x)=6?-x3+6在［0,4］上的最大值與最小值之和為()

A.-46B.-35C.6D.5

5.已知函數(shù)f(x)=x2-2cosx,則f(0),f(-J,f的大小關(guān)系是()

A,f(0)<f(|)

B.f(-|)<f(0)<f(I)

4?<fG)<f(。)

D,f(0)<f(|)<f(-i)

6.函數(shù)y=l+cosx-e國的大致圖象是()

7.已知函數(shù)h(x)=：+ex在區(qū)間[0,1]上不單調(diào),則實數(shù)m的取值范圍為()

ex

A.[l,e]B,(l,e)

C.[l,e2]D.(l,e2)

8.已知函數(shù)f(x)的定義域為(-],]),其導(dǎo)函數(shù)是f(x),若f(x)cosx+f(x)sinx<0,則關(guān)于x的不等式

f(x)<2fg)cosx的解集為()

C(Vd)

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9.下列結(jié)論中正確的有()

A.若y=sin，則y-0

B.若f(x)=3x2-f(l)x,則f(l)=3

C.若y=-?+x,則y'=-"+l

D.若y=sinx+cosx,貝Uy-cosx+sinx

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值

D.函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值

n.若實數(shù)m的取值使函數(shù)f(x)在定義域上有兩個極值點，則稱函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”.已知

f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，且f(x)=--21nx,當(dāng)函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”時,m的取值范圍的子集有

X

()

A(|,+8)B,(-|,0)C.(-OO,-|)

12.已知函數(shù)f(x)=e%Lsinx+l,則()

A.f(x)的周期為2兀

B.f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱

C.f(x)在罰上單調(diào)遞增

D.f(x)在區(qū)間［-5匹5兀］上所有的極值之和為10

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.已知f(xo)=m,則lim/(%0-3^)-/(%0)=

14.設(shè)函數(shù)f(x)=x+cosx,x￡(o,l),則滿足不等式f(t2)>f(2t-l)的實數(shù)t的取值范圍是.

15.已知f(x)jfx，°*X<1,若存在實數(shù)X1,X2,X3,滿足OSX1<X2<X3S3,且f(Xl)=f(X2)=f(X3),則

I2sin7ix,l<x<3,

X2的取值范圍為；X2X3-答XI的最大值為.(本題第一空3分,第二空2分)

471

1+In%,%之1,

(X+1x<］若存在X/X2,使得f(Xl)+f(X2)=2,則X1+X2的取值范圍

是.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)在①f(x)的一個極值點為0;②曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線與直線

x+(e-l)y-l=O垂直;③y=fGx)-f(x)為奇函數(shù)這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.

已知函數(shù)f(x)=e'+ax-l,且，求f(x)在［-1,1］上的最大值與最小值.

注:選擇多個條件分別解答時,按第一個解答計分.

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=宏.

⑴若a=0,求曲線y=f(x)在(l,f(l))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在x=-l處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=cosx+xsinx-1.

(1)若x￡(0,兀)，求f(x)的極值;

⑵證明:當(dāng)x?[0,兀]時,2sinx-xcosx>x.

20.(本小題滿分12分)如圖，已知A、B兩個城鎮(zhèn)相距20千米，設(shè)M是AB的中點，在AB的中垂

線上有一高鐵站P,P、M的距離為10千米.為方便居民出行,在線段PM上任取一點0(點O不

與P、M重合)建設(shè)交通樞紐，從高鐵站鋪設(shè)快速路到O處,再鋪設(shè)快速路分別到A、B兩個城鎮(zhèn).

因地質(zhì)條件等各種因素，其中快速路PO造價為1.5百萬元/千米，快速路OA造價為1百萬元/千

米,快速路OB造價為2百萬元/千米.設(shè)NOAM=8(rad),總造價為y(單位:百萬元).

⑴求y關(guān)于0的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；

⑵求總造價的最小值，并求出此時9的值.

鏟

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0).

⑴若a=l,求f(x)的極值;

(2)若存在xo@使得f(x)+—<0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

0比0

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=匕￡(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴求函數(shù)f(x)的零點X0,以及曲線y=f(x)在X=xo處的切線方程；

(2)設(shè)方程f(x)=m(m>0)有兩個實數(shù)根xg,求證:|xi-X2|<2-m(l+

答案全解全析

1.B因為f(x)=x2,所以f(x)在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為"畢=3=1.故選B.

2-(一1)3

2.B由導(dǎo)數(shù)的運算法則，知(％+：)'=1—^-,(5x)-5xln5,(x2cosx)-2xcosx-x2sinx,A>C、D均錯誤，故選B.

3.B由題意知，該質(zhì)點在時間段［1,2］內(nèi)的平均速度vi琛=傲”+［零+1)=因為s，(t)*所以穴2)=4,即該質(zhì)點

2—13

在t=2時的瞬時速度丫2二4,所以”=三故選B.

12

4.B由f(x)=6V^-x3+6,得f(x)=--3x2=空卓，x>0),

y/XyJX

令f(x)=O,可得x=l,當(dāng)*6(0,1)時工熾)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)*41,+8)時1保)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

所以f(x)的極大值，也是最大值，為f(l)=ll,又f(0)=6,f(4)=-46,

所以f(x)的最小值為-46,所以最大值與最小值之和為11-46=-35.故選B.

5.A易知f(x)=x2-2cosx為偶函數(shù),...(［)=fg),

?；f(x)=2x+2sinx,當(dāng)xG(O,l)時,f(x)>O,；.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,.?.￡(())<fg)<f(|),Af(0)<f(|).故選A.

6.A易知函數(shù)y=l+cosx-e岡為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時,y=l+cosx-ex,

則y--sinx-ex.當(dāng)x>l時,yVO,函數(shù)單調(diào)遞減，故B、C錯誤.

又當(dāng)x=l時,y=l+cosl-e<0,故D錯誤.故選A.

7.D因為h(x)或+ex,所以h<x)=￡+ex,又因為函數(shù)h(x)*+e*在區(qū)間［0,1］上不單調(diào)，所以h，(x)=g+ex在區(qū)間(0,1)上

存在變號零點，所以H(0)hQ)<0,即(l-m)(e解得l<m<e2.故選D.

8.A令F(x)=SW，則F'(x)=r(x)c：：+￡sin；因為「(x)cosx+f(x)sinx<0,所以F(x)<0,所以函數(shù)F(x)在(一弓)上單調(diào)遞

減,

由于xG(-/)時，cosx>0,因此關(guān)于X的不等式f(x)<2fg)cosx可化為照<鳥，即F(x)<F(?所以]<x<；且

x甘，解得三<x<=

因此不等式f(x)<2fg)cosx的解集為(空).故選A.

9.ABC選項A中，若y=si嗎=冬則y，=0,故A正確;選項B中，若f(x)=3x2-f(l)x,則f(x)=6x-f(l),令x=l,則f(l>6-f(l),

解得f(l)=3,故B正確;選項C中，若y=-F+x,則y'=-京+1=-91,故C正確;選項D中，若y=sinx+cosx,則y'=cos

x-sinx,故D錯誤.故選ABC.

10.ABD由y=f(x)的圖象知，當(dāng)一<x<0時,f(x)<0;當(dāng)0<x<4時,f(x)>0,因此f(x)在信，。)上單調(diào)遞減，在(。⑷上單調(diào)遞

增，故A、B正確;f(x)在x=l附近單調(diào)遞增，在x=l處不取極大值，故C錯誤;由f(x)在(彳,0)上單調(diào)遞減，在(0,4)上單

調(diào)遞增，得f(x)在x=0處取得極小值，故D正確.故選ABD.

trcc■/、mm-2x\nx,八、

11.BDf(x)=—21nx=------(x>0),

XX

若函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性”，則m=2xlnx在(0,+oo)上有2個不同的實數(shù)根，

令g(x)=2xlnx,則g,(x)=2(l+lnx)(x>0).

令g<x)>0,解得x>；;令g(x)<0,解得0<x<1.

則g(x)在(0,》上單調(diào)遞減，在G，+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)的極小值是gg)=-1,也是最小值，當(dāng)X—>0時,g(x)—0,故做選BD.

12.BCDA選項，因為f(x)=e|x|-sinx+1,所以f(x+27t)=elx+2,Il-sin(x+27t)+1=elx+2jl!-sinx+l#(x),因此27t不是f(x)的周期，

故A錯誤.

B選項，令g(x)=f(x)-l=e|x|-sinx,其定義域為R,則g(-x)=3兇.sin(-x)=-g(x),所以g(x)=e|x|-sinx是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原

點對稱，因為f(x)=g(x)+l,所以f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱，故B正確.

C選項，當(dāng)x>0時,f(x)=e、?sinx+1,貝1Jf(x)=ex-sinx+ex-cosx=V2exsin(%+：),

因為X0[o,用所以x+：e[EM所以sin(%+：)20,

所以f(x)=V2exsin[x+：)K),故f(x)在[o,乎]上單調(diào)遞增，故C正確.

D選項，當(dāng)［0,5兀］時,f(x)=e',sinx+1,則f(x)=V2ex-sin^x+：),令f*(x)=0,可得x+：=k7i(k￡Z),所以x=-：+k7i(k￡Z),E

x引0,5兀］，可得極值點為？,r,喳喳等

44444

當(dāng)x￡［-5兀,0］時,f(x)=eGsinx+1,貝！Jf(x)=-e-xsinx+excosx=V2e—xcos(%+；),令f(x)=0,可得x+；=］+k兀(k￡Z),貝(J

x=%k7T(k￡Z),由x￡［-5兀,0］，可得極值點為岑,-3-早，-手，-等

444444

由B選項，可得"況=1,即f(-x)+f(x)=2,

所以f(x)在區(qū)間［-5兀,5兀］上所有的極值之和為f(-等)+f(-等)+f(-當(dāng))+f(-y)+f(-y)+f(等)+f(等)+

fGF)+f(?)+f(*)=5x2=10,故D正確.故選BCD.

13.答案-3m

解析f(x0)=m,原式=-3lim色當(dāng)3=-3f(xo)=-3m.

△%-?0

14.答案(|,1)

解析因為f(x)=l-sinx>0,所以f(x)為增函數(shù)，

因為f(t2)>f(2t-l),所以t2>2t-l,SP厚1,

因為f(x)的定義域為(0,1),所以1

解得

15.答案［2，Hp

解析易知函數(shù)f(X)的大致圖象如圖所示，

由圖象知區(qū)金上彳［且x2+x3=5,V3xi=2sin71x2,

所以X2X3知=x2(5-X2)-M專sin7rx2=5x2-xf-gsing.

令g(x)=5x-x2-^sin兀x,x￡［2,1］,則g'(x)=5-2x-/cos兀x,x￡

令h(x)=5-2x-ycos兀x,則h*(x)=-2+^|^sin兀x,易知h(x)在［2,1］上單調(diào)遞增，

所以H(x)Wh，0=曾<0,所以或x)在［2彳］上單調(diào)遞減，

因為gQ)=0,所以g(x)在上單調(diào)遞增，在［*］上單調(diào)遞減，所以g(x)max=g?=工—素即X2X3噂XI的最大值為

991

16如，

16.答案［3-21n2,+oo)

解析因為X1WX2,所以不妨設(shè)X1<X2.當(dāng)X>1時,f(x尸1+lnxNl,當(dāng)X<1時,f(x)=等<l,根據(jù)f(Xl)+f(X2)=2可知X1<1<X2,

所以f(xi)=也”,f(x2)=l+lnX2,所以f(xi)+f(x2)=(^+l+lnx2=2,故xi=l-21nX2,所以xi+x2=X2-21nX2+I.記g(x)=x-21n

x+l(x>l),則g(x)哼(x>l),于是易得g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,所以8區(qū))冶2尸3-21112,又當(dāng)x—+s

時,g(x)f+8,所以g(x)的值域是［3-21n2,+8).所以xi+xz的取值范圍是［3-21n2,+8).

17解析選擇①，由題意得f(x)=e'+a,

則f(0)=l+a=0,故a=-l.(2分)

故f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1.

令f(x)=eX-l=0,得x=0.(4分)

當(dāng)xd(-l,0)時,f(x)<0;當(dāng)*^(0』)時》肘)>0.

所以f(x)在GL0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)

因為f(-l)=-<f(l)=e-2,

e

所以f(x)的最大值為f(l)=e-2.(10分)

選擇②，由題意得f(x)=ex+a,

所以f(l)=e+a,由曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線與直線x+(e-l)y-l=0垂直，

得f(l)=e-l,所以e+a=e-l,故a=-l.(2分)

則f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1.

令f(x)=eX-l=0,得x=0.(4分)

當(dāng)xd(-l,0)時,f(x)<0;當(dāng)*^(0』)時》肘)>0.

所以f(x)在GL0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)

因為f(-l)=i<f(l)=e-2,

e

所以f(x)的最大值為f(l)=e-2.(10分)

選擇③，由題意得f(x)=e*+a,

所以f(-x)-f(x)=e-x-ex-ax-1-a.

因為y=f(-x)-f(x)為奇函數(shù)，

所以f(-x)-f(x)=f(-x)-f(x),可得a=-l.(2分)

則f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1,

令f(x)=eX-l=O,得x=0.(4分)

當(dāng)xe(-l,O)時,f(x)<0;當(dāng)*1(0,1)時,改)>0.

所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)

因為f(-l>-<f(l)=e-2,

e

所以f(x)的最大值為f(l>e-2.(10分)

18.解析⑴當(dāng)a=0時,f(x)=%^，則f(x尸等,f(l)=l廁f(l)=-4,此時曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線方程為

y-l=-4(x-l),BP4x+y-5=0.(4分)

(2)因為f(x)=^，所以f(x)=3寧愛譽辿2(x2-3x-a)

22

x+a(%Ta)(x+a),

由題意可得f(-l)=gg=o廨得a=4,(5分)

故f(x)=鬻,。(x)=2(藍黑?令f(x)=0,得x=-l或x=4.當(dāng)x發(fā)生變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-8,-1)-1(-1,4)4(4,+8)

f(x)+0-0+

f(x)/極大值X極小值/

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為G1,4).(10分)

易得當(dāng)x<|時,f(x)>0;當(dāng)x>|時,f(x)<0.

所以f(X)max=f(-l)=l,f(X)而n=f(4)U(12分)

19.解析(1):f(x)=cosx+xsinf(x)=xcosx,(2分)

當(dāng)x￡（0（）時,f（x）＞0;當(dāng)x￡&71）時,f（x）＜o(jì).（4分）

當(dāng)x發(fā)生變化時,f（x）,f（x）的變化情況如下表：

n

X

（吟20)

f(x)+0-

f(x)/極大值X

因此當(dāng)x=］時,f（x）有極大值,并且極大值為fg）=/1,沒有極小值.（6分）

(2)證明:令g(x)=2sinx-xcosx-x,

貝Ug*(x)=cosx+xsinx-l=f(x),

由⑴知f(x)在(04)上單調(diào)遞增，在&TT)上單調(diào)遞減.(8分)

又f(0)=0,f￡)=^-1>0,f(7t)=-2<0,

所以f(x)在(0,兀)上存在唯一零點，設(shè)為xo,則g〈xo)=f(xo)=O.(9分)

當(dāng)x￡(O,xo)時,g(x)>0;當(dāng)x￡(xo㈤時,g(x)<0,

所以g(x)在區(qū)間(O,xo)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(X°,7l)上單調(diào)遞減，

又g(0)=0,g(7T)=0,

所以當(dāng)乂￡[0,兀]時次儀)汶(11分)

故2sinx-xcosx>x.(12分)

20.解析(I)：ZOAM=0,PM±AB,M為AB的中點，

OA=OB=^-,OM=10tan0,OP=10-10tan0,(2分)

y=￡x1+-^-x2+(10-10tan0)xl.5=^--15tan0+15

COS0COS0COS0

=15（烹右通）+15（0＜。＜胃（5分）

⑵設(shè)購磊鬻。＜。＜*

-cos20+sin0(2-sin0)2sin0-l

則f（e）=.(7分)

cos20cos20

令f(e)=o,得sin。4又o<e<V.e=E.(8分)

246

當(dāng)0<。<三時,sin0<i,f(0)<0,f(。)單調(diào)遞減;(9分)

62

當(dāng)合e<押,sine>1,f(e)>o,f(o)單調(diào)遞增.(10分)

，f(e)的最小值為fQ)=遮，此時總造價最小.(ii分)

當(dāng)時，總造價最小，最小值為(156+15)百萬元.(12分)

21.解析(l)a=l時,f(x)=x-lnx,函數(shù)f(x)的定義域是(0,+oo),(l分)

f(x)=l--=—.(2分)

XX

令f(x)>0,解得x>l,令f(x)<0,解得0<x<l,(3分)

故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故f(x)的極小值是f(l)=l,無極大值.(5分)

(2)存在x()e口,田,使得f(x0)+—<0成立,等價于上］<0(x6口⑶)成立.(6分)

xoLxJmin

設(shè)h(x)=x-alnx+山河Mx)」“*"？

令H(x)=O,解得x=-l(舍去)或x=l+a.(8分)

①當(dāng)1+aNe時,h(x)在［l,e］上遞減，

h(x)的最小值為h(e)=e-a+—,